ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1 Αρμονικό κύμα πλάτους Α διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου με θετική φορά Τη χρονική στιγμή t=0 το υλικό σημείο με x=0 ταλαντώνεται με μέγιστη θετική ταχύτητα και μετά από χρόνο t=2t έχει διανύσει διπλάσια απόσταση από όση έχει διανύσει το κύμα στον ίδιο χρόνο Ο λόγος της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης ενός υλικού σημείου του μέσου, προς την ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: α π β π/2 γ 2π δ π/4 2 Αν η εξίσωση ενός αρµονικού κύµατος είναι y= 10ηµ(6πt - 2πx) στο SI, τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος είναι ίση µε: α 10m/s β 6m/s γ 2m/s δ 3m/s (2003) 3 Κατά μήκος δύο χορδών 1 και 2, που είναι κατασκευασμένες από το ίδιο υλικό, διαδίδονται δύο αρμονικά εγκάρσια κύματα πλάτους Α 1 και Α 2 και μήκους κύματος λ 1 και λ 2, αντίστοιχα Αν ισχύει ότι Α 2 = 2 Α 1 και λ 2 = λ 1 /2, τότε για τις αντίστοιχες μέγιστες επιταχύνσεις των ταλαντώσεων α max,1 και α max,2 ισχύει: α 1 = α 4 i max,1 max,2 ii αmax,1 1 = α 8 max,2 iii α max,1 max,2 (Επ 2013) 4 Ημιτονοειδές κύμα με μήκος κύματος λ 1 διαδίδεται σε ένα μέσο με ταχύτητα υ 1 Όταν το κύμα εισέλθει σε δεύτερο μέσο διαδίδεται με ταχύτητα υ 2 (υ 2 υ 1 ) Το μήκος κύματος στο δεύτερο μέσο θα είναι: α λ 2 = λ 1 (υ 2 /υ 1 ) β λ 2 = λ 1 (υ 1 /υ 2 ) γ λ 2 = λ 1 Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας α = 4 (Εσπ 2006) 5 Ένα απλό αρμονικό κύμα διαδίδεται μέσα σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο με μήκος κύματος λ Την χρονική στιγμή t δύο σημεία Α και Β που βρίσκονται στις θέσεις x Α =3λ/8 και x Β =5λ/8 αντίστοιχα, έχουν διαφορά φάσης: α Δφ = 0 β Δφ =π/2 γ Δφ = π Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας (2012) 6 Στο σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά την αρνητική φορά του άξονα x Ox τη χρονική στιγμή t 1 Για τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Α, Β και Γ ισχύει: α v A > 0, v B > 0, v Γ > 0 β v A < 0, v B > 0, v Γ > 0 γ v A > 0, v B < 0, v Γ > 0 δ v A < 0, v B > 0, v Γ < 0 106
Κύματα Γενικά θέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 7 Δίνεται η εξίσωση της φάσης ενός γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο: 2π φ = 3 6t - 2x στο SI Ένα σημείο Σ απέχει 6 m από την πηγή δημιουργίας του κύματος Το κύμα τη χρονική στιγμή t=1s: α δεν έχει φτάσει στο σημείο Σ β μόλις έφτασε στο σημείο Σ γ έχει προσπεράσει το σημείο Σ 8 Οι διπλανές γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στη μεταβολή της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο δύο σημείων Α και Β ενός γραμμικού ελαστικού ομογενούς μέσου στο οποίο διαδίδεται αρμονικό εγκάρσιο κύμα Αν τα σημεία Α και Β θεωρηθούν υλικά σημεία ίδιας μάζας, για την κινητική ενέργεια ταλάντωσης Κ την χρονική στιγμή t=8s, θα ισχύει: α K A <K B β K A =K B γ K A >K B Δίνονται: συν0=1, συνπ/3=1/2 9 Κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται προς την κατεύθυνση του αρνητικού ημιάξονα εγκάρσιο αρμονικό κύμα Τη χρονική στιγμή t=0, το σημείο x=0 ξεκινά την ταλάντωσή του διερχόμενο από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα To διάγραμμα φάσηςαπόστασης τη χρονική στιγμή t 1 φαίνεται στο σχήμα Το σημείο Ρ βρίσκεται στη θέση: α -λ/2 β -3λ/2 γ -3λ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας 10 Στο σχήμα φαίνονται σε κοινό σύστημα αξόνων τα διαγράμματα φάσης απόστασης δύο αρμονικών κυμάτων 1 και 2 που διαδίδονται κατά μήκος δύο γραμμικών ελαστικών μέσων τη χρονική στιγμή t 1 Τα κύματα ξεκίνησαν τη χρονική στιγμή t=0 τη διάδοσή τους από τις πηγές τους χωρίς αρχική φάση Ο λόγος των μηκών κύματος των κυμάτων, λ 1 /λ 2, είναι: α 1/2 β 2/3 γ 3/2 11 Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σε ομογενές γραμμικό ελαστικό μέσο και προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x x Θεωρούμε ότι η πηγή παραγωγής του κύματος βρίσκεται στο σημείο Ο, αρχή του άξονα x x Δύο σημεία Α και Β του ελαστικού μέσου, έχουν κάποια χρονική στιγμή φάσεις φ Α = 11π/4 rad και φ Β =10π rad αντίστοιχα Η απόσταση του σημείου Β από την πηγή παραγωγής του κύματος είναι: α μεγαλύτερη από αυτή του Α β μικρότερη από αυτή του Α 107
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα γ ίση με αυτή του Α 12 Το Σχήμα παριστάνει σώμα Σ συνδεδεμένο με δύο ελατήρια και εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση Το σύστημα είναι τοποθετημένο σε οριζόντιο επίπεδο Επιπλέον, το σώμα Σ είναι συνδεδεμένο με οριζόντια ελαστική χορδή κατά μήκος της οποίας διαδίδεται μηχανικό κύμα με πηγή το σώμα Σ Να επιλέξετε τη σωστή εκδοχή από τα παρακάτω σχήματα που περιγράφουν το στιγμιότυπο του κύματος που διαδίδεται στη χορδή: 13 Δύο ελαστικές χορδές 1 και 2 είναι συγκολλημένες στο ένα άκρο τους Ένας κυματοπαλμός, ημιτονοειδούς μορφής, οδεύει από τα αριστερά προς τα δεξιά στο μέσο 1 με ταχύτητα υ 1 Στο πάνω στιγμιότυπο φαίνεται ο κυματοπαλμός τη στιγμή που φτάνει στο μέσο 2, ενώ στο κάτω στιγμιότυπο φαίνονται ο ανακλώμενος κυματοπαλμός, καθώς και αυτός που διαδίδεται στο μέσο 2, με ταχύτητα υ 2 Από τη μελέτη των σχημάτων προκύπτει ότι οι ταχύτητες διάδοσης στο μέσο 1 και στο μέσο 2 συνδέονται με τη σχέση: α υ 1 < υ 2 β υ 1 = υ 2 γ υ 1 > υ 2 (Επαναλ2015) 108
Κύματα Γενικά θέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 14 Δύο όµοιες πηγές κυµάτων Α και Β στην επιφάνεια µιας ήρεµης λίµνης βρίσκονται σε φάση και παράγουν υδάτινα αρµονικά κύµατα Η καθεµιά παράγει κύµα (πρακτικά) αµείωτου πλάτους 10 cm και µήκους κύµατος 2m Ένα σηµείο Γ στην επιφάνεια της λίµνης απέχει από την πηγή Α απόσταση 6m και από την πηγή Β απόσταση 2m Το πλάτος της ταλάντωσης του σηµείου Γ είναι: α 0cm β 10cm γ 20cm δ 40cm (2003) 15 Δύο σύγχρονες πηγές δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα πλάτους Α και μήκους κύματος λ Ένα σημείο Σ βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού σε αποστάσεις r 1 και r 2 από τις πηγές αντίστοιχα Αν ξέρουμε ότι ισχύει r 1 r 2 =11λ, τότε το Σ ταλαντώνεται με πλάτος: α Α β A/2 γ 0 δ 2Α (2006) 16 Στην επιφάνεια υγρού συμβάλλουν δύο όμοια κύματα που δημιουργούνται από δύο σύγχρονες αρμονικές πηγές Σε σημείο Φ που απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r 1 και r 2 έχουμε ενίσχυση όταν: α r 1 -r 2 =(2N+ 1 )λ β r 1 -r 2 =Nλ γ r 1 -r 2 =(2N+1) λ/2 όπου Ν = 0, 1, 2, και λ το μήκος κύματος (Επαν2007) 17 Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Α και Β ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πλάτος, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ Αν η απόσταση των πηγών ισούται με λ, τότε μεταξύ των πηγών διέρχονται: α δύο υπερβολές ενίσχυσης και δύο υπερβολές απόσβεσης, β μία υπερβολή ενίσχυσης και δύο υπερβολές απόσβεσης, γ μία υπερβολή ενίσχυσης και καμία υπερβολή απόσβεσης, 18 Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1, Π 2 ταλαντώνονται κάθετα στην ελαστική επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ Τα κύματα συμβάλλουν στη επιφάνεια του υγρού Το πλήθος των υπερβολών ενίσχυσης που τέμνουν το τμήμα που συνδέει τις πηγές: α είναι άρτιο, β είναι περιττό, γ είναι άρτιο αν οι πηγές απέχουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του λ και περιττό αν οι πηγές απέχουν περιττό πολλαπλάσιο του λ/2 19 Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π 1, Π 2 βρίσκονται στα σημεία (Α) και (Β) αντίστοιχα της ελαστικής επιφάνειας ενός υγρού Οι πηγές ταλαντώνονται 109
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα κάθετα στην επιφάνεια του υγρού με το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ Αν (ΑΒ)=2,4λ, τότε μεταξύ των (Α) και (Β) και επί του (ΑΒ) το πλήθος των σημείων απόσβεσης είναι: α 4 β 5 γ 6 20 Στην ελεύθερη επιφάνεια ενός υγρού δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων εκτελούν κατακόρυφες ταλαντώσεις με συχνότητα f και δημιουργούν εγκάρσια κύματα ίδιου πλάτους Α Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού ταλαντώνεται εξ αιτίας της συμβολής των δύο κυμάτων με πλάτος 2Α Αν οι δύο πηγές εκτελέσουν ταλάντωση με συχνότητα 2f και με το ίδιο πλάτος Α, τότε το σημείο Σ θα: α ταλαντωθεί με πλάτος 2Α, β ταλαντωθεί με πλάτος 4Α, γ παραμένει ακίνητο (2010) 21 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 που βρίσκονται αντίστοιχα στα σημεία Κ και Λ της επιφάνειας υγρού παράγουν πανομοιότυπα εγκάρσια αρμονικά κύματα με ίδιο πλάτος, ίσες συχνότητες f 1 και ίσα μήκη κύματος λ 1 Αν η απόσταση των σημείων Κ και Λ είναι d = 2λ 1, τότε δημιουργούνται τέσσερις υπερβολές απόσβεσης, μεταξύ των σημείων Κ και Λ Αλλάζοντας την συχνότητα των δύο πηγών σε f 2 = 3 f 1 και διατηρώντας το ίδιο πλάτος, ο αριθμός των υπερβολών απόσβεσης, που δημιουργούνται μεταξύ των δύο σημείων Κ και Λ, είναι: α 6 β 8 γ 12 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας (2013) 22 Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του σχήματος, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του Το κύμα : α διαδίδεται προς τα αριστερά β διαδίδεται προς τα δεξιά γ είναι στάσιμο δ μπορεί να διαδίδεται και προς τις δύο κατευθύνσεις (δεξιά ή αριστερά) (Επαν2015) 23 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού σε τέτοιες αποστάσεις από τις πηγές, ώστε τα κύματα να συμβάλλουν σε αυτό με χρονική διαφορά Δt=Τ/4, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των πηγών Δεύτερο κομμάτι φελλού ίδιας μάζας με το προηγούμενο βρίσκεται στο μέσο Μ της απόστασης των πηγών Π 1 Αν Α Σ και Α Μ είναι τα πλάτη ταλάντωσης των δύο κομματιών φελλού μετά τη 110
Κύματα Γενικά θέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 συμβολή, τότε ο λόγος των ενεργειών τους είναι: Ε 2 Ε 1 Ε 1 Ε 2 Ε 2 Ε 4 Σ Σ Σ α = β = γ = Μ Μ Μ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας (Επαν 2014) 24 Σε γραμμικό ελαστικό μέσο (1) δημιουργείται στάσιμο κύμα έτσι ώστε το ένα άκρο του μέσου να είναι δεσμός και το άλλο άκρο να είναι κοιλία Μεταξύ των δύο άκρων υπάρχουν άλλοι 5 δεσμοί Σε ένα δεύτερο ελαστικό μέσο (2) από το ίδιο υλικό αλλά με διπλάσιο μήκος από το πρώτο, δημιουργείται άλλο στάσιμο κύμα, έτσι ώστε και τα δύο άκρα του δεύτερου μέσου να είναι δεσμοί Μεταξύ των δύο άκρων του δεύτερου μέσου υπάρχουν άλλοι οκτώ δεσμοί Ο λόγος των συχνοτήτων ταλάντωσης των δύο μέσων είναι: α 1 2 f 11 f β 1 2 f γ 1 9 f 9 f2 3 f2 11 (Επαν2015) 25 Σε γραμμικό ελαστικό μέσο, κατά μήκος του ημιάξονα Οx, δημιουργείται στάσιμο κύμα με κοιλία στη θέση x=0 Δύο σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέσου βρίσκονται αριστερά και δεξιά του πρώτου δεσμού, μετά τη θέση x=0, σε αποστάσεις λ/6 και λ/12 από αυτόν αντίστοιχα, όπου λ το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα Ο λόγος των μεγίστων ταχυτήτων υ K /υ Λ των σημείων αυτών είναι: α 3 β 1/3 γ 3 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας (2012) 26 Κατά μήκος μίας ελαστικής χορδής που ταυτίζεται με τον άξονα xόx έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, ως αποτέλεσμα της συμβολής δύο αντίθετα διαδιδόμενων αρμονικών κυμάτων με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα Τα σημεία Α και Β της χορδής είναι διαδοχικά σημεία στα οποία εμφανίζονται κοιλίες με ίδια φάση Μεταξύ των Α και Β υπάρχουν: α δύο δεσμοί, β ένας δεσμός, γ τρείς δεσμοί Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας 27 Το σχήμα δίνει το στιγμιότυπο στάσιμου κύματος, με περίοδο Τ και μήκος κύματος λ, τη χρονική στιγμή t = T/8 Το σημείο 0 είναι κοιλία που για t=0s διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα Το πλάτος της ταλάντωσης σημείου Β με x Β = λ/8 είναι: α 0,05 m β 0,1 m γ 0,1 2 m 111
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα (Επ 2013) 28 Σε μια χορδή μήκους L δημιουργείται στάσιμο κύμα, με δεσμούς στα δύο άκρα της και άλλους δύο ενδιάμεσα Αν f είναι η συχνότητα ταλάντωσης της χορδής, τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος στη χορδή είναι: α 2Lf υ = 3 β Lf υ = 3 γ 3Lf υ = 2 29 Σε μια χορδή μήκους δημιουργείται στάσιμο κύμα Μία κοιλία τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση y= A κινούμενη προς τη θέση ισορροπίας της Η χρονική στιγμή που η επιτάχυνσή της γίνεται μηδέν για πρώτη φορά είναι: α Τ/3 β Τ/6 γ Τ/12 30 Ένα στάσιμο κύμα που δημιουργείται σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο περιγράφεται από την εξίσωση y=2ασυν(2πx/λ)ημ(2πt/t) Το πλάτος ταλάντωσης Α ενός σημείου Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται δεξιά του τρίτου δεσμού από το σημείο x=0 και σε απόσταση λ/12 από αυτόν είναι: α A 3 β Α/2 γ Α Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Δίνεται: συν(2π/3)=-1/2 (2015) 112
Κύματα Γενικά θέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Η εικόνα παριστάνει το στιγμιότυπο αρμονικού κύματος τη χρονική στιγμή t 0 Το κύμα δημιουργείται από πηγή O που αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t=0 χωρίς αρχική φάση και διαδίδεται με ταχύτητα υ=2 m/s, κατά μήκος άξονα Οx α Να βρείτε τη χρονική στιγμή t 0 και να γράψετε την εξίσωση του κύματος β Να γίνει το διάγραμμα φάσης σε συνάρτηση με τη θέση x των σημείων του άξονα Οx, για τη χρονική στιγμή t 0 γ Να βρείτε τη χρονική στιγμή που ένα σημείο Κ, το οποίο βρίσκεται στη θέση x=3m, θα απέχει για πρώτη φορά 1 cm από τη θέση ισορροπίας του δ Να γίνουν τα διαγράμματα φάσης - χρόνου και απομάκρυνσης - χρόνου για ένα σημείο Ρ που βρίσκεται στη θέση x=2,4 m 2 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα Οx, διαδίδ εται αρμον ικό κύμα της μορφ ής: y = 0,2 ημ 5πx 10πt SI α Να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, β Κάποια χρονική στιγμή t 1 οι φάσεις των ταλαντώσεων δύο σημείων (Σ) και (Π) του μέσου που είναι προς τα δεξιά της πηγής (Ο), είναι 20π φ Σ = rad 3 25π και φ Π = rad Να βρείτε ποιο από τα δύο σημεία είναι πιο κοντά στην 6 πηγή (Ο) και ποια είναι η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων γ Ποια είναι η απομάκρυνση του σημείου (Σ) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο (Π) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση; δ Να βρείτε την τιμή της ταχύτητας ενός μορίου του μέσου, όταν η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι y=5 cm 3 Στο κάτω μέρος του σώματος που φαίνεται στο σχήμα, είναι προσαρμοσμένη ακίδα που ακουμπά στην επιφάνεια του υγρού Το σύστημα κάνει εξαναγκασμένη ταλάντωση με μέγιστο πλάτος Α max =8 cm και η εξίσωση κίνησης του σώματος είναι: y=8 ημωt (y σε cm, t σε s) Στην επιφάνεια του υγρού δημιουργούνται εγκάρσια αρμονικά κύματα και ένα κομμάτι φελλού αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t 1 =0,4π s Δίνονται: η σταθερά του ελατηρίου k=200 Ν/m, η μάζα του σώματος m = 2 kg και η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων υ= 2 m/s π α Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t) για τον φελλό 113
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα β Να βρείτε την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του φελλού γ Να γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τις στιγμές t 1 και t 1 +Τ/2 4 Αρμονικό εγκάρσιο κύμα πλάτους Α=0,1 m διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα Οx Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο, είναι y=α ημωt Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με την απόσταση x από την πηγή, τη χρονική στιγμή t 1 =2 s α Να βρείτε την περίοδο, το μήκος κύματος και τη ταχύτητα διάδοσης του κύματος β Να γράψετε την εξίσωση του κύματος γ Για το σημείο Κ του ελαστικού μέσου το οποίο απέχει από την πηγή Ο απόσταση x=1 m, να βρείτε την απομάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας του, το μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του, τη χρονική στιγμή t 1 =2 s 5 Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου στο οποίο έχουμε ταυτήσει ημιάξονα Οx Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο των ταχυτήτων των σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους x, τη στιγμή t 1 =0,4 s Τη στιγμή t=0 ξεκινά η ταλάντωση του σημείου Ο, χωρίς αρχική φάση α Nα βρείτε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος β Nα βρείτε τo μέτρο της συνισταμένης δύναμης που δέχεται ένα υλικό σημείο Μ (x Μ =0,4 m) μάζας 2 10 3 kg, τη στιγμή 0,4 s γ Να κάνετε το διάγραμμα της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με τη θέση x των σημείων του μέσου (φ x), τη στιγμή 0,5 s δ Πόσα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν δυναμική ενέργεια ίση με κινητική τη στιγμή t 1 ; 6 Θεωρούμε σημειακή πηγή παραγωγής κυμάτων της οποίας η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση: y=4 ημ(10πt+φ 0 ) (y σε cm, t σε s) Τη χρονική στιγμή t=0 η πηγή βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας της Όταν η πηγή περνάει από τη θέση ισορροπίας της για 2η φορά, το κύμα που παράγεται από αυτήν έχει διαδοθεί σε απόσταση 30 cm α Να βρείτε τη αρχική φάση φ 0 β Να γράψετε την εξίσωση του κύματος που διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x x του ελαστικού μέσου, με αρχή Ο τη θέση της πηγής και προς τη θετική φορά γ Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν την ταχύτητα της ταλάντωσης και την επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σωματίδιο του ελαστικού μέσου, που βρίσκεται στη θέση x=2 m 114
Κύματα Γενικά θέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 δ Να παραστήσετε γραφικά τη φάση φ της ταλάντωσης για τα διάφορα σημεία του ημιάξονα Οx, σε συνάρτηση με την απόστασή τους x από την πηγή Ο, τη στιγμή t=0,5 s Επίσης να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή αυτή Δίνεται π 2 =10 7 Κατά μήκος του άξονα x x εκτείνεται ελαστική χορδή Στη χορδή διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα Η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου Π 1 της χορδής περιγράφεται από την εξίσωση: y 1 =Aημ30πt SI ενώ η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου Π 2 που βρίσκεται 6 cm δεξιά του σημείου Π 1, περιγράφεται από την εξίσωση: π y 2 = A ημ 30πt + SI 6 Η απόσταση μεταξύ των σημείων Π 1 είναι μικρότερη από ένα μήκος κύματος α Ποια είναι η φορά διάδοσης του κύματος; β Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; γ Αν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων της χορδής, να υπολογίσετε το πλάτος του κύματος δ Στο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος Εκείνη τη στιγμή σε ποια από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η η ταχύτητα ταλάντωσης είναι μηδενική και σε ποια είναι μέγιστη (κατ απόλυτη τιμή); Ποια είναι η φορά της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων Β, Δ, και Ζ; ε Να γράψετε την εξίσωση του κύματος που όταν συμβάλλει με το προηγούμενο, δίνει στάσιμο κύμα (Eξετάσεις 2005 3ο θέμα) 8 Δύο σημαδούρες Α και Β απέχουν μεταξύ τους απόσταση ΑΒ=13,5 m και η ευθεία που διέρχεται από αυτές είναι κάθετη στην ακτογραμμή Πλοίο που κινείται παράλληλα στην ακτογραμμή, μακριά από τις σημαδούρες δημιουργεί κύμα, με φορά διαδόσης από την Α προς την Β, το οποίο θεωρούμε εγκάρσιο αρμονικό Το κύμα διαδίδεται προς την ακτή Εξ αιτίας του κύματος η κάθε σημαδούρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της 30 φορές το λεπτό Ο χρόνος που απαιτείται, για να φθάσει ένας <<όρος>> του κύματος από την σημαδούρα Α στην Β, είναι 9 s Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης κάθε σημαδούρας είναι π/5 m/s Θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων τη σημαδούρα Α και ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή που η σημαδούρα Α βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και κινείται προς τα θετικά α Να υπολογιστεί το μήκος του κύματος β Πόσο απέχει η σημαδούρα Α από την ακτή, αν αυτή βρίσκεται για 21 η φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής της, όταν το κύμα φθάσει στην ακτή 115
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα γ Να γραφεί η εξίσωση ταλάντωσης της σημαδούρας Β, καθώς το κύμα διαδίδεται από τη σημαδούρα Α προς τη Β; δ Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης της σημαδούρας Β κάποια χρονική στιγμή που η σημαδούρα Α βρίσκεται στο ανώτατο σημείο της ταλάντωσής της Επαναληπτικές εξετάσεις 2006 3ο θέμα 9 Δύο γραμμικά ελαστικά μέσα εκτείνονται κατά μήκος του οριζόντιου άξονα x Οx Τα ελαστικά μέσα συνδέονται στην αρχή Ο Τη χρονική στιγμή t 0 = 0, το υλικό σημείο Ο του ελαστικού μέσου (x = 0), αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, η απομάκρυνση της οποίας περιγράφεται από την εξίσωση: y = 0,02 ημωt (SΙ) Η ταλάντωση του σημείου Ο εξελίσσεται στην κατακόρυφη διεύθυνση και έχει ως αποτέλεσμα την παραγωγή αρμονικών κύμάτων, τα οποία διαδίδονται στους ημιάξονες Οx και Οx, οπως στο σχήμα x υ2 Ν (- 0,5m) O (x = 0) υ1 Μ ( 1m) Τη χρονική στιγμή 0,4 s το υλικό σημείο Ο έχει εκτελέσει δύο πλήρεις ταλαντώσεις και την ίδια χρονική στιγμή το κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική φορά έχει διαδοθεί μέχρι τη θέση x Μ = 1 m, ενώ το κύμα που διαδίδεται κατά τη αρνητική φορά έχει διαδοθεί μέχρι τη θέση x Ν = - 0,5 m α Nα υπολογίσετε τα μήκη κύματος των αρμονικών κυμάτων που παράγονται β Να γράψετε την εξίσωση κύματος που περιγράφει κάθε αρμονικό κύμα γ Να κάνετε γραφική παράσταση της εξίσωσης y - x τη χρονική στιγμή 0,3 s 10 Γραμμικό ελαστικό μέσο εκτείνεται κατά μήκος του οριζόντιου ημιάξονα Οx Τη χρονική στιγμή t 0 =0, το υλικό σημείο Ο του ελαστικού μέσου (x=0), αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, η απομάκρυνση της οποίας περιγράφεται από την εξίσωση: y=0,1 ημωt (SΙ) Η ταλάντωση του σημείου Ο εξελίσσεται στην κατακόρυφη διεύθυνση και έχει ως αποτέλεσμα την παραγωγή αρμονικού κύματος, το οποίο διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του ημιάξονα Οx Αν γνωρίζετε ότι τη χρονική στιγμή 0,4 s το υλικό σημείο Ο έχει εκτελέσει δύο πλήρεις ταλαντώσεις και την ίδια χρονική στιγμή το κύμα έχει διαδοθεί μέχρι τη θέση x 1 =4 m, τότε: α να υπολογίσετε το μήκος κύματος β Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου Ν, που βρίσκεται στη θέση x 2 =3 m, τη χρονική στιγμή κατά την οποία η φάση του σημείου Ο είναι φ=3,75π rad γ i Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή 0,25 s ii Να προσδιορίσετε τις θέσεις των σημείων του ελαστικού μέσου που έχουν μέγιστη κινητική ενέργεια εκείνη τη χρονική στιγμή Αν η απλή αρμονική ταλάντωση του υλικού σημείου Ο προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, οι οποίες εξελίσσονται στην κατακόρυφη διεύθυνση και οι απομακρύνσεις τους περιγράφονται από τις εξισώσεις y 1 =A 1 ημωt και y 2 =0,1 ημ(ωt+π), τότε: x 116
Κύματα Γενικά θέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 δ Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y 1 σε συνάρτηση με το χρόνο Δίνεται: 3π 2 συν = 4 2 ΟΕΦΕ 2008 3ο θέμα 11 Στην επιφάνεια ενός υγρού που ηρεμεί, βρίσκονται δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Π 1, που δημιουργούν στην επιφάνεια του υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα ίσου πλάτους Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t 0 =0 ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας τους και κινούμενες προς την ίδια κατεύθυνση, την οποία θεωρούμε θετική Η χρονική εξίσωση της ταλάντωσης ενός σημείου Μ, που βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος Π 1 Π 2, μετά τη συμβολή των κυμάτων δίνεται στο SI από τη σχέση: y M =0,2 ημ2π(5t-10) Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=2 m/s Έστω Ο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος Π 1 Π 2 και d=1m η απόσταση μεταξύ των πηγών Να βρείτε: Γ1 Την απόσταση ΜΠ 1 Γ2 Τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων Ο και Μ Γ3 Πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος Π 1 Π 2 ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Γ4 Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με τον χρόνο t για 0 t 2,5 s Eξετάσεις 2011 3ο θέμα 12 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα της ελέυθερης επιφάνειας νερού και προκαλούν όμοια εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=0,5 m/s Ένα σημείο Κ της επιφάνειας του νερού βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και απέχει από τα Α και Β αποστάσεις (ΑΚ)=r 1 και (ΒΚ)=r 2 με r 1 >r 2 Το σημείο Κ είναι το πλησιέστερο προς το μέσο Μ του ΑΒ που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος Η απομάκρυνση του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας του λόγω της συμβολής των κυμάτων περιγράφεται σε συνάρτηση με το χρόνο t, από την εξίσωση: Να υπολογίσετε: 5π y K = -0,2 ημ t - 2 SI 3 α την περίοδο, το μήκος κύματος και το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν, β την απόσταση ΑΒ των δύο πηγών, γ τις αποστάσεις r 1 και r 2 του σημείου Κ από τα σημεία Α και Β, δ τον αριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ που λόγω της συμβολής έχουν πλάτος ίσο με το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Κ Επαναληπτικές εξετάσεις 2004 3ο θέμα 13 Ένα τεντωμένο οριζόντιο σχοινί ΟΑ μήκους L εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x Το άκρο του Α είναι στερεωμένο ακλόνητα στη θέση x=l, ενώ το άκρο Ο που βρίσκεται στη θέση x=0 είναι ελεύθερο, έτσι ώστε με κατάλληλη διαδικασία να δημιουργείται στάσιμο κύμα με 5 συνολικά κοιλίες Στη θέση x=0 εμφανίζεται κοιλία και το σημείο του μέσου στη θέση αυτή εκτελεί απλή 117
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα αρμονική ταλάντωση Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο x=0 βρίσκεται στη θέση μηδενικής απομάκρυνσης κινούμενο κατά τη θετική φορά Η απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης αυτού του σημείου του μέσου είναι 0,1 m Το συγκεκριμένο σημείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του 10 φορές κάθε δευτερόλεπτο και απέχει κατά τον άξονα x απόσταση 0,1 m από τον πλησιέστερο δεσμό α Να υπολογίσετε την περίοδο του κύματος β Να υπολογίσετε το μήκος L γ Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος δ Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας της ταλάντωσης του σημείου του μέσου x=0, κατά τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας έχει τιμή y =+0,03 m Δίνεται π=3,14 Eξετάσεις 2004 3ο θέμα 14 Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Π 1 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ = 5 m/s Μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο Σ της επιφάνειας πλησιέστερα στην πηγή Π 2 Η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο περιγράφεται από τη γραφική παράσταση του σχήματος Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = 0 και εκτελούν ταλαντώσεις της μορφής y = Α ημωt Γ1 Να βρείτε τις αποστάσεις αντίστοιχα r 1 και r 2 του σημείου Σ από τις πηγές Π 1 Γ2 Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο, για t 0 Γ3 Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του φελλού κάποια χρονική στιγμή t 1, κατά την οποία η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι 1-3 y = 5 3 10 m Γ4 Έστω Κ 1 η μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού μετά τη συμβολή Αλλάζουμε τη συχνότητα των ταλαντώσεων των πηγών Π 1 έτσι ώστε η συχνότητά τους να είναι ίση με τα 10/9 της αρχικής τους συχνότητας Αν μετά τη νέα συμβολή η μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού είναι Κ 2, να βρεθεί ο λόγος Κ 1 /Κ 2 Δίνεται: π 1 συν 3 2 Επαναληπτικές Eξετάσεις 2011 3ο θέμα 118
Κύματα Γενικά θέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 15 Δύο πηγές Π 1 ταλαντώνονται στην επιφάνεια υγρού βάσει της εξίσωσης: y=4 ημ10πt (y σε cm, t σε s) Ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t 1 =0,6 s λόγω του κύματος από την πηγή Π 1 Τη στιγμή t 2 =1 s φτάνει στο Μ και το κύμα από την πηγή Π 2 Να βρείτε: α Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του Μ όταν εκτελεί τη σύνθετη κίνησή του β Να βρείτε την απομάκρυνση του Μ από τη ΘΙ του τη στιγμή 0,75 s γ Να υπολογίσετε τη στιγμή που το Μ θα βρεθεί στη ΘΙ του για 2η φορά μετά από τη στιγμή που αρχίζει η σύνθετη κίνηση, καθώς επίσης και το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης ταλάντωσης του Μ όταν εκτελεί τη σύνθετη κίνησή του δ Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητας του Μ, όταν εκτελεί σύνθετη κίνηση και περνά από την απομάκρυνση 4 cm; ε Να γίνει το διάγραμμα απομάκρυνσης χρόνου για το σημείο Μ από τη στιγμή 0 s μέχρι τη στιγμή 1,4 s (π 2 =10) 16 Σε δύο σημεία Π 1 στην επιφάνεια υγρού δημιουργούνται δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυμάτων πλάτους Α=2 cm χωρίς αρχική φάση φ 0 και τη χρονική στιγμή 2 s περνάνε για 20η φορά από τη θέση ισορροπίας τους Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σ ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού που απέχει r 1 =30 cm και r 2 =50 cm αντίστοιχα από τα Π 1 Η ταχύτητα διάδοσης των παραγομένων κυμάτων είναι υ=1 m/s Να βρείτε: α Την εξίσωση απομάκρυνσης του φελλού από τη θέση ισορροπίας του, από τη στιγμή t=0 που ξεκινά η κίνηση των πηγών β Την απομάκρυνση του φελλού τις στιγμές 0,2s, 0,55 s και 1,25 s γ Ποια είναι η ελάχιστη συχνότητα f των πηγών ώστε ο φελλός να ηρεμεί; δ Πόσες υπερβολές απόσβεσης υπάρχουν, ανάμεσα στην υπερβολή που ανήκει ο φελλος και την μεσοκάθετη της Π 1 Π 2 ; 17 Σε μια χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα, η εξίσωση του οποίου είναι, πx y =10 συν ημ20πt 4 Να βρείτε: όπου x, y δίνονται σε cm και t σε s α Το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης, τη συχνότητα και το μήκος κύματος β Τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που παράγουν το στάσιμο κύμα γ Τη ταχύτητα που έχει τη χρονική στιγμή t=0,1 s ένα σημείο της χορδής το οποίο απέχει από το ακρό της x=3 cm δ Σε ποιές θέσεις υπάρχουν κοιλίες μεταξύ των σημείων x A =3 cm και x B =9 cm Δίνονται: π=3,14 και 3π 2 συν = 4 2 Eξετάσεις 2007 3ο θέμα 18 Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο στάσιμου κύματος τη στιγμή t 1 =0,5 s, κατά την οποία τα σημεία του μέσου που ταλαντώνονται, έχουν μόνο δυναμική ενέργεια Η περίοδος του κύματος είναι Τ=2 s 119
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα α Να γράψετε τις εξισώσεις των τρεχόντων κυμάτων που συμβάλουν καθώς και την εξίσωση του στάσιμου κύματος β Να κάνετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος, τη χρονική στιγμή t 2 =t 1 +1,5 s γ Να γράψετε τις εξισώσεις y=f(t) και v=f(t) για τα σημεία Μ και Ν που βρίσκονται στις θέσεις x Μ =5 cm και x Ν =15 cm αντίστοιχα 19 Από σημείο Ο (x=0) γραμμικού ελαστικού μέσου διέρχεται τη στιγμή t=0 εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα διάδοσης υ=40 m/s Το κύμα ανακλάται σε ακλόνητο εμπόδιο Ε, επιστρέφει και δημιουργεί στάσιμο Όταν αποκαθίσταται το στάσιμο, το σημείο Ο είναι κοιλία Στο διάγραμμα του σχήματος φαίνεται πως μεταβάλλεται η απομάκρυνση ενός σημείου Μ, σε σχέση με τον χρόνο α Να εξηγήσετε γιατί το διάγραμμα έχει αυτή τη μορφή β Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ γ Ποια είναι η θέση του εμπόδιου Ε; δ Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος 20 Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς μέσου το οποίο εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x Οx, δημιουργείται στάσιμο εγκάρσιο κύμα, του οποίου ένα στιγμιότυπο τη στιγμή t 1 =3 s φαίνεται στο σχήμα Η περίοδος του κύματος είναι Τ=4 s Το σημείο Ο τη στιγμή t=0 ήταν στη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα α Να δικαιολογήσετε ότι το μέγιστο πλάτος είναι 3 cm, να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης υ των κυμάτων που συμβάλλουν και να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος 120
Κύματα Γενικά θέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 β Πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης δύο σημείων Α, Β του ελαστικού μέσου που βρίσκονται στις θέσεις x 1 = 25 cm και x 2 =+25 cm αντίστοιχα; γ Να βρείτε τον αριθμό n των κοιλιών του στάσιμου κύματος που σχηματίζονται μεταξύ των σημείων Α και Β δ Μεταβάλλουμε κατάλληλα τη συχνότητα των συμβαλλόντων κυμάτων, οπότε δημιουργείται κατά μήκος του ελαστικού μέσου ένα νέο στάσιμο κύμα Διαπιστώνουμε ότι μεταξύ των σημείων Α και Β του ελαστικού μέσου σχηματίζονται n-2 κοιλίες Δεδομένου ότι η κινητική κατάσταση των σημείων Α και Β δε μεταβλήθηκε, ποιο είναι το νέο μήκος κύματος και η νέα περίοδος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα; 21 Σε ένα στάσιμο κύμα το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν είναι A=8 cm Δύο μόρια Μ και Ν του ελαστικού μέσου απέχουν από τον ίδιο δεσμό Δ ελάχιστη απόσταση λ/4 και λ/8 αντίστοιχα α Ποια μπορεί να είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων; β Πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου; 22 Σε χορδή ΟΒ με το άκρο Ο να είναι ελεύθερο και το άκρο Β ακλόνητο, δημιουργείται στάσιμο κύμα Στο άκρο Ο δημιουργείται κοιλία και όταν η συχνότητα είναι f 1 = 3 Hz το στάσιμο έχει 2 δεσμούς Όταν η συχνότητα γίνει f 2 το στάσιμο που δημιουργείται έχει 4 δεσμούς Το πλάτος των τρεχόντων κυμάτων που συμβάλλουν είναι 4 cm και η ταχύτητα διάδοσής τους είναι 2,8 m/s α Να βρείτε το μήκος της χορδής ΟΒ β Να βρείτε τη συχνότητα f 2 γ Το σημείο Δ είναι ο πλησιέστερος προς το Ο δεσμός, όταν δημιουργείται το 1ο στάσιμο Ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης του Δ, όταν δημιουργείται το 2ο στάσιμο; δ Για ποια ελάχιστη συχνότητα στο σημείο Δ είναι κοιλία; 23 Σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο, που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση άξονα x Ox, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα προς τη θετική φορά Όταν το κύμα φτάνει σε κάθε σημείο του μέσου, αυτό ξεκινά την αρμονική του ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τη θετική φορά του κατακόρυφου άξονα y y Η ελάχιστη οριζόντια απόσταση δύο σημείων του μέσου, των οποίων οι ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης π rad, είναι 1m H διέλευση κάθε σημείου από τη θέση ισορροπίας του γίνεται 20 φορές σε 2 s με ταχύτητα μέτρου 2π m/s α Να βρείτε το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος β Ένα δεύτερο πανομοιότυπο κύμα διαδίδεται στο ίδιο μέσο, προς την αρνητική φοράτου άξονα x Ox Τα δύο κύματα συναντώνται τη χρονική στιγμή t=0 στην αρχή Ο (x=0) 1 Να γραφούν οι εξισώσεις των δύο αρμονικών κυμάτων 2 Σε πόσο μήκος του ελαστικού μέσου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα τη χρονική στιγμή t 1 =0,2 s; 3 Πόσοι δεσμοί έχουν δημιουργηθεί στην περιοχή αυτή του στάσιμου κύματος; γ Τι απομάκρυνση έχει από τη θέση ισορροπίας του, ένα σημείο Κ με x K =2,25 m, τη χρονική στιγμή t 1 =0,2 s; 24 Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης (U max =10-6 J) ενός μορίου K ομογενούς ελαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται γραμμικό αρμονικό εγκάρσιο κύμα σε συνάρτηση 121
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κύματα Γενικά θέματα με το χρόνο Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ=2 m/s και έχει μηδενική αρχική φάση Κάθε μικρό τμήμα του σχοινιού μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο μάζας m = 2 10-3 kg α Πόσο απέχει από την πηγή του κύματος το σημείο Κ στο οποίο αναφέρεται η γραφική παράσταση; β Να βρείτε το πλάτος και το μήκος κύματος αυτού του κύματος γ Να γράψετε την εξίσωση του κύματος δ Να κάνετε τη γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο και για ένα άλλο μόριο Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση x=16 m ε Να γράψετε τη σχέση δεύτερου αρμονικού κύματος το οποίο όταν συμβάλλει με το πρώτο δημιουργείται στάσιμο κύμα 122