Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα S { : p(, > 0} {, + } εξαρτάται από το και για αυτό γράφουµε την σππ στην εξής µορφή: 3 p (, Ι (,, (,+ όπου, > Ι (, + ( : 0, Η από κοινού σππ του δείγµατος Χ,,Χ γράφετε τότε: Ορίζουµε τη συνάρτηση: 3 p (, Ι (,+ (, ( f(, ( :, 0, > ( όπου ( m Οι συναρτήσεις K και L µε τιµές K( Ι (,+ ( και L ( f(, ( είναι ίσες διότι παίρνουν µόνο τις τιµές 0 και και επιπλέον K( αν και µόνο αν L ( Εποµένως 3 p (, { f(, ( } G( (, H ( Έτσι από το παραγοντικό κριτήριο Neym η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : ( m είναι επαρκής για το Για να αποδείξουµε την πληρότητα της Τ, χρειάζεται να γνωρίζουµε την κατανοµή της Για την συνάρτηση κατανοµής F (, της τµ Χ µε σππ p(,, έχουµε: 3 (, (,, F p u du u du > και F (,0 αν Συνεπώς αν F Τ (t, είναι η συνάρτηση κατανοµής της Τ τότε:
F ( t, P( T t P( T > t P( > t P( > t,,, P( > t T ( [( F ( t, ], t > t Παραγωγίζοντας ως προς t λαµβάνουµε την σππ της Τ: (, ft t t, t > Έστω τώρα Ε(h(T, 0 > 0 και για τυχούσα µετρήσιµη πραγµατική συνάρτηση h: Έχουµε ότι: Ε(h(T, 0 > 0 + + + h( t f (, t dt 0 h( t t dt 0 h( t t dt 0 T Παραγωγίζοντας την τελευταία ισότητα ως προς λαµβάνουµε ότι h( 0 > 0 h( 0 > 0, δηλαδή h(y0 y (0, + Για το σύνολο (, 0] ισχύει ότι PT ( 0 0 > 0, δηλαδή το (,0] έχει µέτρο µηδέν Άρα h0 σχεδόν παντού και συνεπώς η Τ( Χ : Χ( m είναι πλήρης κ Τότε: + + + κ κ κ κ T β Έστω Uψ(Τ αε του E( ψ( Τ ψ( t f (, t dt ψ( t t dt ψ( t t dt, > 0 Παραγωγίζοντας την τελευταία ισότητα ως προς προκύπτει: ( + κ ( + κ κ ψ (, > 0 ψ ( > 0 κ + + ( + κ κ ( + κ Άρα η στατιστική συνάρτηση U( ψ ( T( T( ( κ η µοναδική ΑΕΕ του, ως συνάρτηση µόνο της επαρκούς και πλήρους στατιστικής συνάρτησης Τ κ είναι Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα από την κατανοµή G, p µε σππ p p (, e, > 0, > 0, p Γ( p όπου p γνωστό α Να υπολογιστεί η πληροφορία Ι( κατά Fsher µιας παρατήρησης για το β Να βρεεί ΑΕΕ της και να συγκριεί η διασπορά της µε το κάτω φράγµα της ανισότητας Crmer-Ro
γ Να βρεεί ΑΕΕ της / και να συγκριεί η διασπορά της µε το κάτω φράγµα της ανισότητας Crmer-Ro α Άρα: l p(, l Γ( p pl + ( p l p l p (, + p l p (, 3 Χ ( l (, p ( p p p Ι Ε p p Ε 3 Ε Χ 3 3 β Το στήριγµα S { : p(, > 0} {0, + } δεν εξαρτάται από το Επιπλέον: p e c e Γ( p p Q( T( (, ( h( p ανήκει δηλαδή στην ΕΟΚ και συνεπώς η ΤΤ( Χ : και πλήρης για το Ακόµα έχουµε ότι: Ε(Τ Τ E ( p Ε p T( είναι επαρκής * Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η αε Τ ( Χ του είναι και ΑΕΕ ως p p συνάρτηση της επαρκούς και πλήρους Τ Επειδή οι Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες (άρα και ασυσχέτιστες έπεται ότι: V( * p V( Τ ( p ( p p Το κάτω φράγµα Crmer-Ro δίνεται από την * LB V ( T I( p γ Ισχύει ότι αν ~ G, p ~ G, p και άρα 3
+ E ft (, t dt κ κ T t 0 + + / y t p κ + p p p y ( p κ κ Γ κ t e dt t e dt y e dy κ p p p κ, t Γ( p Γ( p Γ( p Γ( p 0 0 0 αφού: + p κ y y e dy p 0 Γ( κ Για κ έχουµε Γ( p E, T Γ( p ( p αφού: Γ ( ( Γ( Τελικά: p E, T p και άρα η στατιστική συνάρτηση είναι ΑΕΕ του / T Ακόµα: p V ( p V ( p E E T T T T ( Γ( p ( p ( p Γ p ( p ενώ: d d 4 p LB < V I( p p T Άσκηση 3: Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα από την κατανοµή b(n,, (0, α Να δειχτεί ότι η στατιστική συνάρτηση είναι ΑΕΕ του Ν β Να βρεεί η ΕΜΠ του γ Έστω το τυχαίο δείγµα Χ,,Χ τυχαίο δείγµα από την κατανοµή b(3, Αν το δείγµα αυτό έδωσε τις µετρήσεις 3, 0, 3, 4, 5 να βρεεί ο ΕΜΠ της P(0 4
α Το στήριγµα S { : p(, > 0} {0,,, N} δεν εξαρτάται από το Επιπλέον: N l N N Q( T( p(, ( ( e c( e h( ανήκει δηλαδή στην ΕΟΚ και συνεπώς η Τ Τ( Χ : και πλήρης για το Ακόµα έχουµε ότι: Ε(Τ Τ E ( N Ε N Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η αε συνάρτηση της επαρκούς και πλήρους Τ * Τ ( Χ N N T( είναι επαρκής του είναι και ΑΕΕ ως β Έχουµε: Ακόµα: N N ( (, L N l( l + N l( + l, N d l( 0 d Ν d N ( N l d ( < 0 Ν Εποµένως η ˆ είναι η ΕΜΠ του Ν γ Από τις µετρήσεις 3, 0, 3, 4, 5 παίρνουµε ότι ˆ Ν 0466 Έτσι υποέτοντας ότι Χ~b(3,0466 έχουµε: 3 0 3 0 P ( 0 0466 ( 0466 057 0 Άσκηση 4: Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα από την κατανοµή N(µ,σ 5
Να βρεεί η ΕΜΠ του σ όταν: α µ γνωστό β µ άγνωστο γ Έστω πήραµε τις εξής µετρήσεις για το Χ: 0, 5, 3 03, 4, 5 08, 6 3, 7 4, 8 53, 9 07, 0 45 Να βρεεί ο ΕΜΠ της P(>09 α Έχουµε: ( µ σ L( σ e, ( πσ ( µ l( σ l π l σ, σ ( ( d µ µ l( σ + 0 σ dσ σ σ σ Παρατηρούµε ότι για σ ( ( µ είναι: 3 d l( σ < 0 d σ ( µ Εποµένως η ˆ ( µ είναι η ΕΜΠ του σ β Έχουµε: ( µ σ e L( µσ,, ( πσ l( µσ, l π l σ ( µ σ, 6
( d µ l ( 0 µ dµ σ ( µ ( d l( + 0 σ dσ σ σ ( σ Η λύση αυτή αντιστοιχεί πράγµατι σε µέγιστο αφού ο πίνακας Hesse για µ και σ ( είναι ο: ( l( µσ, Η 3 µσ 0 ( ο οποίος είναι αρνητικά ορισµένος Εποµένως η ΕΜΠ του σ όταν µ άγνωστο είναι: γ Από τις 0 µετρήσεις προκύπτει ότι: Άρα Χ ~ Ν(09,855 και εποµένως: ˆ σ ( ˆ µ 09 ( ˆ σ 855 09 09 09 P ( > 09 P( > Φ (0 05 855 855 Άσκηση 5: Ο αριµός Ν(t των εκπεµπόµενων σωµατιδίων α από µια ραδιενεργό πηγή σε χρόνο t ωρών ακολουεί την P(t, >0 Αν Χ,,Χ είναι οι ενδιάµεσοι χρόνοι µεταξύ διαδοχικών εκποµπών, να βρεούν α Η ΕΜΠ του β Η εκτιµήτρια ροπών του γ Η ΕΜΠ της πιανότητας σε χρόνο ωρών να µην έχουµε εκποµπή σωµατιδίου 0 7
α Είναι γνωστό από τις πιανότητες ότι τα Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες τµ που ακολουούν την Εκ( Οπότε: L ( e, l( l, d l( 0 d Ακόµα: d l( < 0 για d Εποµένως η ˆ είναι η ΕΜΠ του β Έχουµε Ε(Χ/ και λύνοντας ως προς παίρνουµε ότι ροπών του είναι η γ Είναι t οπότε η Ν( ακολουεί την P( Η ζητούµενη πιανότητα είναι: ˆ 0 ˆ ˆ ( PN ( ( 0 e e e 0! Άρα η εκτιµήτρια Άσκηση 6: Ο χρόνος ζωής Χ σε ώρες µιας λυχνίας ακολουεί κατανοµή µε συνάρτηση πυκνότητας p (, e, > 0, > 0 Αν Χ,,Χ είναι οι χρόνοι ζωής λυχνιών, τότε: α Να βρεεί η ΕΜΠ του β Ποια α ήταν η εκτίµηση σας για τον µέσο χρόνο ζωής, αν είχατε τις παρατηρήσεις:, 57, 3 60, 4 3, 5 84, 6 3, 7 8, 8 5, 9 7, 0 4; γ Με βάση τα δεδοµένα του β ερωτήµατος και την υπόεση περί της κατανοµής του χρόνου ζωής, να εκτιµήσετε την πιανότητα ο χρόνος ζωής µιας λυχνίας να είναι µεγαλύτερος των 0 ωρών δ Εκτιµήστε µη παραµετρικά, δηλαδή χωρίς την υπόεση περί κατανοµής, την πιανότητα στο ερώτηµα γ α Έχουµε: 8
Ακόµα για : L ( e, l( l l +, d l( + 0 d d 8 l( < 0 για d Εποµένως η ˆ είναι η ΕΜΠ του β Ο µέσος χρόνος ζωής της λυχνίας υπολογίζεται ως εξής: + + y / + 3 y ΕΧ ( e d e d y e dy Γ (3, 0 0 0 εφόσον Γ(3! Άρα η ΕΜΠ της Ε(Χ είναι η γ Έχουµε τα εξής : ˆ 444 + + + 0 y 0 0 0 0 P( > 0 e d e d ye d + e Για ˆ έχουµε: 0 0 ˆ P ˆ( > 0 + e 005 ˆ δ Με σκεπτικό ανάλογο αυτού της άσκησης, η µη παραµετρική εκτίµηση γίνεται 0 βάσει της διωνυµικής κατανοµής P> ˆ( 0 0 0 Άσκηση 7: Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα από την κατανοµή U(, Να βρεούν: α Ένα επαρκές στατιστικό για το (, β Η ΕΜΠ του (, γ Η εκτιµήτρια ροπών του (, δ Χρησιµοποιώντας τις παρακάτω 0 παρατηρήσεις 76 68 5 73 59 45 67 44 84 6 57 70 89 4 75 63 49 80 53 86 να εκτιµηούν οι παράµετροι (, µε την µέοδο των ροπών και την µέοδο µεγίστης πιανοφάνειας 9
α Η σππ της U(, είναι:, (, p (,, I (,, (, 0, (,, (, όπου Ι (, ( : 0, (, Οπότε η από κοινού σππ του δείγµατος είναι: p(,, I(, (, (,, Ορίζουµε την συνάρτηση: Τότε f (, ( f( (, (, b f(, b: 0, > b I(, ( για κάε (,,, µε ( m οπότε α έχουµε p(,, f (, ( f( (, G(T(,, H(, όπου ( G(T(,, f (, ( f( (, ( ( m και και H( Από το παραγοντικό κριτήριο Neym, συµπεραίνουµε ότι η T( ( T(, T ( ( (, ( είναι επαρκής εκτιµήτρια του (, β Η συνάρτηση πιανοφάνειας είναι: L(, I(, ( f (, ( f( (,, ( ( η οποία δεν παραγωγίζεται παντού ως προς και Έτσι για να µεγιστοποιηεί α πρέπει να ελαχιστοποιηεί η διαφορά - και ταυτόχρονα το γινόµενο f (, f(, να πάρει την µέγιστη τιµή του που είναι Όµως ( ( f (, ( f( (, αν-ν ( και ( Συνεπώς η ΕΜΠ του (, είναι η ( (, ( γ Θεωρούµε το σύστηµα E( E ( 0
( + + Επειδή E ( και Ε ( V( + [ E( ] + η λύση του παραπάνω συστήµατος δίνει την εκτιµήτρια ροπών του (, που είναι: 3 3 (, + ( δ Οι εκτιµήσεις των και µε την µέοδο µεγίστης πιανοφάνειας είναι: ˆ ( ( 4 ˆ ( ( 89 ενώ οι εκτιµήσεις των και µε την µέοδο των ροπών είναι: 3 0 ( ( 4007 0 3 0 ( + ( 8983 0 Άσκηση 8: Έστω ~ G(, και Χ,,Χ τυχαίο δείγµα Έστω T και R l είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T ( T, R είναι επαρκής για την * παράµετρο (, Είναι η T T, R επαρκής για την (, ; ( l Q(, T ( + Q (, T ( Γ( Γ( f (,, e e ( C(, e h( Άρα η κατανοµή ανήκει στη διπαραµετρική εκετική οικογένεια κατανοµών και συνεπώς η στατιστική συνάρτηση T ( T, R (, l είναι επαρκής για την παράµετρο (, * Από γνωστό πόρισµα η T T, R είναι επίσης επαρκής για την (,
Άσκηση 9: Έστω η διακριτή τµ ~ f (, ( + (, 0,, όπου Ω (0, Να βρεεί η ΕΜΠ της µε την βοήεια τδ Χ,,Χ Στην συνέχεια να ( βρεεί η ΕΜΠ της α ( και να εξετάσετε αν είναι αµερόληπτη Έχουµε: Ακόµα για : + ( ( (, L l( l + l( + l ( +, d l( 0 d + d l( < 0 d + + Εποµένως η ˆ είναι η ΕΜΠ του + ( ˆ Από γνωστό πόρισµα η ΕΜΠ της α ( είναι η ˆ ( α ( ˆ Θα εξετάσουµε τώρα αν η T είναι αε της α( Έχουµε ET ( E( E( E( Όµως: ( E k ( + ( + k αφού Άρα η Τ είναι αε της α( k + ( ( ( + ( ( + ( α( e, > 0, > 0 άγνωστη παράµετρος και α > 0 Άσκηση 0: Έστω Χ ~ f (, γνωστή παράµετρος Έστω τδ Χ,,Χ α Να βρείτε την ΕΜΠ της β Να εξετάσετε αν η ΕΜΠ είναι αµερόληπτη γ Με βάση το αποτέλεσµα του β να υποδείξετε µια ΑΕΕ της
δ Να βρείτε το κατώτερο φράγµα Crmer-Ro και να το συγκρίνετε µε τη διασπορά της ΑΕΕ που βρήκατε στο γ α Έχουµε: Ακόµα: Εποµένως η ˆ β Έστω U της και εν συνεχεία της α (, L e α l( l + l + l d l( 0 d είναι η ΕΜΠ του d l( < 0 d, Θα βρούµε την Ε(U Προηγουµένως α βρούµε την κατανοµή Επειδή η συνάρτηση y g( α είναι - και + συνεχώς παραγωγίσιµη στο S { : f(, > 0} {0, + } µε αντίστροφη g - (y y /α α έχουµε για την σππ της: dg ( y y y fy ( y f( g ( y y e y e, y > 0Άρα η Υ Χ α ~ G(,p dy και συνεπώς η τµ Ζ ~ G(,p Επειδή τώρα η στατιστική συνάρτηση U φ( Z α έχουµε: Z + + p p + z p z ω p z φ Z z Γ( p Γ( p 0 0 0 EU ( E[ φ( Z] ( z f ( zdz z e dz z e dz p + p p ω ω e dω ( p Γ 0 Γ( p Γ( 3
και συνεπώς η στατιστική συνάρτηση U γ Θέτουµε * Τ, δηλαδή * Τ U Τότε δεν είναι αε της * ET ( *, δηλαδή η Τ είναι αε Q( T( της Εξ άλλου f (, e ( C( e h(, δηλαδή η δοείσα κατανοµή ανήκει στην εκετική οικογένεια κατανοµών και συνεπώς η στατιστική συνάρτηση Ζ T( είναι επαρκής και πλήρης για την Άρα η αµερόληπτη συνάρτηση της επαρκούς και πλήρους στατιστικής συνάρτησης Ζ είναι ΑΕΕ δ Έχουµε: Άρα α l f (, (l + l + ( l α α α α α { } { I( Ε l f(, Ε Χ Ε Χ +Χ Ε Χ +Ε Χ Όπως είδαµε όµως στο β η τµ Χ α α ~ G(, και άρα Ε{ Χ } /, ενώ α { } { } ( α Ε Χ V + Ε Χ + Τελικά Ι ( και συνεπώς το κατώτατο φράγµα Crmer-Ro είναι LB I( Εξ άλλου: * Τ ως } * * VT ( E ( T ET ( * * Βρήκαµε ήδη ότι ET ( ενώ: + + * Z Z z z ( 0 0 z E ( T E f ( z dz z e dz Γ + ( ( ω ( ω e dω Γ( ( 0 * Συνεπώς VT ( > LB ( z ω Άσκηση : Το πλάτος ενός παλµού είναι τµ Χ ~ Ν ( µ, 4 Στην έξοδο του µηχανήµατος µπορούµε να παρατηρήσουµε µόνο αν το Χ υπερβαίνει την τιµή 40 ή όχι Αν το Χ σε 00 παρατηρήσεις υπερέβη την τιµή αυτή 80 φορές, ποια η εκτίµηση µε την µέοδο µεγίστης πιανοφάνειας της παραµέτρου µ; 4
, αν Χ > 40 Έστω Y Σύµφωνα µε την εκφώνηση µια µή παραµετρική εκτίµηση 0, αν Χ 40 για το ˆ 80 pˆ P( > 40 00 Όµως : µ 40 µ 40 µ 40 µ µ 40 p P( > 40 P > P Z > Φ Φ (085 08 40 "-" ˆ 40 ˆ 40 Συνεπώς : ˆ µ Φ Φ µ µ Φ pˆ 08 Φ 08 085 ˆ µ 47 Άσκηση : Ένα ερώτηµα σχετικό µε την µελέτη του µηχανισµού ήχο-εντόπισης νυχτερίδων είναι η απόσταση νυχτερίδας και εντόµου όταν η νυχτερίδα πρώτοαντιληφεί το έντοµο Λόγω τεχνικών δυσκολιών στην µέτρηση της απόστασης, µόνο παρατηρήσεις λήφηκαν, από τις οποίες έχουµε 4836 και S 3705 α Τι υποέσεις πρέπει να κάνουµε για να µπορέσουµε να κατασκευάσουµε ένα διάστηµα εµπιστοσύνης ( Ε; β Ποιο το βασικό αποτέλεσµα που χρησιµοποιείται για την κατασκευή Ε στην πάνω περίπτωση; γ Κατασκευάστε ένα 95% Ε για το µ α Πρέπει να υποέσουµε ότι η µεταβλητή απόσταση έχει την κανονική κατανοµή µ β ~ t s/ ( µ ( µ ( µ µ Απόδειξη: σ / σ / Αλλά Ζ ~ Ν (0, και s/ s/ s σ / σ / σ ( s µ Z Y ~, µε Ζ, Υ ανεξάρτητες τµ Άρα ~ t εξ ορισµού σ s/ Y s s γ ± t0 (005 ± 8 Άσκηση 3: Οι ερευνητές της προηγούµενης άσκησης έλουν µε το πείραµα τους να στηρίξουν την υποψία τους ότι µ<55 α ιατυπώστε την µηδενική και την εναλλακτική υπόεση β Έστω ότι πιστεύουν ότι η πληυσµιακή διασπορά είναι σ 8 308 Ποιο το έλεγχο-στατιστικό και ποια η p-τιµή αν 4836 και ; 5
γ Απορρίπτεται η µηδενική υπόεση σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0; α Η 0 : µ55 Η : µ<55 ( µ β Ζ - σ / p-τιµή Φ(Ζ 05 γ Όχι Άσκηση 4: α είξτε ότι ο πληυσµιακός µέσος µ ικανοποιεί την σχέση: E( µ m E( (εδώ µ Ε(Χ ηλαδή αν προβλέψουµε την µεταβλητή Χ µε το µ το µέσο τετραγωνικό σφάλµα είναι το µικρότερο δυνατό β Έστω ότι ο µέσος µ εκτιµάται µε τον δειγµατικό µέσο τυχαίου δείγµατος Χ,,Χ, και έστω Χ + µία άλλη µεταβλητή ισόνοµη και ανεξάρτητη των Χ,,Χ Ποια η κατανοµή Χ+ του ; s + γ Με χρήση του προηγούµενου αποτελέσµατος κατασκευάστε ένα (-α00% διάστηµα εµπιστοσύνης για το Χ + (λέγεται διάστηµα πρόβλεψης α [ µ µ ] E ( E( + ( E ( ( E ( ( E ( ( E ( µ + µ µ + µ µ + µ µ β Χ Χ + + σ + σ + Χ + s s + s + σ σ + 6
Αλλά ~ 0, σ Χ + Χ+ Ν σ + και συνεπώς Z ~ N(0, Επίσης σ + ( s Χ+ Z Y ~, µε Ζ, Υ ανεξάρτητες τµ Άρα ~ t σ Y s + γ ± t ( / s + 7