ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΟΥΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ Ιωάννης Παπαδόπουλος Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Α.Π.Θ. ypapadop@eled.auth.gr Στην εργασία αυτή φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης αναλύουν και συγκρίνουν δύο προβλήματα με ανάλογη μαθηματική δομή που προφανώς δεν αποτελούν προβλήματα που συναντώνται στην πραγματικότητα αλλά εμπλέκουν χρήσιμες μαθηματικές ιδέες και δεξιότητες. Εντοπίζονται και ταξινομούνται τα κριτήρια με τα οποία οι φοιτητές αξιολογούν και συγκρίνουν τα προβλήματα όπως επίσης και τα κριτήρια με τα οποία προσδιορίζουν το κατά πόσο η κατάσταση που περιγράφει ένα πρόβλημα μπορεί να απαντηθεί στην πραγματική ζωή. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Είναι απαραίτητη στους εκπαιδευτικούς η απαιτούμενη γνώση προκειμένου (α) να επιλέξουν και να αναπτύξουν δραστηριότητες με στόχο να ενισχύσουν την εννοιολογική κατανόηση των μαθητών σε σχέση με τα μαθηματικά, και (β) να βελτιστοποιήσουν τα μαθησιακά αποτελέσματα από τη χρήση τέτοιων δραστηριοτήτων (Chapman, 2013). Σύμφωνα πάντα με την Chapman (2013), αυτή η γνώση μεταξύ άλλων περιλαμβάνει: (α) την κατανόηση της φύσης μιας αξιόλογης δραστηριότητας (εμπλέκει σημαντικό μαθηματικό περιεχόμενο; Μπορεί να λυθεί με πολλούς τρόπους; Με τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων; Συνδέει διάφορες μαθηματικές ιδέες;), (β) την ικανότητα προσδιορισμού, επιλογής και δημιουργίας δραστηριοτήτων με πλούσιο μαθηματικό και παιδαγωγικό περιεχόμενο, και (γ) τη γνώση του επιπέδου γνωστικών απαιτήσεων των δραστηριοτήτων. Στα πλαίσια της εκπαίδευσης των μελλοντικών εκπαιδευτικών σε σχέση με τα μαθηματικά και τη διδασκαλία τους είναι σημαντικό οι φοιτητές να εμπλέκονται σε μια διαδικασία απόκτησης μιας τέτοιας γνώσης σχετικά με τη χρήση προβλημάτων στη διδακτική πρακτική. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται ένα μέρος μιας μεγαλύτερης έρευνας η οποία μελετά δεξιότητες επίλυσης προβλήματος αλλά και δεξιότητες στην αξιολόγηση προβλημάτων. Πιο ειδικά, το ερευνητικό ερώτημα που απασχολεί τη συγκεκριμένη εργασία αναφέρεται σε κάποια από τα κριτήρια με τα οποία αξιολογούν και συγκρίνουν προβλήματα οι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί. ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η επιλογή μαθηματικών δραστηριοτήτων από τον εκπαιδευτικό αποτελεί ένα κρίσιμο πρώτο βήμα στην προσπάθειά του να παρέχει στους μαθητές του την ευκαιρία να εμπλακούν σε μια πιο προχωρημένη μαθηματική σκέψη. Το National Council of Teachers of Mathematics (1991) 238
υποδεικνύει στους εκπαιδευτικούς την επιλογή και χρήση «αξιόλογων μαθηματικών προβλημάτων». Οι Sullivan και Mousley (2001) ισχυρίζονται ότι (α) η επιλογή προβλημάτων για χρήση στην τάξη αποτελεί στοιχείοκλειδί στο ρόλο του δασκάλου, (β) η διαδικασία λήψης απόφασης στην οποία υπεισέρχονται οι δάσκαλοι προκειμένου να κάνουν την επιλογή αυτή είναι πολύπλοκη, και (γ) η επαγγελματική ανάπτυξη των δασκάλων πρέπει να δώσει έμφαση στο να τους βοηθήσει να κατανοήσουν αυτήν την πολυπλοκότητα. Σχετικά πρόσφατες μελέτες (Osana, Lacroix, Tucker & Desposiers, 2006; Arbaugh & Brown, 2005) προσπαθούν να ρίξουν φως στο πώς αντιλαμβάνονται οι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί γενικά το θέμα της αξιολόγησης και ανάλυσης μαθηματικών προβλημάτων. Πιο συγκεκριμένα, οι Osana et.al. (2006) ερεύνησαν την ικανότητα αξιολόγησης προβλημάτων από μελλοντικούς εκπαιδευτικούς στη βάση των γνωστικών απαιτήσεων που τα προβλήματα αυτά προβάλλουν στους μαθητές. Ταυτόχρονα μελέτησαν τους παράγοντες που επιδρούν στον τρόπο που κάνουν οι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί την αξιολόγηση αυτή. Τα ευρήματά τους δείχνουν ότι σε γενικές γραμμές υπήρξε δυσκολία στο να ταξινομηθούν με ακρίβεια προβλήματα με αυξημένη γνωστική πολυπλοκότητα και ότι σημαντικό ρόλο στην ταξινόμηση έπαιξε το επιφανειακό χαρακτηριστικό της έκτασης του κειμένου. Υπήρχε μια τάση, να χαρακτηρίζουν προβλήματα με μικρή έκταση κειμένου ως προβλήματα με λιγότερες γνωστικές απαιτήσεις. Οι Arbaugh και Brown (2005) ενέπλεξαν μια ομάδα καθηγητών μαθηματικών στη χρήση ενός συνόλου κριτηρίων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε μια κριτική εξέταση μαθηματικών προβλημάτων. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδωσαν ενδείξεις ότι η έμφαση σε αυτήν την κριτική εξέταση επηρέασε τον τρόπο σκέψης τους σχετικά με τη φύση και την επιλογή των μαθηματικών προβλημάτων. Υπήρξε μια εξέλιξη στον τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων και αλλαγή στο μοτίβο επιλογής τους για χρήση στην τάξη. Σε ανάλογο ερευνητικό πρόγραμμα που συντόνισε η Boston (2013) μελετήθηκε η επιλογή και χρήση από καθηγητές μαθηματικών, γνωστικά απαιτητικών προβλημάτων. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι εκπαιδευτικοί ανέπτυξαν νέες απόψεις σε σχέση με την επίδραση τέτοιων προβλημάτων στη μάθηση. Ταυτόχρονα όμως καθώς ανέλυαν και αξιολογούσαν τα προβλήματα φάνηκε ότι παρέβλεπαν τις υποκείμενες μαθηματικές έννοιες ή συνδέσεις που εμπεριείχαν τα προβλήματα αυτά και επέμεναν στο να θεωρούν ότι η παρουσία ή μη μιας συγκεκριμένης πορείας βημάτων είναι αυτή που προσδιορίζει το επίπεδο γνωστικών απαιτήσεων του προβλήματος. Επίσης κάποιοι έδιναν έμφαση σε χαρακτηριστικά του προβλήματος που φαινόταν να απουσίαζαν, όπως το να είναι το πρόβλημα τοποθετημένο σε ένα πλαίσιο της καθημερινής ζωής. Αυτό το δεύτερο αποτελεί ερώτημα προς ανάλυση στα προβλήματα που 239
χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα έρευνα με φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος οι οποίοι τα αναλύουν τόσο σε επίπεδο επίλυσης όσο και σε επίπεδο ανάλυσης-σύγκρισης των προβλημάτων αυτών. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Στην έρευνα αυτή συμμετείχαν 43 τριτοετείς φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης στα πλαίσια μαθήματος σχετικού με την επίλυση προβλήματος. Στους φοιτητές δόθηκαν τρία φύλλα εργασίας. Τα δύο πρώτα φύλλα περιείχαν από ένα πρόβλημα το καθένα ( το πρόβλημα του ρεζερβουάρ και το πρόβλημα του σαλιγκαριού, βλ. Εικ. 1) και μια σειρά από ερωτήσεις (ίδιες για κάθε πρόβλημα) που σχετίζονταν με το πώς σκέφτονται να λύσουν το πρόβλημα, ποιες πράξεις θα εκτελέσουν, τεκμηρίωση των πράξεων. Εικόνα 1. Τα προβλήματα που δόθηκαν στους μελλοντικούς εκπαιδευτικούς Οι φοιτητές έπρεπε στη συνέχεια να λύσουν το πρόβλημα με βάση τις πράξεις αυτές και αν αυτό δεν τους ήταν αρκετό καλούνταν να κάνουν χρήση διαγραμμάτων, σχεδίων ή πινάκων. Τέλος ζητούνταν τεκμηρίωση για την ορθότητα της απάντησης, περιγραφή δυσκολιών που αντιμετώπισαν, προτεινόμενες αλλαγές στην εκφώνηση ώστε να λύνεται ευκολότερα. Επειδή κάποιοι επέλεγαν να μην απαντήσουν σε όλα τα ερωτήματα για το λόγο αυτό στους πίνακες που ακολουθούν ο συνολικός αριθμός απαντήσεων στα επιμέρους ερωτήματα ποικίλλει (και δεν είναι πάντα 43) Στην εργασία αυτή όμως έμφαση δίνεται στο τρίτο φύλλο εργασίας που ζητούσε μια ανάλυση των προβλημάτων και σύγκριση μεταξύ τους. Το φύλλο περιείχε τέσσερις ερωτήσεις (Εικ. 2). 240
Εικόνα 2. Ερωτήσεις ανάλυσης-σύγκρισης Και τα δύο προβλήματα θεωρούνται μη-τυποποιημένα προβλήματα με την έννοια ότι ο λύτης δεν μπορεί απλά να ανακαλέσει αλγοριθμικές διαδικασίες στις οποίες έχει εκπαιδευτεί προκειμένου να τα λύσει. Αυτό που θα αποτελούσε ικανό εργαλείο στα χέρια του λύτη θα ήταν δύο τύποι διαφορετικών αναπαραστάσεων: ένα σχέδιο (εξεικονιστική όψη του προβλήματος) και ένας πίνακας (περιγραφική όψη). Για το πρώτο πρόβλημα η δυσκολία δεν προκύπτει από την ανάγκη για προσθέσεις και αφαιρέσεις οπότε και μπορεί να προκύψει κάποιο λάθος, αλλά από την ανάγκη ορθής κατανόησης της όλης κατάστασης που περιγράφει η εκφώνηση του προβλήματος. Όμως, ακόμη και αν τα διαδοχικά ανεβοκατεβάσματα του σαλιγκαριού κατανοηθούν σωστά, και πάλι, μια στρατηγικής άμεσης ερμηνείας όπως 1/2-1/3=1/6 του μέτρου και άρα 6:1/6=36, οδηγεί σε λανθασμένη λύση, αφού το μοντέλο δεν λαμβάνει υπόψη ότι την τελευταία ημέρα το σαλιγκάρι φτάνει στο χείλος του πηγαδιού και έτσι δεν γλιστρά προς τα πίσω. Εξετάζοντας το συγκεκριμένο πρόβλημα, φαίνεται ότι ένα κατάλληλο σχεδιάγραμμα θα μπορούσε ως μια επιλεγμένη στρατηγική να απεικονίσει τις διαδοχικές μετακινήσεις του σαλιγκαριού και να δώσει έμφαση στο γεγονός της τελευταίας ημέρας. Πράγματι, παρόλο που η πληροφορία αυτή περιλαμβάνεται στην εκφώνηση είναι πιο πιθανό ο λύτης να την ανακαλύψει σε ένα σχέδιο. Μια ακόμη πιο συστηματική προσέγγιση του λύτη πάνω στο πρόβλημα θα μπορούσε να περιλαμβάνει τη στρατηγική της οργάνωσης της σχετικής πληροφορίας σε έναν πίνακα (έναν συνδυασμό των ημερών, και των διαστημάτων πάνω και κάτω κάθε μέρα). Αυτή είναι μια πληροφορία που ο μελλοντικός εκπαιδευτικός θα έπρεπε ίσως να λάβει υπόψη του στη σύγκριση και ανάλυση των δύο προβλημάτων. Εδώ ακριβώς επικεντρώνεται και η μικρής κλίμακάς αυτή έρευνα. Στο να αποτυπώσει και να οργανώσει τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται από τους μελλοντικούς εκπαιδευτικούς. Τέλος, ένα θέμα που πρέπει να σχολιαστεί είναι το γιατί περιλαμβάνονται δύο ερωτήματα (3.1 και 3.2) που φαίνονται να είναι ίδια ή γιατί δεν ενώνονται σε ένα; Η επιλογή αυτή έγινε για να εντοπιστεί το κυρίαρχο στοιχείο στο 241
οποίο επικεντρώνεται ο εκπαιδευτικός κατά τη σύγκριση. Μπορεί να βασιστεί στη μαθηματική δομή που τα καθιστά «όμοια» ή σε περιφερειακά στοιχεία όπως η θεματολογία ή το είδος των εμπλεκόμενων αριθμών που τα καθιστά «διαφορετικά». Η ταυτόχρονη συμπερίληψη και των δύο σε μια ερώτηση ίσως δεν αποτυπώσει το γεγονός ταυτόχρονης θετικής ανταπόκρισης κάποιου εκπαιδευτικού και στα δύο ερωτήματα. Τα απαντημένα φύλλα εργασίας αποτέλεσαν τα δεδομένα τα οποία στη συνέχεια αποτέλεσαν αντικείμενο θεματικής ανάλυσης (Braun & Clarke, 2006). ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Σύγκριση των προβλημάτων (ερωτήσεις 3.1 και 3.2) Σε σχέση με τα ερωτήματα 3.1 και 3.2 οι δυνατές επιλογές για το καθένα ήταν τρεις: Ναι(Ν) Όχι(Ο) Δεν μπορώ να αποφασίσω(δ). Αυτό σημαίνει ότι οι δυνατοί συνδυασμοί απαντήσεων και για τα δυο ερωτήματα ήταν συνολικά εννιά. Έτσι από τη μια έχει ενδιαφέρον ίσως να παρουσιαστεί το πώς κατανέμονται οι συγκεντρωμένες απαντήσεις κατά μήκος των 9 διαφορετικών συνδυασμών (Πίνακας 1) αλλά κυρίως να εντοπιστούν τα κριτήρια με βάση τα οποία επιλέγονται οι απαντήσεις. Ν-Ν Ν-Ο Ο-Ν Ο-Ο Δ-Δ Ν-Δ Ο-Δ 1/43 1/43 29/43 6/43 2/43 2/43 1/43 Πίνακας1. Κατανομή των απαντήσεων με βάση τους δυνατούς συνδυασμούς Όλα τα επιμέρους κριτήρια που ορίστηκαν και χρησιμοποιήθηκαν από τους φοιτητές, αφού συγκεντρώθηκαν, ταξινομήθηκαν με βάση τέσσερις άξονες: (α) αν σχετίζονται με τη διαδικασία της επίλυσης, (β) αν αναφέρονται στις εμπλεκόμενες έννοιες, (γ) αν σχετίζονται με το είδος των αριθμών που εμπλέκονται, και (δ) αν λαμβάνουν υπόψη τους το κείμενο της εκφώνησης (Πίνακας 2). Στην κατηγορία «Επίλυση» το κριτήριο ήταν το ποιες πράξεις θα έπρεπε να γίνουν για να λυθεί το πρόβλημα (πρόσθεση και αφαίρεση) όπως επίσης και η σειρά με την οποία πρέπει να γίνουν για να επιτευχθεί η λύση (πρώτα αφαίρεση και μετά πρόσθεση). Επίσης, το αν η μαθηματική δομή που κρύβεται πίσω από το κείμενο είναι η ίδια, γεγονός που παραπέμπει στην ίδια στρατηγική επίλυσης (πχ βρίσκω κάθε μέρα μετά το γλίστρημα το ύψος στο οποίο βρίσκεται το σαλιγκάρι και προσθέτω το νέο ύψος στο οποίο θα φτάσει, ή βρίσκω την ποσότητα βενζίνης που μου έχει απομείνει στο τέλος της ημέρας και προσθέτω την ποσότητα που βάζω το πρωί). Το αν παρουσιάζουν τον ίδιο ή διαφορετικό βαθμό δυσκολίας (γενικά το δεύτερο χαρακτηρίστηκε ως δυσκολότερο πρόβλημα). Τέλος, ένα κριτήριο ήταν το αν απαιτούνταν ή όχι η εύρεση κάποιου μοτίβου προκειμένου να 242
διευκολυνθεί η επίλυση (και στα δυο το να αντιληφθεί ο λύτης ότι στη διαδικασία εξέλιξης της προβληματικής κατάστασης υπάρχει ένα μοτίβο, τον διευκολύνει στο να αντιμετωπίσει συνολικά το πρόβλημα αντί να παρακολουθεί λεπτομερώς την εξέλιξη κάθε ημέρα). Επίλυση Έννοιες Αριθμοί Κείμενο Απαιτούμενες πράξεις Σειρά πράξεων Ίδια λογική Βαθμός δυσκολίας Εύρεση μοτίβου Όγκος/απόστα ση Ενότητα βιβλίου Είδος εμπλεκόμενων αριθμών Πόσο εύκολοι είναι για υπολογισμούς Ίδιο/διαφορετικό σενάριο Καταστάσεις καθημερινότητας Κοινά γλωσσικά στοιχεία στην εκφώνηση Είδος οντοτήτων που παίρνουν μέρος Πίνακας 2. Ταξινόμηση κριτηρίων σύγκρισης των προβλημάτων Στην κατηγορία «Έννοιες» αυτό που λαμβάνεται υπόψη είναι οι μαθηματικές έννοιες που εμπλέκονται στα προβλήματα (το ένα ασχολείται με όγκο και το άλλο με απόσταση (μήκος). Ταυτόχρονα ένα πρόσθετο κριτήριο στη σύγκριση ήταν το κατά πόσο το περιεχόμενο των προβλημάτων σχετίζεται με το αναλυτικό πρόγραμμα για τη διδασκαλία των μαθηματικών ή εναλλακτικά το κατά πόσο σχετίζεται με συγκεκριμένες ενότητες στο σχολικό βιβλίο. Στην κατηγορία «Αριθμοί» τα κριτήρια που χρησιμοποιήθηκαν ήταν δύο: α) το είδος των εμπλεκόμενων αριθμών- στο πρώτο πρόβλημα οι αριθμοί που απαιτούνται για τους διάφορους υπολογισμούς είναι φυσικοί ενώ στο δεύτερο κλάσματα, και β) το κατά πόσο οι πράξεις που έκαναν χρήση των αριθμών αυτών ήταν εύκολες ή δύσκολες. Γενικά, το δεύτερο πρόβλημα χαρακτηρίστηκε ως δυσκολότερο επειδή ενέπλεκε πράξεις μεταξύ κλασμάτων. Τέλος, στην κατηγορία «Κείμενο» περιλήφθηκαν μια σειρά από κριτήρια που έδιναν έμφαση κυρίως στην εκφώνηση των προβλημάτων. Έτσι, κάποιοι έδωσαν έμφαση στο ότι ένα διαφορετικό σενάριο εκφράζει την ίδια μαθηματική κατάσταση. Άλλοι έδωσαν έμφαση στο κατά πόσο το κείμενο εκφράζει καταστάσεις που θα μπορούσαν να συνδεθούν με την καθημερινή ζωή ή με τις πραγματικές εμπειρίες που έχουν βιώσει οι μαθητές. Για μερικούς η σύγκριση είχε καθαρά γλωσσικό χαρακτήρα. Για παράδειγμα, χρησιμοποίησαν ως κριτήριο ομοιότητας το γεγονός ότι και τα δυο προβλήματα κάνουν χρήση της ίδιας μετοχής (νυσταγμένος άντρας, νυσταγμένο σαλιγκάρι). Τέλος, κάποιοι σύγκριναν τα προβλήματα βασισμένοι στους «πρωταγωνιστές» των προβλημάτων (τα προβλήματα 243
διαφέρουν γιατί στο ένα μιλάει για ένα ρεζερβουάρ ενώ στο άλλο για ένα σαλιγκάρι). Σύγκριση των προβλημάτων (ερωτήσεις 3.3 και 3.4) Οι απαντήσεις που δόθηκαν σε κάθε μια από τις ερωτήσεις φαίνονται συνολικά στον Πίνακα 3 (ένας συμμετέχων δεν συμπλήρωσε το φύλλο εργασίας). Ν Ο Δ Ρεζέρβα 17/43 17/43 8/43 Σαλιγκάρι 15/43 13/43 14/43 Πίνακας 3. Κατανομή απαντήσεων στις ερωτήσεις 3.3 και 3.4 Και στα δύο προβλήματα λιγότεροι από τους μισούς είναι αυτοί που συμφωνούν ότι η κατάσταση που περιγράφει το πρόβλημα δεν μπορεί να συμβεί στην πραγματική ζωή. Είναι κατά συνέπεια ενδιαφέρον το ότι οι περισσότεροι είτε θεωρούν ότι η κατάσταση που περιγράφει το πρόβλημα απαντάται στην καθημερινή ζωή είτε ότι δηλώνουν δυσκολία στο να απαντήσουν. Στην πρώτη ομάδα (όσων συμφωνούν ότι δεν μπορεί μια τέτοια κατάσταση να απαντηθεί στην πραγματική ζωή) επικαλούνται μια σειρά από λογικά επιχειρήματα, όπως (για να αναφέρουμε κάποια από αυτά): Είναι αδύνατο να καταναλώνονται κάθε μέρα τα ίδια λίτρα και με τόση μάλιστα ακρίβεια ώστε να είναι φυσικός αριθμός (θέμα κίνησης, φαναριών,.) Κανείς στην καθημερινή του ζωή δεν κινείται με βάση τέτοιους υπολογισμούς Δεν γεμίζουμε κάθε μέρα το ρεζερβουάρ. Δεν μπορεί το σαλιγκάρι να ανεβαίνει ή να κατεβαίνει το ίδιο. Μπορεί να μην διανύει ευθύγραμμα τμήματα Δεν μπορούμε να μετρήσουμε την απόσταση που διανύει το σαλιγκάρι με ακρίβεια Αξίζει να σημειωθεί όμως, ότι υπήρξαν και περιπτώσεις που σχολίασαν το γεγονός ότι και τα δύο προβλήματα αναφέρονται σε απόλυτα ιδανικές συνθήκες και ότι η επιλογή τους σχετίζεται όχι με την πιθανότητα να συμβούν στην πραγματικότητα όσο με το σχεδιασμό μας να διδάξουμε συγκεκριμένο μαθηματικό περιεχόμενο (έννοιες, διαδικασίες, δεξιότητες). H δεύτερη ομάδα η οποία συμφώνησε ότι μπορεί να απαντηθεί η κατάσταση που περιγράφει το πρόβλημα στην πραγματική ζωή, βάσισε την τεκμηρίωσή 244
της κυρίως στο ότι οι οντότητες που εμπλέκονται στο πρόβλημα είναι παρμένες από την πραγματική ζωή: ρεζερβουάρ, διαδρομές, πηγάδι, σαλιγκάρι. Αριθμός φοιτητών Ν-Ν Ο-Ο Δ-Δ Ν-Ο Ο-Ν Ν-Δ Ο-Δ Δ-Ν Δ-Ο 9/44 9/44 6/44 4/44 3/44 3/44 5/44 1/44 1/44 Πίνακας 4. Κατανομή φοιτητών ως προς τη συνέπεια στις απαντήσεις Για την τρίτη ομάδα των αναποφάσιστων το βασικό επιχείρημα ήταν ότι η κατάσταση που περιγράφεται είναι εν δυνάμει ρεαλιστική αλλά ιδιαίτερα δύσκολο να υλοποιηθεί και έτσι αυτό τους εμπόδισε στο να καταλήξουν σε μια απόφαση. Δεδομένου ότι η μαθηματική δομή και των δύο προβλημάτων είναι ανάλογη, έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον η συνέπεια στις απαντήσεις των συμμετεχόντων σε σχέση με το κατά πόσο περιγράφουν τα προβλήματα αυτά πραγματικές καταστάσεις. Η δυνατότητα να δει (ή να μην δει) κανείς τα δομικά στοιχεία στο ένα πρόβλημα πρέπει να αποτυπώνεται και στην απάντησή του στο άλλο. Αν κάποιος δεν θεωρεί ότι το πρώτο μπορεί να περιγράφει μια πραγματική κατάσταση αναμένεται ότι δεν θα το θεωρεί δυνατόν και στο δεύτερο πρόβλημα (και αντίστροφα). Παραπάνω, στον Πίνακα 4, παρουσιάζονται αριθμητικά δεδομένα που περιγράφουν το βαθμό συνέπειας στις απαντήσεις των φοιτητών. Γίνεται φανερό ότι συνεπείς ως προς τις απαντήσεις τους ήταν λίγο περισσότεροι από τους μισούς. Μόνο εννιά συμφώνησαν ότι και τα δύο προβλήματα δεν περιγράφουν καταστάσεις της πραγματικής ζωής. Άλλοι εννιά αντίθετα δέχτηκαν ότι το περιεχόμενο των προβλημάτων είναι συμβατό με την πραγματική ζωή. Και υπήρχαν 6 που ούτε στο ένα ούτε στο άλλο μπορούσαν να καταλήξουν σε μια συγκεκριμένη απάντηση για το θέμα αυτό. Οι 24 απαντήσεις που δείχνουν συνέπεια μπορούν να ερμηνευθούν στο μεγαλύτερο μέρος τους με βάση την τεκμηρίωση των ίδιων φοιτητών. Η πρώτη ομάδα ρητά δηλώνει ότι τέτοιες καταστάσεις δεν απαντώνται στην πραγματική ζωή, όμως πολλοί από αυτούς προσθέτουν ότι η χρήση τους σε αυτήν την ιδανική κατάσταση αποτελεί ένα είδος διδακτικού συμβολαίου για σκοπούς καθαρά διδακτικούς. Η άποψη αυτή φαίνεται να εναρμονίζεται με αυτήν του Polya (1981) ότι αυτού του είδους τα προβλήματα περιέχουν τέτοιες αδικαιολόγητες απλουστευτικές παραδοχές που απαιτούν από τον λύτη κάποια εκ προοιμίου ερμηνεία ή/και αφαίρεση. Η δεύτερη ομάδα κάνει αποδεκτά τα προβλήματα με κυριότερο επιχείρημα ότι αντλούν τη θεματολογία τους από την πραγματική ζωή (οι οντότητες που συμμετέχουν συνδέονται με την πραγματική ζωή). Έτσι η προσοχή εστιάζεται στα αντικείμενα και όχι στην κατάσταση που περιγράφεται στο πρόβλημα. Η τρίτη ομάδα, με συνέπεια δηλώνει αναποφάσιστη και στα δύο προβλήματα 245
με την επιχειρηματολογία της να αποτελεί συνδυασμό των δύο άλλων ομάδων. Από τη μια αντιλαμβάνονται την αδυναμία να συναντήσουν αυτές τις ιδανικές καταστάσεις στην καθημερινή ζωή τις οποίες όμως εν δυνάμει θεωρούν επιτεύξιμες (έστω και με πολύ μικρές πιθανότητες). Συμπεράσματα Ο μαθηματικός στόχος και στα δύο προβλήματα είναι η επιλογή ενός πρόσφορου και συστηματικού τρόπου οργάνωσης των δεδομένων, η εξέτασή τους και η αναζήτηση πιθανού μοτίβου, και η περιγραφή και επεξήγηση των ευρημάτων. Αυτά τα διαπραγματεύεται ο λύτης μέσα από την προσπάθεια να αντιληφθεί την ουσία του προβλήματος, να μοντελοποιήσει ίσως τη μαθηματική κατάσταση και να επιχειρηματολογήσει. Ταυτόχρονα, αυτά αποτελούν και τη βάση αξιολόγησης και σύγκρισής τους από τη μεριά του εκπαιδευτικού. Στις ερωτήσεις που αφορούσαν τον εντοπισμό ομοιοτήτων και διαφορών αυτά που θεωρήθηκαν ως δομικά στοιχεία από τους μελλοντικούς εκπαιδευτικούς και άρα βάση σύγκρισης ήταν παράμετροι σχετικές με τη διαδικασία επίλυσης των προβλημάτων, τις διαπραγματευόμενες μαθηματικές έννοιες, το είδος των εμπλεκομένων αριθμών και σε μεγάλο βαθμό το κείμενο της εκφώνησης. Ειδικά σε σχέση με το τελευταίο, φαίνεται ότι αν και αποτελεί μέχρι έναν βαθμό επιφανειακό χαρακτηριστικό των προβλημάτων, επηρεάζει άμεσα το πώς αξιολογούν το πρόβλημα οι φοιτητές (βλέπε ανάλογα αποτελέσματα στη δουλειά των Osana et. al., 2006). Στις ερωτήσεις 3.3 και 3.4 η στάση των φοιτητών κυρίως εστιάστηκε στο δίπολο αυθεντικότητα-διδακτικές παραδοχές. Δηλαδή, στο γεγονός ότι τα προβλήματα δεν αποτελούν αυθεντικά προβλήματα της πραγματικής ζωής αλλά μάλλον μιμούνται καταστάσεις εμπνευσμένες από τον πραγματικό κόσμο κάτι που τα καθιστά τεχνητό κατασκεύασμα. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Arbaugh, F., & Brown, C. (2006). Analyzing mathematical tasks: a catalyst for change? Journal of Mathematics Teacher Education, 8(6), 499-536. Boston, M. (2013). Connecting changes in secondary mathematics teachers knowledge to their experiences in a professional development workshop. Journal of Mathematics Teacher Education, 16(1), 7-31. Braun, V., & Clarke, V. (2006). Using thematic analysis in psychology. Qualitative Research in Psychology, 3(2), 77-101. Chapman (2013). Mathematical-task knowledge for teaching. Journal of Mathematics Teacher Education, 16(1), 1-6. National Council of Teachers of Mathematics (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA:Authors 246
Osana, H., Lacroix, G., Tucker, B., & Desposiers, C. (2006). The role of content knowledge and problem features on preservice teachers appraisal of elementary mathematics tasks. Journal of Mathematics Teacher Education, 9, 347-380. Polya, G. (1981). Mathematical discovery: On understanding, learning, and teaching problem solving. New York: Wiley. Sullivan, P., & Mousley, J. (2001). Thinking teaching: Seeing mathematics teachers as active decision makers. In F. L. Lin, T.J. Cooney (Eds.), Making sense of mathematics teacher education (pp. 147-163). The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 247