Εφαρμογές αλυσίδων και μονοπατιών Euler

Εφαρμογές αλυσίδων και μονοπατιών Euler

Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Μια αλυσίδα (chain) σε ένα γράφημα G λέγεται αλυσίδα Euler αν χρησιμοποιεί κάθε ακμή του G ακριβώς μία φορά Ένα μονοπάτι (path) σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα D λέγεται μονοπάτι Euler αν χρησιμοποιεί κάθε τόξο του D ακριβώς μία φορά Οι αλυσίδες Euler προέκυψαν από το πρόβλημα γεφυρών στο Königsberg Μπορούσαν οι άνθρωποι στην πόλη Königsberg να διασχίσουν μια σειρά από γέφυρες περνώντας από κάθε μία ακριβώς μία φορά και να επιστρέψουν στο σημείο από όπου ξεκίνησαν; Ο Euler απέδειξε ότι κάτι τέτοιο δεν ήταν δυνατό και εν τω μεταξύ ανέπτυξε τεχνικές πολύ σημαντικές για τη θεωρία γραφημάτων Πλέον, οι ιδέες των αλυσίδων και μονοπατιών Euler βρίσκουν εφαρμογές σε προβλήματα όπως δρομολόγηση (routing) σάρωσης οδών (street sweeping) και εκχιονιστικών μηχανημάτων, διαλεύκανση γενετικών πληροφοριών σχεδιασμός τηλεπικοινωνιακών συστημάτων

Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Πολυγραφήματα (multigraphs): επιτρέπονται πολλαπλές ακμές μεταξύ των κορυφών τους καθώς και ανακυκλώσεις Κατευθυνόμενα πολυγραφήματα (multidigraphs): επιτρέπονται πολλαπλά τόξα μεταξύ των κορυφών τους καθώς και ανακυκλώσεις Αν πολυγράφημα περιέχει κλειστή αλυσίδα Euler πρέπει να είναι συνεκτικό Επειδή μια αλυσίδα Euler πρέπειναεξέρχεταιαπόκάθε κορυφή στην οποία εισέρχεται κάθε κορυφή πρέπει να έχει άρτιο βαθμό Βαθμός κορυφής: πλήθος προσκείμενων ακμών

Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Ένα πολυγράφημα G περιέχει κλειστή αλυσίδα Euler αν και μόνον αν είναι συνεκτικό και κάθε κορυφή του έχει άρτιο βαθμό ΑΠΟΔΕΙΞΗ [Harary (1969)] Μια κλειστή αλυσίδα Euler είναι: a, b, c, b, c, d, a, e, d, f, a

Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Ένα πολυγράφημα G περιέχει αλυσίδα Euler ανκαιμόνονανείναι συνεκτικό και το πλήθος κορυφών περιττού βαθμού είναι 0 ή 2 Στο σχήμα υπάρχει αλυσίδα Euler a, b, c, d, a, c, d αλλά δεν υπάρχει κλειστή αλυσίδα Euler αφού οι κορυφές a και d έχουν περιττό βαθμό

Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Αν D κατευθυνόμενο πολυγράφημα Έξω βαθμός (outdegree) μιας κορυφής od: πλήθος εξερχόμενων τόξων Έσω βαθμός (indegree) μιας κορυφής id: πλήθος εισερχόμενων τόξων Αν ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα περιέχει κλειστό μονοπάτι Euler πρέπει να είναι ασθενώς συνεκτικό δηλ., να είναι συνεκτικό αν αγνοήσουμε την κατεύθυνση στις ακμές [Good (1947)] Ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα D περιέχει κλειστό μονοπάτι Euler αν και μόνον αν είναι ασθενώς συνεκτικό και για κάθε κορυφή του ο έξω βαθμός ισούται με τον έσω βαθμό [Good (1947)] Ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα D περιέχει κλειστό μονοπάτι Euler αν και μόνον αν είναι ασθενώς συνεκτικό γιαόλεςτιςκορυφέςεκτόςίσωςαπό2 ο έσω βαθμός ισούται με τον έξω βαθμό για το πολύ 2 κορυφές ο έσω βαθμός και ο έξω βαθμός διαφέρουν κατά 1

Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Το πρώτο πολυγράφημα δεν περιέχει μονοπάτι Euler αφού υπάρχουν κορυφές που indegree και outdegree διαφέρουν κατά 2 Το δεύτερο πολυγράφημα δεν περιέχει μονοπάτι Euler γιατί υπάρχουν 4 κορυφές όπου indegree και outdegree διαφέρουν κατά 1

Ορισμοί και βασικά θεωρήματα Επειδή το άθροισμα των indegrees ισούται με το άθροισμα των outdegrees αν υπάρχει 1 ιδιάζουσα κορυφή θα υπάρχουν 2 Η μία θα έχει id = od + 1 Η άλλη θα έχει id = od 1 Τα προηγούμενα συμπεράσματα ισχύουν και όταν υπάρχουν ανακυκλώσεις (loops) Μια ανακύκλωση (loop) συνεισφέρει 1 και στο indegree και στο outdegree ιας κορυφής οι ανακυκλώσεις δεν παίζουν ρόλο στην ύπαρξη αλυσίδων, μονοπατιών, κλειστών αλυσίδων και κλειστών μονοπατιών Euler

Το πρόβλημα μεταφοράς The transportation problem Το πρόβλημα ανακύπτει σε διάφορες εφαρμογές και καλείται: Το πρόβλημα μεταφοράς the transportation problem Υποθέτουμε ότι υπάρχει συγκεκριμένος αριθμός αποθηκών και συγκεκριμένος αριθμός αγορών a ij : κόστος για μεταφορά μιας μονάδας ενός προϊόντος από την αποθήκη i στην αγορά j Έστω x i ο αριθμός των μονάδων του προϊόντος στην αποθήκη i και y j ο αριθμός των μονάδων του προϊόντος που χρειάζεται η αγορά j Ποιο απόθεμα σε κάθε αποθήκη πρέπει να μεταφερθεί σε κάθε αγορά ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς; Είναι πολυμελετημένο πρόβλημα και υπάρχουν πολύ σχετικοί πρακτικοί αλγόριθμοι Hillier & Lieberman (1974) Wagner (1975) Θα δούμε πώς χρησιμοποιούμε αλγόριθμους για το transportation problem για να βρίσκουμε συγκεκριμένα είδη κλειστών μονοπατιών Euler

Οδοκαθαρισμός Οι δήμοι ξοδεύουν μεγάλα ποσά για οδοκαθαρισμό, εκχιονισμό κτλ Πώς η έννοια των κλειστών μονοπατιών Euler συμμετέχει στον καθορισμό βέλτιστων διαδρομών για οδοκαθαρισμό ή εκχιονισμό; Tucker& Bodin (1976) Liebling (1970)

Οδοκαθαρισμός curb multidigraph: πολυγράφημα που αντιστοιχεί στους δρόμους μιας πόλης Κορυφές: γωνίες οδών Τόξα: κράσπεδα πεζοδρομίων (curbs) Υπάρχει τόξο από τη γωνία x στη γωνία y αν υπάρχει κράσπεδο πεζοδρομίου από τη x στην y Κατασκευάζουμε πολυγράφημα επειδή σε έναν μονόδρομο υπάρχουν 2 κράσπεδα πεζοδρομίου που μπορούν να καθαριστούν διασχίζοντας την οδό στην ίδια κατεύθυνση Κάθε τόξο του πολυγραφήματος συσχετίζεται με 2 αριθμούς: sweeping time: δηλώνει το χρόνο που απαιτείται για τον καθαρισμό του συγκεκριμένου κράσπεδου deadheading time: δηλώνει το χρόνο που απαιτείται για τη διάσχιση του κράσπεδου χωρίς την εκτέλεση καθαρισμού

Οδοκαθαρισμός Σε μεγάλες πόλεις κατά τη διάρκεια της ημέρας απαγορεύεται η στάθμευση σε συγκεκριμένα κράσπεδα πεζοδρομίων για να μπορεί να εκτελεστεί οδοκαθαρισμός sweep subgraph: το υπογράφημα (κατευθυνόμενο υπογράφημα) του curb multidigraph που ορίζουν τα κράσπεδα που είναι άδεια σε κάποια χρονική Ενδιαφέρουσα ερώτηση: πώς να επιλέγουμε αυτά τα υπογραφήματα για εξοικονόμηση κόστους οδοκαθαρισμού; Ζητούμενο: να βρούμε τρόπο να καθαριστεί κάθε κράσπεδο στο sweep subgraph και να ολοκληρωθεί η διαδικασία στο λιγότερο δυνατό χρόνο Ταοχήματαξεκινούναπόκάποιονχώροστάθμευσηςκαιεπιστρέφουνεκεί αναζητούμε κλειστό μονοπάτι στο curb multidigraph Ο χρόνος που σχετίζεται με αυτό το μονοπάτι είναι το άθροισμα των χρόνων καθαρισμού (sweeping times) πάνω στα τόξα συν το άθροισμα των χρόνων διάσχισης (deadheading times) ακμών που δεν καθαρίζονται Αν ένα τόξο χρησιμοποιείται πολλές φορές υποθέτουμε ότι καθαρίζεται την πρώτη από αυτές (αν καθαρίζεται) και μετά χρησιμοποιείται ο χρόνος διάσχισης (deadheading time)

curb multidigraph Κανονικές γραμμές: sweep subgraph sweeping times: σε κυκλάκια deadheading times: σε τετραγωνάκια Φαίνονταιοιβαθμοίτωνκορυφώνστο sweep subgraph και το transportation problem Η λύση του συνίσταται στον εντοπισμό ενός βέλτιστου μονοπατιού Euler Οδοκαθαρισμός

Οδοκαθαρισμός Αν υπάρχει κλειστό μονοπάτι Euler στο sweep subgraph τότε αυτό το κλειστό μονοπάτι πρέπει να αποτελεί βέλτιστη λύση Τι γίνεται αν δεν υπάρχει τέτοιο μονοπάτι; Στο προηγούμενο παράδειγμα υπάρχουν 4 κορυφές όπου indegrees και outdegrees δεν είναι ίσοι στο sweep subgraph δεν υπάρχει κλειστό μονοπάτι Euler

Οδοκαθαρισμός Φανταζόμαστε ότι κάθε κλειστό μονοπάτι στο curb multidigraph που χρησιμοποιεί κάθε ακμή του sweep subgraph τουλάχιστον 1 φορά παράγεται από το sweep subgraph με πρόσθεση τόξων ώστε να πετύχουμε κατευθυνόμενο πολυγράφημα με κλειστό μονοπάτι Euler Τα τόξα που προσθέτουμε μπορεί να είναι: τόξα του curb multidigraph που δεν περιέχονται στο sweep subgraph ή τόξα στο sweep subgraph που ξαναχρησιμοποιούνται Τα τόξα μπορούν να χρησιμοποιηθούν παραπάνω από 1 φορά

Παράδειγμα Ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα με ένα κλειστό μονοπάτι Euler που κατασκευάζεται με την πρόσθεση των διακεκομμένων τόξων στο sweep subgraph Το κλειστό μονοπάτι f, e, b, a, f, e, d, c, d, c, b, a, f είναι κλειστό μονοπάτι Euler στο κατευθυνόμενο πολυγράφημα Τα τόξα που προστέθηκαν (deadheading arcs) φαίνονται διακεκομμένα Προσθέτουμε τόξα στο sweep subgraph ώστε στο κατευθυνόμενο πολυγράφημα που προκύπτει κάθε κορυφή να έχει ίσο outdegree και indegree το άθροισμα των deadheading times στατόξαναελαχιστοποιείται

Οδοκαθαρισμός [Tucker & Bodin (1976)] προτείνουν την εξής λύση Έστω d(i) = outdegree της κορυφής i στο sweep subgraph indegree της κορυφής i στο sweep subgraph Διατυπώνουμε το transportation problem ως εξής: Αποθήκες = κορυφές του sweep subgraph με αρνητικό d(i) Αγορές = κορυφές του sweep subgraph με θετικό d(i) Η ποσότητα x i του προϊόντος στην αποθήκη i είναι d(i) Η ποσότητα y j του προϊόντος για την αγορά j είναι d(j) Το κόστος μεταφοράς a ij είναι το μήκος του συντομότερου μονοπατιού στο curb multidigraph από την i στην j Μήκος μονοπατιού = άθροισμα των deadheading times στο μονοπάτι Τα deadheading τόξα που πρέπει να προστεθούν για να επιτύχουμε βέλτιστη διαδρομή οδοκαθαρισμού αντιστοιχούν στη λύση του προβλήματος μεταφοράς Αν b ij μονάδες προϊόντος μεταφέρονται από την i στη j στη λύση τότε το συντομότερο μονοπάτι από την i στην j περιέχεται b ij φορές

Δίνονται οι βαθμοί d(i), ο πίνακας (aij) καιοιποσότητεςx i και y j Μια βέλτιστη λύση είναι να στείλουμε 1 μονάδα προϊόντος από τη b στη c, από τη d στην eκαι από τη d στη c Τα αντίστοιχα συντομότερα μονοπάτια είναι: b, c, d, e και d, e, b, c Οδοκαθαρισμός

Δίνονται οι βαθμοί d(i), ο πίνακας (aij) καιοιποσότητεςx i και y j Μια βέλτιστη λύση είναι να στείλουμε 1 μονάδα προϊόντος από τη b στη c, από τη d στην eκαι από τη d στη c Τα αντίστοιχα συντομότερα μονοπάτια είναι: b, c, d, e και d, e, b, c Προσθέτουμε κάθε μονοπάτι 1 φορά και παίρνουμε το διπλανό πολυγράφημα με deadheading τόξα τα διακεκομμένα Ένα κλειστό μονοπάτι Euler είναι το a, f, e, d, e, b, c, b, c, d, e, b, a Το άθροισμα των deadheading times είναι 10 (< 24 στη διαφάνεια 16) Οδοκαθαρισμός

Αλυσίδες RNA Το DNA είναι το βασικό δομικό block κληρονομικότητας Το DNA είναι μια αλυσίδα που αποτελείται από βάσεις που είναι 1 από 4 χημικές ενώσεις: Θυμίνη Thymine (T) Κυτοσίνη Cytosine (C) Αδενίνη Adenine (A) Γουανίνη Guanine (G) Το RNA είναι ένα μόριο αγγελιοφόρος του οποίου οι σύνδεσμοι καθορίζονται από το DNA Οι πιθανές βάσεις είναι οι ίδιες εκτός από τη Θυμίνη που αντικαθίσταται με την Ουρακίλη Uracil (U Μια ακολουθία βάσεων κωδικοποιεί συγκεκριμένη γενετική πληροφορία

Αλυσίδες RNA Ποιος είναι ο αριθμός των πιθανών αλυσίδων RNA με συγκεκριμένη σύσταση; Π.χ., ποιος είναι ο αριθμός αλυσίδων RNA που περιέχουν 3 C, 2 U και 2 A; Έχουμε 7 θέσεις Διαλέγουμε 3 από αυτές για τα C με C(7,3)=7!/3!*4!=35 τρόπους Διαλέγουμε 2 από τις 4 θέσεις που μένουν για τα U με C(4,2)=4!/2!*2!=6 τρόπους Χρησιμοποιούμε τις 2 θέσεις που μένουν για τα A συνολικά προκύπτουν 35*6=210 πιθανές αλυσίδες RNA με 3 C, 2 U και 2 A Μια τέτοια αλυσίδα είναι η CUACUAC Γενικά, ο αριθμός των αλυσίδων RNA με k 1 C, k 2 U, k 3 A και k 4 G είναι: (k 1 +k 2 +k 3 +k 4 )!/k 1!k 2!k 3!k 4!

Αλυσίδες RNA Μπορούμε να μάθουμε καλύτερα πώς είναι μια αλυσίδα RNA μελετώντας το πώς σπάει η αλυσίδα μετα την εφαρμογή συγκεκριμένων ενζύμων [Mosimann (1968), Hutchinson (1969)] κάποιαένζυμασπάνεμιααλυσίδα RNA μετά από κάθε σύνδεσμο G και άλλα σπάνε την αλυσίδα μετά από κάθε σύνδεσμο U και μετά από κάθε σύνδεσμο C Π.χ., φανταστείτε την αλυσίδα RNA GAUGGACC Υπάρχουν άλλες 8!/(2!1!2!3!)= 1680 αλυσίδες με την ίδια σύσταση Εφαρμόζοντας τις 2 προηγούμενες κατηγορίες ενζύμων η αλυσίδα σπάει Μετά από κάθε σύνδεσμο G: G AUG G ACC» Πόσες αλυσίδες RNA υπάρχουν με τα συγκεκριμένα τμήματα αν δεν γνωρίζουμε τη σειρά εμφάνισής τους;» 4!/2!=12» Προσοχή: το τμήμα ACC μπορεί να είναι μόνο τελευταίο υπάρχουν μόνο 3!/2! = 3 αλυσίδες με τα συγκεκριμένα συστατικά: GAUGGACC, GGAUGACC, AUGGGACC Μετά από κάθε σύνδεσμο U και μετά από κάθε σύνδεσμο C: GAU GGAC C» Πόσες αλυσίδες RNA υπάρχουν με τα συγκεκριμένα τμήματα αν δεν γνωρίζουμε τη σειρά εμφάνισής τους;» 3!=6

Αλυσίδες RNA Επειδή γνωρίζουμε τα U,C τμήματα και τα G τμήματα μειώνεται πολύ ο αριθμός των πιθανών αλυσίδων G τμήματα: G, AUG, G, ACC U,C τμήματα: GAU, GGAC, C Από τις 3 πιθανές αλυσίδες που εντοπίσαμε ότι περιέχουν τα κατάλληλα G τμήματα, μόνον η GAUGGACC περιέχει τα κατάλληλα U,C τμήματα Η GGAUGACC περιέχει το GGAU σαν U,C τμήμα Η AUGGGACC περιέχει το AU σαν U,C τμήμα Αλλά κανένα από αυτά δεν εμφανίζεται μεταξύ των δοσμένων U,C τμημάτων Επομένως, ανακαλύψαμε τη σωστή αλυσίδα RNA από 1680 πιθανές αλυσίδες με συγκεκριμένη σύσταση εφαρμόζοντας κατάλληλα ένζυμα Θα δούμε πώς να εκτελέσουμε την παραπάνω διαδικασία χρησιμοποιώντας κλειστά μονοπάτια Euler σε συγκεκριμένο κατευθυνόμενο πολυγράφημα

Αλυσίδες RNA Υποθέστε ότι μετά την εφαρμογή ενζύμων G και U,C εντοπίζουμε τα εξής τμήματα: G: AUCG, G, CCG, AG, UAC U,C: C, C, C, GAU, GGAGU, AC Σπάμε κάθε τμήμα σε ακόμα μικρότερα μετά από κάθε G, U ή C Π.χ., το τμήμα AUCG χωρίζεται σε AU C G Κάθε τμήμα από αυτά καλείται εκτεταμένη βάση (extended base) Κάθε τμήμα από αυτά εκτός από το πρώτο και το τελευταίο καλείται εσωτερική εκτεταμένη βάση (interior extended base) Πώς ανακαλύπτουμε την αρχή και το τέλος της αλυσίδας; Φτιάχνουμε 2 λίστες Λίστα 1: περιέχει όλες τις εσωτερικές εκτεταμένες βάσεις από όλα τα τμήματα που προκύπτουν από την εφαρμογή και των 2 τύπων ενζύμων» Interior extended bases: C, C, G, AG Λίστα 2: περιέχει όλα τα τμήματα που περιέχουν μία εκτεταμένη βάση» G, AG, C, C, C, AC

Αλυσίδες RNA Οι δύο τελευταίες εσωτερικές εκτεταμένες βάσεις προέρχονται από το τμήμα GGAGU Συγκρίνοντας τις 2 λίστες παρατηρούμε ότι υπάρχουν 2 βάσεις στη Λίστα 2 που δεν υπάρχουν στη Λίστα 1: C, AC Αυτό θα συμβαίνει πάντα Επιπλέον, εύκολα αποδεικνύεται ότι μία από αυτές θα είναι η πρώτη εκτεταμένη βάση της αλυσίδας RNA και η άλλη θα είναι η τελευταία Πώς καταλαβαίνουμε ποια είναι η τελευταία; Αυτή που προέρχεται από κάποιο ανώμαλο τμήμα η τελευταία εκτεταμένη βάση ενός G τμήματος που δεν καταλήγει σε G ή ενός U,C τμήματος που δεν καταλήγει σε U ή C Στο παράδειγμα: η AC είναι η τελευταία εκτεταμένη βάση του ανώμαλου G τμήματος UAC ηαλυσίδαξεκινάειμεc και καταλήγει με AC

Αλυσίδες RNA Φτιάχνουμε τώρα ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα ως εξής: Όταν υπάρχει κανονικό τμήμα με περισσότερες από μία εκτεταμένες βάσεις χρησιμοποιούμε την πρώτη και την τελευταία εκτεταμένη βάση του τμήματος σαν κορυφές προσθέτουμε τόξο από την πρώτη στην τελευταία εκτεταμένη βάση Επιγράφουμε το τόξο με το όνομα του αντίστοιχου τμήματος

Αλυσίδες RNA Φτιάχνουμε τώρα ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα ως εξής: Όταν υπάρχει κανονικό τμήμα με περισσότερες από μία εκτεταμένες βάσεις χρησιμοποιούμε την πρώτη και την τελευταία εκτεταμένη βάση του τμήματος σαν κορυφές προσθέτουμε τόξο από την πρώτη στην τελευταία εκτεταμένη βάση Επιγράφουμε το τόξο με το όνομα του αντίστοιχου τμήματος Προσθέσαμε τόξο από την AU στη G με επιγραφή το όνομα του αντίστοιχου τμήματος AUCG Μπορεί να υπάρχουν πολλαπλά τόξα από κάποια εκτεταμένη βάση σε κάποια άλλη αν υπάρχουν αρκετά τμήματα που ξεκινάνε και καταλήγουν με τις δοσμένες εκτεταμένες βάσεις Π.χ., αν υπήρχαν τμήματα AUCG και AUAUG θα προσθέταμε 2 τόξα από την κορυφή AU προς την κορυφή G και θα επιγράφαμε το καθένα με το όνομα του αντίστοιχου τμήματος Τέλος, προσθέτουμε ένα τελευταίο τόξο στο κατευθυνόμενο πολυγράφημα: εντοπίζουμε το μεγαλύτερο ανώμαλο τμήμα και προσθέτουμε τόξο από την πρώτη εκτεταμένη βάση του στην πρώτηεκτεταμένηβάσητηςαλυσίδας Στο παράδειγμα: το μεγαλύτερο ανώμαλο τμήμα είναι το UAC προσθέτουμε τόξο από τη U στη C Επιγράφουμε το τόξο αυτό ως: X* Y, όπου X είναι το μεγαλύτερο ανώμαλο τμήμα, * επισημαίνει ότι πρόκειται για ιδιάζον τμήμα και Y είναι η πρώτη εκτεταμένη βάση της αλυσίδας Στο παράδειγμα: επιγράφουμε το τόξο από τη U στη C με UAC*C

Αλυσίδες RNA Από αυτό το κατευθυνόμενο πολυγράφημα εντοπίζεται κάθε πιθανή αλυσίδα RNA με τα συγκεκριμένα G και U,C τμήματα Κάθε τέτοια αλυσίδα αντιστοιχεί σε ένα κλειστό μονοπάτι Euler που καταλήγει στο ιδιάζον τμήμα X*Y Στο παράδειγμα: τομοναδικότέτοιοκλειστόμονοπάτοeuler περνάει από τις C G AU G U C Χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες επιγραφές στα τόξα λαμβάνουμε την αλυσίδα CCGAUCGGAGUAC η οποία όντως περιέχει τα κατάλληλα G και U,C τμήματα

Αλυσίδες RNA Δεν υπάρχει πάντα μοναδικό κλειστό μονοπάτι Euler στο κατευθυνόμενο πολυγράφημα ούτε μοναδική αλυσίδα RNA με δοσμένα G και U,C τμήματα Μπορεί να εφαρμοστούν αμφίλογα ένζυμα ώστε να μην είναι δυνατόν να ανασυσταθεί η αλυσίδα με μοναδικό τρόπο από τα G και U,C τμήματά της Ερευνητική προσέγγιση: διαχωρισμός αλυσίδων DNA με ένζυμα και συγκόλληση τμημάτων από διαφορετικά είδη π.χ., ανθρώπους και βακτήρια Εφαρμογή: παραγωγή ινσουλίνης Αρνητικό: δημιουργία επιβλαβών ατόμων

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση [Hutchinson& Wilf (1975)] Κάθε μόριο DNA ή RNA είναι μια λέξη και οι βάσεις (όχιοιεκτεταμένεςβάσεις) είναι τα γράμματα Απλουστευτική υπόθεση: όλη η πληροφορία μεταφέρεται μόνο μέσω του πλήθους των γραμμάτων κάθε τύπου και μέσω της συχνότητας διατεταγμένων ζευγών γραμμάτων συχνότητα με την οποία κάποιο γράμμα ακολουθεί κάποιο άλλο Ερώτηση: δεδομένων μη αρνητικών ακεραίων v i,v j,i,j=1,2,, n μπορεί μια λέξη να οριστεί σε αλφάβητο με n γράμματα με το i ό γράμμα να εμφανίζεται v i φορές και με το i να ακολουθείται από το j v ij φορές; Αν ναι, πόσες είναι όλες αυτές οι λέξεις; Η ερώτηση αυτή παρουσιάζει γενικότερο ενδιαφέρον στη δημιουργία κωδίκων

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και Έστω v 1 =2, v 2 =v 3 = 1 vij δίνεται από τον πίνακα κωδικοποίηση Μια λέξη που ακολουθεί το προκαθορισμένο μοτίβο είναι η ABCA A αντιστοιχεί στο 1 ο γράμμα B αντιστοιχεί στο 2 ο γράμμα C αντιστοιχεί στο 3 ο γράμμα Έστω v 1 =2, v 2 =4, v 3 = 3 vij δίνεται από τον πίνακα Μια λέξη που ακολουθεί το προκαθορισμένο μοτίβο είναι η BBCBACBAC

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Κατασκευάζουμε κατευθυνόμενο πολυγράφημα D με κορυφές τα n γράμματα Ai 1, Ai 2,, Ai q και τόξα v ij από το A i στο A j Επιτρέπονται ανακυκλώσεις Τα γραφήματα που αντιστοιχούν στα προηγούμενα παραδείγματα είναι v 1 =2, v 2 =v 3 = 1 v 1 =2, v 2 =4, v 3 = 3

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Έστωότιηλύσηείναιηλέξηw =Ai 1, Ai 2,, Ai q ηλέξηw αντιστοιχεί σε μονοπάτι Euler στο κατευθυνόμνεο πολυγράφημα D που ξεκινάει από την Ai 1 και καταλήγει στην Ai q Δείτε το για τις λέξεις ABCA και BBCBACBAC στα αντίστοιχα πολυγραφήματα v 1 =2, v 2 =v 3 = 1 v 1 =2, v 2 =4, v 3 = 3

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αν υπάρχει λέξη λύση το D πρέπει να είναι συνεκτικό Αν i 1 i q : Για κάθε i i 1, i q έχουμε στην κορυφή A i indegree=outdegree Για i = i 1 ισχύει outdegree = 1 + indegree Για i = i q ισχύει indegree = 1 + outdegree Χρησιμοποιώντας τη σταθερά Kronecker δ: Η σχέση αυτή δηλώνει ότι στον πίνακα (v ij ) τα αθροίσματα των γραμμών ισούνται με τα αθροίσματα των στηλών εκτός από 2 σημεία που διαφοροποιούνται κατά 1 Η παρακάτω σχέση συσχετίζει τα v i και v ij

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αν για κάποια i 1 i q ισχύουν οι συνθήκες και αν το D είναι ασθενώς συνεκτικό υπάρχει λέξη λύση και κάθε λέξη λύση αντιστοιχεί σε μονοπάτι Euler που ξεκινάει στην Ai 1 και καταλήγει στην Ai q

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Στο παράδειγμα: ισχύουν οι συνθήκες για i 1 =2, i q =3 Υπάρχουν διάφορα μονοπάτια Euler από τη B=Ai 1 στη C=Ai q και το καθένα δίνει μια λέξη λύση Π.χ., BACBBCBAC v 1 =2, v 2 =4, v 3 = 3

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Τι συμβαίνει αν η λέξη λύση αρχίζει και τελειώνει με το ίδιο γράμμα; Υπάρχει κλειστό μονοπάτι Euler και ισχύει ότι στον πίνακα (v ij ) το άθροισμα κάθε γραμμής ισούται με το άθροισμα της αντίστοιχης στήλης Επίσης ισχύει για i 1

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αν υπάρχει λέξη λύση το D είναι ασθενώς συνεκτικό και για κάποιο i 1 ισχύει Και είτε ισχύει και Είτε για i 1 και i q με i 1 i q ισχύει

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αντίστροφα, έστω D ασθενώς συνεκτικό Αν για κάποιο i 1 ισχύει Και για κάποια i 1 και i q με i 1 i q ισχύει Τότε υπάρχει λύση και όλες οι λέξεις λύσεις αντιστοιχούν σε μονοπάτια Euler που ξεκινάνε στην Αi 1 και καταλήγουν στην Ai q

Κλειστά μονοπάτια Euler, DNA και κωδικοποίηση Αντίστροφα, έστω D ασθενώς συνεκτικό Αν για κάποιο i 1 ισχύει Καιισχύεικαι Τότε υπάρχει λύση και όλες οι λέξεις λύσεις αντιστοιχούν σε κλειστά μονοπάτια Euler που ξεκινάνε στην Αi 1

Τηλεπικοινωνίες [Liu (1968)]: Ένα περιστρεφόμενο τύμπανο έχει 8 τομείς Ερώτηση: μπορούμε να πούμε ποια είναι η θέση του τύμπανου χωρίς να το κοιτάξουμε; Λύση Τοποθετούμε αγώγιμο υλικό σε κάποιους τομείς και μη αγώγιμο υλικό στους υπόλοιπους Τοποθετούμε 3 τερματικά κοντά στο τύμπανο έτσι ώστε σε κάθε θέση του τύμπανου τα τερματικά να εφάπτονται σε 3 διαδοχικούς τομείς Κάθε τερματικό ενεργοποιείται όταν εφάπτεται σε τομέα με αγώγιμο υλικό ΕΞΥΠΝΑΔΑ: το μοτίβο χρήσης αγώγιμου και μη αγώγιμου υλικού επιλέγεται κατάλληλα ώστε το μοτίβο ενεργοποιημένων και μη ενεργοποιημένων τερματικών να μας υποδεικνύει τη θέση του τύμπανου

Τηλεπικοινωνίες Αναδιατυπώνουμε το πρόβλημα ως εξής: Κάθε τομέας επιγράφεται με 1 ή 0 Επιθυμούμε να τοποθετήσουμε 8 O και 1 κυκλικά έτσι ώστε κάθε ακολουθία 3 διαδοχικών ψηφίων να είναι διαφορετική Γενικότερα: επιθυμούμε να τοποθετήσουμε 2 n O και 1 κυκλικά έτσι ώστε κάθε ακολουθία n διαδοχικών ψηφίων να είναι διαφορετική Είναι εφικτό αυτό και αν ναι πώς; ΛΥΣΗ Ορίζουμε ένα κατευθυνόμενο γράφημα D ως εξής Κορυφές: συμβολοσειρές από O και 1 με μήκος n 1 Υπάρχει τόξο από τη συμβολοσειρά a 1 a 2 a 3 a n 1 στις λέξεις a 2 a 3 a n 1 0 και a 2 a 3 a n 1 1 Επιγράφουμε κάθε τόξο με το νέο ψηφίο που προστίθεται Για n = 3 προκύπτει το κατευθυνόμενο γράφημα

Τηλεπικοινωνίες Στο D κάθε κορυφή έχει indegree = outdegree υπάρχει κλειστό μονοπάτι Euler Κάθε τέτοιο μονοπάτι δίνει μία λύση αν ακολουθήσουμε τις επιγραφές των τόξων Στο παράδειγμα: ένα κλειστό μονοπάτι Euler είναι το 00 00 01 11 11 10 01 10 00 Οι αντίστοιχες επιγραφές των τόξων είναι 0 1 1 1 0 1 0 0 Τις τοποθετούμε κυκλικά και αντίστροφα προς τη φορά του ρολογιού λαμβάνουμε τις εξής ακολουθίες διαδοχικών ψηφίων: 011, 111, 110, 101, 010, 100, 000, 001 που είναι διαφορετικές μεταξύ τους