Μελέτη της κίνησης ενός σώµατος που µπορεί να κυλάει σε κεκλιµένο επίπεδο (π.χ. σφόνδυλος, κύλινδρος, σφαίρα, κλπ.) Τ mg συνφ Κ Ν mg ηµφ Το σώµα του σχήµατος έχει µάζα m, ακτίνα και µπορεί να είναι: Σφόνδυλος (στεφάνη), I = m Κύλινδρος ή δίσκος, I = m Σφαίρα, I = 5 m φ Γενικά, ένα σώµα ικανό να κυλάει, µε ροπή αδράνειας _I = λ m _ ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας Κ όπου λ κάποιος αριθµητικός συντελεστής. Το κεκλιµένο επίπεδο παρουσιάζει συντελεστή τριβής µ (έστω µ ορ µ ολ =µ) και γωνία κλίσης φ. Υποθέτουµε ότι το σώµα είναι ακίνητο αρχικά και το αφήνουµε ελεύθερο να κινηθεί. Θα προσδιορίσουµε διάφορα στοιχεία της κίνησής του, µετά από µετακίνηση S κατά µήκος του κεκλιµένου, ή αφού θα έχει κατέβει κατά ύψος από τη αρχική θέση. Προφανώς ισχύει: _Η=S ηµφ_ Για µικρές γωνίες κλίσης το σώµα µπορεί να κυλάει χωρίς ολίσθηση. Στην περίπτωση αυτή ή τριβή Τ είναι στατική και ισχύει Τ µ Α (η ισότητα οριακά). Για µεγαλύτερες γωνίες θα περιστρέφεται, γλιστρώντας ταυτόχρονα πάνω στο κεκλιµένο. Τότε έχουµε τριβή ολίσθησης που είναι Τ = µ Α. Αφού η κίνηση είναι ευθύγραµµη ισχύει ΣF y = 0 Ν = mg συνφ και τελικά η τριβή είναι: Στατική τριβή: _Τ µ m g συνφ_, ή τριβή ολίσθησης: _Τ = µ m g συνφ_ S φ Η κίνηση του σώµατος είναι σύνθετη, συνδυασµός µεταφορικής κίνησης του κέντρου µάζας Κ και στροφικής ως προς άξονα που διέρχεται από αυτό. Ονοµάζουµε S, υ, α τα γραµµικά στοιχεία (µετατόπιση, ταχύτητα, επιτάχυνση) της µεταφορικής κίνησης και S, υ, α τα γραµµικά στοιχεία της κυκλικής κίνησης των σηµείων της περιφέρειας του σώµατος. Tα τελευταία σχετίζονται µε τα αντίστοιχα γωνιακά µεγέθη θ, ω, α γων της στροφικής κίνησης. Έτσι έχουµε: Μεταφορική κίνηση Στροφική κίνηση Κύλιση (υ = υ ) Ολίσθηση περιστροφή S S = θ S = S = θ S > S υ υ = ω υ = υ = ω υ > υ α α = α γων α = α = α γων α > α Τα διαθέσιµα εργαλεία είναι: Οι νόµοι του Νεύτωνα ή οι γενικευµένες µορφές. Οι εξισώσεις της κινηµατικής αφού οι κινήσεις είναι οµαλά µεταβαλλόµενες. Η αρχή διατήρησης µηχανικής ενέργειας (Α ΜΕ) όταν δεν έχουµε ολίσθηση. Το θεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας (ΘΜΚΕ).
Α. Το σώµα κυλίεται χωρίς ολίσθηση Ζητάµε την ταχύτητα υ µετά από µετατόπιση S (ή απώλεια ύψους Η) ος ΤΡΟΠΟΣ: Με τους νόµους του Νεύτωνα και τις εξισώσεις της κινηµατικής ΣF = m α _m g ηµφ T = m α_ () Στ = Ι α γων Τ = λ m α/ _T = λ m α_ () (α γων = α / = α / ) Από τις σχέσεις () και () προκύπτουν η επιτάχυνση α του κέντρου µάζας και η στατική τριβή Τ: ηµφ m ηµφ α= (3) και T= (4) Από τις εξισώσεις τώρα της οµαλά µεταβαλλόµενης κίνησης έχουµε: S = α t υ = α t t = α S= υ (5) ή αλλιώς υ= α S (6) α / υ Και τελικά από τις σχέσεις (3) και (6) βρίσκουµε την ταχύτητα υ του κέντρου µάζας: ηµφ S υ= (7) ή υ= (8) Παραδείγµατα Σφόνδυλος (λ = ) α = g ηµφ Τ = m g ηµφ υ= Κύλινδρος (λ = / ) α = 3 g ηµφ Τ = 3 m g ηµφ υ= 3 4 Σφαίρα (λ = / 5 ) α = 75 g ηµφ Τ = 7 m g ηµφ υ= 7 g Παρατήρηση : Αφού έχουµε σταθερές δυνάµεις και ροπές, θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε εναλλακτικά τη γενικευµένη µορφή των νόµων του Νεύτωνα για όλη τη διάρκεια t της κίνησης: dp P ΣF = = (m ηµφ T) t= m υ (9) και: dt t Στ= dl dt = L t _T t = λ m υ_ (0) T t= I ω ω= υ = υ T t= m Για να µπει στη λύση η µετατόπιση S πάλι χρειαζόµαστε κινηµατική, αλλά τώρα δεν χρειάζεται η επιτάχυνση α. Μπορούµε λοιπόν εναλλακτικά να χρησιµοποιήσουµε τη υαρχ. υτελ. µέση ταχύτητα, η οποία στην οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση είναι: υ= + Έτσι έχουµε: υ
S 0+ υ S 0 υ= = _ S = υ t_ () t t Από τις σχέσεις (9), (0) και () µπορούµε τώρα να υπολογίσουµε τα µεγέθη Τ, t και την ζητούµενη ταχύτητα υ. Παρατήρηση : Αν το επίπεδο ήταν λείο, δηλαδή µ=0 και Τ=0, τότε θα είχαµε µόνο ολίσθηση και όχι περιστροφή, δηλαδή µόνο τη µεταφορική κίνηση: ΣF = m α m g ηµφ = m α οπότε: _α = g ηµφ_ και υ= για όλα τα σώµατα. ος ΤΡΟΠΟΣ: Με τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας m g + 0 = 0 + m υ + I ω m g = m υ + λ m υ² / ² () (ω = υ / = υ / ) και µε πράξεις βρίσκουµε πάλι: υ= Παρατήρηση : Μπορούµε έναλλακτικά να χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας ως εξής: Μεταφορική κίνηση: ΣW F = K µετ. _m g ηµφ S T S = m υ 0_ (3) Στροφική κίνηση: ΣW τ = K περ. Τ θ = I ω 0 _+ T S = Ι ω _ (4) (θ = S / = S / ) Παρατηρήστε ότι η στατική τριβή Τ δεν παίζει συνολικά ρόλο, λειτουργεί όµως σαν «συνδετικός κρίκος» ανάµεσα στις δύο επιµέρους κινήσεις. Μεταφέρει δηλαδή ενέργεια από τη µία κίνηση στην άλλη. Αφαιρεί µέσω του έργου T S από την µεταφορική κίνηση και την προσφέρει µέσω του έργου της ροπής της Τ θ στην στροφική κίνηση. Έτσι, η προσφερόµενη από το έργο του βάρους ενέργεια m g ηµφ S, µε άλλα λόγια η αρχική δυναµική ενέργεια m g, µοιράζεται στις δύο κινήσεις. Πράγµατι µε πρόσθεση των (3) και (4) παίρνουµε: m g ηµφ S = m υ + I ω που εκφράζει την Α ΜΕ. Καταλήγουµε δηλαδή πάλι στην σχέση (8). Παρατήρηση : Η τιµή της ροπής αδράνειας καθορίζει σε ποιό ποσοστό θα µοιραστεί η αρχική δυναµική ενέργεια σε κάθε επιµέρους κίνηση. Πράγµατι µε τη βοήθεια της (8): Κ µετ. = m υ m K µετ. = ή U K περ. = και U K περ. = 3
Έτσι, στα τρία παραδείγµατα έχουµε: Κ µετ. Κ περ. Σφόνδυλος (λ = ) 50% U 50% U Κύλινδρος (λ = / ) 66,7% U 33,3% U Σφαίρα (λ = / 5 ) 7,4% U 8,6% U Β. Οριακή κατάσταση κύλισης Ζητάµε την µέγιστη γωνία φ ορ. για την οποία έχουµε κύλιση Για να έχουµε κύλιση χωρίς ολίσθηση θα πρέπει να µην ξεπερνάει η στατική τριβή το όριό της. Να ικανοποιείται δηλαδή η συνθήκη _Τ µ m g συνφ_ όπου η ισότητα ισχύει οριακά και από εκεί θα βρούµε και τη ζητούµενη µέγιστη γωνία φ. Από τους νόµους του Νεύτωνα για τη µεταφορική και τη στροφική κίνηση, σχέσεις () και (), είχαµε υπολογίσει τη στατική τριβή (3): m ηµφ Τ= Η σχέση αυτή µε τη βοήθεια και της συνθήκης κύλισης δίνει: m ηµφ µ m g συνφ εφφ µ και εφφ ορ. = µ (5) λ λ Μέγιστη γωνία κύλισης στα παραδείγµατα εφφ ορ. (ενδεικτικά) φ ορ. για µ=0, Σφόνδυλος (λ = ) εφφ ορ. = µ ~ º Κύλινδρος (λ = / ) εφφ ορ. = 3 µ ~ 3º Σφαίρα (λ = / 5 ) εφφ ορ. = 3,5 µ ~ 35º 4
Γ. Το σώµα ολισθαίνει και περιστρέφεται Μετά από µετατόπιση S (ή απώλεια ύψους Η) ζητάµε: την ταχύτητα υ, τη γωνία στροφής θ και τη γωνιακή ταχύτητα ω τη θερµότητα Q που εκλύεται λόγω της ολίσθησης Στην περίπτωση αυτή η µετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης διαφέρουν, όπως είπαµε και στην αρχή, από τα αντίστοιχα γραµµικά στοιχεία της στροφικής κίνησης των σηµείων της περιφέρειας του σώµατος. Ισχύουν δηλαδή: S > S = θ υ > υ = ω α > α = α γων Επίσης, έχουµε τώρα τριβή ολίσθησης _Τ = µ m g συνφ_ ίδια για όλα τα σώµατα. ος ΤΡΟΠΟΣ: Με τους νόµους του Νεύτωνα και τις εξισώσεις της κινηµατικής Νόµοι Νεύτωνα: ΣF = m α m g ηµφ µ m g συνφ = m α _α = g (ηµφ µ συνφ)_ (6) Στ = Ι α γων µ m g συνφ = λ m α γων Κινηµατική: S = α t υ = α t υ = α S α γων µ συνφ = (7) (6) υ S = g (ηµφ µ συνφ) S = Η ηµφ (εφφ µ) υ= (8) εφφ Ο χρόνος κίνησης είναι: t = υ S / α t= οπότε βρίσκουµε (ηµφ µ συνφ) τα γωνιακά µεγέθη θ και ω: θ = α γων t µ S µ S θ= ή S = θ = (9) (εφφ µ) (εφφ µ) ω = α γων t µ ω= (0) εφφ (εφφ µ) Παρατήρηση: Μπορούµε επίσης, µε απαλειφή του χρόνου t, να υπολογίσουµε τα γωνιακά µεγέθη θ και ω από τις σχέσεις: θ = α γων t S = α t θ = α γων /α S και: ω = α γων t υ = α t ω = α γων /α υ 5
Η θερµότητα που αναπτύσσεται κατά την κάθοδο µπορεί να βρεθεί είτε από τη µεταβολή της µηχανικής ενέργειας: είτε από το έργο της τριβής ολίσθησης: Q = U πάνω K ολ, κάτω Q = W T = T (S S ) Πιο κάτω θα ασχοληθούµε αναλυτικότερα µε ενεργειακούς υπολογισµούς. ος ΤΡΟΠΟΣ: Με το ΘΜΚΕ και τους νόµους του Νεύτωνα στη γενικευµένη τους µορφή (ή τις εξισώσεις της κινηµατικής) ΣW F = K µετ. _m g ηµφ S µ m g συνφ S = m υ 0 () ΣW τ = K περ. µ m g ηµφ θ = I ω 0 () ή αλλιώς: _+ µ m g συνφ S = Ι ω _ (α) Παρατηρήστε ότι η τριβή µεταφέρει τώρα στη στροφική κίνηση λιγότερη ενέργεια από αυτή που αφαιρεί από τη µεταφορική κίνηση (S < S). Αυτή ακριβώς η διαφορά είναι η θερµότητα που εκλύεται λόγω της ολίσθησης. Από την () βρίσκουµε την ταχύτητα υ: υ= (εφφ µ) εφφ Επίσης: dp P ΣF = = _(m g ηµφ µ m g συνφ) t = m υ 0 (3) και: dt t dl L Στ = = _µ m g ηµφ t = I ω 0_ (4) dt t Έτσι, από (3), (4) βρίσκουµε τη γωνιακή ταχύτητα ω (και το χρόνο t της κίνησης αν µας χρειάζεται) και από () τη γωνία στροφής θ. Εναλλακτικά, τον χρόνο t της κίνησης, µπορούµε να τον βρούµε και από τη σχέση της µέσης ταχύτητας S = υ / t Υπολογισµός της θερµότητας που ελευθερώνεται κατά την ολίσθηση (9) µ Q = W T = T (S S ) Q= µ m συνφ S (εφφ µ) µ µ Q = m (5) εφφ (εφφ µ) ή αλλιώς: 6
. Συγκριτικοί πίνακες για την κίνηση στο κεκλιµένο. Κύλιση χωρίς ολίσθηση Σφόνδυλος λ= Κύλινδρος λ=0,5 Σφαίρα λ=0,4 () εφφορ Τ α υ α γων ω θ S µ 0,50 mgηµφ 0,50 gηµφ g 3µ 0,33 mgηµφ 0,67 gηµφ,5 g 3,5µ 0,9 mgηµφ 0,7 gηµφ,0 g Κ µετ. Κ περ. Q α / υ / S / S 50 % 50 % 0 % α / υ / S / S 66,7 % 33,3 % 0 % α / υ / S / S 7,4 % 8,6 % 0 % () Π.χ. αν µ=0, τότε οι αντίστοιχες οριακές γωνίες για κύλιση είναι, όπως είδαµε: ~ º για το σφόνδυλο, ~ 3º για τον κύλινδρο και ~ 35º για τη σφαίρα.. Ολίσθηση µε ταυτόχρονη περιστροφή Για ευκολότερη σύγκριση θα χρησιµοποιήσουµε τις τιµές: _εφφ=5 µ και _εφφ=6 µ_ Σφόνδυλος λ= Κύλινδρος λ=0,5 Σφαίρα λ=0,4 Τ 0, mgσυνφ α g (ηµφ-µσυνφ),6,33 (3) υ () αγων g g () ω () θ () S (3) Κµετ. α γων ω θ S α γων ω θ S,5 α γων,5 ω,5θ,5 S 80 % 87,5 % Κ περ. 5 %,4 % 0 %,8 %,5 % 3,5 % Q 5 %, % 0 % 9,7 % 7,5 % 9 % () Οι τιµές των µεγεθών της στροφικής κίνησης για το σφόνδυλο (λ=) είναι: α γων = µgσυνφ Όταν _εφφ=5 µ_ τότε: Όταν _εφφ=6 µ_ τότε: g µ ω = µ θ = S = S εφφ(εφφ µ) εφφ µ ω = 0,3 g θ = S = 0,5 S ω = 0,6 g θ = S = 0,0 S (3) Οι τιµές των υ και Κµετ. της µεταφορικής κίνησης για όλα τα σώµατα είναι: g(εφφ µ) εφφ µ υ= Κ µετ. = U εφφ εφφ 7