TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III

Transcript

1 0 TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III Νοέμβριος Eστω,,, τυχαίο δείγμα από κατανομή f( x; ), όπου συμβολίζει άγνωστη παράμετρο (a) Να ορισθεί η έννοια του επαρκούς στατιστικού και της συνεπούς εκτιμήτριας της παραμέτρου Το στατιστικό T καλείται επαρκές στατιστικό για την παράμετρο αν η από κοινού κατανομή του τυχαίου δείγματος, έστω f,, ), όταν δίνεται η τιμή του T δεν εξαρτάται από την τιμή της ( παραμέτρου Δηλαδή αν για οποιεσδήποτε τιμές x,, x, f( x,, x T t) δεν περιέχει το, για κάθε δυνατή τιμή t Η εκτιμήτρια ˆ καλείται συνεπής εκτιμήτρια της παραμέτρου αν για κάθε e > 0 ισχύει lm P( ˆ > e) 0, για κάθε τιμή της παραμέτρου (b) Αν ισχύει E( ) 5 και εκτιμήτρια της παραμέτρου Προτείνουμε την εκτιμήτρια Var( ) 36 ˆ 5, προτείνατε μια αμερόληπτη και συνεπή Πράγματι αυτή η εκτιμήτρια είναι αμερόληπτη, διότι δεδομένου ότι ο δειγματικός μέσος είναι πάντα αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέσης τιμής, έχουμε ( ) ˆ E E æ ç E ( ) E ( ) 5 5 è Επίσης είναι γνωστό ότι ο δειγματικός μέσος έχει διακύμανση ίση με την διακύμανση του πληθυσμού διαιρεμένη με το μέγεθος του δείγματος Συνεπώς έχουμε ( ˆ æ Var( ) 36 Var ) Var ç Var( ) () è Από την σχεση () προκυπτει ότι Var ( ˆ ) Τέλος από τις σχέσεις () και (3) και δοθέντος ότι MSE ˆ ( ˆ ) ˆ E + Var έχουμε ( ) ( ) ( ) 36 lm lm 0 (3) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) lm MSE ˆ lm E ˆ + lm Var ˆ Είναι γνωστό όμως ότι αν το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας εκτιμήτριας τείνει στο μηδέν, αυτό συνεπάγεται την συνέπεια της εκτιμήτριας ()

2 (c) Αν ισχύει log f( x; c( x, όπου c σταθερό, ποιο είναι το φράγμα CramerRao για εκτιμήτρια της παραμέτρου Εξηγήσατε αν το φράγμα αυτό ισχύει για οποιαδήποτε εκτιμήτρια, ή αν η εκτιμήτρια πρέπει ήδη να έχει μια άλλη (επιθυμητή) ιδιότητα Υποθέτουμε πρώτα ότι η εκτιμήτρια έχει την επιθυμητή ιδιότητα της αμεροληψίας Τότε το φράγμα CramerRao έχει την μορφή CRB I (, όπου é I ( Eê ú ù ë û () Υπολογίζουμε λοιπόν Αρα é ù E ê ú, ë û και συνεπώς έχουμε από την σχέση () CRB (d) Αν η f( x; ) συμβολίζει την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και διακύμανση, να δειχθεί ότι το στατιστικό NeymaFsher Υπολογίζουμε την από κοινού κατανομή του τυχαίου δείγματος είναι επαρκές για την παράμετρο Υπόδειξη: Kριτήριο æ f (,, ; ) Õ f ( ; Õ e ç e p è p Στην τελευταία σχέση αν θέσουμε T, æ ( T, ) ç e g και h (,, ), è p εχουμε f (,, ; ) g( T, h(,, ) () Από την σχέση () και συμφωνα με το κριτήριο NeymaFsher προκυπτει ότι το στατιστικό είναι επαρκές για την παράμετρο

3 (e) Αν ισχύει E(log ) και παρακάτω σχέσεις: log ¾¾? æ ç è pr log? ¾¾¾ N(0,?) Var(log ), να συμπληρωθούν τα ερωτηματικά στις Επειδη τα,,, αποτελούν τυχαίο δείγμα, έπεται ότι είναι ανεξάρτητα και ότι έχουν ως κοινή κατανομή την f( x; ) Συνεπώς και τα log,, log, είναι επίσης ανεξάρτητα, και ετσι με βάση τον νόμο των μεγάλων αριθμών έχουμε log ¾¾ E( log ) pr Με βάση το κεντρικό οριακό θεώρημα (ΚΟΘ) έχουμε όπου ( m) ¾ N(0, s ) ¾¾, m,s συμβολίζει την μέση τιμή και την διακύμανση, αντίστοιχα, της κατανομής των,, Ομοιως το ΚΟΘ μπορει να εφαρμοσθεί, αντι για τον των ή log Τοτε έχουμε æ ç è log E ¾¾ æ ç è ( log ) ¾ N(0, Var( log )) log ( ¾¾¾ N(0, ), στον δειγματικό μέσο log (f) Αν f( x; x, 0 x, να υπολογισθεί η εκτιμήτρια ροπών της παραμέτρου και η εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας της ίδιας παραμέτρου Για την εκτιμήτρια ροπών ˆ, να συμπληρωθεί το ερωτηματικό στην παρακάτω σχέση: ( ) ¾¾¾ N( 0,? ) Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα και το γεγονός ότι ˆ g ( ) Θεωρήστε γνωστό ότι E( ) + και Var( ) ( + ) ( + )

4 Επειδή ισχύει m E ( ) () + έχουμε από την μέθοδο ροπών ή ˆ ˆ + ˆ () Για να υπολογίσουμε την εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας σχηματίζουμε την συνάρτηση πιθανοφάνειας L( f (,, ; Õ f ( ; Õ x Õ x Λογαριθμίζοντας εχουμε ( ) log L( log + ( ) L log Παραγωγίζουμε τωρα την L( ως προς οπότε έχουμε Εξισώνοντας με το μηδέν έχουμε ( L + log x x + log x 0 οποτε προκυπτει η εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας ) mle log x Με βαση το ΚΟΘ εχουμε æ æ ( ) m ç ¾¾¾ N(0, s ) N ç0, è + è ( + ) ( + )

5 Παρατηρουμε ότι από την σχεση () και ομοιως απο την σχεση () Υπολογίζουμε g m Συνεπώς με βάση το ΚΟΘ έχουμε g(m), όπου g( ) y g( y), y ( m ) ( m) ( + ( ) + ) ( ( g( ) g( m) ) æ ç æ g( m) ¾¾¾ N 0, ç ç è ( + ) ( + ) è m æ N ç0, è ( + ) ( + ) (( + 4 ( + æ Nç 0, è ( + ) Βαθμολογία: (a), (b)5, (c),(d)5, (e)0, (f)5 Μονάδες ΔΩΣΤΕ ΠΛΗΡΕΙΣ ΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ!