Σηµειώσεις. Μικροοικονοµικής Θεωρίας ΙΙΙ (ΜΙΚΟ 201)

Σηµειώσεις Μικροοικονοµικής Θεωρίας ΙΙΙ (ΜΙΚΟ 201) «Γενική Ισορροπία του Πλήρους Ανταγωνισµού» Βαγγέλης Τζουβελέκας Ρέθυµνο, 2003

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΓΕΝΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ 2.1 Γενική Ισορροπία και Πλήρης Ανταγωνισµός Ας δούµε τώρα πως ένα οικονοµικό σύστηµα το οποίο χαρακτηρίζεται από πλήρη ανταγωνισµό οδηγείται µέσα από τον µηχανισµό των τιµών στην επίτευξη γενικής ισορροπίας. Όπως γνωρίζουµε ήδη κάθε καταναλωτής ατοµικά µεγιστοποιεί την ωφέλεια του στο σηµείο όπου ο οριακός του λόγος υποκατάστασης µεταξύ των αγαθών Χ και Υ ισούται µε τον λόγο των τιµών των αγαθών. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο άτοµα ο Α και Β ο καθένας εκ των οποίων επιθυµεί την µεγιστοποίηση της ωφέλειας του. Ας υποθέσουµε επίσης ότι ο λόγος των τιµών των αγαθών είναι δεδοµένος και δίνεται από την ευθεία x / Y, ενώ οι παραγωγικές δυνατότητες της οικονοµία δίνονται από την συνάρτηση µετασχηµατισµού ΤΤ. ΙΑΓΡΑΜΜΑ 2.1 ΓΕΝΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΗΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Υ Υ Υ / Χ Υ Α Τ Υ Α Γ U Τ Υ Β Υ Β Ζ U B Ε Υ / Χ O Α X Α X Α Τ X O Β X Β Τ X Β X Με βάση τα παραπάνω δεδοµένα ο Α θα επιλέξει να προσφέρει εργασία και κεφάλαιο έτσι ώστε να παραχθεί ποσότητα O X από το Χ και OY από το Υ. Με βάση όµως τις καµπύλες αδιαφορίας του µεγιστοποιεί την χρησιµότητα του στο σηµείο Γ όπου επιθυµεί να καταναλώσει O X από το Χ και O Y από το Υ. Εποµένως δηµιουργείται στην οικονοµία υπερβάλλουσα προσφορά από το αγαθό Χ ίση µε O X O X = X X = E > 0 και υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό Υ ίση S µε O Y O Y = Y Y = E < 0. D Σε συνθήκες όµως πλήρους ανταγωνισµού οι τιµές των αγαθών είναι κοινές για όλους τους καταναλωτές. Εποµένως και ο καταναλωτής Β αντιµετωπίζει τον ίδιο - 1 -

λόγο τιµών. Με βάση όµως τις δικές του προτιµήσεις επιλέγει το σηµείο Ζ ως προς την παραγωγή των δύο αγαθών και το σηµείο Ε ως προς την κατανάλωση τους. ηλαδή επιθυµεί να παραχθεί OY B B OX B B από το αγαθό Χ. Αντίστοιχα επιθυµεί να καταναλώσει OY και OX ποσότητες µε OY OY = YY = E >0 και υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό Χ ίση µε B B B B B B S OX OX = XX = E < 0. B B B B B B D ποσότητα από το αγαθό Υ και B B B B ποσότητα από τα δύο αγαθά. ηλαδή υπάρχει υπερβάλλουσα προσφορά από το αγαθό Υ ίση Εάν τώρα η υπερβάλλουσα προσφορά του Υ από τον Β είναι ίση µε την υπερβάλλουσα ζήτηση για το ίδιο αγαθό από τον Α και εάν η υπερβάλλουσα προσφορά του Χ από τον Α είναι ίση µε την υπερβάλλουσα ζήτηση για το Χ από τον Β τότε το σύστηµα θα ισορροπήσει σε αυτό το σηµείο όπου ο οριακός λόγος υποκατάστασης στην κατανάλωση των δύο αγαθών είναι κοινός και για τους δύο καταναλωτές και ίσος µε τον λόγο των τιµών των δύο αγαθών. Εάν όµως δεν συµβαίνει αυτό τότε οι πιέσεις στην αγοραία ζήτηση και προσφορά των δύο αγαθών θα διαµορφώσουν νέες τιµές για τα αγαθά µέχρι να βρεθούν σε ισορροπία. 2.2 Η Ύπαρξη Τιµών Γενικής Ισορροπίας Στην προηγούµενη ενότητα αποδείχθηκε ότι η ύπαρξη πλήρους ανταγωνισµού µπορεί να οδηγήσει σε ισορροπία τις αγορές των αγαθών και των παραγωγικών συντελεστών σε όλες τις αγορές συγχρόνως. Με βάση τις υποθέσεις που έχουµε κάνει στην αρχή της ανάλυσης κάτι τέτοιο όµως δεν διασφαλίζεται πάντοτε. Ο πρώτος που ασχολήθηκε µε το πρόβληµα αυτό ήταν ο Γάλλος οικονοµολόγος Leon Walras. Ας υποθέσουµε προς το παρών ότι στην οικονοµία υπάρχουν n αγαθά σε απόλυτα σταθερή προσφορά. Ας υποθέσουµε ότι ( = 1, 2,..., n) S είναι η συνολικά προσφερόµενη ποσότητα από το αγαθό στην οικονοµία και είναι η τιµή του αγαθού. Η συνολική ζήτηση για το αγαθό εξαρτάται από τις τιµές όλων των αγαθών και αποτελεί το άθροισµα των ατοµικών συναρτήσεων ζήτησης για όλους τους καταναλωτές. ηλαδή ισχύει: D( 1, 2,..., n) ή D ( P ) (2.2.1) όπου P είναι το σύνολο των τιµών των επιµέρους αγαθών στην οικονοµία. Το ερώτηµα που υφίσταται είναι κατά πόσο υπάρχει ένα σύνολο τιµών για όλα τα αγαθά στην οικονοµία έτσι ώστε να ισχύει - 2 -

ή ( ) = D P S (2.2.2α) ( ) ( ) ED P = D P S = 0 (2.2.2β) όπου ED είναι η υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό. Σύµφωνα µε τον Walras οι συναρτήσεις ζήτησης και εποµένως οι συναρτήσεις υπερβάλλουσας ζήτησης είναι οµογενείς µηδενικού βαθµού, δηλαδή εάν διπλασιαστούν όλες οι τιµές των αγαθών στην οικονοµία, η ζήτηση του κάθε αγαθού θα παραµείνει αµετάβλητη. Αυτό σηµαίνει ότι µπορεί να υπάρξει ισορροπία των σχετικών τιµών των αγαθών. Πλέον της οµογένειας, οι συναρτήσεις ζήτησης είναι συνεχείς, δηλαδή εάν οι τιµές των αγαθών µεταβληθούν κατά ένα µικρό ποσό, οι ζητούµενες ποσότητες των αγαθών επίσης θα µεταβληθούν κατά ένα µικρό ποσό. Ας υποθέσουµε στο σηµείο αυτό ότι στην οικονοµία υπάρχουν δύο αγαθά (Χ και Υ) και δύο καταναλωτές (Α και Β). Ο εισοδηµατικός περιορισµός του καταναλωτή Α δίνεται D + D = S + S X X Y Y X X Y Y (2.2.3) όπου και είναι αντίστοιχα η συνολική ζήτηση και προσφορά του αγαθού από D S τον καταναλωτή Α και η τιµή του αγαθού (ι=χ, Υ). Σε ισορροπία θα ισχύει: ή ( ) ( ) D S + D S = 0 X X X Y Y Y ED + ED = 0 X X Y Y (2.2.4α) (2.2.4β) όπου ED είναι η υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό από τον Α. Αντίστοιχα µπορεί να προκύψει και ο ανάλογος εισοδηµατικός περιορισµός για τον Β. δηλαδή: B B ED + ED = 0 X X Y Y (2.2.5) Από την (2.2.4β) και την (2.2.5) προκύπτει: ( ) ( ) B B ED + ED + ED + ED = 0 X X X Y Y Y ED + ED = 0 X X Y Y (2.2.6) - 3 -

Η παραπάνω σχέση, στην γενική της µορφή, αποτελεί τον νόµο του Walras: ( ) ED P = 0 (2.2.7) ο οποίος υποδηλώνει ότι η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση στην οικονοµία είναι µηδέν για οποιοδήποτε σύνολο τιµών. Θα πρέπει να τονιστεί στο σηµείο αυτό ότι ο νόµος του Walras ισχύει για οποιοδήποτε σύνολο τιµών και όχι µόνο για τις τιµές ισορροπίας. είχνει δε ότι οι συνθήκες ισορροπίας σε n αγορές δεν είναι ανεξάρτητες. Κατά τον νόµο του Walras µία εξίσωση έστω η n-οστή είναι περιττή και έτσι ο αριθµός των εξισώσεων µειώνεται σε (n-1). Οι (n-1) άγνωστοι του συστήµατος στην (2.2.7), δηλαδή οι τιµές ισορροπίας, εκφράζονται σε όρους του n-οστού αγνώστου (τιµής). Εποµένως το σύστηµα στην (2.2.7) έχει λύση ως προς τους λόγους των τιµών των αγαθών και όχι ως προς τις απόλυτες τιµές τους. υστυχώς όµως όπως αναγνώρισε και ο ίδιος ο Walras η λύση του συστήµατος δεν είναι τόσο απλή. Πρώτον, οι εξισώσεις δεν είναι απαραίτητα γραµµικές και εποµένως το σύστηµα δεν έχει λύση. εύτερον, θα πρέπει οι τιµές ισορροπίας να είναι µη-αρνητικές κάτι όµως που δεν διασφαλίζετε κατά την λύση του συστήµατος. Για να αποδειχθεί έµµεσα λοιπόν η ύπαρξη τιµών ισορροπίας είναι πρώτα απαραίτητο να αποδειχθεί ότι η ισορροπία αυτή πράγµατι υπάρχει. Ένας απλός τρόπος για αυτή την απόδειξη είναι η χρήση του θεωρήµατος του Brouwer σύµφωνα µε το οποίο: Οποιαδήποτε συνεχής συνάρτηση f( x) ενός κλειστού, περιορισµένου και κυρτού συνόλου µέσα στον ίδιο τον εαυτό του έχει τουλάχιστον ένα x ορισµένο σηµείο τέτοιο ώστε να ισχύει f( x ) = x Υποθέστε ότι η f( x) είναι µία συνεχής συνάρτηση που ορίζεται στο διάστηµα [0,1] και ότι λαµβάνει τιµές επίσης στο διάστηµα [0,1]. Η συνάρτηση αυτή αφορά ένα κλειστό σύνολο δεδοµένου ότι αυτό περιλαµβάνει τα όρια του, περιορισµένο καθώς καµία από τις διαστάσεις του δεν είναι απείρως µεγάλη και κυρτό υπό την έννοια ότι δεν έχει ασυνέχειες. Η συνάρτηση αυτή υπακούει στο θεώρηµα του Brouwer και εποµένως υπάρχει κάποιο παρακάτω διάγραµµα 2.2. x f( x ) = για το οποίο ισχύει x. Αυτό φαίνεται στο - 4 -

ΙΑΓΡΑΜΜΑ 1.10 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ BROUWER f(x) 1 f(x ) O 45 0 x 1 x Η γεωµετρική απεικόνιση της παραπάνω συνάρτησης είναι µία συνεχής καµπύλη που αρχίζει από το x=0 και τελειώνει στο x=1 πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Η καµπύλη αυτή είναι περιορισµένη στο τετράγωνο 1x1 όπως φαίνεται από το παραπάνω διάγραµµα. Η µεταβλητή x λαµβάνει όλες τις τιµές µεταξύ 0 και 1, όπου και αυτές οι τελευταίες συµπεριλαµβάνονται. Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Brouwer υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο (µία τιµή της µεταβλητής x) όπου η καµπύλη f(x) τέµνει την διαγώνιο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Στο σηµείο αυτό (Α) ισχύει f( x )= x καθώς παντού στην διαγώνιο ισχύει g(x)=x. Προκειµένου να χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα του Brouwer για να αποδείξουµε την ύπαρξη τιµών ισορροπίας θα πρέπει πρώτα να ορίσουµε το σύνολο των τιµών των αγαθών µε τέτοιο τρόπο ώστε αυτό να κατέχει τις επιθυµητές ιδιότητες (κλειστό, περιορισµένο και κυρτό). Επειδή µόνο οι σχετικές τιµές των αγαθών έχουν σηµασία στο υπόδειγµα της ανταλλαγής, µπορούµε να ορίσουµε τις τιµές των αγαθών µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το άθροισµα τους να είναι ίσο µε την µονάδα. Αυτό µπορεί να συµβεί οµαλοποιώντας τις τιµές ως εξής: = = 1 (2.2.8) - 5 -

υποθέτοντας παράλληλα ότι τουλάχιστον µία τιµή είναι µη-µηδενική δηλαδή τουλάχιστον ένα από τα n αγαθά είναι σπάνιο. εδοµένης της οµογένειας µηδενικού βαθµού των συναρτήσεων υπερβάλλουσας ζήτησης, οι νέες αυτές οµαλοποιηµένες τιµές θα διατηρούν σταθερό τον σχετικό τους λόγο, δηλαδή θα ισχύει: j = j (2.2.9) Στο σύνολο έστω Φ όλων των πιθανών συνδυασµών των n µη-αρνητικών τιµών που έχουν άθροισµα ίσο µε την µονάδα όπως ορίστηκε παραπάνω είναι περιορισµένο, κλειστό και κυρτό και εποµένως έχει εφαρµογή το θεώρηµα του Brouwer. Πριν παρουσιάσουµε την απόδειξη είναι απαραίτητο στο σηµείο αυτό να γενικεύσουµε το υπόδειγµα λαµβάνοντας υπόψη µας την ύπαρξη ελεύθερων αγαθών τα οποία δεν έχουν αγοραία τιµή (π.χ. περιβάλλον). Για τα αγαθά αυτά υπάρχει αρνητική υπερβάλλουσα ζήτηση γεγονός όµως που δεν επηρεάζει την ύπαρξη ισορροπίας στην οικονοµία. Εποµένως οι συνθήκες ισορροπίας στην (2.2.2β) µπορούν να οριστούν ως εξής: ( ) ( ) ( ) ( ) = = ED P D P S 0 P > 0 = ED P D P S 0 P = 0 (2.2.10) Το παραπάνω σύστηµα εξακολουθεί να υπακούει στον νόµο του Walras. Χρησιµοποιώντας τον παραπάνω ορισµό της γενικής ισορροπίας και έχοντας υπόψη µας ότι οι τιµές έχουν οµαλοποιηθεί έτσι ώστε το άθροισµα τους είναι ίσο µε την µονάδα µπορούµε να κατασκευάσουµε µία συνεχή συνάρτηση που µετασχηµατίζει ένα σύνολο τιµών σε ένα άλλο. Η συνάρτηση αυτή βασίζεται στην υπόθεση ότι οι τιµές των αγαθών που βρίσκονται σε υπερβάλλουσα ζήτηση θα πρέπει να αυξηθούν, ενώ οι τιµές των αγαθών που βρίσκονται σε υπερβάλλουσα προσφορά θα πρέπει να µειωθούν. Έτσι ορίζουµε τη µαθηµατική απεικόνιση για οποιοδήποτε σύνολο τιµών ως εξής: ( ) ( ) F P = + ED P (2.2.11) - 6 -

Εάν για τιµές P το αγαθό βρίσκεται σε υπερβάλλουσα ζήτηση ED ( P ) > 0 η τιµή του αυξάνεται, ενώ εάν είναι αρνητική η υπερβάλλουσα ζήτηση ED ( P)< 0 τότε η τιµή του µειώνεται. Επειδή οι συναρτήσεις υπερβάλλουσας ζήτησης είναι συνεχείς, η παραπάνω σχέση επίσης είναι συνεχής. Παραµένουν ωστόσο δύο προβλήµατα σχετικά µε την απεικόνιση της σχέσης (2.2.11). Πρώτα από όλα τίποτε δεν εξασφαλίζει ότι οι νέες τιµές θα είναι µη-αρνητικές. Εποµένως θα πρέπει να η παραπάνω σχέση να οριστεί ως εξής: ( ) = + ( ) F P max ED P,0 (2.2.12) ηλαδή οι νέες τιµές θα πρέπει να είναι είτε θετικές είτε µηδέν. Η παραπάνω συνάρτηση είναι επίσης συνεχής. Το δεύτερο πρόβληµα σχετίζεται µε την οµαλοποίηση των νέων τιµών έτσι ώστε αυτές να αθροίζουν στην µονάδα. Αυτό µπορεί να γίνει κατά ανάλογο τρόπο µε την (2.2.8). Έτσι η παραπάνω σχέση αποτελεί µία συνεχή περιορισµένη απεικόνιση ενός πραγµατικού συνόλου στον εαυτό του. Υποθέτοντας ότι οι νέες τιµές αθροίζουν στην µονάδα η συνάρτηση στην (2.2.12) ικανοποιεί όλες τις συνθήκες του θεωρήµατος του Brouwer και εποµένως έχει κάποιο σταθερό σηµείο. Εάν αυτό το σηµείο το συµβολίσουµε µε τότε θα ισχύει: ( ) = + max ED P,0 (2.2.13) Αλλά αυτό σηµαίνει ότι P είναι το σύνολο των τιµών ισορροπίας καθώς για > 0 ισχύει: ( ) ( ) = + ED P ED P = 0 (2.2.14α) και για = 0 ( ) ( ) = + ED P 0 ED P 0 (2.2.14β) 2.3 Προσαρµογή των Τιµών Ισορροπίας Η επίτευξη των τιµών ισορροπίας στην αγορά µπορεί να επηρεαστεί σηµαντικά από το επίπεδο πληροφόρησης που έχουν τόσο οι παραγωγοί όσο και οι καταναλωτές. Μέχρι τώρα έχουµε υποθέσει ότι οι ανταγωνιστικές τιµές προσδιορίζονται γρήγορα - 7 -

και είναι γνωστές µε βεβαιότητα σε όλους τους συµµετέχοντες στην αγορά. Γνωρίζουµε από την προηγούµενη ενότητα ότι κάτω από ορισµένες προϋποθέσεις υπάρχει µία τιµή ισορροπίας για την οποία ισχύει ότι ( ) = ( ) D S (2.3.1) όπου D και S είναι οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς αντίστοιχα για το αγαθό. Πώς όµως προσαρµόζεται η τιµή ισορροπίας στην τιµή. Σύµφωνα µε τον Walras η προσαρµογή της αγοράς προς την τιµή ισορροπίας υποκινείται από τις µεταβολές στην συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης για διαφορετικές τιµές, δηλαδή ακολουθείται µία διαδικασία αναζήτησης (tatonnement rocess) όπου οι παραγωγοί και οι καταναλωτές αντιδρούν στις αλλαγές των τιµών κινούµενοι κατά µήκος των καµπυλών ζήτησης και προσφοράς µέχρι να φθάσουν στο συνδυασµό ισορροπίας. = k D ( ) s ( ) = k ED ( ), k > 0 t (2.3.2) όπου ΕD ( ) είναι η υπερβάλλουσα ζήτηση του αγαθού για κάθε τιµή. Με βάση την παραπάνω σχέση η τιµή του αγαθού θα αυξηθεί εάν υπάρχει θετική υπερβάλλουσα ζήτηση, ενώ θα µειωθεί εάν υπάρχει αρνητική υπερβάλλουσα ζήτηση. Η διαδικασία αυτή παρουσιάζεται διαγραµµατικά στο παρακάτω διάγραµµα 1.11 για διαφορετικές κλίσεις της καµπύλης προσφοράς του αγαθού. Στο δεξιό διάγραµµα όπου η κλίση της καµπύλης προσφοράς είναι θετική, για τιµές µεγαλύτερες από την τιµή ισορροπίας ( 0 ) η αγορά παρουσιάζει υπερβάλλουσα προσφορά (ή αρνητική υπερβάλλουσα ζήτηση). Εποµένως σύµφωνα µε την (2.3.2) η τιµή του αγαθού θα µειωθεί έτσι ώστε να προσεγγίζει την τιµή ισορροπίας 0. Αντίστοιχα για τιµές µικρότερες της τιµής ισορροπίας η υπερβάλλουσα ζήτηση είναι θετική και εποµένως η τιµή του αγαθού τείνει να αυξηθεί έως ότου γίνει ίση µε 0. Εάν όµως η καµπύλη προσφοράς του αγαθού έχει αρνητική κλίση, όπως στο δεξιό διάγραµµα, τότε για τιµές µεγαλύτερες από την τιµή ισορροπίας η υπερβάλλουσα ζήτηση είναι θετική και εποµένως η τιµή του αγαθού τείνει να αυξηθεί αποµακρυνόµενη από την τιµή 0. Εάν η τιµή είναι µικρότερη από 0, τότε στην αγορά διαµορφώνεται υπερβάλλουσα προσφορά (ή αρνητική υπερβάλλουσα ζήτηση) και η τιµή τείνει να µειωθεί αποµακρυνόµενη και πάλι από την τιµή ισορροπίας. Στην περίπτωση αυτή ο µηχανισµός προσαρµογής του Walras δεν θα οδηγήσει την αγορά στην µακροχρόνια τιµή ισορροπίας. - 8 -

ΙΑΓΡΑΜΜΑ 1.11 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΚΑΤΑ WLRS ED<0 S ED>0 0 0 S ED>0 D ED<0 D O Ευσταθής Ισορροπία Q O Ασταθής Ισορροπία Q Τα παραπάνω αποτελέσµατα µπορούµε να τα δούµε διαγραµµατικά εξετά ζοντας την συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης. Τρεις διαφορετικές µορφές της συνάρτησης αυτής παρουσιάζονται στο παρακάτω διάγραµµα 1.12. Πρώτα στο σχήµα (α) η αγοραία ισορροπία στην τιµή 0 είναι ευσταθής, καθώς για οποιαδήποτε τιµή > 0 η διαδικασία προσαρµογής του Walras θα οδηγήσει την αγορά στην τιµή 0. Η συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης έχει αρνητική κλίση γεγονός που σηµαίνει ότι κινείται αντίθετα σε οποιαδήποτε µεταβολή της τιµής του αγαθού. Η συνάρτηση αυτή της υπερβάλλουσας ζήτησης αντιστοιχεί στην αριστερή απεικόνιση της αγοραίας ισορροπίας του διαγράµµατος 1.11. Αντίθετα στο σχήµα (β) η ισορροπία δεν είναι ευσταθής καθώς η κλίση της συνάρτησης υπερβάλλουσας ζήτησης είναι θετική και εποµένως κινείται προς την ίδια κατεύθυνση µε τις αντίστοιχες µεταβολές στην τιµή του αγαθού. Τέλος, στο σχήµα (γ) παρουσιάζεται µία πολλαπλή ισορροπία η οποία είναι ευσταθής για τις τιµές 1 και 3 και ασταθής για την τιµή 2. Γενικά µόνο στην περίπτωση που η συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης έχει αρνητική κλίση δηλαδή ισχύει ( ) ED < 0 η ισορροπία είναι ευσταθής και ο µηχανισµός προσαρµογής του Walras θα οδηγήσει την αγορά προς τα εκεί. Η διαδικασία προσαρµογής του Walras αποτελεί µία διαφορική εξίσωση η οποία µπορεί να αναλυθεί µε την βοήθεια των σειρών Taylor γύρω από οποιαδήποτε τιµή ισορροπίας. Με άλλα λόγια η (2.3.2) µπορεί να εκφρασθεί ως: t ( ) ED k ( ) (2.3.3) - 9 -

η οποία είν αι µία διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης η οποία έχει τις ίδιες ιδιότητες ευστάθειας όπως και η (2.3.2). Η γενική λύση της (2.3.3) έχει την µορφή: 0 ked ( ) t = e + (2.3.4) () ( ) όπου 0 αντιπροσωπεύει την αρχική τιµή κατά την χρονική περίοδο t=0. Για να είναι ευσταθές το σύστηµα, δηλαδή για να προσεγγίζει το καθώς το t αυξάνει θα πρέπει να ισχύει ( ) ( t ) την τιµή ισορροπίας ED < 0. ηλαδή µία αύξηση της τιµής θα πρέπει να µειώσει την υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό και αντίστοιχ α µία µείωση της τιµής θα πρέπει να αυξήσει την υπερβάλλουσα ζήτηση. ΙΑΓΡΑΜΜΑ 1.12 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΚΑΤΑ WLRS ΜΕΣΩ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΥΠΕΡΒΑΛΛΟΥΣΑΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ED( ) 1 0 0 2 3 ED( ) ED( ) - 0 + - 0 + - 0 + (α) Ευσταθής Ισορροπία (β) Ασταθής Ισορροπία (γ) Πολλαπλή Ισορροπία Σε αντίθεση µε τον Walras, ο οποίος θεώρησε τον µηχανισµό των τιµών ως την κινητήρια δύναµη προσαρµογής της αγοράς, ο Marshall θεώρησε ότι οι προσαρµογή στις ζητούµενες και προσφερόµενες ποσότητες από την πλευρά των καταναλωτών και παραγωγών αντίστοιχα οδηγούν την αγορά σε ισορροπία µεταβάλλοντας τις τιµές. Σύµφωνα µε τον Marshall ο µηχανισµός προσαρµογής της αγοράς στην ισορροπία µπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: q t 1 1 1 = k D ( ) ( ) = q S q k ED ( ) q, > k 0 (2.3.5) - 10 -

1 1 όπου, D ( q ) και ( ) S q είναι οι αντίστροφες συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς και αντιπροσωπεύουν την τιµή που οι καταναλωτές είναι διατεθειµένοι να πληρώσουν (δηλαδή η οριακή τους χρησ ιµότητα) και οι παραγωγοί απαιτούν (δηλαδή το οριακό κόστος παραγωγής) για δεδοµένη ποσότητα του αγαθού. Με άλλα λόγια οι µεταβολές στην ποσότητα προκαλούνται από διαφορές µεταξύ των τιµών που είναι διατεθειµένοι οι καταναλωτές να καταβάλουν και οι παραγωγοί να λάβουν για κάθε ποσότητα του αγαθού. Παρά το γεγονός ότι ο Marshall προσπάθησε να εµπλουτίσει την γνώση µας αναφορικά µε τον µηχανισµό που οι αγορές φθάνουν σε ισορροπία, και οι δύο θεωρητικές προσεγγίσεις παρουσιάζουν κάποια σηµαντικά µειονεκτήµατα. Πρώτα από όλα οι διαδικασίες αυτές προσαρµογής των τιµών και των ποσοτήτων στην αγορά δεν αντιπροσωπεύουν κάποια αριστοποιητική συµπεριφορά των οικονοµικών µονάδων. Μία συνεπής θεωρητική προσέγγιση προσαρµογής της αγοράς στην ισορροπία θα έπρεπε να λάβει υπόψη της και το κόστος που συνεπάγεται η επίτευξη αυτής της ισορροπίας στην αγορά και πως οι οικονοµικές µονάδες δρουν αριστοποιητι κά προκειµένου να το ελαχιστοποιήσουν. Εάν για παράδειγµα οι τιµές των αγαθών µπορούν εύκολα να αλλάξουν χωρίς σηµαντικό κόστος για τους παραγωγούς και η πληροφόρηση για τις νέες τιµές διαδίδεται γρήγορα µεταξύ των καταναλωτών, η αγορά θα προσεγγίζει την αγοραία τιµή ισορροπίας µέσω του µηχανισµού των τιµών του Walras. Αντίθετα σε άλλες αγορές που οι τιµές δεν µπορούν εύκολα να µεταβληθούν χωρίς σηµαντικό κόστος (π.χ. ύπαρξη µακροχρόνιου συµβολαίου) και η ανταλλασσόµενη ποσότητα µπορεί να µεταβληθεί εύκολα, προσεγγίζουν το σηµείο µακροχρόνιας ισορροπίας µέσω του µηχανισµού του Marshall. Κλασσικό παράδειγµα τέτοιων διαδικασιών προσαρµογής είναι η αγορά εργασίας όπου η απασχόληση τείνει να προσαρµόζεται στις κυκλικές διακυµάνσεις της ζήτησης και όχι το επίπεδο των µισθών. Βέβαια σε κάθε περίπτωση και οι δύο µηχανισµοί προσαρµογής της αγοράς στην µακροχρόνια ισορροπία απαιτεί ότι οι αποφάσεις τόσο των παραγωγών όσο και των καταναλωτών γίνονται ταυτόχρονα γεγονός που καθιστά δύσκολη την εξεύρεση λύσης. Κατά καιρούς έχουν αναπτυχθεί διάφορα υποδείγµατα συµπεριφοράς των οικονοµικών παραγόντων, όπου η ανάλυση της τιµολόγησης και προσαρµογής της αγοράς γίνεται στην βραχυχρόνια περίοδο. Για παράδειγµα εάν οι παραγωγοί βασιζόταν στις προσδοκώµενες τιµές της αγοράς για τις αποφάσεις τους στην τρέχουσα περίοδο, τότε η παραγωγή θα µπορούσε να θεωρηθεί σταθερή καθώς δεν θα υπήρχε αντίδραση της προσφοράς στις οποιεσδήποτε µεταβολές των τιµών την - 11 -

τρέχουσα περίοδο. Ας υποθέσουµε ότι οι καταναλωτές αντιδρούν στην τρέχουσα τιµή της αγοράς την οποία γνωρίζουν µε βεβαιότητα, ενώ αντίθετα οι παραγωγοί αντιδρούν µόνο στην προσδοκώµενη τιµή της αγοράς. ηλαδή θα ισχύει: D Q = γ δ (2.3.6α) t t και ( ) Q = α+ β E t (2.3.6β) S t όπου D Q t και Q είναι οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς αντίστοιχα και E ( ) S t είναι οι προσδοκώµενη τιµή της αγοράς για τους παραγωγούς κατά την περίο δο t η οποία εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από το επίπεδο πληροφόρησης που έχουν οι παραγωγοί. Η λύση του παραπάνω υποδείγµατος προσαρµοζόµενων προσδοκιών (adatve exectatons) εξαρτάται προφανώς από τον τρόπο που οι παραγωγοί διαµορφώνουν τις προσδοκίες τους για τις τιµές την τρέχουσα περίοδο. Εάν οι παραγωγοί είναι µυωπικοί και προσδοκούν ότι η τιµή την περίοδο t θα είναι αυτή που επικρατούσε στην αγορά την περίοδο t-1 τότε προκύπτει το γνωστό υπόδειγµα του E =. ιστού της αράχνης (cobweb model) όπου ( ) t t 1 Το υπόδειγµα αυτό παρουσιάζεται στο παρακάτω διάγραµµα 1.13 για ευσταθή και ασταθή ισορροπία. Αρχικά η τιµή την περίοδο t-3 καθορίζεται σε t-3 στην οποία οι παραγωγοί είναι διατεθειµένοι να προφέρουν Q t-3 ποσότητα στην αγορά. Για την ποσότητα όµως αυτή οι καταναλωτές είναι διατεθειµένοι να πληρώσουν t-2. ηµιουργείται έτσι υπερβάλλουσα ζήτηση στην αγορά η οποία θα ωθήσει την τιµή προς τα πάνω. Για τη νέα αυτή τιµή οι παραγωγοί είναι διατεθειµένοι την επόµενη περίοδο να προσφέρουν Q t-2 ποσότητα στην αγορά για την οποία οι καταναλωτές είναι διατεθειµένοι να πληρώσουν t-1. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται και για τις επόµενες περιόδους ώσπου η αγορά να καταλήξει µακροχρόνια στην τιµή και ποσότητα ισορροπίας που ορίζεται στο σηµείο Α. Αντίθετα στο διάγραµµα (β) η ισορροπία δεν είναι ευσταθής καθώς η προσ δοκίες των παραγωγών και η προθυµία των καταναλωτών να πληρώσουν οδηγούν την αγορά µακριά από την µακροχρόνια ισορροπία. Αυτό συµβαίνει όταν η κλίση της καµπύλης προσφοράς είναι µικρότερη από την κλίση της καµπύλης ζήτησης. Το υπόδειγµα του ιστού της αράχνης µπορεί να παρουσιαστεί µαθηµατικά από µία εξίσωση διαφορών: t - 12 -

= ( ) β t 0 + δ (2.3.7) Εάν ισχύει βδ> 1 τότε η ισορροπία της αγοράς είναι ευσταθής, ενώ εάν ισχύει βδ< 1 η ισορροπία είναι ασταθής. ΙΑΓΡΑΜΜΑ 1.13 ΤΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΤΟΥ ΙΣΤΟΥ ΤΗΣ ΑΡΑΧΝΗΣ ΣΕ ΕΥΣΤΑΘΗ ΚΑΙ ΑΣΤΑΘΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ S S t-3 t-1 t-1 t-3 t-2 D t-2 t D O Q t-2 Q t-1 Q t-3 (α) Ευσταθής Ισορροπία Q O Q t Q t-2 Q t-3 Q t-1 (β) Ασταθής Ισορροπία Q Σε αντίθεση µε το υπόδειγµα των προσαρµοζόµενων προσδοκιών, ο Muth το 1961, πρότεινε ότι η διαµόρφωση των προσδοκιών των οικονοµικών µονάδων στην αγορά για να είναι συνεπείς µε την αριστοποιητική τους συµπεριφορά θα πρέπει να είναι ορθολογικές µε την ενσωµάτωση σε αυτές όλων των διαθέσιµων πληροφοριών που υπάρχουν στην αγορά. Ειδικότερα εάν ο παραγωγός γνωρίζει την ακριβή µορφή της καµπύλης προσφοράς και της ζήτησης θα µπορούσε να υπολογίσει την τιµή ισορροπίας από την παρακάτω σχέση: γ δ = β + α (2.3.8) η οποία αποτελεί την προσδοκώµενη σε αυτόν τιµή για την περίοδο t. Χρησιµοποιώντας αυτή την προσδοκώµενη τιµή η αγορά θα βρεθεί άµεσα σε ισορροπία υποθέτοντας ότι το κόστος πληροφόρησης και συναλλαγών είναι µηδέν. - 13 -