ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει ( ) ( ), ή διαφορετικά., όταν για οποιαδήποτε, Α µε ( ) = ( ), ισχύει =.. Βελοδιάγραµµα: Α R ( ) =( ) Α R ( ) ( ) επιτρέπεται στην συνάρτηση και απαγορεύται στην '-' επιβάλλεται στην -'

2 . Ορισµός Έστω συνάρτηση :Α R που είναι. Αντίστροφη συνάρτηση της (συµβολίζεται ) λέγεται νέα συνάρτηση : A y A αντιστοιχίζεται σ εκείνο το R µε την οποία, το τυχαίο A, το οποίο µε την, είχε αντιστοιχηθεί στο y R Α R (A) y=() - 4. Παρατήρηση Οι, εναλλάσσουν πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών. 5. Ιδιότητες Ισχύει η ισοδυναµία: y = ( ) = ( y) Ισχύουν οι ισότητες Οι =, y = y C, C είναι συµµετρικές ως προς τη διχοτόµο y =. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Μια άλλη έκφραση του ορισµού της Συνάρτηση είναι, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση ( ) = y (µε άγνωστο ) έχει ακριβώς µία λύση.. Κάτι χρήσιµο Αν συνάρτηση είναι, δεν υπάρχουν σηµεία της. Άµεση συνέπεια C µε την ίδια τεταγµένη. Αν συνάρτηση είναι, τότε κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα τέµνει τη C το πολύ σε ένα σηµείο.

3 4. Άµεση συνέπεια Κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση είναι. (Όχι αντίστροφα) 5. Χρυσές ισοδυναµίες Αν συνάρτηση είναι, ισχύουν οι ισοδυναµίες ( ) = ( ) = ( ) ( ) 6. Χρυσές ισοδυναµίες Αν υπάρχει η, θα ισχύουν οι ισοδυναµίες : h() = g() ( h()) = (g()). h() = g() ( h()) = (g()) 7. Μια ιδιότητα Αν γνησίως αύξουσα, τότε και (Το ίδιο για γνησίως φθίνουσα) Απόδειξη Έστω τυχαία ( ) < ( ). Θα αποδείξουµε ότι ( ( )) < γνησίως αύξουσα. ( ( )), δηλαδή ότι <. Αν ήταν.και αφού γνησίως αύξουσα, θα ήταν ( ) ( ) που είναι άτοπο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν οι, g συναρτήσεις είναι τότε και η go είναι., D go = go Έστω go Σχόλιο 5 τυχαία µε g( ( ) ) = g( ( ) ) ( ) = ( ) = άρα η go είναι.

4 4. Έστω οι συναρτήσεις, g : R R. Αν η συνάρτηση og είναι, να δείξτε ότι και η g είναι Έστω g( ) = g( ) Σχόλιο 5 ( g( )) = (g( )) ( og )( ) = ( og )( ) και επειδή og είναι, θα έχουµε =, άρα η g είναι. Έστω συνάρτηση : R R, τέτοια ώστε να ισχύει ( o)( ) ( ) = για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η είναι. Η υπόθεση γίνεται ( o)( ) = ( ) + για κάθε R. () Έστω ( ) = ( ) () ( ( )) = ( ( )) ( o )( ) = ( o )( ) ( ) + = ( ) + () = ( ) = ( ) () =, άρα η είναι. 4. Αν για τη συνάρτηση : R R ισχύει () + ηµ () = για κάθε R, να αποδείξετε ότι είναι. Υπόδειξη ηµ () = () + και ακολουθούµε την άσκηση. 5. Αν για τη συνάρτηση : R R ισχύει ( ) ( ) + = για κάθε R,να αποδείξετε ότι είναι. = + και ακολουθούµε την άσκηση. Υπόδειξη

5 5 6. Αν η συνάρτηση : R R είναι γνησίως αύξουσα να λύσετε την εξίσωση o = o o = o ( ( )) = ( ( )) Σχόλιο 6 ( )) = ( ) = + = 0 = 7. Η συνάρτηση : R R είναι και η C διέρχεται από τα σηµεία Α(, 00), Β(, 004). Να λύσετε την εξίσωση + ( ) = Είναι () = 00 και () = 004 = ( ) = + ( ) Σχόλιο 5 ( ) =00 = () = = 4 = ή = 8. * Η συνάρτηση : R R είναι και για κάθε R ισχύει = µ κ όπου µ, κ R. Να αποδείξετε ότι µ = 0 και ( + κ ) =. 0 0 = µ 0 κ Για = 0 είναι ( 0) = ( κ) () Για = είναι ( ) = ( µ κ) ( 0 ) = ( µ κ) () Από (), () ( µ κ) = ( κ) µ κ = κ µ = 0 µ = 0 Για = + κ, η ( ) ( ) = ( µ κ) ( + κ) ( κ) = ( κ) ( + κ) ( κ ) = ( κ) και επειδή () R, ( + κ ) =

6 6 9. Αφού αποδείξετε ότι η συνάρτηση () = εξίσωση =. D = R + είναι, να λύσετε την H συνάρτηση είναι άθροισµα των συναρτήσεων ω() = και φ() =, οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες, οπότε και η είναι γνησίως αύξουσα, άρα.η εξίσωση = γράφεται + = + + = + ( ) = ( ) = = 0 ( ) = 0 = 0 ή = 0. Έστω η συνάρτηση () = +. i) Να αποδείξετε ότι είναι ii) Να λύσετε την εξίσωση είξτε ότι i) D = R + < π +π ηµ +ηµ = + H συνάρτηση είναι άθροισµα των συναρτήσεων ω() = και φ() =, οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες, οπότε και η είναι γνησίως αύξουσα, άρα. ii) Η εξίσωση ηµ +ηµ = + γράφεται ηµ +ηµ = + (ηµ) = ( ) ηµ = + < π +π = κπ + 6 π ή = κπ + π 6 π, π + < +π () < (π) που ισχύει αφού < π και γνησίως αύξουσα. κ Z

7 7. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της D = R y= + y = + y = ( ) () = +. Όταν y 0, δηλαδή όταν y. Η () = y µε y Σχόλιο = y + µε y, µοναδική λύση () = + µε Όταν y < 0, δηλαδή όταν y <. Η () = y µε y < Στην άλγεβρα Α Λυκείου ν δες την εξίσωση = α = y + µε y <, µοναδική λύση () = + µε < () = + µε <. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της = Υπόδειξη. y = y = και ακολουθούµε την άσκηση.. Αν συνάρτηση : A R είναι περιττή και αντιστρέψιµη, να δείξετε ότι και η είναι περιττή. = Αρκεί να αποδείξουµε ότι ή ότι ( ) = Είναι ( ) = () και ( ) = ( ) ( ) = () Από τις (), () έχουµε το ζητούµενο.

8 8 4. Έστω η συνάρτηση : R R, ώστε [( )] + ( ) = 0 για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της Η υπόθεση γράφεται [( )] + ( ) = () Έστω ( ) = ( ) [ ( ) ] =[ ( ) ] Προσθέτουµε κατά µέλη [ ( ) ] + ( ) = [ ( ) ] + ( ) Άρα η είναι, άρα αντιστρέφεται. Για το τυχαίο y ( R ), η () y + y = 0 = y + y, άρα () =. () = + 5. Έστω η συνάρτηση : R R µε ( R) = R και για κάθε R ισχύει + = 0. Να αποδείξετε ότι i) η είναι = ii) η είναι περιττή iv) η δεν είναι γνησίως µονότονη. Η υπόθεση γράφεται ( ) = () i) Έστω ( ) = ( ) ( ( )) = ( ( )) = ii) Στην () όπου θέτουµε ( ) () = άρα, οπότε ( ()) Στην () όπου θέτουµε (), οπότε ( () ) αλλά, από την () είναι ( ) () = ( ) ( ) = () = () = = ( ) = ( ) = ( ) άρα ( ) = () άρα περιττή iv) Έστω ότι η είναι γνησίως µονότονη (ας είναι γνησίως αύξουσα). Τότε γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα, που είναι άτοπο, αφού κατά το ( είναι ίσες

9 9 6. Για τη συνάρτηση δίνεται ότι ( ( )) = για κάθε R, και = ( 0, + ) i) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιµη και ( ) = ln ( ), R ( ) ii) Να αποδείξετε ότι =, R Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) + = 6 i) Έστω ( ) = ( ) ( ( )) = ( ( )) = Εποµένως η αντιστρέφεται. =, όπου θέτουµε Στην υπόθεση ( ( ) ) = () ii) () = Στην υπόθεση ( ) () ( ( )) =, αλλά ( ) R. = άρα () () ln () = =, όπου θέτουµε () =, άρα ( ) = () Από την υπόθεση και το (ii), η εξίσωση γράφεται ( ) + - (( )) 6 = 0 ( ) + 6 = 0 = + 4 = 5, = ± 5 = ή απορρίπτεται σαν µη θετική Άρα = = ln ()

10 0 7. Έστω συνάρτηση : R R, για την οποία ισχύει ( ) = για κάθε R. i) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) ( ) = αν ( 8) = 64 να υπολογίσετε την τιµή ( ) i) Έστω ( ) = ( ) ( ( )) = ( ( )) ii) = = Στην υπόθεση ( ) ( ( ( ))) = ( ( )), αλλά ( ) = ( ( )) ( 8 ) = 64 = όπου θέτουµε () = 64 άρα, άρα αντιστρέφεται = οπότε (ii) = 4 ( ) = 4 8. ίνεται συνάρτηση, για την οποία ισχύει Να αποδείξετε ότι i) αντιστρέψιµη ( ) = ( ) ii) ( R) = R Για (i) και (ii) βλέπε άσκηση 7. = για κάθε R. Θα αποδείξουµε ότι, για το τυχαίο y R υπάρχει R τέτοιο ώστε () = y. α) Όταν y 0, τότε ο ζητούµενος είναι ο ( y ), αφού από την υπόθεση ( ( )) = έχουµε y = y = y. β) Όταν y < 0, τότε ο ζητούµενος είναι ο ( y ), αφού από την υπόθεση ( ( )) = έχουµε ( y) = ( y) = ( y) = ( y) = y

11 9. Έστω συνάρτηση : R R, µε σύνολο τιµών ( 0,+ ). Αν ( + y ) = ( ) ( y) ( ) i) ( 0 ) =, ii) ( ) =, ( y) = ( ) ( y) iv) Αν επί πλέον η εξίσωση ( ) = έχει µοναδική λύση, να για κάθε, y R, να αποδείξετε ότι αποδείξετε ότι η είναι. v) Αν η είναι, να αποδείξετε ότι, για κάθε α, β ( 0, + ) ισχύει ( αβ) = ( α) + ( β). i) Για = 0 και y = 0 έχουµε (0 + 0) = (0) (0) (0) = (0) (0) = (0) ii) Για y = έχουµε ( ) = () ( ) (0) = () ( ) = () ( ) ( ) = ( y) = ( + ( y)) = () ( y) = () ( y ) = () ( y) ( ) iv) Επειδή (0) =, η µοναδική λύση της εξίσωσης ( ) = είναι = 0 () Έστω ( ) = ( ) v) ( ) = ( ) = Η υπόθεση ( α) + ( β) = ( α) ( ( α) + ( β) ) = αβ ( α ) + ( β) = ( αβ) () =, άρα ( β)

12 0. ίνεται η συνάρτηση : R R, µε ( ()) = + για κάθε R. i) Να αποδείξετε ότι ( + ) = () () + ii) Να βρείτε την τιµή () Αν g() = () +, να δείξετε ότι η g δεν είναι. i) Ονοµάζουµε την υπόθεση ( ()) = + για κάθε R () () ( ( ()))= ( + ) () Στην (), όπου θέτουµε () : ( ( ())) = () () + () Από τις (), () ( + ) = () () + (4) ii) Για =, η (4) ( + ) = () () + () = () () + 0 = () () + 0 = [ () ] () = 0 () = (5) Αρκεί να βρούµε δύο τιµές του, οι οποίες αντιστοιχίζονται στην ίδια τιµή g(). Για = είναι g() = () + (5) = + = Για = 0 είναι g(0) = 0 0 (0) + = Εποµένως g() = g(0), άρα η g δεν είναι. = ( ) = ( ) Σχόλιο