1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Κανονικότητες -Αλγεβρική και Γραφική Αναπαράσταση κανονικοτήτων Παράδειγμα 1 ο Δίνεται η παρακάτω κανονικότητα (α) 1, 3, 7, 15, 31,... Βρείτε τον τρόπο που προκύπτει κάθε όρος από τον προηγούμενό του. Απάντηση Στην κανονικότητα (α) παρατηρούμε ότι ο αριθμός 3 προκύπτει από τον αριθμό 1 αν προσθέσουμε τον αριθμό 2. Ο αριθμός 7 προκύπτει αν προσθέσουμε στον προηγούμενο όρο τον αριθμό 4, ο αριθμός 15 προκύπτει αν προσθέσουμε στον προηγούμενο όρο τον αριθμό 8 κ.λπ. Επομένως: Ο κανόνας που ακολουθεί η διαδοχή των όρων είναι ο εξής Κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο αν προσθέσουμε το 2, έπειτα το 4, έπειτα το 8, κοκ Δηλαδή κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο αν προσθέσουμε το 2 στη συνέχεια το διπλάσιό του κ.ο.κ Παράδειγμα 2 ο Δίνεται η παρακάτω κανονικότητα (β) 2, 5, 8, 11, 1. Βρείτε τον τρόπο που προκύπτει κάθε όρος από τον προηγούμενό του. 2. Μπορείτε με αυτόν τον τρόπο να βρείτε τον 10ο και τον 100ο όρο; 3. Συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα Όρος 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 10ος 100ς ν-οστός 4. Γράψτε ένα τύπο με τη βοήθεια του οποίου να υπολογίζεις κάθε όρο της κανονικότητας. 5. Να παραστήσετε τα ζεύγη αριθμών (θέση, τιμή του κάθε ) Απάντηση 1. Στην κανονικότητα (β) παρατηρούμε ότι ο όρος 5 προκύπτει από τον προηγούμενο όρο αν προσθέσουμε τον αριθμό 3. Ομοίως ο αριθμός 8 προκύπτει από τον προηγούμενο όρο αν προσθέσουμε τον αριθμό 3 κλπ 2. Επομένως: Ο κανόνας που ακολουθεί η διαδοχή των όρων είναι ο εξής Κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο αν προσθέσουμε τον αριθμό 3
Άρα σύμφωνα με τον κανόνα που διατυπώσαμε έχουμε α 1 = 2 α 2 = 2+3=5 α 3 = 5+3 =2+ 3 + 3 =8 (δηλαδή 2 + 3 2) α 4 = 8+3 = 2+ 3+ 3 + 3 = 11 (δηλαδή 2 + 3 3) α 5 = 2 + 3 4 = 14 α 10 = 2 + 3 9 = 29 α 100 = 2 + 3 99 = 299 3. Όρος 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 10ος 100ς 2 5 8 11 14 17 29 299 4. α ν = 2 + 3 (ν-1)
Δοκιμάστε τώρα να κάνετε μόνοι σας την παρακάτω δραστηριότητα Δραστηριότητα 3 Χρησιμοποιώντας σπίρτα κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο (1ο σχήμα) και κατόπιν προσθέτουμε δίπλα του άλλο ένα τετράγωνο (2ο σχήμα), κι άλλο ένα τετράγωνο (3ο σχήμα), κοκ α) Να βρείτε πόσα σπίρτα χρειάζονται για 4 τετράγωνα, για 10 τετράγωνα, για 57 τετράγωνα β) Να παραστήσετε τα ζεύγη (αριθμός τετραγώνων, αριθμός σπίρτων) σε ένα σύστημα Και την επόμενη Δραστηριότητα 4 Τα παρακάτω σχήματα απεικονίζουν πυραμίδες με βάση τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο και εξάγωνο. Φανταστείτε ότι συνεχίζουμε να αυξάνουμε τον αριθμό των πλευρών της βάσης των πυραμίδων. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: Μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς Κ, Α και Ε για μια πυραμίδα που έχει ως βάση: α) 7- γωνο, β) 10 γωνο, γ) 27 γωνο; Βρείτε τον αριθμό Κ+Ε Α για καθεμιά από τις πυραμίδες. Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό;
Ασκήσεις 1. Δίνονται οι παρακάτω κανονικότητες (α) 3, 8, 13, 18, 23,... (β) 2, 4, 6, 8, 10, 12,... Βρείτε τον τρόπο που προκύπτει κάθε όρος από τον προηγούμενό του. Μπορείτε με αυτόν τον τρόπο να βρείτε τον 10ο και τον 100ο όρο; Συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα Όρος 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 10ος 100ς ν-οστός 2. Τα τετράγωνα που αποτελούν τους "δομικούς λίθους" με τους οποίους κατασκευάζουμε τα παρακάτω σχήματα, έχουν πλευρά ίση με 1 cm. (α) Βρες την περίμετρο του πέμπτου σχήματος και εξήγησε πώς έφτασες στην απάντηση σου. (β) Γράψε ένα τύπο με τη βοήθεια του οποίου θα μπορείς να υπολογίσεις την περίμετρο κάθε σχήματος. (γ) Ποια είναι η σειρά του σχήματος του οποίου η περίμετρος είναι 128 cm; (δ) Να παραστήσετε τα ζεύγη (αριθμός τετραγώνων, περίμετρος ) σε ένα σύστημα (Σελίδα 74, σχολικού βιβλίου Ελλάδας) 3. α) Βρές πόσα άτομα θα καθίσουν αν ενωθούν 10 τραπέζια μαζί. β) Κάνε ένα πίνακα όπου στην πρώτη γραμμή να γράψεις τον αριθμό των τραπεζιών και στη δεύτερη γραμμή τον αριθμό των ατόμων. γ) Να παραστήσετε τα ζεύγη (αριθμός τετραγώνων, περίμετρος ) σε ένα σύστημα (Σελίδα 67, σχολικό βιβλίο Κύπρου )
4. Να υπολογίσετε πόσα σκιασμένα τρίγωνα θα έχει το δέκατο σχήμα του πιο κάτω μοτίβου, τα οποία είναι γνωστά ως ακολουθία τριγώνων Sierpinski: (Σελίδα188, σχολικό βιβλίο Κύπρου) Επιμέλεια: Πατσιομίτου Σ. - Φαλαγκάρας Α. Βιβλιογραφία 1.Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουμής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηματικά Α Γυμνασίου, ISBN: 978-9963-0-4611-9) 2.Βανδουλάκης Ι., Καλλιγάς Χ., Μαρκάκης Ν., Φερεντίνος Σ., (2007), Μαθηματικά Α Γυμνασίου, ΟΕΔΒ, Αθήνα, εκδ. Α. 3.Υπουργική Απόφαση ΦΕΚ Β 2281