3. Η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής παρουσιάζει φθίνουσες, σταθερές, ή αύξουσες οικονοµίες κλίµακας; παραγωγής παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας.

Transcript

1 1. Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής την f(k,l), όπου Κ είναι οι µονάδες κεφαλαίου και L είναι οι µονάδες εργασίας που χρησιµοποιεί. Αν ξέρουµε ότι το οριακό προϊόν της εργασίας είναι θετικό, αλλά φθίνει όσο αυξάνεται η απασχόληση. Ποιο συµπέρασµα µπορούµε να βγάλουµε σχετικά µε τις αποδόσεις κλίµακας που αντιµετωπίζει η επιχείρηση; Δεν έχουµε αρκετές πληροφορίες προκειµένου να βγάλουµε συµπέρασµα σχετικά µε τι αποδόσεις κλίµακας που αντιµετωπίζει η επιχείρηση, διότι θα έπρεπε να γνωρίζαµε πώς συµπεριφέρεται το συνολικό προϊόν όταν µεταβάλλονται και οι δυο συντελεστές παραγωγής κατά την ίδια αναλογία. Από την εκφώνηση προκύπτει απλώς ότι ισχύει ο νόµος της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας αναφορικά µε τον συντελεστή εργασία. 2. «Αν µια συνάρτηση παραγωγής ικανοποιεί το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, τότε αυτή η συνάρτηση δε µπορεί να παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας». Συµφωνείτε µε αυτόν τον ισχυρισµό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. O ισχυρισµός αυτός είναι λάθος (δεν ισχύει πάντα). Για ένα αντιπαράδειγµα, έστω Q(K,L)=K 3/5 L 3/5. Το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι 3/5 K 2/5 L 3/5, το οποίο µειώνεται όσο αυξάνεται το Κ, ενώ αντίστοιχα το οριακό προϊόν της εργασίας είναι 3/5K 3/5 L 2/5, το οποίο µειώνεται όσο αυξάνεται το L. Παρόλο όµως που η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, βλέπουµε ότι παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, αφού, αν α>1, τότε Q(αK,αL)= α 6/5 K 3/5 L 3/5 >αk 3/5 L 3/5 =αq(k,l). 3. Η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής παρουσιάζει φθίνουσες, σταθερές, ή αύξουσες οικονοµίες κλίµακας; Έχουµε ότι. Εποµένως η συνάρτηση παραγωγής παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. Πώς συµπεριφέρεται το µέσο σταθερό κόστος όσο µια επιχείρηση παράγει περισσότερο προϊόν; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Αν το σταθερό κόστος είναι F, τότε το µέσο σταθερό κόστος θα είναι F/y, το οποίο θα µειώνεται όσο παράγεται περισσότερο προϊόν. 4. Μια επιχείρηση παράγει 100 µονάδες προϊόντος, το οριακό κόστος σε αυτό το επίπεδο προϊόντος είναι 55, το µέσο µεταβλητό κόστος είναι 55, και το µέσο σταθερό κόστος είναι 10. Ποια είναι η κλίση της καµπύλης µέσου µεταβλητού κόστους σε αυτό το επίπεδο προϊόντος; Απάντηση: Γνωρίσουµε ότι η καµπύλη οριακού κόστους τέµνει τη καµπύλη µέσου µεταβλητού κόστους στο κατώτατο σηµείο της. Εποµένως, εφόσον το οριακό κόστος ισούται µε το µέσο µεταβλητό κόστος στο συγκεκριµένο επίπεδο παραγωγής, αυτό σηµαίνει ότι η κλίση της καµπύλης µέσου µεταβλητού κόστους στο σηµείο αυτό είναι 0. MC AC Κλίση = 0 Q

2 5. Οι παρακάτω συναρτήσεις παραγωγής αντιστοιχούν σε αύξουσες, φθίνουσες ή σταθερές αποδόσεις κλίµακας; (α) q = 3L + 2K (β) q = (2L + 3K) 1/2 (γ) q = 3LK 2 (δ) q= L 1/2 K 1/2 (ε) q = 4L 1/2 + 4K Απάντηση: (α) σταθερές αποδόσεις κλίµακας (β) φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας (γ) αύξουσες αποδόσεις κλίµακας (δ) σταθερές αποδόσεις κλίµακας (ε) φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας 6. Υποθέστε ότι µια επιχείρηση που λειτουργεί σε καθεστώς πλήρους ανταγωνισµού έχει συνάρτηση µακροχρόνιου κόστους c(y) = 3y για y>0 και c(0) = 0. Ποια είναι η µακροχρόνια συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης; Γνωρίζουµε ότι η µακροχρόνια συνάρτηση προσφοράς είναι το τµήµα της καµπύλης οριακού κόστους πάνω από τη καµπύλη µέσου κόστους Η επιχείρηση µεγιστοποιεί το κέρδος της, Π(y) = py c(y) Σύµφωνα µε τη συνθήκη πρώτης τάξης: Αφού c(y) = 0; Π(0) = 0. Εποµένως πρέπει να βρούµε την τιµή αγοράς για την οποία το κέρδος είναι µηδέν, εφόσον η επιχείρηση θα παράγει θετική ποσότητα για τιµές µεγαλύτερη από αυτήν, και µηδενική ποσότητα για τιµές µικρότερη από αυτήν. Για τη συγκεκριµένη συνάρτηση κόστους Και y= p/6. Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση κέρδους και θέτοντας το κέρδος ίσο µε µηδέν, έχουµε Εποµένως η καµπύλη προσφοράς ξεκινά από p = 90. Η µακροχρόνια συνάρτηση προσφοράς είναι:

3 7. Υποθέστε ότι είστε διευθυντής µιας εταιρείας που παράγει παπούτσια και η βραχυχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους είναι C(q) = 5q , όπου q είναι η παραγωγή σε ζεύγη παπουτσιών. α) Να εκφράσετε την άριστη ποσότητα παραγωγής για µια τιµή P, δηλαδή βρείτε το q(p). Όταν µια επιχείρηση µεγιστοποιεί τα κέρδη της θέτει οριακό έσοδο ίσο µε οριακό κόστος. Στον τέλειο ανταγωνισµό το οριακό έσοδο είναι πάντα ίσο µε την τιµή P. Άρα P =10q, ή διαφορετικά q = P/ 10 β) Με βάση αυτό που βρήκατε στο (α), να εκφράσετε τη συνάρτηση κερδών ως προς το P. Τα κέρδη είναι έσοδα µείον κόστος. Δηλαδή, π(q) = R(q) C(q). Αντικαθιστώντας όπου q το ίσο του P/10, βρίσκουµε γ) Ποιο είναι το άριστο επίπεδο παραγωγής όταν η τιµή για ένα ζεύγος παπουτσιών είναι 80; Από το (α) έχουµε ότι δ) Ποιο είναι στο κέρδος σε αυτή την τιµή; Από το (β) έχουµε ότι

4 8. Υποθέστε ότι µια επιχείρηση χρησιµοποιεί τρεις εισροές, εργασία (L), κεφάλαιο (K) και υλικά (M) και έχει την εξής συνάρτηση παραγωγής Q = KL + M. Οι τιµές για τις εισροές K, L, και M είναι αντίστοιχα 4, 16 και 1. Η επιχείρηση λειτουργεί στη βραχυχρόνια περίοδο, µε το κεφάλαιο σταθερό στο Κ = 20. α) Με Κ = 20, ποια είναι η µορφή της συνάρτησης παραγωγής; Είναι η εργασία και τα υλικά τέλεια υποκατάστατές, τέλεια συµπληρωµατικές ή άσχετες µεταξύ τους;; Αν Κ = 20, η συνάρτηση παραγωγής γίνεται Q = 20L + M. Εποµένως, η συνάρτηση παραγωγής έχει µόνο δύο εισροές. Η συνάρτηση αυτή είναι επιπλέον γραµµική σε αυτές τις δύο εισροές και εποµένως µε σταθερό το Κ, εργασία και υλικά είναι τέλεια υποκατάστατα στην παραγωγή. β) Ποιο είναι το βραχυχρόνιο συνολικό κόστος παραγωγής 400 µονάδων αγαθού; Αφού L και M είναι τέλεια υποκατάστατα, η επιχείρηση θα ελαχιστοποιήσει το κόστος της χρησιµοποιώντας µόνο εργασία ή µόνο υλικά. Για να βρούµε τι θα κάνει πρέπει να συγκρίνουµε ποια από τις δύο περιπτώσεις έχει µικρότερο κόστος. Οι δύο δυνατές ακραίες περιπτώσεις είναι (L 1,M 1 ) = (20,0) και (L 2,M 2 ) = (0, 400). Στην πρώτη περίπτωση το βραχυχρόνιο κόστος της επιχείρησης είναι STC 1 = 4K + 16L + M = (4)(20) + (16) (20) + 0 = 400. Στη δεύτερη περίπτωση το βραχυχρόνιο κόστος της επιχείρησης είναι STC 2 = 4K + 16L + M = (4)(20) + (16) (0) +400 = 480. Αφού η πρώτη περίπτωση (L 1,M 1 ) = (20,0) έχει µικρότερο κόστος, τότε επιλέγεται αυτή η περίπτωση. 9. Μια επιχείρηση παράγει προϊόν µε την τεχνολογία όπου το κεφάλαιο, Κ, µετράται σε ώρες λειτουργίας των µηχανών και η εργασία, L, µετράται σε ώρες εργασίας. Το προϊόν y µετράται σε ετήσια βάση. Η αµοιβή της εργασίας ανά ώρα είναι w L = 10 και η ωριαία αµοιβή του κεφαλαίου είναι w Κ = 20. α) Τι είδους αποδόσεις έχει η τεχνολογία αυτή;

5 Για να δούµε τι αποδόσεις έχει η τεχνολογία, πολλαπλασιάζουµε όλες τις εισροές µε έναν αριθµό t > 1: όπου και Άρα οι αποδόσεις κλίµακας είναι αύξουσες. β) Υπολογίστε το οριακό προϊόν εργασίας και κεφαλαίου γ) Υποθέστε ότι η επιχείρηση υπογράφει συµβόλαιο για να ενοικιάσει Κ = ώρες λειτουργίας των µηχανών για το Να βρείτε τη συνάρτηση βραχυχρόνιου κόστους της επιχείρησης για το Η επιχείρηση λύνει το πρόβληµα Λύνοντας την τελευταία σχέση βρίσκουµεt και η συνάρτηση κόστους είναι

6 δ) Ποια είναι η συνάρτηση βραχυχρόνιου οριακού κόστους; η συνάρτηση βραχυχρόνιου µέσου κόστους; Σε ποιο σηµείο τέµνονται οι δύο αυτές καµπύλες; Η συνάρτηση βραχυχρόνιου οριακού κόστους είναι Η συνάρτηση βραχυχρόνιου µέσου κόστους είναι Η συνάρτηση οριακού κόστους τέµνει τη συνάρτηση µέσου κόστους στο σηµείο όπου Σωστό Λάθος 1. Δυο εισροές, οι X και Y έχουν την ίδια τιµή. Ο συνδυασµός τους που εξασφαλίζει το χαµηλότερο κόστος για δεδοµένο επίπεδο προϊόντος είναι το σηµείο όπου η κλίση της καµπύλης ισοπαραγωγής είναι ίση µε -1. (Σ) 2. Αν η συνάρτηση παραγωγής είναι f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, τότε οι αποδόσεις κλίµακας είναι σταθερές. (Λ). 3. Η συνάρτηση παραγωγής f(x, y) = x 2/3 + y 2/3 έχει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας. (Λ) 4. Μια επιχείρηση χρησιµοποιεί δύο µεταβλητούς συντελεστές παραγωγής και έχει την συνάρτηση παραγωγής f(x 1, x 2 ) = (2x 1 + 4x 2 ) 1/2. Ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης µεταξύ x 1 και x 2 είναι σταθερός. (Σ).

7 5. Αν η τιµή του προϊόντος µιας ανταγωνιστικής επιχείρησης αυξάνει και όλες οι άλλες τιµές παραµένουν σταθερές, τότε το προϊόν της επιχείρησης δεν µπορεί να µειωθεί. (Σ). 6. Αν οι αποδόσεις κλίµακας είναι αύξουσες, τότε το κόστος ανά µονάδα προϊόντος µειώνεται καθώς κινούµαστε προς τα κάτω και δεξιά της καµπύλης ίσου κόστους. (Λ). 7. Η συνάρτηση κόστους Γ(y) = y έχει οριακό κόστος µικρότερο από το µέσο κόστος για όλα τα επίπεδα προϊόντος. (Σ). 8. Η περιοχή κάτω από την καµπύλη οριακού κόστους µετρά το συνολικό µεταβλητό κόστος. (Σ). 9.. Το µέσο πάγιο κόστος δεν αυξάνει ποτέ µε το προϊόν. (Λ). 10. Αν µια επιχείρηση σε έναν κλάδο έχει συνάρτηση παραγωγής F(x, y) = x 3/4 y 3/4, όπου x και y είναι οι δύο συντελεστές που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή του αγαθού, τότε ο κλάδος δεν µπορεί να είναι ανταγωνιστικός µακροχρόνια. (Σ). Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σηµειώστε ποιο από τα παρακάτω δεν συµβαίνει όταν αυξάνεται η ποσότητα ενός µεταβλητού συντελεστή: α. Το συνολικό προϊόν αυξάνεται µέχρι το οριακό προϊόν να µειωθεί στο µηδέν. β. Όσο το µέσο προϊόν είναι µικρότερο από το οριακό προϊόν, το µέσο προϊόν αυξάνεται, είτε το οριακό προϊόν αυξάνεται είτε το οριακό προϊόν µειώνεται. γ. Το συνολικό προϊόν αυξάνεται πρώτα µε αύξοντα ρυθµό και ύστερα µε φθίνοντα ρυθµό, µετά όµως από κάποιο σηµείο µειώνεται. δ. Το µέσο προϊόν αντιστοιχεί στην κλίση της καµπύλης του συνολικού προϊόντος, γι αυτό και γίνεται αρνητικό όταν το τελευταίο αρχίζει και µειώνεται. 2. Αν η ζήτηση για εισιτήρια σε ένα θέατρο είναι q = p, σε ποια τιµή µεγιστοποιούνται τα συνολικά έσοδα; α. 80 β. 40 γ. 20 δ. 10 ε. Κανένα από τα πιο πάνω. 3. Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(x 1, x 2 ) = (x β 1 + x β 2) γ, µε β > 0 και γ > 0. Η επιχείρηση αυτή έχει α. Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας αν και µόνο αν 2β + γ > 1. β. Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας αν και µόνο αν βγ > 1. γ. Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας αν και µόνο αν β + γ > 1. δ. Σταθερές αποδόσεις κλίµακας αν και µόνο αν γ = 1. ε. Σταθερές αποδόσεις κλίµακας αν και µόνο αν β = γ.

8 4. Έστω η συνάρτηση παραγωγής f(x 1, x 2 ) = (x α 1 + x α 2) β,όπου α>0 και β>0. Σε ποιες τιµές των α και β ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης είναι φθίνων; α. Για όλες τις τιµές του α αν β < 1 β. Για όλες τις τιµές του α και β αν αβ < 1 γ. Για όλες τις τιµές του α και β αν α > β δ. Για όλες τις τιµές του β αν α < 1 ε. Καµιά από τις πιο πάνω. 5. Η συνάρτηση παραγωγής Q = 50K 0,25 L 0,25 παρουσιάζει α. Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας. β. Σταθερές αποδόσεις κλίµακας γ. Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας. δ. Αύξουσες και µετά φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας ε. Αρνητικές αποδόσεις κλίµακας. 6. Μια επιχείρηση παράγει προϊόν µε τρεις σταθερούς συντελεστές και έναν µεταβλητό. Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι q = 154x - 5x 2, όπου x είναι η ποσότητα του µεταβλητού συντελεστή που χρησιµοποιείται. Η τιµή του Προϊόντος είναι 2 ανά µονάδα και η τιµή του µεταβλητού συντελεστή είναι 8 ανά µονάδα. Πόσες µονάδες του x θα χρησιµοποιήσει η επιχείρηση βραχυχρόνια; α. 15 β. 30 γ. 17 δ. 7 ε. Κανένα από τα πιο πάνω. 7. Μια επιχείρηση που µεγιστοποιεί το κέρδος της χρησιµοποιεί ένα µόνο συντελεστή, x. Η συνάρτηση παραγωγής της είναι q = 4x 1/2. Η τιµή του προϊόντος είναι 12 και του συντελεστή 3. Η ποσότητα του συντελεστή που ζητεί η επιχείρηση είναι α. 64. β. 16. γ. 60. δ. 8. ε. Κανένα από τα πιο πάνω. 8. Μια ανταγωνιστική επιχείρηση έχει τη συνάρτηση παραγωγής f(x 1, x 2 ) = 12x 1 1/2 + 4x 2 1/2. Η τιµή του συντελεστή 1 είναι 1 και του συντελεστή 2 είναι 2. Η τιµή του προϊόντος είναι 4. Ποια ποσότητα µεγιστοποιεί το κέρδος; α. 304 β. 608 γ. 300 δ. 612 ε Ως επί κεφαλής µιας εταιρείας που παράγει υπολογιστές θέλετε να βρείτε το κόστος παραγωγής 170 υπολογιστών. Η συνάρτηση παραγωγής είναι q = min{x, y} όπου x και y είναι οι ποσότητες των δύο συντελεστών παραγωγής. Η τιµή του x είναι 18 και του y 10. Ποια είναι η απάντηση;

9 α β γ δ ε. Κανένα από τα πιο πάνω. 10. Στη βραχυχρόνια περίοδο µια επιχείρηση µε συνάρτηση παραγωγής F(L, M) = 4L 1/2 M 1/2 (L =εργασία, Μ=µηχανές) πρέπει να χρησιµοποιήσει τέσσερις µηχανές. Αν το κόστος εργασίας είναι 4 ανά µονάδα και το κόστος µηχανής είναι 4 ανά µηχανή, το βραχυχρόνιο συνολικό κόστος παραγωγής 48 µονάδων προϊόντος είναι α β γ δ ε Μια ανταγωνιστική επιχείρηση έχει βραχυχρόνια συνάρτηση κόστους c(y) = 2y 3-16y y Η επιχείρηση παράγει ένα θετικό επίπεδο προϊόντος βραχυχρόνιαµόνο και µόνο αν η τιµή είναι µεγαλύτερη από α. 16. β. 64. γ. 32. δ. 35. ε Η συνάρτηση µακροχρόνιου κόστους µιας επιχείρησης είναι Γ(q) = 6q Μακροχρόνια η επιχείρηση θα προσφέρει θετική ποσότητα προϊόντος αν η τιµή του προϊόντος είναι µεγαλύτερη από α β. 54. γ δ ε. 113.