POISSON PROCESSES. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης (ΕΚΠΑ) 1 COUNTING (ARRIVAL) PROCESS

5-Oc-6 OIO ROC 6 Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ COUIG ARRIVAL ROC ω> dfid o o apl pac Ω i calld a coig proc providd ha: i i o-dcraig i icra by jp oly 3 i i righ coio 4 ω= ω 3 4 Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ

5-Oc-6 OIO ROC A coig proc ha aifi:. ach jp i of i agid. idpd icr For ay + - i idpd of ω 3. aioariy For ay h diribio of + - i idpd of La : For vry == -λ for o λ Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 3 roof : arrival i [+] arrival i [] ad arrival i [+] or + = = ad + = + == = + = idp. icr + == = = aioary icr * L =f h * f+=ff f h oly o-zro f aifyig * i -λ λ h == -λ λ Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 4

5-Oc-6 La : i.. rob li arrival ovr a all far ha La 3: li arrival ra roof : li li li i.. rob arrival ovr a all Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 5 hor : If i oio h == -λ λ /! = for o λ oic o hor r bhavior : δ all arrival i +δ = -λδ+οδ arrival i +δ = λδ+oδ > arrival i +δ = oδ Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 6

5-Oc-6 Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 7 o of oio proc high for larg o : copar wih Wir' '!!!!! ' ' Var Var Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 8! h oio i :if Copar wih Wir' i Copar wih Wir' i aioary icr. id.icr. R R Corrolary o boh. coo h idpd icr propry a a rl of Wir proc h iilar o ho of : Abov o o

5-Oc-6 Alraiv dfiiio of oio roc - A by chcig i apl h validiy of h idpd ad aioary icr propry i oio wih ra λ iff a ω ha i agid jp for alo all ω b ٧ + - =λ Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 9 Alraiv dfiiio of oio roc - B by chcig i apl h validiy of h oio diribio i oio wih ra λ iff B == -λb λb /! = For ay b B of R ha i h io of a fii br of dijoi irval who lgh p o b. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ

5-Oc-6 ropoiio: Uiforiy of h diribio of h i of L A A... A! a A A...A B!...! b roof : c d A i i... idpd ic wri ach prob a a oio ovr ach b-irval ad aipla c oio arrival occrrc ovr a irval all i B b. cd d B A i i c d A i dijoi A a i d A dijoi. h... i B i lgh A a... b Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ O h iaio of λ : rog Law of Larg br LL jifi : λ roof : U dicr i i axi * 3... ar all i.i.d. wih a λll hold ω li a.. O h liiig bhavior of : Fro * Cral Lii hor ipli λ li x λ i h of i.i.d. RV' x π y DF for good approxiaio for λ - λ i h variac dy Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ

5-Oc-6 ropoiio: diribio of irarrival i λ... i.. i i xpoially diribd ad idpd of pa arrival i. roof:... λ idp. icr. of oio... Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 3 oryl of irarrival i ic xpoial h diribio of + - i oryl: + - >+ + - >= + - > i.. owig ha i i hav pad ic h la arrival do o affc h i wh h x arrival will occr which rai xpoial wih h a parar λ. ad diffrly: o ar which i ia I obrv h y h volio of fr arrival i i idpd of ad pa arrival i. h hr i o d o aiai ay rcord rgardig pa arrival o dri fr o gra iplificaio i y odlig. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 4

5-Oc-6 Bri of oio arrival L τ b h gric RV for τ = + - τ =- -λ f τ =λ -λ ic f τ dcra wih τ L A > B τ L for L <L L L h hor irarrival i occr or frqly ha log o. λ Α Β h arrival appar i br clr oio i a fairly bry arrival proc a h diicio bw bri of arrival ad iforiy of h i of arrival ovr a irval Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 5 Alraiv dfiiio of oio roc - C A coig arrival proc i oio iff h aociad irarrival i ar idpd ad idically diribd xpoial RV. o of irarrival i: λ λ d λ Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 6

5-Oc-6 O h arrival o irarrival i oio roc o of arrival i... Var ic idp. λ λ Diribio of arrival i rlag - λλ f! λ 3 λ λλ! o: rlag - i h diribio of h irarrival i of grop of oio rlag - i h diribio of h of xpoial ad idical RV' arrival Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 7 xapl : U U ar car irarrival i ad idp. i rlag - diribd i.. U λ λ λ U i a oio proc h arrival i of ha oio. h ay b viwd a h of wo irarrival i U U wih ra λ. L 4 U 3 6... b If # car ha pad by bfor or a λ λλ! λ λλ!... Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 8

5-Oc-6 Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 9 - - - - ralizaio co for h pariclar oal h rplac h co of pr val of h failr for ralizaio oio d o h idp. ad xpo. lifi i failr i [] # of h ir ra. Fid h xpcd co. i ha pr val i..$ p a i oy i of ad h dico ra po failr.rplac co i by a idical rplacd hardwar which i pic of a lifi of A xpoial hardwar lifi ad rplac co : Cω C Cω ω C xapl Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ h followig ad ig h rl ay b drivd by ig h ] [......... wri : failr - ir propry of h i.i.d. o 3 f f C d C

5-Oc-6 ropoiio : for a o - gaiv fcio f o R whr f f f d i h occrrc i arrival of v i a oio proc wih ra. roof : f f! Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ f! f d! h h h d d f d oppig i of a arrival proc A RV i a oppig i of a arrival proc if h occrrc of h v i drid by i.. by owig h hiory of h arrival proc p o. xapl : 5 =h i of h 5 h arrival i oppig i ic dri if 5. xapl : =fir i irarrival i xcd o val C. I i a oppig i. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ

5-Oc-6 oio arrival ovr [+] for a RV If = a fixd rado poi i i w ow ha + - i idpd fro ad oio wih ra λ. If i o fixd b a RV h abov hold if i oppig i ad h + - = = -λ λ /! =.g. = i a oppig i = i of occrrc of h larg irarrival i o a oppig i ic cao b drid by ic h fr volio of h arrival proc i dd a wll. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 3 xapl: B arriv a oio wih λ=. pr i. Ipcor arriv a i of h 5 h b arrival afr i ad will ay for 6 i. Fid h diribio of b o arriv wihi h 6 i. Awr: i of arrival of ipcor i a oppig i. h 6! 5... Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 4

5-Oc-6 Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 5 Forward Rcrrc i c c c c V V V V V h : roof a irarrival ha of h a a i h diribio of i.. ad h x arrival i bw crr i raiig hor : V Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 6 bw wo arrival!!! irval ha a ordiary ch o avrag i largr ha covr ha w happ o obrv irval h irarrival ha i ad o : V V

5-Oc-6 xapl: h i bw h wo cociv arrival coaiig or i of arrival o h b op i alo wic a larg o h avrag a h ypical b irarrival i aig oio b arrival. Rao why h b i alway or la ha al - or claid by h copay - wh w arriv a h b op Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 7 Uiq of oio prpoiio propry: If L & ar rwal proc ad hir prpoiio i rwal h all 3 ar oio rwal proc: i.i.d. b o carily xpoial irarrival i. Dcopoiio of a oio proc: = oio wih ra λ X = Brolli wih para. p = =# of cc i rial ω rial i.. arrival ha ar pli bad o p ar carrid o i [] ω= ω ω i h br of cc ovr [] L ω= ω- ω i h br of failr ovr [] Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 8

5-Oc-6 Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 9 A hor brig i brig i....!! :ffic o how ha roof rpcivly ad & L ar idpd. ad wih ra ar oio & : L L p p L L L p λp L L p p Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 3 p p X X X L!!!! of ar idp. ad h & oic ha... ow A B A B

5-Oc-6 xapl: i h oio arrival proc of car ra λ. 5 ar h arrival proc of car wih 5 pagr.3.3... ar h pagr occpacy probabilii for 5. 5 ar oio wih ra.3λ.3λ.λ.λ.λ. xpcd # of pagr pr i i: + +3 3 + 4 4 +5 5 =.3λ+*.3λ+3*.λ+4*.λ+5*.λ Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 3 Copod oio proc allowig jp of ay iz i a oio proc Dfiiio A: Z=Z i a copod oio providd ha: a Z ω ha oly fiily ay jp i ay fii irval a.. b for all Z + -Z i idp. of Z c for all h diribio of Z + -Z dpd o idp. of Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 3

5-Oc-6 o: if = i h proc ha co h br of jp i ] h b & c ==> i oio. Z & diffr i h fac ha jp i Z ar o all qal o o b ar RV X X. b & c ==> X X ar i.i.d. ad h idp. of. If ar oio arrival i & X X ar i.i.d. RV idp. of h h of all X i ch ha i Z for a copod oio proc. Dfiiio: Z i a copod oio iff i jp i for a oio proc & h agid of i jp ar i.i.d RV idpd of h jp i. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης ΕΚΠΑ 33