λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr. Στις πρεκτάσεις των ίσων πλευρών ΒΑ και ΓΑ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε ίσα τµήµατα Α, ΑΕ αντιστίχως. Αν Μ είναι τ µέσ της ΒΓ, να απδείξεις ότι τ τρίγων Μ Ε είναι ισσκελές ΒΜ ΓΜ (υπόθεση) Βˆ Γˆ Π-Γ-Π (αφύ τ ΑΒΓ είναι ισσκελές) τα τρίγωνα ΒΜ και ΓΜΕ Β ΓΕ είναι ίσα (ως αθρίσµατα ίσων τµηµάτων) άρα: Μ ΜΕ δηλ. τ Μ Ε είναι ισσκελές. Σε τρίγων ΑΒΓ πρεκτείνυµε τη διάµεσ ΑΜ κατά Μ ΑΜ. Να απδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓ είναι ίσα ΒΜ ΓΜ (υπόθεση) Μˆ Μˆ Π-Γ-Π (ως κατακρυφήν) τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΓΜ ΑΜ Μ είναι ίσα (υπόθεση) άρα: ΑΒ Γ µίως: τα τρίγωνα ΒΜ και ΑΜΓ είναι ίσα άρα: Β ΑΓ ΑΒ Γ Π-Π-Π ΑΓ Β τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓ είναι ίσα ΒΓ ΒΓ
δηµήτρη πιµενίδη 3. Έστω ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (µε ΑΒ ΑΓ). Η µεσκάθετς της πλευράς ΑΓ τέµνει την πρέκταση της ΓΒ στ σηµεί. Πρεκτείνυµε τη Α κατά ΑΕ Β. Να απδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΓ και Γ Ε είναι ισσκελή αφύ τ είναι σηµεί της µεσκαθέτυ τυ ΑΓ θα είναι: Α Γ άρα τ ΑΓ είναι ισσκελές συνεπώς ω Γˆ αλλά και Bˆ Γˆ (αφύ τ ΑΒΓ είναι ισσκελές) άρα ω Βˆ ΑΒ ΑΓ (υπόθεση) φ θ (ως παραπληρωµατικές των ίσων ω,βˆ ) Β ΑΕ (υπόθεση) τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓΕ είναι ίσα, συνεπώς: Α ΓΕ, αλλά: Α Γ, άρα: Γ ΓΕ δηλ. τ τρίγων Γ Ε είναι ισσκελές Π-Γ-Π 4. ίνεται ρθγώνι (Â 90 ) τρίγων ΑΒΓ και η διχτόµς τυ Β. Από τ φέρνυµε ευθεία κάθετη στη ΒΓ πυ τέµνει την ΑΒ στ Ζ. Να απδείξεις ότι τ τρίγων ΒΓΖ είναι ισσκελές Αˆ Εˆ ( ) Βˆ (υπόθεση) Βˆ τα τρίγωνα ΒΑ και ΒΕ είναι ίσα Β κινή συνεπώς: ΑΒ ΒΕ Αˆ Εˆ ( ) κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων Βˆ κινή τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΒΖ είναι ίσα ΑΒ ΒΕ συνεπώς: ΒΓ ΒΖ δηλ. τ τρίγων Γ Ε είναι ισσκελές
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr 3 5. ίνεται κύκλς (Ο, R), δύ ίσες χρδές τυ ΑΒ, Γ και τα απστήµατά τυς ΟΚ, ΟΛ αντιστίχως. Αν ι πρεκτάσεις των ΒΑ, Γ τέµννται στ σηµεί Μ, να απδείξεις ότι: i. τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ είναι ίσα ii. MA MΓ και ΜΒ Μ αφύ ΑΒ Γ και τα Κ, Λ είναι µέσα τυς θα είναι: ΑΚ ΚΒ ΓΛ Λ i. κριτήρι ισότητας Κˆ Λˆ (, από την υπόθεση) ρθγωνίων τριγώνων ΟΜ κινή τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ ΟΚ ΟΛ (απστήµατα ίσων χρδών) είναι ίσα συνεπώς: ΜΚ ΜΛ ii. αφύ ΜΚ ΜΛ και ΑΚ ΚΒ ΓΛ Λ, είναι: ΜΑ ΜΓ (ως διαφρές ίσων τµηµάτων) ΜΒ Μ (ως αθρίσµατα ίσων τµηµάτων) 6. Έστω ε, ε δύ κάθετες ευθείες πυ τέµννται στ Ο και Μ τυχαί σηµεί τυ επιπέδυ. Αν Μ είναι τ συµµετρικό τυ Μ ως πρς ε και Μ τ συµµετρικό τυ Μ ως πρς ε, να απδείξεις ότι: i. ΟΜ ΟΜ και ii. τα σηµεία Μ και Μ είναι συµµετρικά ως πρς Ο i. η ΟΚ είναι µεσκάθετς τυ ΜΜ, συνεπώς: ΟΜ ΟΜ µίως: ΟΜ ΟΜ άρα: ΟΜ ΟΜ ii. στα ισσκελή τρίγωνα ΜΟΜ και Μ ΟΜ τα ύψη ΟΚ και ΟΛ είναι και διχτόµι, συνεπώς: Οˆ + Οˆ + Οˆ + Οˆ (Οˆ + Οˆ ) 3 4 3 άρα τα σηµεία Μ, Ο και Μ είναι συνευθειακά κι αφύ ΟΜ ΟΜ τα σηµεία Μ, Μ είναι συµµετρικά ως πρς Ο
4 δηµήτρη πιµενίδη 7. Σε ρθγώνι (Â 90 ) τρίγων ΑΒΓ, η διχτόµς της γωνίας Γ τέµνει την ΑΒ στ. Να απδείξεις ότι: Α < Β αφύ είναι σηµεί της διχτόµυ της Γˆ, είναι: Α Ε αλλά στ ρθγώνι τρίγων ΕΒ η Β είναι υπτείνυσα, συνεπώς: Ε < Β δηλαδή Α < Β α 8. Να απδείξεις ότι σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει: µ α <,, > Αˆ >,, < Βˆ + Γˆ στ τρίγων ΑΜΒ: ΑΜ <,, > ΒΜ Βˆ<,, > Αˆ στ τρίγων ΑΜΓ: ΑΜ <,, > ΓΜ Γˆ<,, > Αˆ + Βˆ +Γˆ<,, > Αˆ
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr 5 9. Αν ΑΜ είναι διάµεσς τριγώνυ ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ, να απδείξεις ότι: i. M ÂB > Μ Αˆ Γ ii. β - γ < µ α < β + γ iii. µ α + µ β + µ γ < τ πρεκτείνυµε τη διάµεσ κατά ίσ τµήµα πότε: i. ΜΑ Μ Π-Γ-Π Μˆ (ως κατακρυφήν) τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΓΜ είναι ίσα Μˆ ΜΒ ΜΓ (υπόθεση) πότε ΑΒ Γ και Μ ΑˆΒ Μ ˆ Γ στ τρίγων ΑΓ είναι: ΑΓ > Γ (ΑΒ) άρα Α ˆ Γ> Αˆ Γ δηλ. Μ Αˆ Β> Μ Αˆ Γ ii. στ τρίγων ΑΓ σύµφωνα µε την τριγωνική ανισότητα έχυµε: ΑΓ Γ < Α < ΑΓ + Γ δηλαδή: β - γ < µ α < β + γ iii. δείξαµε ότι: µ α < β + γ + µίως: µ β < γ + α (µ α + µ β + µ γ ) < (α + β + γ) µ γ < α + β δηλ. µ α + µ β + µ γ < τ 0. ίνεται κύκλς (Ο, ρ), µία διάµετρς τυ ΑΒ και ι εφαπτόµενες ε, ε τυ κύκλυ στα σηµεία Α και Β. Αν µία τρίτη εφαπτµένη ε τέµνει τις ε, ε στα σηµεία Γ και, να απδείξεις ότι: Γ Οˆ 90 ι ΟΓ και Ο αντιστίχως είναι διχτόµι των εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών Α Οˆ Μ και Β Οˆ Μ άρα: ΟΓ Ο δηλαδή Γ Οˆ 90
6 δηµήτρη πιµενίδη. Από τ έγκεντρ Ι τριγώνυ ΑΒΓ φέρυµε παράλληλη στη ΒΓ πυ τέµνει τις ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία και Ε αντιστίχως. Να απδείξεις ότι: Ε Β + ΓΕ Ιˆ (εντός εναλλάξ των παραλλήλων Ε,ΒΓ πυ τέµννται απ τη ΒΙ) Βˆ Βˆ (υπόθεση) Βˆ άρα Ιˆ Βˆ δηλαδή τ τρίγων Β Ι είναι ισσκελές συνεπώς: Β Ι µίως: ΓΕ ΙΕ επµένως: Ε Ι + ΙΕ Β + ΓΕ. Από τα άκρα ευθυγράµµυ τµήµατς ΑΒ φέρυµε στ ίδι ηµιεπίπεδ δύ παράλληλες ηµιευθείες Αx και Βy. Παίρνυµε τυχαί σηµεί Γ τυ ΑΒ και στις Αx, Βy τα σηµεία, Ε αντιστίχως, ώστε Α ΑΓ και ΒΕ ΒΓ. Να απδείξεις ότι Γˆ Ε 90 στ ισσκελές τρίγων ΓΑ έχυµε: συνεπώς αφύ ˆ είναι: Γˆ Γˆ + ˆ + Αˆ 80 Γˆ + Αˆ 80 Αˆ άρα: Γˆ 90 - Βˆ µίως: Γˆ 90 - Αˆ + Βˆ 80 άρα: ΓˆΕ 80 -Γˆ -Γˆ 90 (αφύ ι Αˆ, Βˆ είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων Αx,By πυ τέµννται απ την ΑΒ)
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr 7 Αˆ 3. Να απδείξεις ότι σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει: Βˆ 90 + εξ ΑΒ ΑΓ Αˆ Βˆ 90 + εξ Αˆ Βˆ Γˆ Αˆ Αˆ +Γˆ + + + Γˆ Βˆ Γˆ Βˆ ΑΒ ΑΓ 4. Αν Α είναι διχτόµς τριγώνυ ΑΒΓ µε Β > Γ, να απδείξεις ότι: i. Α ˆ Γ - Α ˆ Β Βˆ -Γˆ ii. Α ˆ Β 90 Βˆ -Γˆ και Α ˆ Γ 90 + Βˆ -Γˆ i. ι Α ˆΓ, Α ˆ Β είναι εξωτερικές στα τρίγωνα Α Β, Α Γ αντιστίχως, Αˆ Αˆ άρα: Α ˆΓ -Α ˆΒ Βˆ + - (Γˆ + ) Βˆ -Γˆ ii. αν λύσυµε (π.χ. µε πρόσθεση και αφαίρεση των εξισώσεων κατά µέλη) τ σύστηµα Α ˆΓ -Α ˆΒ Βˆ -Γˆ o Α ˆΓ + Α ˆΒ 80 o Βˆ -Γˆ βρίσκυµε ότι: Α ˆΓ 90 + και o Βˆ -Γˆ Α ˆΒ 90 -
8 δηµήτρη πιµενίδη 5. Αν είναι τυχαί σηµεί της πλευράς ΑΒ ισσκελύς (ΑΒ ΑΓ) τριγώνυ ΑΒΓ και στην πρέκταση της ΓΑ πάρυµε τµήµα ΑΕ Α, να απδείξεις ότι: Ε ΒΓ Αˆ στ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ είναι: Βˆ 90 - Αˆ στ ισσκελές τρίγων ΑΕ είναι: ˆ 90 - εξ Αˆ Βˆ Γˆ Βˆ +Γˆ Αˆ + + - στ τρίγων Β Ζ έχυµε: Ζˆ 80 -Βˆ - ˆ 80 -Βˆ - ˆ (αφύ ˆ ˆ ως κατακρυφήν) Αˆ Αˆ 80 - ( 90 - ) - 90 δηλαδή Ε ΒΓ 6. Αν Ε και Ζ είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ και Γ αντιστίχως, παραλληλγράµµυ ΑΒΓ, να απδείξεις ότι ι ΑΓ, Β και ΕΖ συντρέχυν ι διαγώνιες ΑΓ και Β τυ ΑΒΓ διχτµύνται στ Ο τ τετράπλευρ ΑΕΓΖ είναι κι αυτό παραλληλόγραµµ γιατί ι απέναντι πλευρές τυ ΑΕ και ΓΖ είναι παράλληλες και ίσες (ως ίσες µε τα µισά των ίσων ΑΒ, Γ ) συνεπώς ι διαγώνιές τυ ΑΓ και ΕΖ διχτµύνται στ Ο άρα ι ΑΓ, Β και ΕΖ συντρέχυν στ Ο
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr 9 7. Πρεκτείνυµε τις πλευρές Γ και Α παραλληλγράµµυ ΑΒΓ κατά τµήµατα ΓΕ Γ και ΑΖ Α αντιστίχως. Να απδείξεις ότι τα σηµεία Ζ, Β και Ε είναι συνευθειακά τα τετράπλευρα ΑΒΕΓ και ΑΖΒΓ είναι παραλληλόγραµµα γιατί απ την υπόθεση έχυν απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες συνεπώς: ΒΕ//ΑΓ και ΒΖ//ΑΓ επειδή όµως από τ Β άγεται µία µόν παράλληλη στην ΑΓ συµπεραίνυµε ότι τα Ζ, Β και Ε είναι συνευθειακά 8. Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, Γ και Α τετραγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε αντιστίχως τα σηµεία Κ, Λ, Μ και Ν ώστε ΑΚ ΒΛ ΓΜ Ν. Να απδείξεις ότι τ ΚΛΜΝ είναι τετράγων ΑΚ ΒΛ ΓΜ Ν (υπόθεση) ΑΝΒΚΓΛ Μ (διαφρές ίσων τµηµάτων από τις ίσες πλευρές τυ ΑΒΓ ) επµένως (Π-Γ-Π): τα ρθγώνια τρίγωνα ΚΑΝ, ΛΒΚ, ΜΓΛ και Ν Μ είναι ίσα άρα: ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΚ (συνεπώς τ ΚΛΜΝ είναι ρόµβς) και Κˆ Νˆ Λ ΚˆΝ 80 -Κˆ -Κˆ 80 - (Νˆ +Κˆ ) 90 (αφύ στ ρθγώνι τρίγων ΚΑΝ είναι: Άρα ρόµβς ΚΛΜΝ είναι τετράγων Νˆ 90 ) +Κˆ
0 δηµήτρη πιµενίδη 9. Αν Ε, Ζ είναι τα µέσα των πλευρών Α, ΒΓ αντιστίχως ρθγωνίυ ΑΒΓ, Η τ σηµεί τµής των ΑΖ, ΒΕ και Θ τ σηµεί τµής των Ζ, ΓΕ, να απδείξεις ότι τ ΕΘΖΗ είναι ρόµβς τ ΑΖΓΕ είναι παραλληλόγραµµ γιατί από την υπόθεση είναι: ΑΕ // ΖΓ και ΑΕ ΖΓ (µισά των ίσων πλευρών Α και ΒΓ τυ ΑΒΓ ) συνεπώς: ΑΖ // ΕΓ µίως: ΒΕ // Ζ άρα τ ΕΘΖΗ είναι παραλληλόγραµµ τ ΑΒΖΕ είναι ρθγώνι (γιατί Α 90, ΑΕ // ΒΖ και ΑΕ ΒΖ) συνεπώς: ΕΗ ΗΖ άρα τ ΕΘΖΗ είναι ρόµβς 0. Aν Ε, Ζ είναι αντιστίχως τα µέσα των πλευρών ΒΓ και Γ παραλληλγράµµυ ΑΒΓ, να απδείξεις ότι ι ΑΕ και ΑΖ τριχτµύν τη διαγώνι Β αν Ο είναι η τµή των ΑΓ και Β τότε ΑΟ ΟΓ και ΒΟ Ο τ Θ είναι βαρύκεντρ τυ τριγώνυ Α Γ Β συνεπώς: Θ Ο Β 3 3 3 Β Β µίως: ΒΗ πότε: ΘΗ Β - Θ -ΒΗ 3 3 άρα ι ΑΕ και ΑΖ τριχτµύν τη διαγώνι Β
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr. Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ (Â 90 ) µε Bˆ 30 η κάθετς στ µέσ Μ της υπτείνυσας ΒΓ τέµνει την πλευρά ΑΒ στ. AB Να απδείξεις ότι: i. Μ Α ii. Μ 3 o i. στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ αφύ Bˆ 30 είναι ΑΓ ΜΓ συνεπώς τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΓ και ΜΓ πυ έχυν κινή τη Γ είναι ίσα (κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων) άρα Μ Α o ii. στ ρθγώνι τρίγων ΒΜ αφύ Bˆ 30 είναι Β Μ ΑΒ Α + Β Μ + Β Μ + Μ 3Μ ΑΒ άρα: Μ 3. Έστω τρίγων ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ, η διχτόµς τυ Α και Μ τ µέσ της ΒΓ. Αν Ε είναι η πρβλή τυ Β στην Α, να απδείξεις ότι: ΑΓ - ΑΒ Αˆ i. ΕΜ // ΑΓ ii. ΕΜ iii. Εˆ Μ αν Ζ είναι η τµή της ΒΕ µε την ΑΓ τότε στ ΒΑΖ η ΑΕ είναι ύψς και διχτόµς άρα και διάµεσς και τ ΒΑΖ είναι ισσκελές πότε ΑΖ ΑΒ στ τρίγων ΒΖΓτα Ε και Μ είναι µέσα των ΒΖ και ΒΓ συνεπώς: i. ΕΜ // ΖΓ δηλ. ΕΜ // ΑΓ ii. iii. ΖΓ ΕΜ ΕˆΜ ΑˆΓ ΑΓ - ΑΖ Αˆ ΑΓ - ΑΒ (ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΕΜ, ΑΓ πυ τέµννται από την Α )
δηµήτρη πιµενίδη 3. Αν Κ και Λ είναι ι πρβλές της κρυφής Α τριγώνυ ΑΒΓ στην εσωτερική και εξωτερική διχτόµ της γωνίας Β αντιστίχως, να απδείξεις ότι: i. τ ΑΚΒΛ είναι ρθγώνι ii. η ευθεία ΚΛ διέρχεται από τ µέσ της ΑΓ ι ΒΚ και ΓΛ είναι διχτόµι των Βˆ καιβˆ εξ πυ είναι εφεξής και παραπληρωµατικές, άρα ΒΚ ΒΛ i. τ ΑΚΒΛ είναι ρθγώνι αφύ έχει ΚΒˆΛ ΒΛˆΑ ΒΚˆΑ ii. ι διαγώνιες τυ ΑΚΒΛ είναι ίσες και διχτµύνται συνεπώς: τ Μ είναι µέσ της ΑΒ και τ τρίγων ΒΜΚ είναι ισσκελές πότε Κˆ Βˆ Bˆ άρα ΛΚ // ΒΓ (γιατί τεµνόµενες από τη ΒΚ σχηµατίζυν γωνίες εντός εναλλάξ ίσες) στ τρίγων ΑΒΓ λιπόν η ΚΛ διέρχεται από τ µέσ Μ της ΑΒ και ΚΛ // ΒΓ άρα η ΚΛ διέρχεται από τ µέσ της ΑΓ 4. ίνεται ισσκελές τραπέζι ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ) µε ΑΒ < Γ και τα ύψη τυ ΑΕ και ΒΖ. Γ - ΑΒ Να απδείξεις ότι: Ε ΓΖ ΑΕ ΒΖ γιατί είναι παράλληλα (ως κάθετα στη Γ ) τµήµατα µεταξύ των παραλλήλων ΑΒ και Γ τ ΑΒΖΕ είναι λιπόν ρθγώνι πότε: ΑΒ ΕΖ τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΕ και ΒΖΓ έχυν ΑΕ ΒΖ και Α ΒΓ (υπόθεση) άρα είναι ίσα συνεπώς: Ε ΓΖ Ε Γ ΓΖ ΕΖ Γ Ε - ΑΒ επµένως: Γ - ΑΒ Ε ΓΖ Γ - ΑΒ Ε
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr 3 5. Αν Α,Β,Γ, και Κ είναι αντιστίχως ι πρβλές των κρυφών και τυ κέντρυ Κ παραλληλγράµµυ ΑΒΓ σε µία ευθεία ε πυ αφήνει όλες τις κρυφές πρς τ ίδι µέρς της, να απδείξεις ότι: ΑΑ + ΒΒ + ΓΓ + 4ΚΚ ι διαγώνιες ΑΓ και Β τυ ΑΒΓ διχτµύνται δηλαδή τ Κ είναι µέσ των ΑΓ και Β ΑΑ // ΒΒ // ΓΓ // // ΚΚ (ως κάθετες στην ε) τα ΑΑ Γ Γ και ΒΒ είναι λιπόν τραπέζια και η ΚΚ διάµεσός τυς, συνεπώς: ΑΑ + ΓΓ ΚΚ και ΒΒ + ΚΚ άρα: ΑΑ + ΒΒ + ΓΓ + 4ΚΚ 6. Έστω Α, Β τα σηµεία τµής δύ κύκλων. Αν Γ, είναι τα αντιδιαµετρικά σηµεία τυ Α στυς δύ κύκλυς, να απδείξεις ότι η ευθεία Γ διέρχεται από τ Β φέρνυµε την κινή χρδή ΑΒ των δύ κύκλων Α ΒˆΓ ΑΒˆ 90 (ως εγγεγραµµένες σε ηµικύκλια) Α ΒˆΓ + ΑΒˆ 80 συνεπώς τα Γ, Β και είναι συνευθειακά δηλαδή η ευθεία Γ διέρχεται από τ Β
4 δηµήτρη πιµενίδη 7. ύ κάθετες χρδές ΑΒ και Γ ενός κύκλυ τέµννται στ σηµεί Ρ. Να απδείξεις ότι η διάµεσς ΡΜ τυ τριγώνυ ΡΒΓ είναι κάθετη στην Α στ ρθγώνι τρίγων ΡΒΓ είναι Βˆ +Γˆ 90 και ΡΜ ΜΒ (πότε Βˆ ) Ρˆ Ρˆ (κατακρυφήν) Ρˆ Αˆ Γˆ (εγγεγραµµένες πυ βαίνυν στ τόξ ΑΒ) στ τρίγων ΡΕΑ έχυµε Ρˆ + Αˆ Ρˆ +Γˆ Βˆ +Γˆ 90 άρα δηλ. η διάµεσς ΡΜ τυ τριγώνυ ΡΒΓ είναι κάθετη στην Α Ρ ΕˆΑ 90 8. ύ κύκλι εφάπτνται εσωτερικά ή εξωτερικά (να εξετάσεις δύ περιπτώσεις) σε ένα σηµεί Α και δύ ευθείες ε και ε πυ διέρχνται από τ Α τέµνυν τν έναν κύκλ στα σηµεία Β και Β και τν άλλν στα σηµεία Γ και Γ αντιστίχως. Να απδείξεις ότι: ΒΒ // ΓΓ φέρνυµε την κινή εσωτερική εφαπτµένη δ των δύ κύκλων, πότε: Βˆ (υπό χρδής ΑΒ και εφαπτµένης στ Α Αˆ µίως: άρα: Γˆ Αˆ και εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ τόξ ΑΒ ) Αˆ (κατακρυφήν) Αˆ Βˆ Γˆ συνεπώς ΒΒ // ΓΓ (γιατί τεµνόµενες απ την ε σχηµατίζυν γωνίες εντός εναλλάξ ίσες) φέρνυµε την κινή εφαπτµένη δ των δύ κύκλων, πότε: Αˆ Βˆ (υπό χρδής ΑΒ και εφαπτµένης στ Α και εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ τόξ ΑΒ ) µίως: Αˆ Γˆ άρα: Βˆ Γˆ συνεπώς ΒΒ // ΓΓ (γιατί τεµνόµενες απ την ε σχηµατίζυν γωνίες εντός εκτός κι επί τα αυτά ίσες)
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr 5 9. Από τα σηµεία τµής Α, Β δύ κύκλων φέρυµε δύ ευθείες πυ τέµνυν τν ένα κύκλ στα σηµεία Γ, Γ και τν άλλ στα σηµεία,. Να απδείξεις ότι ΓΓ // φέρνυµε την κινή χρδή ΑΒ των δύ κύκλων, πότε: στ εγγεγραµµέν τετράπλευρ ΑΒΓ Γ είναι: Γˆ Βˆ στ εγγεγραµµέν τετράπλευρ ΑΒ είναι: άρα: Γˆ + ˆ 80 συνεπώς: ΓΓ // (γιατί τεµνόµενες απ την ε σχηµατίζυν γωνίες εντός και επί τα αυτά αραπληρωµατικές) Βˆ + ˆ 80 30. Να απδείξεις ότι τα ύψη Α, ΒΕ και ΓΖ τριγώνυ ΑΒΓ είναι διχτόµι των γωνιών τυ τριγώνυ ΕΖ Α ˆΒ ΑΕˆΒ άρα τ ΑΕ Β είναι εγγράψιµ συνεπώς: Βˆ ˆ µίως: Γˆ ˆ µίως: Γˆ Βˆ άρα: ˆ ˆ δηλ. τ Α είναι διχτόµς τυ τριγώνυ ΕΖ µίως τα ΒΕ και ΓΖ είναι διχτόµι τυ τριγώνυ ΕΖ
6 δηµήτρη πιµενίδη 3. Από την κρυφή Α παραλληλγράµµυ ΑΒΓ φέρυµε ευθεία ε η πία τέµνει τη Β στ σηµεί Ε, τη ΒΓ στ Ζ και την πρέκταση της Γ στ Η. ΑΖ ΑΒ Να απδείξεις ότι: i. και ii. AE EZ EH ΑΗ Η i. από την υπόθεση είναι ΓΖ // Α και Γ ΑΒ συνεπώς σύµφωνα µε τ θ. θαλή στ τρίγων ΑΗ είναι: AZ Γ ΑΒ AH Η Η ii. από την υπόθεση είναι Η // ΑΒ και ΒΖ // Α συνεπώς σύµφωνα µε τ θ. θαλή στα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕ ΑΕ ΒΕ ΕΖ ΒΕ αντιστίχως ισχύυν: και ΕΗ Ε ΑΕ Ε ΑΕ ΕΖ άρα: δηλ. AE EZ EH ΕΗ ΑΕ 3. Από τυχαί σηµεί Κ της διαµέσυ ΑΜ τριγώνυ ΑΒΓ φέρυµε παράλληλες πρς τις ΑΒ και ΑΓ ι πίες τέµνυν τη ΒΓ στα σηµεία και Ε αντιστίχως. Να απδείξεις ότι: Μ ΜΕ αφύ Κ // ΑΒ και ΚΕ // ΑΓ, σύµφωνα µε τ θ. θαλή στα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ αντιστίχως ισχύυν: Μ ΜΒ ΜΚ ΜΑ και ΜΕ ΜΚ ΜΓ ΜΑ άρα Μ ΜΒ ΜΕ ΜΓ κι επειδή από την υπόθεση είναι ΜΒ ΜΓ συµπεραίνυµε ότι: Μ ΜΕ
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr 7 33. ίνεται τρίγων ΑΒΓ εγγεγραµµέν σε κύκλ, τ σηµεί τµής της διαµέτρυ ΑΕ µε τη ΒΓ και Ζ, Η ι πρβλές τυ στις ΑΒ και ΑΓ αντιστίχως. Να απδείξεις ότι: ΖΗ // ΒΓ φέρνυµε τις ΕΒ και ΕΓ πότε: Ε ΒˆΑ ΕΓˆΑ (ως εγγεγραµµένες πυ βαίνυν σε ηµικύκλι) αφύ Ζ // ΕΒ (ως κάθετες στην ΑΒ) και µίως Η // ΕΓ, σύµφωνα µε τ θ. θαλή στα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΕ αντιστίχως ισχύυν: AZ A AB ΑΕ και Α ΑΕ ΑΗ ΑΓ άρα ΑΖ ΑΗ ΑΒ ΑΓ συνεπώς: σύµφωνα µε τ αντίστρφ τυ θ. θαλή στ τρίγων ΑΒΓ είναι ΖΗ // ΒΓ 34. Αν Μ είναι τ µέσ της πλευράς ΒΓ τριγώνυ ΑΒΓ και ι διχτόµι των γωνιών ΑΜΒ και ΑΜΓ τέµνυν τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντιστίχως, να απδείξεις ότι: Ε // ΒΓ σύµφωνα µε τ θ. εσωτερικής διχτόµυ στα ΑΜΒ και ΑΜΓ αντιστίχως ισχύυν: Α ΜΑ B ΜΒ και ΕΑ ΜΑ ΕΓ ΜΓ άρα Α ΕΑ Β ΕΓ (αφύ ΜΒ ΜΓ) σύµφωνα λιπόν µε τ αντίστρφ τυ θ. θαλή στ ΑΒΓ είναι Ε // ΒΓ
δηµήτρη πιµενίδη 8 35. Έστω ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ) και περιγεγραµµένς τυ κύκλς. Αν είναι τυχαί σηµεί τυ τόξυ ΒΓ και η Α τέµνει την πλευρά ΒΓ στ Ε, να απδείξεις ότι: ΕΒ Γ ΕΓ Β ˆ ˆ (ως εγγεγραµµένες πυ βαίνυν σε ίσα (αφύ ΑΒ ΑΓ) τόξα) σύµφωνα λιπόν µε τ θ. εσωτερικής διχτόµυ στ τρίγων Β Γ ισχύει: ΕΒ Β δηλ. ΕΒ Γ ΕΓ Β ΕΓ Γ εκτός ύλης... Raffaello Sanzio (483-50) the school of athens (509)