( ) λ( ) ( ) ( ) 2. 3α β 27αβ 10. x x αx αy βx βy x y y x x x x. 4 x x x y x y x y y. B Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: x y x y x x y a x a x

Transcript

1 A Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. kx x kx x kx x kx x x 8 x 5x 10 x x x x x x. λ 5x 10x 5 x x 10 x x x κ x x κ ( x ) λ( x ). ( α 1 )( x ) α ( x ) ( α 1)( x ) α ( x ) ( α )( x ) α ( x ). 1x 1 kx k x z 5x 15 z αx β βx α 10x x 10 1x 5. x 9 x x 1 x x x 15x 0x z 18ω zω ( ) ( β) ( ) ( β) 8x 7ax 1 a β αβ αβ 6 α α β αγ βγ β αβ αβ 6α x x x x a x a x 8. α γ x 1 x x 9 x 6 1 x x 9 α β 9 81α 9β α x ω x x 16 x x α β 7αβ x x αx α βx β x x x x x B Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. α αβ β x x x x x x 1 x x x 1 x. 9x 1xk k 9 x 6 x 8x 16 x kx kx k x x. 00x 600x 00 6 x x 1 x x x x x x x α αβ β α αβ β κ 6κ 9 Μαθηματικός Τηλ /

2 Γ Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. x x x x 10 x 5 x x x 5 x x 6 x 1 7x. x 7x x 5 x x 1 x Δ Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. α β αβ α β ( x 1) x 0α 5α β 8 αβ 8x 6 x 1x 9 5. x 9x 6 kx 8kx kx 8 k 8x 7x 1 x x 9 x x x x x 9 x 5x 81 x 6x 8 x ( 1 κ λ) κ λ 1 5 ( ) ( ) ( ) α α α α α ( ) ( κ λ) ( κ λ). x x x 9 6 Ε Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις. ν 1 ν ν 1) x 10x 1x 8 x ) 5 x 5 x 15 x ) 15α β α β 6α β ) α µ βν α ν µβ 6) x( α β ) αβ ( x ) ν µ ν µ ν µ 5) α x α αβ x αβ β x β 16 8 κ κ 7) 5x 6 8) x 9) α β 10) 8x 5 x ν ν µ µ 11) 9x x 16 1) 16 9x 56x 1) α α β β 1) κ λ κ λ κ λ κλ 15) x 15x 16) x x 15 17) x 11x 1 18)9x 6x 19***) x 8 0****) α α β β 1***) x 500 ***) α 18 α 5 ) 9x 6x ω ) 6 α 6 αβ 9 β γ 10 γδ 5 δ 5) x x 8 8 6) x x 7) x x ω x ω ω x ω x ω x ω 8) x x ) α β 0) α x Μαθηματικός Τηλ /106500

3 Τηλ / Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x = x x x x = x x x x = 16x x 9 x = 16x x 9 x i i 6x 5x = 6x 6x 5x 5x = 6 x 6 5 x x 5 x = 6x 60x 5x = 6x 60x 5x i i Αν x = και = 7 - να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x - x ( 7)( 7 ) Αντικαθιστούµε τo x και στην Α και έχουµε : A= 7 7 = = ( ) = ( 1) ( 7) ( ) ( 16 7 ) = ( 7) 7 ( 8 7) ( 16 7) = = = = 8 α β α - β Να αποδειχθεί ότι : - = α β Βγάζουµε την µεγάλη παρένθεση υψώνοντας αριθµητή και παρονοµαστή στη δευτέρα. αβ α β α αββ α αββ Θα έχουµε : = = = αβ =αβ οµώνυµα α αββ α αβ β Να βρεθούν τα αναπτύγµατα ( α ) βγ Με βάση την προσεταιριστική ιδιότητα : αβγ= αβ γ=α βγ έχουµε : όρ ( αβ ) γ = ( αβ ) ( αβ) γγ =α αββ ( αγβγ ) γ = 1 όρ =α β γ αβ βγ αγ Μαθηματικός Τηλ /

4 ( α ) βγ όρ ( α β ) γ = ( α β ) ( α β) γγ =α αββ ( αγ βγ ) γ = 1 όρ ( α ) β γ =α β γ αβ βγ αγ όρ ( αβ) γ = ( αβ) ( αβ) γγ =α αββ ( αγβγ ) γ = 1 όρ ( α ) β γ ( α β) γ 1 όρ όρ =α β γ αβ βγ αγ 5 Να αποδείξετε ότι : = α β α β γγ =α αββ αγ βγ γ = =α β γ αβ βγ αγ α β γ αβ γ α βγ αβγ = 8αγ Με βάση την άσκηση αποδείξαµε ότι: α β γ =α β γ αβ αγ βγ αβ γ =α β γ αβ αγ βγ α βγ =α β γ αβ αγ βα αβγ =α β γ αβ αγ βα Ά ρα θα έχουµε : α β γ αβ αγ βγ α β γ αβ αγ βγ ( ) ( ) α β γ αβ αγ βα α β γ αβ αγ βα = α β γ αγ α β γ αβ αγ βα α β γ αβ αγ βα = α β γ α β γ 8 αγ αγ= αγ Μαθηματικός Τηλ /106500

5 6 Αν = να βρείτε την τιµή της παράστασης i) Α= και ii) Β= i) Θα υψώσουµε την δοσµένη σχέση στο τετράγωνο. Έτσι θα έχουµε: = = 1 Άρα Α = = 1 = 16 = 16 = 16 Έχουµε = ii) Β = - 7 Nα βρεθούν τα αναπτύγµατα : = = = 1 = 8 α α = α α α α α α 1 όρ όρ = α α α α α α = 7α 9 α α 16 α α 6α = 7α 108α 1α 6α = 7α 108α 1α 6α = = όρ 1 όρ ( x ) x ( ) ( ) ( x ) ( ) ( x ) ( x ) 8 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : ( x ) ( x ) ( ) = x x x = 8 x 16 x 6 x = 8 8 x 96 x 6 x Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα α β ( α β ) = α - β 1 όρ όρ ΕΞΥΠΝΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ!!! ο ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τον 1 όρο µας τον δείχνει η παρένθεση της διαφοράς ( α β). α β = β α Άρα : x ( )( ) α β β α = x = 9x 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 α β β α = α β β α = β α = = β α = 9β α = 9β α ( αβ ) = ( α β) ( α β ) = ( αβ) ( βα ) = ( β ( α) ) Μαθηματικός Τηλ /106500

6 9 Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις : x 5x [ ] Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα : α - β = α - β α β ιαφορά Τετραγώνων 1 Για αριθµούς χρησιµοποιούµε τον ορισµό της ρίζας. Άρα : 16 =, 5= 5 Για τις µεταβλητές διαιρούµε τον εκθέτη µε το Άρα : x x = x, = x x = x, = Την παράσταση 16x 5x την γράφουµε:16x 5x = x 5x 1 όρ όρ M ε βάση την παραπάνω ταυτότητα έχουµε : 16x 5x = x 5x = x 5x x 5x 1 όρ όρ Να αποδείξετε ότι : ( α β ) ( α 1 β 1 ) ( α β ) ( α 6 β 6 ) ( α 1 β 1 ) = ( β α 1 β 1 ) Θα ξεκινήσουµε από το 1 µέλ για να καταλήξουµε στο. Θα οµαδοποιήσουµε τις παρενθέσεις σε αύξουσα σειρά των δυνάµεων Έτσι θα έχουµε: ο α β α β α β α β α β ιαφορά Τετραγώνων α β αβ =α β = α β α β α β α β = α β α β α β α β = α β α β α β α β = α β α β α β ιαφορά Τετραγώνων α β αβ = α β Μαθηματικός Τηλ / ο ( α β ) =α αββ = α β α β α β = α β α β ιαφορά Τετραγώνων α β αβ =α β ( 1 1) 1 1 = α β α α β β = α = β α β β α Τετράγωνο ιαφοράς α β β = β α β

7 11 Να µετατραπούν τα παρακάτω κλάσµατα σε ρητούς παρονοµαστές i) ii) iii) iv) Για να έχουµε σε ένα κλάσµα ρητό παρονοµαστή πρέπει να µην υπάρχουν ρίζες. Την απαλοιφή τους θα την καταφέρουµε πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή πάρασταση όπως µας δείχνει ο παρακάτω πίνακας. Μορφή Συζυγή Αποτέλεσµα αβ α β α β α β αβ α β α β α β α β α β α β α β κ αβ κ α β κα β κ α β κ αβ κα β κ αλ β κ α λ β κα λβ κ α λ β κ αλ β κα λβ **** Ιδιότητα ριζών : α = α *** Χρησιµοποιούµε την ταυτότητα ΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ : α β αβ =α β = α 8 i) 5 Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση ( ) ( ) [ πρόσηµο] 8 8 ( 5 ) 8 ( 5 ) = = ( 5 ) ( 5 )( 5 ) ( ) της 5 η οποία είναι η 5. Αλλάζουµε απλά το ( ) ( ) [ πρόσηµο] ( 8 5) 15 ( 8 5) ( 8 5) ( 8 5)( 8 5) ( ) 8 ( 5 ) 8 5 Ά ρα : = = ( 5) ii) 8 5 Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση της 8 5 η οποία είναι η 8 5. Αλλάζουµε απλά το Ά ρα : = = 15 ( 8 5) = = ( 8) Μαθηματικός Τηλ /

8 5 iii) 6 7 Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση ( ) ( ) [ πρόσηµο] 5 5 ( 6 7 ) 5 ( 6 7 ) ( 6 7 ) ( 6 7 )( 6 7 ) της 6 7 η οποία είναι η 6 7. Αλλάζουµε απλά το Ά ρα : = = = = = ( ) ( ) 6 8 ( 7 ) ( 7 ) 10 iv) 5 7 Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση 70 ( ) ( ) [ πρόσηµο] ( 5 7 ) 10 ( 5 7 ) ( 5 7 ) ( 5 7 )( 5 7 ) της 5 7 η οποία είναι η 5 7. Αλλάζουµε απλά το Ά ρα : = = 18 = = = = Αν x = να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: x i) x ii) x iii) x ( 1 x) 1, x 0 x 8x x x Θα χησιµοποιήσουµε τις εξής ταυτότητες: ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΙΑΦΟΡΑΣ : α β =α αββ ΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒ ΩΝ : α β = ( α β)( α αββ ) 18 7 ( ) ( ) ΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ!!!! : Άθροισµα Κύβων α β = αβ α αββ = = = = i) Θα υψώσουµε την ισότητα x = στο τετράγωνο και τα µέλη. x 1 Άρα θα έχουµε: x = x x x 1 x = x = 17 x x 1 x 1 1 = 16 x 1 = 16 x x Μαθηματικός Τηλ /

9 Άρα θα έχουµε: x = x = x x x 8x x x x x 1 όρ όρ ii) Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα ΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ : α β = α β α αββ = x x x x 17 x = = = = 5= 70 x x x ίσο µε ίσο µε 17 iii) Eφαρµόζουµε την Επιµεριστική Ιδιότητα x ( 1 x) 1 = x 1 x x 1 = x x = x x x x x x x x x x x = 17 70= Να αποδείξετε ότι : = Σε τέτοιου είδους ασκήσεις προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε Ταυτότητες του τετραγώνου της µορφής : ( α± β ) = ( α ) ± α β ( β) = Έ χουµε : = = ( αβ) = ( 5 7) ( 5 7) ( 8 ) ( 8 ) ( α β) ( α β) = ( 5 7) ( 8 ) ( 5 7) ( 8 ) = = Μαθηματικός Τηλ /