Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος

Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος

Εισαγωγή Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-2 Η κίνηση των στηρίξεων προκαλεί δυναμική καταπόνηση στην κατασκευή, έστω και αν δεν επενεργούν εξωτερικά δυναμικά φορτία σ αυτήν. Η σεισμική κίνηση του εδάφους αποτελεί σύνηθες παράδειγμα κίνησης στηρίξεων στις κατασκευές. Στο σχήμα φαίνεται το δυναμικό προσομοίωμα ενός μονοβάθμιου συστήματος, του οποίου το έδαφος στήριξης κινείται οριζόντια κατά u g (t). Σε κάθε χρονική στιγμή t, ησυνολική μετατόπιση του συστήματος από την αρχική θέση ισορροπίας u t, αποτελείται από την εδαφική μετατόπιση u g και τη σχετική μετατόπιση της κεφαλής του στύλου ως προς το έδαφος (βάση στύλου), u. u = u + u t g (1) m k u () g t (a) θέση ισορροπίας c f I u g u t fs u = mu k (b) t m = ku (c) c fd = cu

Εισαγωγή (...) Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Από τη δυναμική ισορροπία του συστήματος προκύπτει η εξίσωση κίνησης του μονοβάθμιου συστήματος: mu + cu + ku = mu () t ή 2 u + 2 ζω u + ω u = u ( t) (2) Δ16-3 Παρατηρούμε ότι για δεδομένη u () g t, η μετατόπιση του συστήματος εξαρτάται μόνο από την ιδιοσυχνότητα ω (ήτην ιδιοπερίοδο Τ ) και το λόγο απόσβεσης ζ, δηλαδή, u=u(t, T, ζ). Κατά συνέπεια δύο συστήματα που έχουν την ίδια ιδιοπερίοδο Τ και λόγο απόσβεσης ζ, θα έχουν την ίδια απόκριση, έστω και αν το ένα σύστημα έχει διαφορετική μάζα ή ακαμψία από το άλλο. Στην περίπτωση κίνησης του εδάφους, ηδύναμηδιέγερσης είναι mu g. Δηλαδή, είναι σημαντικό να προσδιοριστεί η επιτάχυνση του εδάφους u () g t και όχι η μετακίνηση του ug() t. Η εδαφική επιτάχυση μπορεί να καταγραφεί από ειδικά όργανα που ονομάζονται επιταχυνσιόμετρα. g g

Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-4 Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος υπό Σεισμική Διέγερση Η συνάρτηση που περιγράφει τη σεισμική διέγερση, δηλαδή τη u () g t είναι πολύπλοκη, γι αυτό και ο προσδιορισμός της απόκρισης δεν είναι δυνατός με εφαρμογή αναλυτικών λύσεων. Πρέπει κανείς να καταφύγει σε αριθμητικές μεθόδους υπολογισμού, είτε του ολοκληρώματος Duhamel, είτε στις μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης της εξίσωσης κίνησης που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη διάλεξη. Στο σχήμα φαίνεται η μετατόπιση 3 μονοβάθμιων συστημάτων (Εξίσωση (2)) λόγω της εδαφικής επιτάχυνσης που καταγράφτηκε κατά το σεισμό του El Cetro (1940). Τα συστήματα έχουν τον ίδιο λόγο απόσβεσης ζ=2% αλλά διαφορετικές ιδιοπεριόδους: T =0.5 sec, 1 sec, 2 sec.

Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-5 Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος υπό Σεισμική Διέγερση Αφού υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος u(t) από δυναμική ανάλυση, οι εσωτερικές δυνάμεις μπορούν να υπολογιστούν από στατική ανάλυση της κατασκευής σε κάθε χρονική στιγμή με την εισαγωγή της έννοιας του ισοδύναμου στατικού φορτίου f s. Το ισοδύναμο στατικό φορτίο ορίζεται ως f () t = ku() t s όπου k είναι η πλευρική ακαμψία του πλαισίου. Εκφράζοντας την ακαμψία συναρτήσει της μάζας, το f s (t) γράφεται f t ku t m u t ma t 2 s() = () = ω () = () όπου ορίζεται η ψευδοεπιτάχυνση ως A t 2 () = ωu() t

Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-6 Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος υπό Σεισμική Διέγερση Σε κάθε χρονική στιγμή, η τέμνουσα βάσης προκύπτει από τη σχέση V () t = f () t = ma() t b και η ροπή βάσης προκύπτει από τη σχέση όπου h είναι το ύψος της μάζας από τη βάση. s M () t = f () t h = V () t h b s b Το ισοδύναμο στατικό φορτίο fs () t = ku() t δεν πρέπει να συγχέεται με το ισοδύναμο δυναμικό φορτίο p = eff () t mug() t. Το ισοδύναμο δυναμικό φορτίο σχετίζεται με το (αρχικό) δυναμικό πρόβλημα (που συμπεριλαμβάνει τις δυνάμεις αδράνειας και απόσβεσης) και ανάγει την επιτάχυνση εδάφους σε δύναμη ασκούμενη στη μάζα. Το δυναμικό πρόβλημα ανάγεται σε ένα ισοδύναμο στατικό πρόβλημα (που εμπεριέχει μόνο ελαστικές δυνάμεις!) με τη βοήθεια του ισοδύναμου στατικού φορτίου f s (t). Η δύναμη f s (t) είναι εξωτερική δύναμη που επιβάλλεται στατικά στο σύστημα και προκαλεί μετατόπιση u(t) ίση μ αυτήν που προκαλεί η δυναμική διέγερση.

Φάσματα Απόκρισης Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-7 Συνήθως το ενδιαφέρον ενός μελετητή επικεντρώνεται στις μέγιστες τιμές της απόκρισης, οι οποίες θα χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό των ροπών και τεμνουσών σχεδιασμού. Η γραφική παράσταση του μέγιστου της απόκρισης της κατασκευής υπό τη δράση συγκεκριμένης διέγερσης, για διάφορες τιμές της ιδοπεριόδου T και του λόγου απόσβεσης ζ του μονοβάθμιου ταλαντωτή, ονομάζεται φάσμα απόκρισης. Κάθε καμπύλη φάσματος αφορά μία μόνο τιμή του λόγου απόσβεσης ζ. Φάσματα απόκρισης μπορούν να οριστούν για τη μετατόπιση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση μονοβάθμιου ταλαντωτή.

Φάσματα Απόκρισης (...) Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-8 Φάσμα Μετατόπισης (D) Στο σχήμα φαίνονται οι χρονοϊστορίες της μετατόπισης τριών μονοβάθμιων συστημάτων λόγω του σεισμού El Cetro. Τα τρία συστήματα έχουν τον ίδιο λόγο απόσβεσης ζ=2% αλλά διαφορετικές ιδιοπεριόδους. Για κάθε σύστημα προσδιορίζεται η μέγιστη τιμή μετατόπισης. Κάθε τιμή αποτελεί την τεταγμένη του φάσματος μετατόπισης, ενώ η ιδοπερίοδος T αποτελεί την τετμημένη. Επαναλαβάνοντας τη διαδικασία αυτή για ένα εύρος τιμών ιδιοπεριόδων (με σταθερό λόγο απόσβεσης ζ=2%) καταστρώνουμε το φάσμα μετατόπισης D για το σεισμό El Cetro (σχήμα (c)).

Φάσματα Απόκρισης (...) Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Φάσμα Ψευδοταχύτητας (V) και Ψευδοεπιτάχυνσης (A) Δ16-9 Τα φάσματα ταχύτητας και επιτάχυνσης δε μας είναι χρήσιμα για τον προσδιορισμό των δυνάμεων (π.χ. τέμνουσα βάσης και ροπή βάσης) ενός συστήματος. Αντί των φασμάτων ταχύτητας και επιτάχυνσης, ορίζουμε δύο άλλα μεγέθη: Φάσμα ψευδοταχύτητας: V = ω D (3) Φάσμα ψευδοεπιτάχυνσης: A = ω D = ω V 2 (4) Τα φάσματα μετατόπισης, ψευδοταχύτητας και ψευδοεπιτάχυνσης περιέχουν την ίδια πληροφορία της δυναμικής απόκρισης του συστήματος, αφού το ένα προκύπτει από το άλλο με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με ένα γνωστό αριθμό, το ω.

Φάσματα Απόκρισης (...) Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-10 Στο σχήμα φαίνονται τα τρία φάσματα: το φάσμα μετατόπισης D, ψευδοταχύτητας V και ψευδοεπιτάχυνσης A, για το σεισμό El Cetro για λόγο απόσβεσης ζ=2%.

Φάσματα Απόκρισης (...) Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-11 Η τριάδα των φασμάτων μετατόπισης, ψευδοταχύτητας και ψευδοεπιτάχυνσης για ένα σεισμό, μπορεί να ενσωματωθεί σε ένα μόνο λογαριθμικό γράφημα, με κεκλιμένους άξονες τεταγμένων για τις τιμές D και A. Ένα τέτοιο φάσμα φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα για το σεισμό El Cetro για λόγο απόσβεσης ζ=2%.

Φάσματα Απόκρισης (...) Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-12 Τα φάσματα απόκρισης αποτελούν ένα εξαιρετικό εργαλείο για το σχεδιασμό των κατασκευών, απαλλάσσοντας τον μελετητή από χρονοβόρες αριθμητικές ολοκληρώσεις της διαφορικής εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας. Χρησιμοποιώντας τα φάσματα απόκρισης, προσδιορίζονται οι μέγιστες τιμές απόκρισης της κατασκευής (D, V, A), από τις οποίες υπολογίζονται οι μέγιστες τιμές των εντατικών μεγεθών. Η μέγιστη μετατόπιση του συστήματος είναι V A u0 = D = = 2 (5) ω ω και η μέγιστη τιμή του ισοδύναμου στατικού φορτίου f s0 είναι fs0 = kd = ma (6) Το ισοδύναμο στατικό φορτίο αντιστοιχεί σε ένα ιδεατό φορτίο το οποίο όταν εφαρμοστεί στατικά στο φορέα, προκαλεί μετατόπιση ίση με τη μέγιστη δυναμική μετατόπιση που προκαλεί ο πραγματικός εδαφικός κραδασμός.

Φάσματα Απόκρισης (...) Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-13 Oι εσωτερικές δυνάμεις προκύπτουν από στατική ανάλυση του μονοβάθμιου συστήματος για στατική φόρτιση f s0 Ημέγιστητέμνουσα βάσης δίνεται από τη σχέση V = f = kd = ma b0 S0 (7) και η μέγιστη ροπή βάσης δίνεται από τη σχέση M = f h = V h = mah b0 S0 b0 (8) Ημέγιστηροπή υποστυλώματος δίνεται από τη σχέση M νei νei A = D h = h ω c0 2 2 2 (9) όπου ο συντελεστής 3 ν = 6 για μονόπακτα υποστυλώματα για αμφίπακτα υποστυλώματα

Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-14 Σύγκριση Φασμάτων Ψευδοταχύτητας Ταχύτητας Η σχετική ταχύτητα μετατόπισης ut (): προκύπτει από παραγώγιση της Η μετατόπιση ενός συστήματος λόγω τυχαίας φόρτισης pt () δίνεται από το ολοκλήρωμα Duhamel. Για σεισμική διέγερση, pt () = mu () t, οπότε g ( ) ut 1 t ζω ( τ ) = τ ω ( τ) τ ω t ut () u() si 0 g e D t d D (10) Παραγωγίζοντας τη σχέση (10) παίρνουμετησχετική ταχύτητα: t ζω ( t τ ) 0 g D ( ) ut () = ζω ut () u() τ e cos ω t τ dτ (11) Το φάσμα της σχετικής ταχύτητας u 0 u 0( T, ς ) προκύπτει από τις μέγιστες τιμές u της χρονικής συνάρτησης ut ( ). 0

Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-15 Σύγκριση Φασμάτων Ψευδοταχύτητας Ταχύτητας (...) Στο σχήμα γίνεται σύγκριση του φάσματος ταχύτητας και ψευδοταχύτητας, για το σεισμό El Cetro για λόγο απόσβεσης ζ=10%. Παρατηρούμε ότι υπάρχουν κάποιεςδιαφορέςμεταξύτου φάσματος ταχύτητας u 0 και ψευδοταχύτητας V, για ιδιοπεριόδους Τ >1.5 sec. Η διαφορά μεταξύ των δύο φασμάτων μεγαλώνει όσο η απόσβεση μεγαλώνει.

Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-16 Σύγκριση Φασμάτων Ψευδοεπιτάχυνσης Ολ.Επιτάχυνσης Με γνωστή τη σχετική μετατόπιση ut () και τη σχετική ταχύτητα ut ( ), η ολική επιτάχυνση του συστήματος u t προκύπτει από την εξίσωση κίνησης ως Το φάσμα της ολικής επιτάχυνσης t t u 0 u 0( T, ς) προκύπτει από τις μέγιστες τιμές της χρονικής συνάρτησης u t. Στο σχήμα γίνεται σύγκριση του φάσματος επιτάχυνσης u t και 0 ψευδοεπιτάχυνσης Α, για το σεισμό El Cetro για λόγο απόσβεσης ζ=10%. Παρατηρούμε ότι η προσέγγιση είναι ιδιαίτερα ακριβής. Η διαφορά μεταξύ των δύο φασμάτων μεγαλώνει όσο η απόσβεση μεγαλώνει. t 2 u () t = ω ut () 2 ζω ut () (12)

Σύγκριση Φασμάτων Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-17 Συμπερασματικά, όπως φαίνεται στα προηγούμενα σχήματα, οι σχέσεις (3) και (4), δηλαδή V = ω D A = ω D = ω V ισχύουν με ικανοποιητική ακρίβεια. 2