ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1, δηλαδή ο Ρ(1) είναι αληθής και ii) η αλήθεια του Ρ(ν) συνεπάγεται την αλήθεια του Ρ(ν+1) για κάθε ν τότε ο ισχυρισµός Ρ(ν) αληθεύει για όλους τους θετικούς ακέραιους ν Εναλλακτικά µπορούµε να πούµε ότι αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1, δηλαδή ο Ρ(1) είναι αληθής και ii) δεχόµενοι την αλήθεια του Ρ(κ), όπου κ θετικός ακέραιος αποδείξουµε την αλήθεια του Ρ(κ+1) τότε ο ισχυρισµός Ρ(ν) αληθεύει για όλους τους θετικούς ακέραιους ν ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Να αποδειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει: 1 + + +4 + +ν = ν(ν + 1)(ν + 1) (1) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για ν=1 η πρόταση (1) γίνεται: 1 1 = 1= 1που ισχύει Έστω ότι ισχύει για ν=κ, δηλαδή 1 + + + +κ κ(κ + 1)(κ+ 1) = () Θα αποδείξουµε ότι ισχύει και για ν=κ+1, δηλαδή: 1 + + + +κ +(κ+1) ( κ+ 1)( κ + )(κ + ) = Έχουµε: 1 + + + +κ +(κ+1) κ(κ+ 1)(κ+ 1) =(λόγω της () + (κ+ 1) = κ(κ+ 1)(κ+ 1) + (κ+ 1) (κ+ 1)(κ + 7κ + ) ( κ+ 1)( κ + )(κ + ) = = Άρα η πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο ν ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να αποδειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει: 1 1 1 1 v + + + + = 1 5 5 7 (v 1)(v+ 1) v+ 1 (1) ΑΠΟ ΕΙΞΗ 1 1 1 1 Για ν=1 η (1) γίνεται: = = πουαληθεύει 1 1+ 1 Υποθέτουµε ότι η πρόταση ισχύει για ν=κ, δηλαδή: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 1 1 1 1 κ + + + + = () Θα δείξουµε ότι ισχύει και για 1 5 5 7 (κ 1)(κ + 1) κ + 1 1 1 1 1 1 κ + 1 ν=κ+1, δηλαδή: + + + + + = 1 5 5 7 (κ 1)(κ + 1) (κ + 1)(κ + ) κ + 1 1 1 1 1 + + + + + = 1 5 5 7 (κ 1)(κ + 1) (κ + 1)(κ + ) Από την () κ 1 κ + κ + 1 ( κ + 1)(κ + 1) + = = = κ + 1 (κ + 1)(κ + ) (κ + 1)(κ + ) (κ + 1)(κ + ) κ + 1 κ + Άρα αληθεύει για κάθε ακέραιο θετικό ν ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να δειχθεί ότι: 1++5+7+ +ν-1=ν, για κάθε ν N ν ( ν + 1)( ν + ) Να δειχθεί ότι: 1 + + 4 + + ν ( ν + 1) =, για κάθε ν N Να δειχθεί ότι: + + + + ν =( ν -1), για κάθε ν N 4 Να δειχθεί ότι: 1 ν ν ( ν + 1) + + + =, 1 5 (ν 1)(ν + 1) (ν + 1) για κάθε ν N ν ( ν + 1)( ν + )( ν + ) 5 Να δειχθεί ότι: 1 + 4 + + ν ( ν + 1)( ν + ) =, 4 για κάθε ν N ν ν+ 1 Να δειχθεί ότι: 1 + + + + ν = + ( ν + 1), για κάθε ν N 5 ν + 1 ν ( ν + ) 7 Να δειχθεί ότι: + + + =, 1 ν ( ν + 1) ( ν + 1) 8 Να δειχθεί ότι: (1+α)(1+α )(1+α 4 ) (1+α ν ν+ 1 α )= 1 α 0<α 1 ****************** 9 Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν, ισχύει: ν >ν ( 1) ν 10 Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν, ισχύει: > ν + 1 ν 11 Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν, ισχύει: 5 > 5ν 1 για κάθε ν N *, για κάθε ν N και 1 Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν, ισχύει: (α+β) ν >α ν +να ν-1 β µε α, β>0 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 114 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 1 Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν, Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν 4, ισχύει: ν!= ν 14 Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν>, ισχύει: ν ν+1 >(ν+1) ν 1 1 15 Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν, ισχύει: 1+ 1 + ν ν ν 1 Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν, ισχύει: 17 Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο θετικό ν, ισχύει: ν+ 1 1 1 1+ 1 ν ( ν ) > + + ν + 1 ν 1 1+ ν 18 Nα αποδείξετε ότι γα κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει: ηµ ( να) ν ηµα, α R 19 Να αποδείξετε ότι ο αριθµός των σηµείων τοµής ν ευθειών (ν ) ενός επιπέδου που τέµνονται ανά δύο και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σηµείο, είναι ν ν Α= ν ( ν ) 0 Να αποδείξετε ότι το πλήθος των διαγωνίων ενός ν-γώνου είναι ********************* ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΘΕΏΡΗΜΑ 1 Αν α και β φυσικοί αριθµοί µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι αριθµοί κ και υ, τέτοιοι, ώστε: α=κβ+υ, 0 υ<β ΘΕΏΡΗΜΑ Αν α και β ακέραιοι αριθµοί µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι αριθµοί κ και υ, τέτοιοι, ώστε: α=κβ+υ, 0 υ< β Παρατηρήσεις Αν ο διαιρέτης της ευκλείδειας διαίρεσης είναι το β=, τότε: α=κ+υ, υ=0 ή 1 Αν υ=0, τότε α= κ, κ Z και τότε α λέγεται άρτιος Αν υ=1, τότε α=κ+1, κ Z και τότε α λέγεται περιττός ηλαδή, κάθε ακέραιος αριθµός α µπορεί να είναι ή άρτιος ή περιττός δηλαδή θα έχει τη µορφή κ ή κ+1 Αν ο διαιρέτης της ευκλείδειας διαίρεσης είναι το β=, τότε: α=κ+υ, υ=0 ή 1 ή Αν υ=0, τότε α=κ, κ Z, αν υ=1, τότε α=κ+1, κ Z και αν υ=, τότε α=κ+, κ Z ηλαδή, κάθε ακέραιος αριθµός α µπορεί να πάρει τη µορφή κ ή κ+1 ή κ+, κ ακέραιος Γενικά, τα δυνατά υπόλοιπα του α µε τον β είναι 0, 1,,,β-1 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 115 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Μπορούν να χρησιµοποιηθούν χωρίς απόδειξη στις ασκήσεις οι εξής προτάσεις: α) Το γινόµενο δύο διαδοχικών ακέραιων είναι άρτιος αριθµός β) Το τετράγωνο κάθε περιττού ακέραιου είναι της µορφής 8λ+1, λ ακέραιος ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ( ) ( ) α + α+ 1 + α+ Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο α, η παράσταση Α= είναι ακέραιος αριθµός Έστω ότι α=κ ή κ+1 ή κ+, κ Z Αν α=κ η παράσταση Α γίνεται : Α= ( κ ) + ( κ + 1 ) + ( κ + ) ( κ κ κ ) 81κ + 81κ + κ + 9 7 + 7 + 11 + = = 7κ + 7κ + 11κ + Z Αν α=κ+1 η παράσταση Α γίνεται: Α= ( κ + 1 ) + ( κ + ) + ( κ + ) = ( κ κ κ ) 81κ + 1κ + 1κ + 7 + 54 + 4 + 1 = = = 7κ + 54κ + 4κ + 1 Z Αν α=κ+ η παράσταση Α γίνεται: Α= ( κ + ) + ( κ + ) + ( κ + 4 ) = ( κ κ κ ) 81κ + 4κ + 1κ + 99 7 + 81 + 87 + = = = 7κ + 81κ + 87κ + Z Άρα Α Z για κάθε α Z = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να βρείτε για ποιες τιµές του ακέραιου κ, ο αριθµός 5 κ + 4 είναι ακέραιος Ο κ παίρνει τη µορφή κ=λ+υ, υ=0, 1, Άρα: 5κ + 4 5( λ + υ) + 4 15λ+ 5υ + 4 5υ + 4 = = = 5 λ+ Παίρνουµε τις εξής περιπτώσεις: Αν υ=0, 5 υ+ 4 4 = Z Αν υ=1, 5 υ+ 4 9 = = Z ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Αν υ=, 5 υ+ 4 14 = Z ηλαδή ο αριθµός αυτός είναι ακέραιος, µόνον όταν κ=λ+1, λ Z ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο σε κάθε µια από τις διαιρέσεις : α) 45:, β) 5: (-), γ) 81: (-1), δ) 45: (-) Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράγωνο κάθε ακέραιου παίρνει τη µορφή: α =4κ ή α =4κ+1, κ Z β) κάθε ακέραιος αριθµός της µορφής α=8κ+7, κ Z µπορεί να πάρει τη µορφή α=4λ+, λ Z Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο κάθε ακέραιου παίρνει τη µορφή α =κ ή α κ+1, κ Z 4Να αποδείξετε ότι το άθροισµα και η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών ακέραιων είναι περιττός αριθµός 5Να αποδείξετε ότι η διαφορά των κύβων δύο διαδοχικών περιττών αριθµών είναι άρτιος αριθµός Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο θετικό ν, ο ν +ν είναι άρτιος αριθµός 7Να αποδείξετε ότι για κάθε ν N, ο ακέραιος (ν +)ν είναι πολλαπλάσιο του 8Να αποδείξετε ότι ο αριθµός Α=(7κ+)(5κ-1), κ Z, είναι άρτιος 9Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι α οι οποίοι, όταν διαιρεθούν µε το 4, δίνουν πηλίκο ίσο µε το υπόλοιπο 10 Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι α οι οποίοι, όταν διαιρεθούν µε το 4, δίνουν πηλίκο τριπλάσιο του υπολοίπου 11 Αν α ακέραιος αριθµός, να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε το 5, είναι 0 ή 1 ή 4 1 Να βρείτε τους ακέραιους αριθµούς για τους οποίους, η διαίρεσή τους µε τον 49, δίνει πηλίκο κ και υπόλοιπο κ, κ Z 1 Έστω α και β ακέραιοι αριθµοί µε α > β καια = κβ + υ, 0 υ < β Αν α+β=970, κ=8 και υ=4, να βρείτε τους α και β ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 117 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ( ) ( ) α α+ 1 + α 1 + 14 14 Αν α άρτιος αριθµός, να αποδείξετε ότι ο Α= 1 ακέραιος είναι 15 Να αποδείξετε ότι γα κάθε ακέραιο αριθµό α, ο αριθµός ( ) ( ) a + a+ 1 + a+ Α= είναι ακέραιος 1 Να βρείτε για ποιες τιµές του κ Z, είναι ακέραιοι οι αριθµοί: α) κ +, β ) 5 κ, γ ) 4κ + 5 4 5 ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Τέλεια λέγεται η διαίρεση κατά την οποία το υπόλοιπο είναι 0 Αυτή η περίπτωση µελετάται χωριστά γιατί παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον Ορισµός Έστω α, β δύο ακέραιοι µε β 0 Θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α και θα γράφουµε βα, όταν η διαίρεση του β µε τον α είναι τέλεια, δηλαδή όταν υπάρχει ακέραιος κ, τέτοιος, ώστε α=κβ Όταν β α, λέµε ότι ο β είναι διαιρέτης του α ή παράγοντας του α ή ακόµα ότι ο α είναι πολλαπλάσιο του β και γράφουµε α=πολβ Θα λέµε ότι ο β δεν διαιρεί τον α, όταν η διαίρεση του α µε τον β δεν είναι τέλεια Τότε θα γράφουµε ότι: α /β ή α πολβ Οι διαιρέτες ενός ακέραιου αριθµού εµφανίζονται πάντα κατά ζεύγη ακέραιων ηλαδή αν β α τότε και -β α γιατί αν α=κβ τότε α=(-κ)(-β) Άµεσες συνέπειες του ορισµού που δώσαµε προηγουµένως είναι και τα εξής: ± 1 α και ± α α για κάθε α Z β 0, για κάθε β Z Αν β α τότε και κβ κα, για κάθε κ Z ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ Έστω α, β, γ ακέραιοι Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: i) Αν α β και β α, τότε α=β ή ;=-β ii) Αν α β και β γ, τότε α γ iii) Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ iv) Αν α β και α γ, τότε α (β+γ) v) Αν α β και β 0, τότε α β ΑΠΟ ΕΙΞΗ i) Επειδή α β και β α, υπάρχουν ακέραιοι κ και λ, τέτοιοι, ώστε β=κα και α=λβ άρα α=κλα κλ=1 κ=λ=1 ή κ=λ=-1, οπότε α=β ή α=-β ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 118 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ii) Επειδή α β και β γ, υπάρχουν ακέραιοι κ και λ, τέτοιοι, ώστε β=κα και γ=λβ Άρα γ=λκα που σηµαίνει ότι α γ iii) Επειδή α β υπάρχει ακέραιος κ, τέτοιος, ώστε β=κα οπότε λβ=λκα που σηµαίνει ότι α λβ για κάθε ακέραιο λ iv) Επειδή α β και α γ, υπάρχουν ακέραιοι κ και λ, τέτοιοι, ώστε β=κα και γ=λα Άρα β+γ=(κ+λ)α που σηµαίνει ότι α (β+γ) v) Επειδή α β και β 0, υπάρχει ακέραιος κ 0 µε β=κα Εποµένως, β = κ α α, γιατί κ 1 Παρατηρήσεις Με συνδυασµό των ιδιοτήτων iii) και iv) του παραπάνω θεωρήµατος προκύπτει ότι: Αν α β και α γ, τότε: α (κβ+λγ) για όλους τους ακέραιους κ και λ Ο ακέραιος κβ+λγ λέγεται γραµµικός συνδυασµός των β και γ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Αν α, β ακέραιοι τέτοιοι ώστε β (α+5) και β (α+), να βρεθούν οι τιµές που παίρνει ο β Επειδή ο β διαιρεί τους αριθµούς α+5 και α+ σύµφωνα µε την προηγούµενη παρατήρηση θα διαιρεί και κάθε γραµµικό τους συνδυασµό Για να βρεθεί ο β, πρέπει να βρεθεί ένας κατάλληλος γραµµικός συνδυασµός, τέτοιος, ώστε να απαλείφεται το α και να µένει κάποιος ακέραιος Εδώ, ο κατάλληλος συνδυασµός είναι ο (α+5)-(α+ )=11 Άρα ο α διαιρεί τον αριθµό 11, εποµένως β=± 1 ή β=± 11 (Μέθοδος: σε ασκήσεις αυτής της µορφής, θα πολλαπλασιάζουµε τους ακέραιους που διαιρούνται µε τον β µε κατάλληλους ακέραιους αριθµούς, ώστε ο γραµµικός συνδυασµός που θα προκύπτει, να µας δίνει ακέραιο ανεξάρτητο του α ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν α, β ακέραιοι, τέτοιοι, ώστε 11 (α+8) και 11 (19-β), να αποδείξετε ότι 11 (α+β) Επειδή 11 (α+8) και 11 (19-β), υπάρχουν ακέραιοι κ και λ τέτοιοι, ώστε: α+ 8= 11κ α = 11κ 8 α+ β = 11( κ λ) + 11 α+ β = 11( κ λ+ 1) 19 β = 11λ β = 19 11λ Εποµένως το 11 διαιρεί το α+β ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 119 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να βρείτε τις τιµές του ακέραιου α για τις οποίες ο αριθµός 4α 1 α 1 είναι ακέραιος Κάνουµε τη διαίρεση του 4α -1 µε το α -1 και βρίσκουµε: 4α -1=(α -1) 4+ άρα 4α 1 4 = + Εποµένως αρκεί α -1 α 1 α 1 Οι διαιρέτες του είναι οι αριθµοί +1, -1, +, - ηλαδή πρέπει α -1=1 ή 1 ή ή Αν α -1=1 α = άτοπο γιατί α Z Αν α -1=-1 α =0 α=0 Αν α -1= α =4 α= ή Αν α -1= - α = - άτοπο Άρα α=0 ή ή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Να αποδείξετε ότι 7 ν+1 -ν-7=πολ, για κάθε ν N Την πρόταση αυτή θα την αποδείξουµε µε την µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής Για ν=1 η πρόταση γίνεται: 7 --7= που ισχύει Έστω ότι ισχύει γα ν=κ: 7 κ+1 -κ-7=λ η οποία γίνεται: 7 κ+1 =λ+κ+7 (1) Θα δείξουµε ότι ισχύει και για ν=κ+1 δηλαδή: 7 κ+ -(κ+1)-7=πολ Έχουµε: 7 κ+ -(κ+1)-7=7 7 κ+1 -κ--7 (1) = 7 ( λ+ κ + 7) κ 1= + + = ( ) 7 λ 4κ 49 κ 1 Άρα η πρόταση ισχύει για κάθε ν N 7 λ+ κ + = 7λ+ κ + 1 = πολ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Αν α, β, γ ακέραιοι αριθµοί µε α 0 να αποδείξετε ότι α γ για του οποίους ισχύει: α ( β + γ ) και α β, Αν α, β ακέραιοι µε βα και β >, να αποδείξετε ότι: β / (α+) Να αποδείξετε ότι τι γινόµενο τριών διαδοχικών ακεραίων διαιρείται µε το α( α+ 1) 4α + 14 Κατόπιν, να αποδείξετε ότι ( ) 4 Να βρείτε όλους τους ακέραιους οι οποίοι έχουν την ιδιότητα: όταν διαιρεθούν µε το 1, έχουν υπόλοιπο, ενώ, όταν διαιρεθούν µε το 7, έχουν υπόλοιπο ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 10 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 5 Να αποδείξετε ότι αν α, β, γ Z, ισχύει: β γ αν β α και α γ τότε ( ),, ( 1) 1 Να αποδείξετε ότι ο ν -1 διαιρείται µε το 15, αν ν=πολ4 7 Να αποδείξετε ότι: ν+1 + ν+ =πολ7, για κάθε ν N ν+ 1 ν + 1 8 Να αποδείξετε ότι 11 ( 4 + ), για κάθε ν N + 7 4, να αποδείξετε ότι 7 17 αβ, α, β Z 9 Αν 7( α β) και ( α β) 10 Αν 7( α+ ) και ( β) να αποδείξετε ότι ( α β) 7 5, 7 11 Έστω α, β, γ Z Να αποδείξετε ότι: α) αν α ( β + γ) και α β, τότε : α γ β) αν 5( α+ 1) και 5( 18 β), τότε 5 ( α+ β) γ) αν ( α+ ) και ( + β) τότε ( α + β) δ) αν 4( α+ 1) και 4( 8 + β), τότε : 4 ( α β) 8 9 15, : 5 1 Να βρείτε τις τιµές του θετικού ακέραιου α για τις οποίες ο αριθµός α + 1 είναι ακέραιος 1 Να βρείτε τις τιµές του ακέραιου α για τις οποίες ο αριθµός α+ 4 είναι α+ 1 ακέραιος 14 Αν α, β ακέραιοι µε α β και α ( β ) να πάρει ο α (5 ) + 8, να βρείτε τις τιµές που µπορεί 15 Να αποδείξετε ότι: α) το άθροισµα τριών διαδοχικών ακέραιων, διαιρείται µε το β) το άθροισµα πέντε διαδοχικών ακέραιων, διαιρείται µε το 5 γ) το άθροισµα τεσσάρων διαδοχικών ακέραιων, δεν διαιρείται µε το 4 1 α) Να βρείτε τις τιµές του α Z για τις οποίες ισχύει: 4α και α 7 β) Αν α * Z, τέτοιος, ώστε: α και ( ) i) ( a+ 1), ii) ( 4α+ 1) α + 1, να αποδείξετε ότι: Για ποιους ακέραιους α ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις; **************** ********** **** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΙΩΛΚΟΥ 405 ΤΗΛ 4105041-97017