Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Transcript

1 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α γ, τότε α (βγ). Μονάδες 4 Μονάδες 4 Α.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Έστω α, β φυσικοί αριθµοί και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α µε τον β 0. Τότε: α. (α,β) < (β,υ) β. (α,β) (β,υ) γ. (α,β) > (β,υ) δ. (α,β) (β,υ) όπου (α,β) είναι ο Μ.Κ.. των φυσικών αριθµών α, β. Μονάδες 4,5 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν 7 (α5) και 7 (40-β) τότε: α. 7 (αβ), β. 7 (αβ), γ. 7 (αβ), δ. 7 (αβ-). Β.. Να προσδιορίσετε τον Μ.Κ.. των ακεραίων 7 και. Μονάδες 4 Μονάδες 4,5 Β.. Να εκφράσετε τον Μ.Κ.. των ακεραίων 7 και ως γραµµικό συνδυασµό των ακεραίων 7 και. Μονάδες 4 Απάντηση: Α. α. Επειδή α β υπάρχει ακέραιος κ, τέτοιος ώστε βκα, οπότε λβλκα και άρα: α λβ β. Επειδή α β και α γ, υπάρχουν ακέραιοι κ,λ τέτοιοι ώστε βκα και γλα. Οπότε: β γ κα λα ή (β γ) (κ λ)α Άρα: α (β γ) Α. Απάντηση: β

2 Β. Είναι: 7 (α 5) 7 7 (40 β) ( α 5 (40 β) ) 7 α β 5 7 α β Όµως:7 5 οπότε: Απάντηση: α Β. (7,) (8 9, 8 4) 8(9, 4) 8 8 Β Άρα: (7-40 ) 40-7 ( - 7) Ζήτηµα ο Για τα διανύσµατα α, β Έστω τα διανύσµατα u α β, α - β δίνεται ότι α, β και ( α, β) π. Να υπολογίσετε: α. το εσωτερικό γινόµενο α β β. τα µέτρα u, των διανυσµάτων u και γ. το εσωτερικό γινόµενο u δ. το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων u και. Μονάδες 5 Μονάδες 8 Μονάδες 7 Μονάδες 5 Απάντηση: α. Είναι: a β α β συν a, β ( )

3 β. u ( α β) 4α 9β αβ Άρα: u 5 α β α 4β ( ) 4αβ Άρα: γ. ( a β)( α - β) α 4αβ αβ - 6β u α α β - 6β δ. συν ( u,) u u 6 Ζήτηµα ο ίνεται η εξίσωση α. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες ε και ε. β. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες. Μονάδες 7 Μονάδες 7 γ. Να βρείτε ένα σηµείο Μ(κ,λ) µε κ>0 και λ>0 τέτοιο, ώστε το διάνυσµα α (,κ) να είναι παράλληλο προς τη µία από τις δύο ευθείες ε και ε και το διάνυσµα β (-6, 4λ) να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία. Μονάδες 6 δ. Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων Ο, άξονα συµµετρίας τον άξονα και διέρχεται από το σηµείο Μ. Μονάδες 5 Απάντηση: α () - 0 ()(-) 0 (ε ): - - ή (ε ): β. λ ε -, λ ε Οπότε: λ ε λ ε - Άρα: (ε ) (ε )

4 (-6,4λ- γ. Είναι: a (, κ) (ε) a ή β (-6,4λ- (ε ) β κ κ ή 4λ 4λ 6 6 κ - κ λ -4 ή λ 4 απορρ. δεκτές Άρα: Μ(,4) (, κ) (ε δ. Η εξίσωση της παραβολής είναι: ψ ρ ) (ε ) Επειδή το σηµείο Μ(,4) ανήκει σ'αυτή, έχουµε: ρ ρ ρ 6 Άρα: 8 6 ψ ψ Ζήτηµα 4ο Α. ίνεται η εξίσωση 6µ 8λ 0, όπου µ, λ πραγµατικοί αριθµοί διάφοροι του µηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή των µ, λ, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο. Moνάδες 7 Β. Έστω ότι για τους πραγµατικούς αριθµούς µ, λ ισχύει η σχέση µ λ 0. α. Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση 6µ 8λ 0 για τις διάφορες τιµές των µ και λ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 6 β. Να βρείτε τα µ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σηµεία τοµής του αντίστοιχου κύκλου µε την ευθεία 0, να ισχύει OA OB 0. Μονάδες 6 γ. Για τις τιµές των µ, λ που βρήκατε στο ερώτηµα β να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. Μονάδες 6

5 Απάντηση: Α. ψ 6µ 8λψ 0 ή ( 6µ) (ψ 8λµ) 0 ή ( µ 9µ 9µ ) (ψ 4λ ψ 6λ 6λ ) 0 ή ( µ) 9µ (ψ 4λ) 6λ 0 ή ( µ) (ψ 4λ) 9µ 6λ. Επειδή 9µ 6λ > 0 για κάθε λ, µ R* προκύπτει ότι είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο Κ(-µ, -4λ) και ακτίνα: ρ 9µ 6λ. Προφανώς οι συντεταγµένες του Ο(0,0) επαληθεύουν τη δοσµένη εξίσωση. Β. α. Έχουµε Κ(-µ, -4λ) το κέντρο του κύκλου. Θέτουµε -µ µ -(/) και -4λ ψ λ -(ψ/4) και αντικαθιστούµε στην µ λ 0. Τότε έχουµε: ψ 0 4 ψ 0 ψ. Άρα έχουν τα κέντρα τους στην ευθεία ψ. β. (A' ΛΥΣΗ) Επειδή προκύπτει ότι ΟΑ ΟΒ 0, ΟΑ ΟΒ () Επειδή τα Ο, Α και Β είναι σηµεία του κύκλου, προκύπτει λόγω της () ότι η ΑΒ είναι διάµετρος του κύκλου. Εποµένως η ευθεία (ε) µε εξίσωση ψ 0 διέρχεται από το κέντρο του Κ(-µ, -4λ). Οπότε µ 4λ 0 () Όµως έχουµε µ λ 0 () Από το σύστηµα των εξισώσεων (), και (), βρίσκουµε: λ και µ

6 β. (Β' ΛΥΣΗ) Έστω ότι είναι (, ) και (, ) οι συντεταγµένες των Α, Β. Αυτές προκύπτουν ως λύσεις του συστήµατος 6µ 8λ 0 0 (- - ) 6µ 8λ (- - ) (4 6µ -8λ) (4-6λ) ( µ - 8λ) ( -8λ) () Επειδή µ λ 0 η () γράφεται X ( λ) ( 8λ) 0. Έτσι είναι (λ ) και 8λ. () Η σχέση τώρα OA OB 0 γράφεται Λόγω των σχέσεων () είναι: άρα λ και µ -/. 0 ή (- ) (- ) 0 ή ( ) 0. 8λ (λ ) 0 γ. (A' ΛΥΣΗ) Για τις τιµές: λ και µ Η ακτίνα του κύκλου είναι: Οπότε: ρ (ΑΒ) ρ

7 Εποµένως: ΑΒ Ε d(o,ab) ) ( τ.µονάδες γ. (Β' ΛΥΣΗ) Για τις τιµές λ, µ - Είναι 4 και -6. Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ δίνεται από: ( ) OAB ) ( ) ( ) ( 4 4 ) ( τ.µ ) 4( 4 γ. (Γ' ΛΥΣΗ) Για τις τιµές λ, µ -/, η εξίσωση του κύκλου γίνεται: ψ - 4 8ψ 0 Οι συντεταγµένες των Α, Β προκύπτουν από την λύση του συστήµατος: 0 ψ 0 8ψ 4

8 Προκύπτει: (, ψ ) ( 0, 4 0) (, ψ ) ( 0, 4 0) Το εµβαδόν τώρα του τριγώνου ΟΑΒ δίνεται από: E ψ ψ... 0 τ.µ.