A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β) +(α-γ) +(β-γ) ] και τις υποθέσεις προκύπτει ότι α = β = γ και επομένως το πολυώνυμο είναι το μηδενικό. ΑΣΚΗΣΗ η Αν P() = , να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α = P( ) P( ) Έστω α = + και β =. Έχουμε α + β = + + = 4 και αβ = ( + )( ) = Δηλαδή τα α, β είναι ρίζες της εξίσωσης 4 + = οπότε ισχύουν: α 4α + = και β 4β + = επομένως έχουμε P(α) = α 4α 4 + α + = α (α 4α +) + = + = και P(β) = β 4β 4 + β + = β (β 4β +) + = + = άρα Α = P( ) P( ) = = P( ) P( ) = ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το πολυώνυμο P() = (λ 4) λ + 6. Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το, να βρεθεί ο βαθμός του και οι άλλες του ρίζες. Επειδή το πολυώνυμο έχει ρίζα την = έχουμε ότι P() = λ λ + 6 = λ + 4λ + 4 = (λ + ) = λ = Για λ = - έχουμε : P() = + 6 Επομένως έχουμε πολυώνυμο ου βαθμού. Με σχήμα Horner έχουμε: Οπότε P() = (-)( 4 + ) P() = (-)( 4 + ) = ( = ή 4 + = ) H δευτεροβάθμια εξίσωση έχει διακρίνουσα Δ =6 8 = 8 > 4 8 ( ) Οπότε, = Συνεπώς το πολυώνυμο έχει ρίζες τις =, =, =

2 ΑΣΚΗΣΗ 4η Δίνεται το πολυώνυμο Ρ()= +α +β -6-, το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο ( -) i) Να υπολογίσετε το άθροισμα α+β ii) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ() με το πολυώνυμο ( -) εισαγωγικές εξετάσεις Τουρκίας i) Αφού το πολυώνυμο διαιρείται ακριβώς με το = ( + )( ) αυτό σημαίνει πως το και - θα είναι ρίζες του πολυωνύμου επομένως έχουμε: P() = + α + β 6 = α +β = 7 ii) Επιπλέον έχουμε: Ρ ( ) = α + β + 6 = α + β = 7 και λύνοντας το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων έχουμε: α =, β = κάνοντας την διαίρεση των πολυωνύμων έχουμε: Για τα πολυώνυμα P(),Q() γνωρίζουμε ότι, και το πηλίκο είναι ΑΣΚΗΣΗ η P( ) Q() και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Q() με το είναι το. α) Να υπολογίσετε το Q(). β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(): ( ) εισαγωγικές εξετάσεις Τουρκίας α) Αφού το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Q() με το - είναι το, έχουμε Q() = β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(): ( ) είναι υ = Ρ() Η αρχική σχέση για = δίνει: P( Q() ) P() P() 4 4 P() = Q() ΑΣΚΗΣΗ 6η Δίνεται το πολυώνυμο P() = 4ημα + 4συν α 8 +. Αν το P() έχει για παράγοντα το Q() = ημα να βρείτε το τόξο α αν γνωρίζουμε ότι α ( π, π). Αφού το πολυώνυμο έχει για παράγοντα το Q() = ημα, τότε θα ισχύει και: Ρ(ημα) =. Αντικαθιστώντας στο πολυώνυμο Ρ(),προκύπτει: 4ημ 4 α + 4ημ ασυν α 8ημα + = 4ημ 4 α + 4ημ α( ημ α) 8ημα + = 4ημ α 8ημα + = Απ' όπου προκύπτει: ημα = (απορρίπτεται) ή ημα = (δεκτή)

3 Άρα ημα = ημα = ημ ( α= κπ+ ή α = κπ+, κζ.) Στο (-π, π) έχουμε α = ή α =. 6 6 ΑΣΚΗΣΗ 7η Το πολυώνυμο Ρ() διαιρούμενο με το δίνει υπόλοιπο, διαιρούμενο με το δίνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με το δίνει υπόλοιπο. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: Ρ() : ( )( )( ) Έχουμε από την υπόθεση: Ρ() =, Ρ() = και Ρ() =. Επειδή ο διαιρέτης της διαίρεσης Ρ() : ( )( )( ) είναι τρίτου βαθμού, η διαίρεση θα δώσει πηλίκο π() και υπόλοιπο υ() το πολύ δευτέρου βαθμού, επομένως το υ() θα έχει την μορφή: υ() = α + β + γ με α, β, γ πραγματικούς αριθμούς και α. Από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουμε: Ρ() = ( )( )( ) π() + α + β + γ () Στην σχέση () θέτουμε διαδοχικά τις τιμές =, =, = και έχουμε: P() P() () 4 όπου η επίλυση του συστήματος δίνει α =, β = 7 και γ = 7 και το ζητούμενο υπόλοιπο είναι : υ() = ΑΣΚΗΣΗ 8η 4 Αν το f είναι τέλειο τετράγωνο. Να δείξετε ότι : Έστω και f

4 Από (,) Από (,) ΑΣΚΗΣΗ η Δίνονται τα πολυώνυμα P ( ), P ( ), P ( ) αν τα πολυώνυμα P ( ) και P ( ) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει: ρίζα. P ( ) P ( ) P ( ) για κάθε R να δείξετε ότι το P ( ) δεν έχει πραγματική Δεχόμαστε ότι το P () έχει ρίζα R τότε P. Επειδή για κάθε R ισχύει P () P () P () θα ισχύει και P (p) P (p) P (p) δηλαδή Όμως P, P έτσι από την () προκύπτει P p P p. Δηλαδή το ρ είναι κοινή ρίζα των P, P P (p) P (p) (). είναι πραγματικοί αριθμοί ως αριθμητικές τιμές των πολυωνύμων για Επομένως το P () δεν έχει πραγματική ρίζα. ΑΣΚΗΣΗ η Αν α β γ 4 να υπολογίσετε τους α, β, γ R που είναι άτοπο, σύμφωνα με την υπόθεση. α 4 β γ 6 ώστε το κλάσμα κάθε R να έχει σταθερή τιμή και να υπολογίσετε την τιμή αυτή. για Έστω R η σταθερή τιμή τότε αλλά που είναι η σταθερή τιμή του τότε κλάσματος. Επίσης 4, 8,. Πράγματι

5 ΑΣΚΗΣΗ η Το πολυώνυμο P() όταν διαιρεθεί με το Q() = + + δίνει υπόλοιπο ίσο με το πηλίκο. i) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το W() = + +. ii) Αν γνωρίζουμε ότι οι συντελεστές του P() είναι ακέραιοι αριθμοί να δειχθεί ότι ο αριθμός διαιρεί το P()P( ). α)έστω G() το πηλίκο (και υπόλοιπο) της διαίρεσης. Τότε, από την ταυτότητα της διαίρεσης πολυωνύμων, έχουμε: P() = ( + + )π() + υ() Επειδή π() = υ() = G() έχουμε: P() = ( + + ) G() + G() = ( + + ) G() Συνεπώς το ζητούμενο υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το W() = + + είναι μηδέν. β)είναι: Ρ() = G() Ρ(-) = G(-) Άρα Ρ() Ρ(-) = G() Συνεπώς το διαιρεί το P()P( ). (Αφού το G(), θα έχει και αυτό ακέραιους συντελεστές). ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται πολυώνυμο Ρ() με ακέραιους συντελεστές και Ρ(), Ρ() είναι περιττοί ακέραιοι. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες. Problem-solving strategies by Engel Έστω ότι το πολυώνυμο P() έχει ακεραία ρίζα την ρ, τότε ισχύει: P() = ( ρ)π() όπου το π() είναι πολυώνυμο με ακεραίους συντελεστές εφόσον το P() έχει ακεραίους συντελεστές. Η παραπάνω σχέση για = και =, δίνει: Ρ() = ρπ() και Ρ() = ( ρ) π() με π(), π() ακεραίους.

6 Αλλά οι αριθμοί Ρ(), Ρ() είναι και οι δύο περιττοί, έχουμε ότι οι αριθμοί - ρ, -ρ είναι και οι δύο περιττοί. ΑΤΟΠΟ γιατί οι αριθμοί ρ, ρ είναι διαδοχικοί ακέραιοι και δεν μπορεί να είναι και οι δύο περιττοί. 6 Επομένως το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα. ΑΣΚΗΣΗ η Αν για το πολυώνυμο 4 f τετάρτου βαθμού ισχύει f f των όρων που ισαπέχουν από τους άκρους όρους είναι ίσοι.. Να δείξετε ότι οι συντελεστές f με και α, β, γ, δ, ε τότε : Έστω f 4 f την υπόθεση ισχύει : f f 4 και ΑΣΚΗΣΗ 4η Nα λυθεί η εξίσωση : ( )( )( )( ) 4. Διαπιστώνουμε ( )( ) και ( )( ) 6. Όμως από Επομένως η δοθείσα γράφεται: ( )( 6) 4 () αν θέσουμε () από την (Ι) προκύπτει ( 4) που έχει ρίζες, Τότε από την () θα έχουμε : 4 4 που λύνονται εύκολα.

7 ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση : = αν είναι γνωστό ότι δύο από τις ρίζες της έχουν άθροισμα 8 και γινόμενο 4. Έστω, οι δύο ρίζες της εξίσωσης που έχουν άθροισμα 8 και γινόμενο 4, τότε η λύση του συστήματος 8 προσδιορίζει τις δύο από τις τέσσερεις ρίζες. 4 Έχουμε ότι, το σύστημα είναι ισοδύναμο με την εξίσωση: ( + ) + = 8 +4 = η οποία έχει ρίζες τις = 4 +, = 4 - Για τον προσδιορισμό των δύο άλλων ριζών έχουμε ότι αφού οι, είναι ρίζες της του πολυωνύμου P() = , τότε το πολυώνυμο έχει παράγοντα τον ( )( ) = ( + ) + = 8 +4 Εκτελούμε την διαίρεση: ( ) : ( 8 +4) 7 από την ταυτότητα της αλγοριθμικής διαίρεσης προκύπτει ότι: = ( 8 +4)( ) συνεπώς οι άλλες δύο ρίζες της εξίσωσης προκύπτουν από την λύση της εξίσωσης = που είναι οι =, 4 = ΑΣΚΗΣΗ 6η Να λυθεί η εξίσωση : = 8 8 ( ) 8 ( ) ( )( ) 8 ( ) ( )( ) διπλή, ΣΧΟΛΙΟ. Η παραπάνω εξίσωση έχει γενική μορφή α + β + β + α = όπου οι ισαπέχοντες από τα άκρα όροι είναι ίσοι, ονομάζεται αντίστροφη εξίσωση τρίτου βαθμού και επιλύεται με την βοήθεια της παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση των ακραίων και μεσαίων όρων της.

8 8 ΑΣΚΗΣΗ 7η Να λυθεί η εξίσωση : 4. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζα το έτσι διαιρούμε με προκύπτει: ( ) () τα μέλη της και Αν θέσουμε y τότε y y y Έτσι η () γράφεται: y y y y y ή y Τότε () ή () Η ( )γράφεται: Η () γράφεται: ΣΧΟΛΙΟ Η παραπάνω εξίσωση έχει γενική μορφή α 4 + β +γ + β + α = όπου οι ισαπέχοντες από τα άκρα όροι είναι ίσοι, ονομάζεται αντίστροφη εξίσωση τετάρτου βαθμού και επιλύεται με την βοήθεια της παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση των ακραίων και μεσαίων όρων της, αφού αρχικά διαπιστώσουμε ότι και διαιρέσουμε όλους τους όρους της με. ΑΣΚΗΣΗ 8η Να λυθεί η εξίσωση : 4. Η εξίσωση γράφεται: ( ) ( ) ( ) 4 ( )( ) ( )( ) ( ) 4 ( ) 4 ( )( 6 ) ή 4 6 που η δεύτερη εξίσωση είναι αντίστροφη 4 ου βαθμού και λύνεται όπως η προηγουμένη άσκηση.

9 ΣΧΟΛΙΟ Η παραπάνω εξίσωση έχει γενική μορφή α + β 4 +γ +γ + β + α = όπου οι ισαπέχοντες από τα άκρα όροι είναι ίσοι, ονομάζεται αντίστροφη εξίσωση πέμπτου βαθμού και επιλύεται με την βοήθεια της παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση των ακραίων και μεσαίων όρων της μετασχηματίζοντας την σε γινόμενο μιας πρωτοβάθμιας και μιας τετάρτου βαθμού εξίσωση με αντίστροφους συντελεστές. ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η ανίσωση: ( 4)( + ) (+) 4 ( + +) 7. () To τριώνυμο + έχει διακρίνουσα θετική και οι ρίζες του είναι και. Άρα: Έχουμε 4 = (+)( ). + = ( )( ). To τριώνυμο + + έχει διακρίνουσα αρνητική και άρα + + > για κάθε R. Έτσι έχουμε: () (+)( )( ) ( ) (+) 4 (+) ( ) ( ). () Ονομάζουμε Γ() το πρώτο μέλος της ανίσωσης (). Κατά τα γνωστά κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων του Γ(): Συμπεραίνουμε ότι το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι S = [, ] {}. ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η ανίσωση: () Οι ρίζες των παρονομαστών είναι και. Με και, έχουμε:

10 () ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) [Γ() =] (+)( )( ). Κατά τα γνωστά, κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα: Συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης () είναι: και < <. ΑΣΚΗΣΗ η Έστω Ρ() πολυώνυμο ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο ( + ), έχει ρίζα το και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με. α. Να αποδείξετε ότι Ρ() = +. β. Να λύσετε την ανίσωση: (P() ) + (P() ) + P() >. α) Το πολυώνυμο P() γράφεται: P() = ( + )(α + β), α Αφού έχει για ρίζα το, προκύπτει: Ρ()= ( + )(α + β) β =. Επιπλέον P() = (Αφού το άθροισμα των συντελεστών ενός πολυωνύμου ισούται με Ρ() ). Άρα: α = α =. Συνεπώς: P() = ( + ) = +, Â β)θέτουμε: G() = P(), Â επομένως η ανίσωση γίνεται: G () + G () + G() > G()(G () + G() + ) > G() > (αφού είναι (G () + G() + ) > για κάθε ) Δηλαδή: G() > P() > + >. ( )( + ) >

11 > > αφού είναι + + > για κάθε ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται η συνάρτηση f() = α) Να προσδιορίσετε το σύνολο ορισμού της και β) Να λύσετε την ανίσωση f() α) Πρέπει και αρκεί > >, επομένως η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο Α = (, +) β) Είναι f() ( 4) έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου, λαμβάνοντας υπόψη ότι η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο (, +) Και σύμφωνα με το πίνακα η λύση της ανίσωσης f() είναι: (, ] ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το πολυώνυμο 4 βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f P 7 το οποίο έχει παράγοντες και, να P. Αφού το P έχει παράγοντα και θα ισχύουν P και Έτσι P 7 8, το οποίο έχει παράγοντες και το γινόμενο τους πηλίκο 4, άρα P τότε : και. Άρα θα έχει παράγοντα. Από την διαίρεση P : προκύπτει P 4 ή P. Η συνάρτηση f P ορίζεται για ώστε : P

12 . Κατασκευάζω τον παρακάτω πίνακα προσήμου του πολυωνύμου P() : Έτσι το πεδίο ορισμού της f είναι,,,. ΣΧΟΛΙΑ. Μία εξίσωση α ν ν + α ν- ν- + + α + α ο = θα λέγεται αντίστροφη αν και μόνο αν έχει ρίζα ρ και ρ έχει ως ρίζα και τον αριθμό /ρ. Οι ρίζες ρ και /ρ έχουν τον ίδιο βαθμό πολλαπλότητας.. Μία αντίστροφη εξίσωση μπορεί να έχει ρίζα ρ = ή ρ = δεν είναι όμως σίγουρο ότι θα δέχεται και την /ρ =. Δηλαδή οι αριθμοί + ή δεν είναι απαραίτητα διπλές ρίζες. ΑΣΚΗΣΗ 4η Να λυθεί η εξίσωση Για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει () και + 8 () H εξίσωση = έχει: Δ = 6 συνεπώς οι ρίζες είναι =, = 7 συνεπώς η ανίσωση () αληθεύει για (, 7][, + ) Η εξίσωση + 8 = έχει ρίζες =, = 8 συνεπώς η ανίσωση () αληθεύει για (, 8][, + ) Επομένως για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει και αρκεί: (, 8][, + ) Θέτουμε υ= + 8 οπότε η εξίσωση γίνεται: 7 - = 7 = + 7 = ( + ) υ + 7 = υ + + = υ = Για υ = έχουμε + 8 = + 8 = = ή = οι τιμές αυτές ικανοποιούν την αρχική εξίσωση συνεπώς είναι λύσεις της

13 ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση : 6 (). Πρέπει Άρα η εξίσωση ορίζεται στο, Παρατηρούμε ότι δεν έχει ρίζες τους αριθμούς και - Η εξίσωση γράφεται : ( ) ( ) διαιρώντας δια του ( ) ( ) Αν θέσουμε y 6 με y Από την () προκύπτει η εξίσωση () y y y y y y ( ) 6 έχουμε Διπλή ρίζα τότε από την () θα έχουμε 6.Δεκτή Διπλή ρίζα. ΑΣΚΗΣΗ 6η Να λυθεί η εξίσωση z Αρχικά για < - ή > - Θέτουμε από όπου προκύπτει ότι: z Οπότε προκύπτει η εξίσωση ω + που έχει ως ρίζες τις ω = ή ω = και με αντικατάσταση στον αρχικό μετασχηματισμό προκύπτουν οι λύσεις 6 =, = που ικανοποιούν τους περιορισμούς του αγνώστου και είναι δεκτές. 7 7

14 4 ΑΣΚΗΣΗ 7η Να λυθεί η εξίσωση :. Η εξίσωση ορίζεται στο σύνολο R αν θέσουμε y η εξίσωση γράφεται: y y y (αντίστροφη ου βαθμού) ( y ) y( y ) y y y y y ( )( ) ( ) ( y )( y y y) ( y )( y 6y ) y, y, y Έτσι από την () έχουμε : ( ), ( ), ( ). ΑΣΚΗΣΗ 8η Να λυθεί η εξίσωση Θέτουμε 48 4, y y y 8 Έχουμε y y + 8 = y = ή y = 4 Άρα έχουμε τις εξισώσεις 4 ή 4 4 οι οποίες επιλύονται εύκολα.

15 ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση: Αρχικά η εξίσωση ορίζεται για - Παρατηρώ πως για =, η εξίσωση επαληθεύεται... Για > έπεται + > 6 αλλά και 7+ > 8 άρα θα είναι και : 4 > > () αλλά και 4 7 > > () Με πρόσθεση των () και () κατά μέλη, προκύπτει: >. 4 Άρα για > αποκλείεται η εξίσωση να έχει κάποια λύση. Με όμοιο τρόπο εργαζόμενοι, αποκλείουμε την περίπτωση : - < Συνεπώς, μοναδική λύση για την εξίσωση η =. η Θέτουμε = 4 και B = 4 7 και ισχύει + B =. Όμως B 4 4 = 6 και αν απαλείψουμε το B τότε παίρνουμε την εξίσωση: + 6 =, η οποία έχει ως ρίζα τον αριθμό και καμία άλλη πραγματική. Άρα λοιπόν = + = 6 =. ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το πολυώνυμο P() = 4ημα + 4συν α 8 +. Αν το P() έχει για παράγοντα το Q() = ημα να βρείτε το τόξο α αν γνωρίζουμε ότι α ( π, π). Αφού το πολυώνυμο έχει για παράγοντα το ημα, τότε θα ισχύει και: Ρ(ημα) =. Αντικαθιστώντας στο πολυώνυμο Ρ(),προκύπτει: 4ημ 4 α + 4ημ ασυν α 8ημα + = 4ημ 4 α + 4ημ α( ημ α) 8ημα + = 4ημ α 8ημα + = Απ' όπου προκύπτει: ημα = (απορρίπτεται) ή ημα = (δεκτή)

16 6 Άρα ημα = ή ημα = ημ 6 Οι λύσεις είναι α= κπ+ ή α = κπ+, κ ακέραιος. 6 6 Στο (-π, π) έχουμε α = ή α =. 6 6 ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το πολυώνυμο f() = α ν ν + α ν- ν- + + α + α ο με ακεραίους συντελεστές. Αν οι αριθμοί f() και f() είναι περιττοί δείξτε ότι η εξίσωση f() = δεν έχει ακέραιες ρίζες. Έστω ότι το πολυώνυμο f() = α ν ν + α ν- ν- + + α + α ο έχει ακεραία ρίζα την ρ, τότε έχει παράγοντα το ρ και γράφεται: f() = ( ρ)π() όπου το πολυώνυμο π() έχει ακέραιους συντελεστές γιατί το f() έχει ακέραιους συντελεστές και ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του ρ είναι Η παραπάνω σχέση για = δίνει f() = ( ρ)π() = ρπ() με π() ακέραιο έχουμε f() περιττός και π() ακέραιος άρα από τη παραπάνω σχέση προκύπτει ότι ρ περιττός η ίδια σχέση για = δίνει f() = ( ρ)π() που με τον ίδιο συλλογισμό προκύπτει ότι ρ περιττός άρα και ο ρ περιττός Επομένως έχουμε τους διαδοχικούς ακέραιους ρ και ρ που είναι και οι δύο περιττοί, άτοπο άρα το πολυώνυμο f() = α ν ν + α ν- ν- + + α + α ο δεν έχει ακεραία ρίζα. ΑΣΚΗΣΗ η Δείξτε ότι η εξίσωση ν +λ + = όπου ν και λ ακέραιος δεν έχει ρητές ρίζες. Αρχικά η εξίσωση έχει πιθανές ρητές ρίζες Τους διαιρέτες του σταθερού όρου, -,, - (ακέραιες ρίζες) Και τα κλάσματα που έχουν ως αριθμητή τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου και παρονομαστή το

17 7 σταθερό όρο που είναι τα, Αν θεωρήσουμε το πολυώνυμο Ρ() = ν +λ + έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις Περίπτωση πρώτη Ρ() = ν + λ + = λ + Έστω Ρ() = λ + = λ = Ρ() δηλαδή το δεν είναι ρίζα άτοπο γιατί το λ δεν είναι ρητός άρα Ρ(-) = (-) ν + λ(-) + = -λ + Περίπτωση δεύτερη Έστω Ρ(-) = -λ + = λ = Ρ(-) δηλαδή το - δεν είναι ρίζα Όμοια τα άλλα, οπότε η εξίσωση δεν έχει ρητές ρίζες άτοπο γιατί το λ δεν είναι ρητός άρα ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ