4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ"

Αναστάσιος Διδασκάλου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αρχή της Μαθηµατιής Επαγωγής Έστω ισχυρισµός Ρ(ν), όπου ν θετιός αέραιος. Αν i) Ρ αληθής αι ii) Ρ(ν) Ρ(ν + 1) για άθε ν, τότε Ρ(ν) αληθής για άθε ν.. Ανισότητα Bernoulli (1 +α ) ν > 1 + να για άθε φυσιό αριθµό ν όπου α πραγµατιός µε 1 < α 0 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Παρατήρηση Η Μαθηµατιή Επαγωγή είναι µέθοδος απόδειξης ισχυρισµών που εξαρτώνται από τη µεταβλητή ν. Σηµείωση : Ο ν µπορεί να είναι i) άθε θετιός αέραιος ii) άθε µη αρνητιός αέραιος iii) άθε αέραιος συγεριµένου φυσιού λ.. Τα βήµατα της Μαθηµατιής Επαγωγής i) ιαπιστώνουµε ότι το αποδειτέο αληθεύει για ν 1 ii) εχόµαστε ότι το αποδειτέο αληθεύει για ν iii) Αποδεινύουµε ότι το αποδειτέο αληθεύει για ν + 1. Η χρησιµότητα της ανισότητας Bernoulli Κατεβάζει τον εθέτη ν στη βάση

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι ν ν(ν + 1) για άθε θετιό αέραιο ν Για ν 1 η ισότητα γράφεται 1(1 + 1) που είναι αληθής. εχόµαστε αληθή την ισότητα για ν : ( + 1) Θα αποδείξουµε ότι η ισότητα αληθεύει για ν + 1, δηλαδή ότι Είναι ( + 1) ( + 1)( + ) ( +1) ( + 1) + ( +1) Α µ έ λος της ( + 1)( + ). Να αποδείξετε ότι για άθε ν N * ισχύει ν(ν + 1)(ν + ) ν( ν+ 1)( ν+ )( ν+ ) Για ν 1 η ισότητα γράφεται που είναι αληθής εχόµαστε ότι η ισότητα αληθεύει για ν, δηλαδή ότι ( + 1)( + ) ( + 1)( + )( + ) Θα αποδείξουµε ότι η ισότητα αληθεύει για ν +1, δηλαδή ότι ( + 1)( + ) + ( +1)( + )( + ) ( + 1)( + )( + )( + ) 1 ο µέλος ( + 1)( + ) + ( +1)( + )( + ) Α µ έ λος της 1 ( + 1)( + )( + ) + ( +1)( + )( + ) ( + 1)( + )( + ) + ( + 1)( + )( + ) ( + 1)( + )( + )( + )

3 . Να αποδείξετε ότι για άθε θετιό αέραιο ν ισχύει (ν 1) ν(ν 1) 1( 1 1) Για ν 1 η ισότητα γράφεται που είναι προφανής. εχόµαστε ότι η ισότητα αληθεύει για ν, δηλαδή ότι ( 1) ( 1) Θα αποδείξουµε ότι η ισότητα αληθεύει αι για ν + 1, δηλαδή ότι ( 1) + [( + 1) 1] ( + 1)[( + 1) 1)»» ( + 1)( + 8+ )»» ο µέλος ( 1) + [( + 1) 1] Α µ έ λος της 1 ( 1) + ( +1) ( 1) + (+ 1) ( 1) + (+ 1) ( 1)(+ 1) + (+ 1) (+ 1)[ ( 1) + (+ 1)] (+ 1)( + 5+ )

4 . Αν α, β αέραιοι δείξτε ότι για άθε ν N * υπάρχει λ Z ώστε να ισχύει (α + β) ν α ν + λβ Για ν 1 η ισότητα γράφεται α + β α + λ β α + β α + 1. β υπάρχει ο λ 1 εχόµαστε ότι υπάρχει λ Z, ώστε να ισχύει (α + β) α + λβ Θα αποδείξουµε ότι υπάρχει λ Z, ώστε να ισχύει (α + β) +1 α +1 + λ β 1 ο µέλος (α + β) +1 (α + β) (α +β) Όπου λ α + λα + λβ Z (α + λβ)(α + β) α +1 + α β + λαβ + λβ α +1 + β(α + λα + λβ) α +1 + λ β 5. είξτε ότι ν σηµεία, τα οποία ανά τρία δεν είναι στην ίδια ευθεία ορίζουν ν( ν 1) ευθείες Για ν σηµεία ορίζεται 1 ευθεία αι ισχύει 1 ( 1) εχόµαστε ότι για ν σηµεία ορίζονται ( 1) ευθείες Θα αποδείξουµε ότι για ν + 1 σηµεία ορίζονται ( + 1) ευθείες Το σηµείο Α + 1 µε τα σηµεία της ορίζει νέες ευθείες. Εποµένως το πλήθος όλων των ευθειών θα είναι ίσο µε το πλήθος των ευθειών που ορίζουν τα σηµεία της συν τις νέες ευθείες, δηλαδή ( 1) + ( 1) + ( + 1)

5 6. Να δείξετε ότι το πλήθος των διαγωνίων άθε υρτού πολυγώνου είναι όπου ν το πλήθος των ορυφών του πολυγώνου Το πρώτο υρτό πολύγωνο που έχει διαγώνιες είναι το τετράπλευρο. ν( ν ) ( ) Για ν, το πλήθος των διαγωνίων είναι αι ισχύει ( ) εχόµαστε ότι ο για ν το πλήθος των διαγωνίων είναι ( + 1)( ) Θα αποδείξουµε ότι, για ν + 1 το πλήθος των διαγωνίων είναι Η ορυφή Α + 1 µε τις ορυφές Α 1, Α,..., Α ορίζει το πλήθος ευθ.τµήµατα, από τα οποία δύο είναι πλευρές αι είναι διαγώνιοι. Επί πλέον µία πλευρά του γώνου γίνεται διαγώνιος του ( + 1) γώνου Άρα το πλήθος των διαγωνίων θα είναι ( ) ( ) ( + 1)( ),

6 7. Να αποδείξετε ότι, για άθε ν N ο αριθµός Α 7 ν + 16ν 1 είναι πολλαπλάσιο του 6. Για ν 0 έχουµε Α εχόµαστε ότι, για ν ο αριθµός Α είναι πολλαπλάσιο του 6, δηλαδή Α λ, λ Z Θα αποδείξουµε ότι, για ν + 1 ο αριθµός Α είναι πολλαπλάσιο του 6 δηλαδή ότι Είναι 7 (+1) + 16(+1) 1 6µ, µ Z Α 7 (+1) + 16(+1) Όπου µ 9λ 1 +1 Z (6λ ) λ λ λ λ (9λ 1 +1) 6µ

7 8. είξτε ότι ο αριθµός ν + + 6ν + Για ν 0, ο αριθµός είναι είναι πολλαπλάσιο του 17 για άθε ν N εχόµαστε ότι, για ν ο αριθµός είναι πολλαπλάσιο του 17, δηλαδή ότι λ, λ Z Θα αποδείξουµε ότι ο αριθµός είναι πολλαπλάσιο του 17 αι για ν + 1, δηλαδή ότι (+1) + + 6(+1) + 17µ, µ Z Είναι (+1) + + 6(+1) Η + 17λ () Οπότε η () γίνεται (+1) + + 6(+1) + 81(17λ 6 + ) Όπου µ 81λ 6 + Z 17 81λ λ ( 81λ 6 + ) 17µ 9. είξτε ότι, για άθε ν ισχύει : Για ν η ανισότητα γίνεται ν > ν + 1 > + 1 εχόµαστε ότι η ανισότητα αληθεύει για ν δηλαδή ότι Θα αποδείξουµε ότι η αληθεύει αι για ν + 1, δηλαδή ότι Είναι + 1 > (+1) Οπότε αρεί να δείξουµε ότι ( +1) > + ( +1) > ( + ) + > + > 1 που ισχύει αφού. 81 > 5 που ισχύει. 16 > > +

8 10. είξτε ότι, για άθε ν ισχύει : ν > (ν + 1) Για ν η ανισότητα γίνεται 7 >16, που είναι αληθές εχόµαστε ότι η ανισότητα ισχύει για ν, δηλαδή > ( + 1) Θα αποδείξουµε ότι η ανισότητα ισχύει για ν + 1 δηλαδή : +1 > ( + ) Είναι +1 > ( + 1) Εποµένως αρεί να δείξουµε ότι ( + 1) > ( + ) > > > 0 που ισχύει αφού. 11. Αν α 1, α, α, α ν θετιοί αριθµοί αι διάφοροι από το 1, να δείξετε ότι (1 + α 1 )(1 + α ) (1 + α ν ) > ν α1 α... α ν για άθε ν N * Για ν 1 έχουµε 1 + α 1 > α α 1 α 1 > 0 (1 α 1 ) > 0 που ισχύει αφού α 1 1 εχόµαστε ότι η ανισότητα ισχύει για ν δηλαδή ότι (1 + α 1 )(1 + α ) (1 + α ) > α1 α... α Θα αποδείξουµε ότι η ανισότητα ισχύει αι για ν + 1, δηλαδή ότι (1 + α 1 )(1 + α ) (1 + α )(1 + α +1 ) > +1 α1 α... α α + 1 () (1 + α 1 )(1 + α ) (1 + α )(1 + α +1 ) > α1 α... α (1 + α +1 ) Από τη (), αρεί να δειχθεί ότι α1 α... α (1 + α +1 ) > +1 α1 α... α α + 1 α1 α... α (1 + α +1 ) > α... 1 α α α α +1 > α α α + 1 > 0 ( 1 α ) +1 > 0 που ισχύει

Σχετικά έγγραφα

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αρχή της Μαθηµατιής Επαγωγής Έστω ισχυρισµός Ρ(), όπου θετιός αέραιος. Α (i) Ρ αληθής αι (ii) Ρ() Ρ( + 1) για άθε, τότε Ρ() αληθής για άθε.. Αισότητα Bernoulli (1 +α