A(θ) = n log θ B(x ) = 0. T (x ) = x i. Γ(n)θ n =

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "A(θ) = n log θ B(x ) = 0. T (x ) = x i. Γ(n)θ n ="

Λαφιδὼθ Καλλιγάς
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι : ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ» Πέµπτη 24 Ιουνίου 24 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 24 ΘΕΜΑΤΑ. Θεωρώντας ως κριτήριο το µέσο τετραγωνικό σφάλµα : (α ( µονάδες Εστω, 2 δύο εκτιµητές τού g(θ. Πότε λέµε ότι ο είναι καλύτερος από τον 2 ; (ϐ ( µονάδες Πότε λέµε ότι ένας εκτιµητής τού g(θ είναι µη αποδεκτός και πότε ότι είναι αποδεκτός ; (γ ( µονάδες Εστω ένας αµερόληπτος εκτιµητής τού g(θ και c > µία σταθερά. είξτε ότι ο c είναι µη αποδεκτός εκτιµητής τού g(θ. 2. Εστω X, X 2,..., X, 3, ένα τυχαίο δείγµα από εκθετική κατανοµή E(θ, θ Θ (,. (α (2 µονάδες Να ϐρεθεί ο ΑΟΕ εκτιµητής τού g(θ /θ. Επιτυγχάνει η διασπορά του το Cramér Rao κάτω ϕράγµα για την διασπορά τών αµερόληπτων εκτιµητών τού g(θ /θ; (ϐ ( µονάδες Να ϐρεθεί ο εκτιµητής µέγιστης πιθανοφάνειας (εµπ τού g(θ /θ και να δειχθεί ότι είναι συνεπής. (γ ( µονάδες Με κριτήριο το µέσο τετραγωνικό σφάλµα, ποιον από τους δύο παραπάνω εκτιµητές προτιµάτε για το g(θ /θ; 3. Εστω X N (θ,, X 2 N (2θ, δύο ανεξάρτητες παρατηρήσεις, θ Θ R. (α ( µονάδες Να ϐρεθεί ο εµπ τού θ. (ϐ ( µονάδες Βασιζόµενοι στον εµπ που ϐρήκατε στο (α κατασκευάστε ένα ( α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το θ. ΛΥΣΕΙΣ. (α Ο λέµε ότι είναι καλύτερος από τον 2 αν (, θ ( 2, θ, θ Θ (, θ < ( 2, θ, για τουλάχιστον ένα θ Θ. (ϐ Ενας εκτιµητής τού g(θ λέµε ότι είναι µη αποδεκτός αν υπάρχει κάποιος άλλος, καλύτε- ϱος από αυτόν εκτιµητής. Ενας εκτιµητής τού g(θ λέµε ότι είναι αποδεκτός αν δεν υπάρχει κάποιος άλλος, καλύτερος από αυτόν εκτιµητής. (γ Αφού αµερόληπτος εκτιµητής τού g(θ ϑα ισχύει g(θ, θ Θ, και (, θ Var θ, θ Θ.

2 Για τον εκτιµητή c έχουµε (c c cg(θ, θ Θ, και (c, θ [c g(θ] 2 Var θ (c + { (c g(θ} 2 c 2 Var θ + {cg(θ g(θ} 2 c 2 Var θ + g(θ 2 (c 2 > Var θ (, θ, θ Θ, αφού c 2 > και g(θ 2 (c 2. Συνεπώς ο c είναι µη αποδεκτός εκτιµητής τού g(θ γιατί ο είναι καλύτερός του. 2. (α Κατ αρχάς ϑα ϐρούµε επαρκή και πλήρη στατιστική συνάρτηση. Είναι X i f (x; θ θ e x/θ I (, (x, X f(x ; θ f (x i ; θ i i θ e x i/θ I (, (x i θ e xi /θ I (, (x { } xi exp log θ, S (, θ x, θ Θ. Η οικογένεια κατανοµών τού X είναι µία ΜΕΟΚ γιατί η πυκνότητά του έχει την µορφή f(x ; θ exp{a(θ + B(x + C(θ (x }, x S, θ Θ, µε A(θ log θ B(x C(θ θ (x x i και το σύνολο S : {x : f(x ; θ > } (, που δεν εξαρτάται από το θ. Συνεπώς η στατιστική συνάρτηση X i είναι επαρκής. Το πεδίο τιµών τού C(θ /θ είναι το (, που είναι ανοικτό υποσύνολο τού R. Συνεπώς η είναι και πλήρης. Θα πρέπει τώρα να ϐρούµε έναν αµερόληπτο εκτιµητή τού g(θ /θ που να είναι συνάρτηση τής επαρκούς και πλήρους στατιστικής συνάρτησης. Επειδή Xi Eθ X i θ, θ Θ, ϑα δοκιµάσουµε να υπολογίσουµε την (/. Γνωρίζουµε ότι αν X,..., X είναι τυχαίο δείγµα από E(θ, τότε X i G(, θ. Συνεπώς ( t t e t/θ Γ(θ dt Γ(θ Γ( θ Γ(θ ( θ, θ Θ, t 2 e t/θ dt αφού Γ( ( Γ(. Βλέπουµε ότι ο ( / είναι αµερόληπτος εκτιµητής τού g(θ /θ αφού ( ( ( ( ( θ θ, θ Θ.

3 Επειδή είναι και συνάρτηση τής επαρκούς και πλήρους στατιστικής συνάρτησης είναι ο ΑΟΕ εκτιµητής τού g(θ /θ. Η διασπορά τού ΑΟΕ εκτιµητή τού g(θ /θ δεν επιτυγχάνει το κάτω ϕράγµα Cramér Rao γιατί από γνωστή πρόταση το κάτω ϕράγµα Cramér Rao επιτυγχάνεται αν και µόνον αν η οικογένεια κατανοµών τού X είναι µία ΜΕΟΚ και η g(θ είναι τής µορφής a + b, όπου η συνάρτηση που πολλαπλασιάζεται µε το C(θ στον τύπο τής ΜΕΟΚ. Εδώ όµως Xi θ, άρα η g(θ δεν έχει την απαιτούµενη µορφή. (ϐ Για παρατηρηθέν x (, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι L(θ x θ e xi /θ, θ Θ (,, ο λογάριθµός της log L(θ x log θ x i /θ, θ (,, και η παράγωγός του ως προς θ θ log L(θ x θ + xi θ 2, θ (,. Θέτουµε την παράγωγο ίση µε το µηδέν και λύνουµε την εξίσωση. θ log L(θ x θ + xi θ 2 x i θ θ x i / x. Η δεύτερη παράγωγος είναι 2 θ 2 log L(θ x θ 2 2 x i θ 3, θ (,, και για θ x i / (στο σηµείο που µηδενίζεται η πρώτη παράγωγος γίνεται xi ( x i / 2 2 ( x i / 3 3 ( x i 2 23 ( x i 2 3 ( x i 2 <, άρα η τιµή x αντιστοιχεί σε µέγιστο. Επειδή x Θ (,, x (,, ο εµπ τού θ είναι ο ˆθ ˆθ X και συνεπώς ο εµπ τού g(θ /θ ϑα είναι ο g(ˆθ /ˆθ / X. Η µέση τιµή τής κατανοµής είναι το θ. Από τον ασθενή νόµο τών µεγάλων αριθµών p παίρνουµε ότι X θ, θ Θ, και επειδή η g(θ /θ είναι συνεχής σε όλο το Θ, g( X p g(θ, θ Θ, δηλαδή / X p /θ, θ Θ, πράγµα που σηµαίνει ότι ο εµπ τού g(θ /θ είναι συνεπής εκτιµητής του. (γ α τρόπος. Είναι ( 2 t 2 t e t/θ Γ(θ dt Γ(θ Γ( 2θ 2 Γ(θ t 3 e t/θ dt ( ( 2θ 2, θ Θ,

4 αφού Γ( ( Γ( ( ( 2Γ( 2 (είναι 3. Συνεπώς ( ( [ ( ] 2 Var θ 2 ( ( 2θ 2 ( 2 θ 2 ( 2 ( 2θ 2, θ Θ. Τα µέσα τετραγωνικά σφάλµατα τών δύο εκτιµητών είναι ( ( (, θ Var θ ( 2 Var θ (ο ( / είναι αµερόληπτος εκτιµητής τού /θ και (, θ Var θ ( 2 Var θ ( { ( + } 2 θ { ( + } 2 θ 2 { ( 2 ( 2θ ( ( 2θ 2, θ Θ. ( θ θ Επειδή ( + 2/( >, έχουµε ( (, θ <, θ, θ Θ, ( 2θ 2, θ Θ πράγµα που σηµαίνει ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής τού /θ είναι καλύτερος από τον εµπ του και συνεπώς πρέπει να προτιµηθεί. ϐ τρόπος. Ο ( / είναι αµερόληπτος εκτιµητής τού g(θ και για τον εµπ έχουµε. Το ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής τού g(θ είναι καλύτερος προκύπτει από το Θέµα (γ µε c /( >. 3. (α Αφού οι X, X 2 είναι ανεξάρτητες έχουµε { } { } f(x ; θ f (x ; θf 2 (x 2 ; θ e 2 (x θ 2 I R (x e 2 (x 2 2θ 2 I R (x 2 2π 2π 2π e 2 [(x θ 2 +(x 2 2θ 2] I R 2(x. Για παρατηρηθέν x R 2 η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι } 2 ο λογάριθµός της L(θ x 2π e 2 [(x θ 2 +(x 2 2θ 2], θ R, log L(θ x log 2π 2 [(x θ 2 + (x 2 2θ 2 ],

5 και η παράγωγός του ως προς θ θ log L(θ x 2 [ 2(x θ 4(x 2 2θ] x + 2x 2 θ. Θέτουµε την παράγωγο ίση µε το µηδέν και λύνουµε την εξίσωση. Η δεύτερη παράγωγος είναι θ log L(θ x x + 2x 2 θ θ x + 2x 2. 2 θ 2 log L(θ x 2 <, θ R, συνεπώς είναι αρνητική και για θ (x + 2x 2 /, άρα αυτή η τιµή αντιστοιχεί σε µέγιστο. Επειδή (x + 2x 2 / Θ R, x R 2, ο εµπ τού θ είναι ο ˆθ ˆθ (X + 2X 2 /. (ϐ Βασιζόµενοι στον εµπ ϑα ϐρούµε µία ποσότητα οδηγό. Ξέρουµε ότι τέτοιου είδους µετασχηµατισµοί κανονικών τυχαίων µεταβλητών ακολουθούν επίσης κανονική κατανοµή. Είναι και ( X + 2X 2 (ˆθ (X + 2 X 2 (θ + 4θ θ, θ Θ, Var θ (ˆθ Var θ ( X + 2X 2 άρα ˆθ N (θ, /, θ Θ. Εάν τυποποιήσουµε παίρνουµε 2 (Var θx + 4Var θ X 2 2 ( + 4, θ Θ,, θ ˆθ θ / N (,, θ Θ, συνεπώς η, θ είναι ποσότητα οδηγός για το θ γιατί εξαρτάται από το θ και έχει κατανοµή ανεξάρτητη τού θ. Πρέπει τώρα να ϐρούµε σταθερές c < c 2 έτσι ώστε P θ {c, θ c 2 } α, θ Θ. Για το ( α% διάστηµα εµπιστοσύνης ίσων ουρών ϑα πρέπει να πάρουµε ως c το ( α/2 ποσοστιαίο σηµείο και ως c 2 το α/2 ποσοστιαίο σηµείο τής κατανοµής τής ποσότητας οδηγού, άρα c z α/2 z α/2 (λόγω συµµετρίας και c 2 z α/2. Λύνοντας τις ανισότητες z α/2, θ z α/2 ως προς θ, παίρνουµε το ( α% διάστηµα εµπιστοσύνης ίσων ουρών για το θ [ˆθ z α/2 /, ˆθ + z α/2 / ].

Σχετικά έγγραφα

(X1 X 2 ) 2}. ( ) f 1 (x i ; θ) = θ x i. (1 θ) n x i. x i log. i=1. i=1 t2 i

(X1 X 2 ) 2}. ( ) f 1 (x i ; θ) = θ x i. (1 θ) n x i. x i log. i=1. i=1 t2 i ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I: ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ 8 Ιουνίου 005 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 005 ΘΕΜΑΤΑ Εστω X = (X,, X n ), n, τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoull B(, θ), θ Θ = (0, ) (α) (0 µονάδες) Να δειχθεί