HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1
Θεωρία γράφων / γραφήµατα 5/22/2016 2 2
Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που θα ορίσουµε) και που είναι χρήσιµη για την αναπαράσταση σχέσεων 5/22/2016 3 3
Εφαρµογές των γράφων Oτιδήποτε µπορεί να µοντελοποιηθεί χρησιµοποιώντας σχέσεις. Εφαρµογές στα δίκτυα, στον προγραµµατισµό ενεργειών, βελτιστοποίηση ροής, σχεδιασµό κυκλωµάτων, προγραµµατισµό κίνησης, αναζήτηση, ταξινόµηση, ΠΡΟΚΛΗΣΗ: ονοµάστε ένα πεδίο στο οποίο η γράφοι δεν είναι χρήσιµοι! 5/22/2016 4 4
Θα εισάγουµε ένα πλήθος διαφορετικών τύπων γράφων, ξεκινώντας από τους µηκατευθυνόµενους γράφους: απλοί γράφοι πολυγράφοι 5/22/2016 5 5
Απλοί γράφοι Αντιστοιχούν σε συµµετρικές, µη ανακλαστικές διµελείς σχέσεις R. Ένας απλός γράφος G=(V,E) αποτελείται από: Αναπαράσταση απλού γράφου Ένα σύνολο V κορυφώνήκόµβων (το V αντιστοιχεί στο σύνολο επί του οποίου ορίζεται η σχέση), Ένα σύνολο E ακµών: µη διατεταγµένα ζεύγη διαφορετικώνστοιχείων u,v V, τ.ω. urv. 5/22/2016 6 6
Παράδειγµα Απλού Γράφου Έστω Vτο σύνολο κάποιων από τις πολιτείες των ΗΠΑ: Π.χ., V={FL, GA, AL, MS, LA, SC, TN, NC} Έστω E={{u,v} u γειτονεύει µε v} ={{FL,GA},{FL,AL},{FL,MS}, {FL,LA},{GA,AL},{AL,MS}, {MS,LA},{GA,SC},{GA,TN}, {SC,NC},{NC,TN},{MS,TN}, {TN,AL}} LA MS AL TN NC SC GA FL 5/22/2016 7 7
Επεκτάσεις Όλοι οι βασικοί τύποι γράφων µπορούν να επεκταθούν για να γίνουν πιό περιγραφικοί. Για παράδειγµα, οι ακµές µπορούν να έχουν κάποια ετικέττα Π.χ., στις ακµές του προηγούµενου παραδείγµατος µπορούµε να βάλουµε ετικέττες µε το είδος των συνόρων µεταξύ των πολιτειών. 5/22/2016 8 8
Πολυγράφοι Όπως οι απλοί, αλλά µπορεί να υπάρχουν περισσότερες από µία ακµές που να συνδέουν δύο κόµβους. Π.χ., οι κόµβοι είναι πόλεις, και οι ακµές είναι τµήµατα δρόµων που τις ενώνουν. Παράλληλες ακµές 5/22/2016 9 9
Κατευθυνόµενοι γράφοι Αντιστοιχούν σε τυχαίες σχέσεις R, που δεν χρειάζεται να είναι συµµετρικές. Ένας κατευθυνόµενος γράφος (V,E) αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών V και µία διµελή σχέση E στο V. Εποµένως, οι ακµές είναι διατεταγµένα ζεύγη και όχι σύνολα! Π.χ..: V = το σύνολο των ανθρώπων, E={(x,y) xαγαπά y} 5/22/2016 10 10
Κατευθυνόµενοι πολυγράφοι Όπως οι κατευθυνόµενοι γράφοι µε την διαφορά πως µπορεί να υπάρχουν πολλαπλές ακµές που να συνδέουν δύο κόµβους. Π.χ., V=web pages, E=hyperlinks. Ο παγκόσµιος ιστός είναι ένας κατευθυνόµενος πολυγράφος... 5/22/2016 11 11
Ορολογία Εισαγωγή των ακόλουθων όρων: Γειτονικοί κόµβοι, συνδέει, άκρα ακµής, βαθµός, αρχική κορυφή, τερµατική κορυφή, βαθµός κόµβου, έσω-βαθµός, έξω-βαθµός, πλήρης γράφος, κυκλικός γράφος, διµερής γράφος, υπογράφος,... 5/22/2016 12 12
Γειτνίαση Έστω Gέναςµη κατευθυνόµενος γράφος µε σύνολο ακµών E. Έστω e E µεταξύ των κορυφών {u,v}. Τότε λέµε: Οι u, v είναι γειτονικοί / συνδέονται Η ακµή e είναι προσπίπτουσα στις κορυφές u και v. Η ακµή eσυνδέει τις κορυφές uκαι v. Οι κορυφές uκαι vείναι τα άκρατης ακµής e. 5/22/2016 13 13
Βαθµός µιας κορυφής Έστω G µη κατευθυνόµενος γράφος, µε v V ένα κόµβο του. Ο βαθµόςτου v, deg(v), είναι ο αριθµός των ακµών που προσπίπτουν σε αυτόν. (Κάθε βρόχος µετράει διπλά) Ένας κόµβος µε βαθµό=0 ονοµάζεται αποµονωµένος. 5/22/2016 14 14
Βαθµός µιας κορυφής v1 v2 v3 v4 Deg(v1)=0, deg(v2)=deg(v3)=1, deg(v4)=2 5/22/2016 15 15
Θεώρηµα Έστω Gµη-κατευθυνόµενοςγράφος µε σύνολο κορυφών Vκαι σύνολο ακµών E. Τότε D= deg( v) = 2 E v V Απόδειξη: κάθε ακµή που εισάγεται στο γράφο έχει ως αποτέλεσµα D:= D+2 5/22/2016 16 16
Θεώρηµα Έστω Gµη-κατευθυνόµενοςγράφος µε σύνολο κορυφών Vκαι σύνολο ακµών E. Τότε D= deg( v) = 2 E v V Λήµµα: Κάθε µη κατευθυνόµενος γράφος έχει άρτιο πλήθοςκόµβων περιττού βαθµού. 5/22/2016 17 17
Θεώρηµα Λήµµα: Κάθε µη κατευθυνόµενος γράφος έχει άρτιο πλήθος κόµβων περιττού βαθµού. Απόδειξη: D= deg( v) = 2 E v V v V, v άρτ. βαθµού v V, v περ. βαθµού v V, v περ. βαθµού v V, v άρτ. βαθµού v V, v περ. βαθµού v V, v περ. βαθµού deg( v) + deg( v) = 2 E deg( v) = 2 E deg( v) deg( v) = 2 E 2κ deg( v) άρτιος Εποµένως πρέπει το πλήθος των κόµβων περιττού βαθµού να είναι άρτιος αριθµός 5/22/2016 18 18
Παράδειγµα Ερώτηµα: Μπορεί να υπάρχει περιττό πλήθος φοιτητών που να γνωρίζονται µε περιττό πλήθος συµφοιτητών τους πριν µπουν στο CSD; 5/22/2016 19 19
Παράδειγµα Υποθέστε ότι οι φοιτητές του ΗΥ118 αναπαριστώνται ως κόµβοι ενός γράφου που αναπαριστά τη σχέση γνωριµίας Μία ακµή µεταξύ δύο κόµβων a και b σηµαίνει ότι η/ο aκαι η/ο bγνωρίζονταν πριν την εισαγωγή τους στο τµήµα Απάντηση:Αρνητική απάντηση στο ερώτηµα,το πλήθος των φοιτητών µε περιττό αριθµό γνωριµιών δεν µπορεί να είναι περιττός αριθµός! 5/22/2016 20 20
Κατευθυνόµενη γειτνίαση Έστω G κατευθυνόµενος γράφος, και έστω e µία ακµή του G µεταξύ των κορυφών (u,v). Τότε λέµε: Η e ξεκινά από την u, η e καταλήγει στη v. Η e συνδέει την u στη v,ηe πηγαίνει από την u στη v Η αρχική κορυφή της eείναι η u Η τερµατική κορυφή της eείναι η v 5/22/2016 21 21
Βαθµός κορυφής σε κατευθυνόµενους γράφους Έστω Gκατευθυνόµενος γράφος και vµία κορυφή του. Ο έσω-βαθµόςτης v, deg (v), είναι το πλήθος των ακµών που καταλήγουν στη v. Ο έξω-βαθµόςτης v, deg + (v), είναι το πλήθος των ακµών που ξεκινούν από τη v. Ο βαθµός της v, deg(v): deg (v)+deg + (v), είναι το άθροισµα του έσω- και έξω-βαθµού της v. 5/22/2016 22 22
Θεώρηµα Έστω G=(V, E) κατευθυνόµενος γράφος. Τότε: 1 deg ( v) = + deg ( v) = deg( v) v V v V 2 v V Σηµειώστε ότι ο βαθµός µιας κορυφής δεν αλλάζει µε βάση το αν οι ακµές είναι κατευθυνόµενες ή όχι. = E 5/22/2016 23 23
Ειδικές κατηγορίες µη κατευθυνόµενων γράφων Πλήρεις γράφοι K n Κυκλικοί γράφοι C n ιµερείς γράφοι Πλήρεις διµερείς γράφοι K m,n 5/22/2016 24 24
Πλήρεις γράφοι n N, έναςαπλός πλήρης γράφος nκορυφών, K n, είναι ένας απλός γράφος µε nκορυφέςστον οποίο κάθε κόµβος γειτνιάζει µε όλους τους υπόλοιπους: u,v V: u v {u,v} E. K 1 K 2 K 3 K 4 K5 K 6 n 1 i= 1 n( n 1) i= Πλήθος ακµών του K n : 2 5/22/2016 25 25
Θεωρείστε οποιοδήποτε απλό πλήρη γράφο G=(V,E). Μπορεί το E να περιέχει ακµές που συνδέουν ένα κόµβο µε τον εαυτό του; Όχι! Εφόσον είναι απλός, δεν µπορεί να περιλαµβάνει στοιχεία της µορφής {α,α} γιατί το {α,α} δεν είναι σύνολο! 5/22/2016 26 26
Κυκλικοί γράφοι Για οποιοδήποτε n 3, ένας κυκλικός γράφος nκορυφών, C n, είναιένας απλός γράφος όπου V={v 1,v 2,,v n }και E={{v 1,v 2 },{v 2,v 3 },,{v n 1,v n },{v n,v 1 }}. C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 Πόσες ακµές υπάρχουν στο Cn ; 5/22/2016 27 27
Μπορεί ένας κυκλικός γράφος να είναι πλήρης γράφος; 5/22/2016 28 28
Μπορεί ένας κυκλικός γράφος να είναι πλήρης γράφος; Ναι: Ο πλήρης γράφος Κ 3 είναι κυκλικός εν υπάρχει κανένας άλλος κυκλικός γράφος που να είναι πλήρης 5/22/2016 29 29
Ορισµός: Ένας γράφος ονοµάζεται κανονικόςαν και µόνο ανκάθε κόµβος του έχει τον ίδιο βαθµό. Οι πλήρεις γράφοιείναι κανονικοί (n-1 βαθµό για κάθε κόµβο, εάν έχουµε n κόµβους) Οι κυκλικοί γράφοιείναι κανονικοί (βαθµός 2 για κάθε κόµβο) 5/22/2016 30 30
ιµερείς γράφοι Ένας γράφος G=(V,E)λέγεται διµερήςαν και µόνο αν V = V 1 V 2 όπου V 1 V 2 = και e E: v 1 V 1,v 2 V 2 : e={v 1,v 2 }. ηλαδή:το σύνολο Vτων κόµβων χωρίζεται σε δύο υποσύνολα έτσι ώστε οι ακµές να συνδέουν κόµβους διαφορετικών υποσυνόλων Ο ορισµός µπορεί εύκολα να τροποποιηθεί για την περίπτωση κατευθυνόµενων γράφων. V 1 V 2 5/22/2016 31 31
ιµερείς γράφοι αναπαριστούν σχέσεις στοιχείων διαφορετικών συνόλων, π.χ., Άντρες / γυναίκες Λέξεις, συνδεδεµένες µε τον αριθµό γραµµάτων τους Λογικές προτάσεις, συνδεδεµένες µε τις προτάσεις που σε φυσική γλώσσα εκφράζουν το νόηµά τους 5/22/2016 32 32
Ερωτήσεις Μπορείτε να σκεφτείτε ένα γράφο µε δύο κορυφές που να µην είναι διµερής; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλόγράφοµε δύο κορυφές που να µην είναι διµερής; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλόγράφοµε τρεις κορυφές και ένα µη-κενό σύνολο ακµών που να είναι διµερής; 5/22/2016 33 33
Ερωτήσεις Μπορείτε να σκεφτείτε ένα γράφο µε δύο κορυφές που να µην είναι διµερής; Ναι, αν υπάρχουν βρόχοι. Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλόγράφοµε δύο κορυφές που να µην είναι διµερής;όχι, δεν υπάρχει, πρέπει να είναι διµερής Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλόγράφοµε τρεις κορυφές και ένα µη-κενό σύνολο ακµώνπου να είναι διµερής; Ναι, αρκεί να µην είναι πλήρης 5/22/2016 34 34
Πλήρεις διµερείς γράφοι Για m,n N, ο πλήρης διµερής γράφος K m,n είναι ένας διµερής γράφος τέτοιος ώστε V 1 = m, V 2 = n, και E = {{v 1,v 2 } για κάθε v 1 V 1 και v 2 V 2 } K 4,3 O Km,nέχει m+n κόµβους και mxn ακµές. 5/22/2016 35 35
Υπογράφηµα Ένα υπογράφηµα ενός γράφου G=(V,E) είναι ένας γράφος H=(W,F) όπου W Vκαι F E. G H 5/22/2016 36 36
Υπογράφηµα Ένα υπογράφηµα ενός γράφου G=(V,E) είναι ένα γράφηµα H=(W,F) όπου W Vκαι F E. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: αφού ο Ηείναι γράφος, υποχρεωτικά το σύνολο Fτων ακµών του θα συνδέει κορυφές που ανήκουν στο W! 5/22/2016 37 37
Υπογράφηµα Παραδείγµατα 5/22/2016 38 38