3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Transcript

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0, πράγµα αδύνατο. Εποµένως η ισότητα δεν ισχύει για κανένα β ) Θα πρέπει > 0 και > 0 > 0 γ) Θα πρέπει 4 > 0 και > 0 και log 0 ( 0 και ) Περιορισµοί : ( > 0 και ) ( 0 και ±) 4 log ( ) + = 0 6 log[ 4 log ( ) + ] = log0 6 ( + log 4 )log = 6 log0 ( 0 και ±) ( + log ) log = 6 (θέτω log = y) ( + y) y = 6 Για y = θα έχουµε log = y + y 6 = 0 y = ή y = άρα = 0 - = ± 0 = ± 0, Για y = θα έχουµε log = = 0 = ± 0 = ± 4 0

2 . A. Έστω πολυώνυµο Ρ() και πραγµατικός αριθµός ρ. Αν π() είναι το πηλίκο και υ() το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ) α. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ). β. To υπόλοιπο υ() είναι πάντοτε : Πολυώνυµο ίδιου βαθµού µε το βαθµό του Ρ() Πολυώνυµο πρώτου βαθµού i Σταθερό πολυώνυµο iν) Πάντα το µηδενικό πολυώνυµο Από τις παραπάνω προτάσεις επιλέξτε την σωστή και δικαιολογήστε την επιλογή σας γ. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ) είναι ίσο µε την τιµή Ρ(ρ) Β. Έστω το πολυώνυµο Ρ() = k k + k +, όπου k R. Για ποια από τις παρακάτω τιµές του k το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ) είναι ίσο µε µηδέν; α. k = 0, β. k=, γ. k =, δ. k =, ε. k = Επιλέξτε την σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την επιλογή σας. Α.α Α.β Α.γ Ρ() = ( ρ)π() + υ() Σωστή απάντηση είναι η (i διότι ο διαιρέτης ( ρ) είναι πρώτου βαθµού Όπως είδαµε στο (β), το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ() : ( ρ) είναι σταθερό πολυώνυµο, οπότε η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται Ρ() = ( ρ)π() + υ, και για = ρ έχουµε Ρ(ρ) = (ρ ρ)π(ρ) + υ Ρ(ρ) = υ Β. Πρέπει και αρκεί Ρ() = 0 k k + k + = 0 Άρα σωστή απάντηση η γ. k k + = 0 (k ) = 0 k =

3 . Να λυθούν οι εξισώσεις = 4+ + = Περιορισµοί: Πρέπει να ισχύουν ( 0 και και ) ( 0 και 5 και 4 ) 0 () Οπότε έχουµε (4 )(4 + ) = = 4+ 0 για να έχει λύση αυτή η εξίσωση πρέπει () Λόγω των () και () τελικά πρέπει 0 6 Τότε έχουµε (6 ) = ( 4+ 0) 56 + = = 0 = 4 ή = 44 απορρίπτεται λόγω περιορισµών + = = θέτω + + = y οπότε = y + η εξίσωση γίνεται y = y+

4 4 Περιορισµοί : Πρέπει y 0 και y τελικά y 0 τότε y = 4(y + ) y 4y = 0 y = 6 ή y = η τιµή y = απορρίπτεται αν y = 6 τότε + + =6 + 5 =0 = ή = 5

5 5 4. Έστω η συνάρτηση f() = k + ηµ 4 όπου k R Αν η µέγιστη τιµή της f είναι +, να βρείτε το k. Για k = α) Να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες η f παίρνει τη µέγιστη τιµή της β) Να λύσετε την εξίσωση f() f + 4 = 0 στο διάστηµα [0, π]. Η µέγιστη τιµή της f είναι ίση µε k +. Άρα k + = + k= Για k = είναι f() = + ηµ 4 α) f() = + + ηµ 4 ηµ 4 ηµ 4 π π π = νπ + 4 = νπ + π, ν Z 8 β) f() f + 4 π ηµ 4 π π ηµ 4 π π ηµ 4 π + 4 π π = µπ π π ή = µπ + π 4 4 π µπ π 0 = µπ + αδύνατη, ή = +, µ Z () 4 ίνεται 0 π () µπ π 0 + π 4 π µπ π π 4 4 π µπ π 4 4

6 6 Η () = 4 π µ 4 4 µ ή = π 4 µ = 0 ή µ =

7 7 5. ίνεται το πολυώνυµο Ρ() = α + (β ) β + 6 Αν ο αριθµός είναι ρίζα του Ρ() και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το + είναι, τότε να αποδείξετε ότι α = και β = 4. Για α = και β = 4 να λύσετε την ανίσωση Ρ() < 0. Πρέπει και αρκεί Το πολυώνυµο γίνεται Ρ () = 0 Ρ ( ) = α+ ( β ) β+ 6= 0 α+ ( β ) + β+ 6 = α β= α β= 6 β = 4 και α = Ρ() = + = ( ) + ( ) = ( )( + +) + ( ) = ( ) ( + 5 +) Ρίζες του πολυωνύµου : Ρ() = 0 ( ) ( + 5 +) = 0 = 0 ή = 0 = ή = ή = Πρόσηµο του Ρ() + Ρ() Ρ() < 0 < ή < <

8 8 6. Έστω η συνάρτηση f() = + Να βρείτε το πεδίο ορισµού. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f είναι πάντοτε χαµηλότερα από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = Πρέπει + 0 y + y 0 Θέτουµε y 5 = y () log log log log log log 0 0 log (log log5) 0 log (log5) 0 log Εποµένως το πεδίο ορισµού της f είναι το Α f = 0, log 5 Αρκεί να αποδείξουµε ότι f() < g() για κάθε A f + + < < 0 < 5 που ισχύει log log 5 0

9 9 7. Έστω το πολυώνυµο Ρ() = (logλ) κ-λ (λ + 5) 5 k 50 Το οποίο είναι ου βαθµού και έχει ρίζα το 0 Να αποδείξετε ότι λ = και k = Για λ = και k = να λύσετε την ανίσωση Ρ() > 0 Αφού το πολυώνυµο είναι τρίτου βαθµού θα είναι logλ = 0 λ = Επίσης Επειδή το 0 είναι ρίζα έχουµε Ρ(0) = 0 5 4κ-λ (λ + 5) 5 k 50 = 0 και αφού λ = 5 4κ- 8 5 k 50 = 0 4k k 50 = 0 5 4k 0 5 k 5 = 0 θέτω 5 k = y οπότε έχω y 0y 5 = 0 y = 5 ή y = 5 αν y = 5 τότε 5 k = 5 5 k = 5 k = Ενώ αν y = 5 τότε 5 k = 5 η οποία είναι αδύνατη Για λ= και k = το πολυώνυµο γίνεται Ρ() = οπότε Ρ() > > = 0 ( 5 + 6) = 0 = 0 ή = ή = το πρόσηµο του Ρ() φαίνεται στον άξονα 0 + Ρ() Οπότε Ρ() >0 (0, ) (, + )

10 0 8. A. α) Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν ν + α ν- ν- + + α + α ο =0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α ο. β) Έστω πολυώνυµο Ρ() και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν το Ρ() έχει παράγοντα το ( ρ) και π() είναι το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ) τότε i. Ρ() = ( ρ)π() + ii. π() = ( ρ)ρ() iii. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ ) είναι µηδενικού βαθµού iν. Ρ(ρ) = 0 Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Β. α) Να χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) i. Η εξίσωση = 0 έχει ρίζα το 4 ii. Η εξίσωση = 0 έχει ρίζα το iii. Η εξίσωση = 0 δεν έχει ρίζα το β) Το πολυώνυµο Ρ() = (4 + 5) έχει παράγοντα το i. + ii.., iii., iν Επιλέξτε την σωστή απάντηση Α. α) ρ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης α ν ρ ν + α ν- ρ ν- + + α ρ + α ο = 0 α ο = α ν ρ ν α ν- ρ ν- α ρ α ο = ρ( α ν ρ ν- α ν- ρ ν- α ) ρ διαιρεί τον α ο Α. β) Σωστή απάντηση είναι η (iν) Β. α) i Λ, ii Λ, iii Σ Β. β) Σωστή απάντηση είναι η (

11 9. Σ ένα σύστηµα γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους και y ισχύει D + 9D = 6D D + y = 6 y y όπου D, D y οι γνωστές ορίζουσες Αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να αποδείξετε ότι αυτή είναι η (, y) = 9, Να προσδιορίσετε τις τιµές των k και λ ώστε οι παραβολές y = + k και y = 5 + λ να διέρχονται από το σηµείο Α (, y) όπου (, y) η λύση του συστήµατος του ( και στην συνέχεια να βρείτε τις συντεταγµένες του άλλου σηµείου τοµής των δύο παραβολών D + 9 D y = 6D D y D + 9 D y 6D D y = 0 (D D y ) = 0 D D y = 0 D = D y () Επειδή το σύστηµα έχει µοναδική λύση θα είναι D 0 και η λύση του συστήµατος θα δίνεται από τους τύπους D = D και y = D y D ιαιρώντας τα µέλη της () µε D έχουµε ότι D D = Dy = y µετά από αυτά το σύστηµα γίνεται D = y το οποίο λύνοντας βρίσκουµε = 9 + y = 6 και y = Για να διέρχεται η παραβολή y = + k από το σηµείο Α 9, θα πρέπει = 9 + k k = 9 οµοίως για να συµβαίνει το ίδιο για την δεύτερη παραβολή θα πρέπει λ = 5 4 λύνοντας τώρα την εξίσωση 9 = βρίσκουµε ότι η τετµηµένη του άλλου σηµείου τοµής των παραβολών είναι ίση µε = 9 τότε y = 9 9 = 8

12 0. α) Να βρείτε τις τιµές των α και β έτσι ώστε, για κάθε και να ισχύει + α β = β) Αν το πολυώνυµο Ρ() = (k ) 4 + k (k + 5) + (5k+) 6 είναι τρίτου βαθµού, να βρείτε την τιµή του k και στην συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0. α) + α β = α β = + ( )( ) + = α( ) + β( ) + = (α + β) α β = α + β και = α β α = 5 και β = 7 β) Ρ() ου βαθµού k = 0 και k 0 k = Για k = το πολυώνυµο γίνεται Ρ() = Σχήµα Horner για =: Ρ() = ( ) ( 7 + 6) Ρ() = 0 ( ) ( 7 + 6) = 0 = 0 ή = 0 = ή = ή =