ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις"

Ἀστάρτη Δημαράς
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα y + z 5y + 5z 6y + λ z µ (α) (6 µον.) Θέσατε λ και µ και λύστε το σύστηµα. (β) (8 µον.) Βρείτε τιµές των λ και µ ώστε το σύστηµα αυτό: (i) Να µην έχει καµία λύση και (ii) να έχει άπειρες λύσεις Εφαρµόζοντας διαδοχικά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ Γ Γ, Γ Γ Γ, Γ Γ + Γ, βρίσκουµε ότι ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος παίρνει τη µορφή 0. Από αυτή συµπεραίνουµε τα εξής. 0 0 λ + µ (α) Έστω λ, µ. Τότε λύνοντας το αντίστοιχο σύστηµα βρίσκουµε ότι υπάρχει µοναδική λύση, -, y -, z. (β) (ι) Παρατηρούµε από την τελευταία γραµµή ότι αν λ - και µ 0, τότε δεν υπάρχουν λύσεις. (ιι) Αν λ - και µ 0, τότε λύνοντας το αντίστοιχο σύστηµα βλέπουµε ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις. Για να είµαστε βέβαιοι ότι οι παραπάνω απαντήσεις στις περιπτώσεις (ι) και (ιι) είναι πλήρεις πρέπει να εξετάσουµε την περίπτωση λ. Για τις τιµές αυτές λύνοντας το αντίστοιχο σύστηµα, βλέπουµε ότι αυτό έχει µοναδική λύση (για κάθε µ). (Σηµείωση. Εναλλακτικά, θα µπορούσαµε να διαπιστώσουµε ότι η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών είναι µη µηδενική) Άσκηση. (6 µον)

2 0 Έστω ο πίνακας A (α) (6 µον.) Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του Α (β) ( µον.) Να βρεθεί, αν υπάρχει, αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P AP είναι διαγώνιος. (γ) ( µον.) Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Cayley-Hamilto, να υπολογιστεί ο αντίστροφος πίνακας Α - συναρτήσει των Α και Α. (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι το 0 det + 0 ( ) (( )( + ) ) ( ) ( + ). 0 0 Άρα οι ιδιοτιµές είναι οι (διπλή) και. Για την ιδιοτιµή τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι οι µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος 0 ( A I) X 0. Λύνοντας το σύστηµα αυτό βρίσκουµε X a b 0 +, a, b R. 0 Για την άλλη ιδιοτιµή, τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι οι µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος ( A+ I) X 0. Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε X a, a R. 0 (β) Τα στοιχεία 0, 0, του R είναι γραµµικά ανεξάρτητα (αφού για παράδειγµα η 0 0 αντίστοιχη ορίζουσα είναι µη µηδενική) και άρα αποτελούν µια βάση του R. Ο Α διαγωνοποιείται γιατί υπάρχει µια βάση του R που αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του A. Ο 0 πίνακας P 0, του οποίου οι στήλες είναι γραµµικά ανεξάρτητα ιδοδιανύσµατα, 0 0 έχει τη ζητούµενη ιδιότητα. (γ) Από το ερώτηµα (α) και το Θεώρηµα Cayley Hamilto παίρνουµε ( A I) ( A+ I) 0, δηλαδή Α Α Α + 8I 0. Πολλαπλασιάζοντας µε A βρίσκουµε Α - 8 (-Α +Α+Ι). Άσκηση. (0 µον): Να υπολογισθούν τα όρια: (α) lim 0 + cos( ) (β) li m (γ) lim e (δ) 0 li m ( + )

3 ( + + ) ( a)lim lim ( + + )( + ) ( + + ) lim lim( + + ). 0 0 Στα επόµενα δυο ερωτήµατα χρησιµοπιούµε τον κανόνα του ( cos( ) ) cos( ) si si ( b) lim lim lim lim ( ) ( c) lim e lim lim lim 0. e e ( ) ( e ) L ' Hospital ( + )( + + ) ( d) lim + lim lim Άσκηση. ( µον) Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές: (α) ( µον.) +! (β) ( 6 µον.), (Για ποια! συγκλίνει;) + (γ) ( µον.) + a+ + (α) Σύµφωνα µε το Κριτήριο του Λόγου, αυτή αποκλίνει αφού lim lim > a (β) Παρατηρούµε ότι a. Σύµφωνα µε το ( + ) ( + ) + + lim lim lim a Κριτήριο του Λόγου, έχουµε σύγκλιση για < και απόκλιση για >. Για η σειρά συγκλίνει ως p σειρά µε p > και για -, επίσης συγκλίνει ως απολύτως συγκλίνουσα (γ) Έχουµε µε την αρµονική.. Άρα η αρχική σειρά αποκλίνει λόγω σύγκρισης Άσκηση 5. (0 µον) Να βρεθούν τα διαστήµατα των τιµών του για τις οποίες η καµπύλη

4 5 y + 5 ανέρχεται, κατέρχεται, είναι κοίλη προς τα κάτω, ή προς τα πάνω. Σχεδιάστε την καµπύλη και προσδιορίστε τα σηµεία όπου η συνάρτηση έχει τοπικά µέγιστα, τοπικά ελάχιστα και σηµεία καµπής. Έχουµε y' + ( )( ). Θεωρώντας τα πρόσηµα των τιµών της πρώτης παραγώγου βλέπουµε ότι τα διαστήµατα όπου η y είναι µονότονη είναι: στο (, ) και στο (, ) είναι αύξουσα και στο (, ) είναι φθίνουσα. Άρα στο υπάρχει τοπικό µέγιστο και στο τοπικό ελάχιστο. (Στο 0 δεν υπάρχει ακρότατο). Έχουµε y'' 9 + ( 9+ ). Θεωρώντας τα πρόσηµα των τιµών της δεύτερης παραγώγου, συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν σηµεία καµπής: 0, και (9 ± 7). Η y είναι κοίλη προς τα κάτω στα διαστήµατα 8 (,0), ( (9 7), (9 + 7)) και κοίλη προς τα πάνω στα διαστήµατα 8 8 (0, (9 7)),( (9+ 7), ). 8 8 Άσκηση 6. ( µον.) (α) (9 µον.) Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: (i) f( ) e cos( ) (ii) ( ) ta( ) g (iii) h ( ) + (β) (5 µον.) ίνεται η συνάρτηση: l( ) α, > f( ). Να εξετασθεί για + β +, ποιες τιµές των α και β είναι παραγωγίσιµη στο. (α) ( ) cos( ) si( ) f e e (γινόµενο και σύνθεση) g ( ) sec ( ) ( ) ( ) (σύνθεση) ( ) + h ( ) (πηλίκο και σύνθεση)

5 (β) Η f είναι παραγωγίσιµη στο αν και µόνο αν τα όρια lim υπάρχουν και να είναι ίσα. Για το πρώτο όριο έχουµε Για το δεύτερο όριο έχουµε f( ) f() f( ) f(), lim + f( ) f() + β+ β lim lim β ( ) + lim lim( β ( )) + + β +. f( ) f() lα β lim lim. + + Παρατηρούµε ότι για να υπάρχει το τελευταίο όριο πρέπει lα β 0 α + β + 0. Στην περίπτωση αυτή, το υπολογίζουµε µε τον κανόνα του L Hospital, Άρα a β + α + β 0. α lα β lim lim α. + + Τελικά από τις σχέσεις α + β + 0, α + β 0 παίρνουµε α, β. Άσκηση 7. (0)µον) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου του επιπέδου µεταξύ των καµπυλών y και y στο διάστηµα µεταξύ των σηµείων τοµής τoυς. Για να βρούµε τα σηµεία τοµής των δυο καµπύλων έχουµε 0 0,. Όταν 0 τότε 6 E ( ) d Το ζητούµενο εµβαδόν δίνεται από το ολοκλήρωµα: Άσκηση 8. ( µον.) Να υπολογισθούν τα αόριστα ολοκληρώµατα (i) + d (ii) ( + )( ) + + d (iii) si d 5

6 Υπόδειξη: Για το (i) χρησιµοποιείστε τη µέθοδο χωρισµού της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης A B στα επί µέρους κλάσµατα,. Για το (ii) χρησιµοποιείστε τη µέθοδο της + αντικατάστασης (π.χ. θέστε + u) και για το (iii) της παραγοντικής ολοκλήρωσης. (i) Χρησιµοποιώντας την υπόδειξη βρίσκουµε + A B + + A( ) + B( + ) ( για ± ) A, B. ( + )( ) + + Εποµένως + ( + )( ) +. Άρα + d d + d l + + l + C ( + )( ) u+ (ii) d udu du u + C + C u + u +, όπου θέσαµε u +, αρα udu d. (iii) Εφαρµόζουµε δυο φορές την παραγοντική ολοκλήρωση ( ) si d cos + cos d cos + si si d cos + ( si + cos )+C 6

Σχετικά έγγραφα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 4 Άσκηση (5 μον) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ R έτσι ώστε