π.1 Διακριτά Μαθηματικά http://crypto.di.uoa.gr/dmath2015 Διαλέξεις : Άγγελος Κιαγιάς http://www.di.uoa.gr/ aggelos Ασκήσεις : Ολγα Φουρτουνέλλη Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών
π.2 Τι είναι τα Διακριτά Μαθηματικά; Είναι η μελέτη διακριτών μαθηματικών αντικειμένων: σύνολα, π.χ. {α,ε,η,ι,ο,υ,ω}, γράφοι, ακέραιοι αριθμοί και υποσύνολά τους π.χ. {0, 2, 4, 8, 16, 32,...}, πρώτοι αριθμοί 2,3,5,7,11,13,..., αριθμητικές συναρτήσεις, δηλ. με πεδίο ορισμού τους ακεραίους. Τα διακριτά αντικείμενα αναπαρίστανται με ακρίβεια στον Υπολογιστή! Τι ΔΕΝ εξετάζουμε στα Διακριτά Μαθηματικά; Συνεχή αντικείμενα, Μαθηματική ανάλυση.
π.3 Αντιστοιχία διακρ./συνεχ. αντικειμένων Διακριτά Συνεχή αντικείμενα Z, Q R, C σύνολο {0, 1, 2, 3}, ακολουθία (0, 1, 2, 3) άθροισμα N k=0 k = N(N+1) 2 = N 2 2 + N 2 διάστημα [0, 3] ή (0, 3) ολοκλήρωμα N 0 tdt= t2 2 N 0 = N 2 2 διακριτή πιθανότητα κορώνα ή γράμματα μετά από στρίψιμο νομίσματος. συνεχής πιθανότητα η ταχύτητα ενός μορίου μετά από θέρμανση ενός αερίου.
π.4 Γιατί μελετάμε τα Διακριτά Μαθηματικά; Α. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα: ανάλυση πολυπλοκότητας μέσω αριθμητικών συναρτήσεων, πιθανοκρατικοί αλγόριθμοι: αποφεύγουν χείριστη περίπτωση, βελτιστοποίηση στην επιχειρησιακή έρευνα, π.χ. δρομολόγια αεροπορικών εταιριών, γεωμετρικοί αλγόριθμοι, π.χ. κυρτό περίβλημα, διάγραμμα Voronoi. Β. Κρυπτογραφία, κωδικοποίηση και ασφάλεια: κατασκευή μεθόδων κρυπτογράφησης. ανάλυση ασφάλειας κρυπτογραφικών σηστημάτων.
π.5 Γιατί μελετάμε τα Διακριτά Μαθηματικά; Γ. Τηλεπικοινωνιακά δίκτυα: αλγόριθμοι για δρομολόγηση. αλγόριθμοι για καταμερισμό φόρτου κ.α. Δ. Δομές και βάσεις δεδομένων: ισορροπημένα δένδρα, δομές union-find κ.α. Ε. Γλώσσες προγραμματισμού και μεταγλωττιστές: Τυπικές Γραμματικές και Συντακτικά Δενδρα. Κατασκευή αυτομάτων για μεταγλώττιση. κ.α.
π.6 Το πρόβλημα του Βρίσκω ισοδύναμα Ηκυβέρνησηθέλειναβρειισοδύναμαμέτρα.τισημάινει; Π.χ. (τα ποσά είναι ενδεικτικά) Αφαίρεση προνομίων από ειδικές ομάδες δημοσιων υπαλλήλων (400 εκ. ευρώ) Αμεση κατάργηση πρόωρων συνταξιοδοτήσεων (300 εκ. ευρώ) Εφαρμογή ρήτρας μηδενικού ελλείματος (300 εκ. ευρώ) Κατάργηση ετήσιας επιχορήγησης των ταμείων ασφάλισης προσωπικού ΔΕΗ (600 εκ. ευρώ) κ.ο.κ. Στόχος: κάλυψη T =5δις. ευρώ. Κάθε μέτρο όμως έχει πολιτικό κόστος.
π.7 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εχουμε n δυνατά μέτρα. Εστω δείκτης x i {0, 1} που δείχνει αν λαμβάνουμε το μέτρο i. Ωφελος από την εφαρμογή του μέτρου i, συμβολίζουμεμεa i (μετριέται σε ευρώ) Πολιτικό κόστος από την εφαρμογή του μέτρου, συμβολίζουμε με b i (μετριέται, π.χ., σε χαμένους ψήφους!). Στόχος: βρείτε x 1,...,x n {0, 1} ώστε: n i=1 a ix i T n i=1 b ix i V Οπου το T είναι το ποσό που πρέπει να καλυφθεί και V ο αριθμός ψήφων που πιστεύουμε οτι δεν είναι πρόβλημα να χαθεί.
π.8 Χώρος Πιθανών Λύσεων Παρατηρούμε ότι: Για κάθε μέτρο i έχουμε 2 πιθανές επιλογές x i {0, 1}. Ο συνολικός χώρος από πιθανές λύσεις θα είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου: {0, 1}... {0, 1} }{{} n Για δεδομένα a 1,...,a n,b 1,...,b n,t,v ηλύσημπορείνα υπάρχει ή όχι.
π.9 Εξαντλητικός Αλγόριθμος (Παραμετρικά στο k) for x1 = 0 to 1 do for x2 = 0 to 1 do... for xk = 0 to 1 do if constraints are satisfied output (x1, x2,..., xk) Πρότ. Ο αλγόριθμος απαιτεί 2 k βήματα στην χειρότερη περίπτωση.
π.10 πορούμε να βρούμε καλύτερο αλγόριθμο; το πρόβλημα εύρεσης ισοδυνάμων είναι πρόβλημα που ανήκει στην κλάση NP. Μάλιστα είναι NP-πλήρες που σημαίνει ότι αν λύσουμε αυτό το πρόβλημα μπορούμε να λύσουμε κάθε πρόβλημα της κλάσης. Το μεγαλύτερο πρόβλημα της επιστήμης υπολογιστών P = NP,ρωτάει(απλουστευμένα)ανταπροβλήματα της κλάσης NP είναι επιλύσιμα με αποδοτικό τρόπο. Πιστεύουμε ότι P NP και ότι τα πρόβληματα που είναι NP-πλήρη είναι δυσεπίλυτα! Καλύτερος αλγόριθμος υπάρχει όμως (για τις περισσότερες περιπτώσεις) και έχει αριθμό βημάτων knw όπου W η μέγιστη τιμή των συντελεστών a i,b i.
π.11 Υψωση σε δύναμη Εστω η υλοποίηση της πράξης : a t με t ακέραιο. Ενας μεταγλωτιστής πρέπει να υλοποιήσει την πράξη a t με τον ελάχιστο αριθμό βασικών πράξεων. Π.χ. πολλαπλασιασμοί. Εστω M(t) ο ελάχιστος αριθμός πολλαπλασιασμών που χρειάζονται για να υπολογιστεί η τιμή a t.
π.12 Υψωση σε δύναμη Ας βρούμε πρώτα άνω και κάτω φράγματα για το M(8). Είναι το a σημαντικό για την κατανόηση της συνάρτησης M(t) ;
π.13 Αλυσίδες αθροίσματος Μια ακολουθία ακεραίων (b 0,b 1,...,b k ) έτσι ώστε ισχύει για κάθε l υπάρχει 0 i, j < l με b l = b i + b j. b 0 =1. Παράδειγμα αλυσίδας που καταλήγει στο 30: 1, 2, 4, 8, 16, 24, 28, 30 Μπορείτε καλύτερα (μικρότερη αλυσίδα);
π.14 Επαναλαμβανόμενος Διπλασιασμός Πως να φτιάξουμε μια αλυσίδα αθροίσματος για τον αριθμό t ; Υπολογισμός των 1, 2, 4, 8,... μέχρι τον μεγαλύτερο που δεν ξεπερνάει τον αριθμό. Διαδοχικά αθροισμάτα από τους παραπάνω αριθμούς που αντιστοιχούν σε 1 στηνδυαδικήαναπαράστασητου αριθμού t. Τι άνω φράγμα δίνει αυτό για το M(t) ;
π.15 Επαναλαμβανόμενος Διπλασιασμός Το άνω φράγμα υπολογίζεται ως εξής: log 2 t αθροίσματα πρώτα. Εστω B(t)=αριθμός από 1 στηνδυαδικήαναπαράσταση του t. M(t) log 2 t + B(t) 1 2 log 2 t
π.16 Κάτω φράγμα ΣΚΕΨΗ: Ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούμε να κάνουμε με k βήματα είναι 2 k. Εισαγωγή στην επαγωγική σκέψη. Για k =1η σκέψη είναι σωστή. Στο στάδιο k =1ο μέγιστος αριθμός είναι 2. Σε κάθε στάδιο i για να πάμε στο στάδιο i +1προσθέτουμε αριθμούς που έχουν φτιαχτεί σε προηγούμενα στάδια. Αν στο στάδιο i ομέγιστοςαριθμόςείναι2 i τότε στο στάδιο i +1 ομέγιστοςαριθμόςδενμπορείναξεπερνάειτοναριθμό: 2 i +2 i =2 i+1
-
π.17 Κάτω φράγμα Σαν αποτέλεσμα: Αφού όλοι οι αριθμοί που παιρνουμε σε k βήματα είναι το πολύ 2 k, ένας οποιοσδήποτε αριθμός t 2 i χρειάζεται τουλάχιστον i βήματα. Επίσης αν t>2 i τότε χρειάζεται τουλάχιστον i +1βήματα. Προκύπτει: M(t) log 2 t.
-
π.18 Ποιότητα του ανω και κάτω φράγματος Ας βρούμε την τιμή M(30). log 2 t M(t) 2 log 2 t
-
π.19 Εικασία του Scholz M(2 n 1) n 1+M(n)
π.20 Αγόρια και Κορίτσια στην Κίνα. Το φαινόμενο των παιδιών στην Κίνα: Στην Κίνα παραδοσιακά οι οικογένειες προτιμούν αγόρι. Οι οικογένειες περιορίζονται με νομικά/οικονομικά μέτρα σε ένα παιδί. Αυτό έχει το αποτέλεσμα οτι κάθε ζευγάρι μόλις κάνει ένα παιδί αν είναι αγόρι δεν κάνει άλλο. Αν είναι κορίτσι όμως ξαναδοκιμάζει παρά τις κυρώσεις. κ.ο.κ. τι αποτέλεσμα έχει αυτό για τον αριθμό των αγοριών σε σχέση με τον αριθμό των κοριτσιών ;
π.21 Αγόρια και Κορίτσια στην Κίνα. Για να καταλάβετε την απάντηση σκεφτείτε τα παρακάτω: Αν x είναι ο αριθμός των οικογενειών αναμένεται ότι ο αριθμός των αγοριών θα είναι: x 2 + x 4 + x 8 + x 16 +... Οαριθμόςτωνκοριτσιώναπότηνάλληείναι: 0+ x 4 +2 x 8 +3x 16 +...
π.22 Αγόρια και Κορίτσια στην Κίνα. Αν υποθέσουμε ότι κάθε οικογένεια έχει μέχρι 4 παιδιά ισχύει ότι: x 2 + x 4 + x 8 + x 16 Οαριθμόςτωνκοριτσιώναπότηνάλληείναι: Αφαιρούμε και έχουμε: 0 x 2 +1 x 4 +2 x 8 +3 x 16 +4 x 16 x 2 + x 4 + x 8 + x 16 (x 4 +2x 8 +7x 16 )=?