ιµελής σχέση HY118- ιακριτά Μαθηµατικά n-µελείς σχέσεις Σχέσεις 13 - Σχέσεις

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 31/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/3/ ιµελής σχέση Έστω A, B οποιαδήποτε σύνολα. Μίαδιµελής σχέση Rαπό το Aστο B, είναι ένα υποσύνολο του A B. Το (a, b) R σηµαίνει ότι «το a σχετίζεται µέσω της R µε το b» Επίσης γράφεται ως arb ή ως R(a,b) 4/3/ n-µελείς σχέσεις Σχέσεις Μία n-µελής σχέση R στα σύνολα A 1,,A n,είναι ένα υποσύνολο R A 1 A n. Τα σύνολα A i ονοµάζονταιπεδία της R. Ο βαθµός της R είναι n. 4/3/ /3/

2 Σχέσεις επί συνόλου Μία (διµελής) σχέση από ένα σύνολο A στον εαυτό του ονοµάζεται σχέσηεπί του συνόλου A.Άρα, µίαδιµελήςσχέση Rεπί του A ορίζεται ως R A A. Συµµετρική / ασσύµετρη διµελής σχέση Μία διµελής σχέση R επί ενός συνόλου A είναι συµµετρική εάν και µόνο αν a,b A ((a, b) R (b, a) R). Π.χ., η = (ισότητα) είναι συµµετρική. Η < δεν είναι συµµετρική. Η είναι παντρεµένος µε είναι συµµετρική Η Συµπαθεί δεν είναι συµµετρική. Μία διµελής σχέση R είναι ασύµµετρη εάν και µόνο αν a,b((a,b) R (b,a) R). Π.χ.: Η < είναι ασύµµετρη, Η Συµπαθεί δεν είναι, κατ ανάγκη, ασύµµετρη. 4/3/ /3/ Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Μία σχέση R επί του A είναι ανακλαστική εάν και µόνο αν a A(aRa). Π.χ., η σχέση : {(a,b) a b} είναι ανακλαστική. Η R είναι µη-ανακλαστική εάν και µόνο αν a A( (ara)) Σηµειώστε τη διαφορά µεταξύ µιας σχέσης που είναι µη ανακλαστική ( a A( (ara))) από µία σχέση που απλά δεν είναι ανακλαστική ( ( a A(aRa)), δηλαδή, a A (αra). Μερικές άµεσες συνέπειες Θεωρήµατα: 1. Η R είναι συµµετρική αν και µόνο αν R = R 1, 2. Η R είναι ασύµµετρη αν και µόνο άν η R R 1 είναι κενή. 4/3/ /3/

3 Συµµετρική ιδιότητα 1. Η R είναι συµµετρική αν και µόνο αν R = R 1 Ευθύ: Έστω ότι η R είναι συµµετρική. Τότε (x,y) R (y,x) R (x,y) R 1 Αντίστροφο:Έστω ότι R = R 1. Τότε, (x,y) R (x,y) R 1 (y,x) R 4/3/ ΕΡΩΤΗΣΗ:Μπορείτε να βρείτε ένα σύνολο A και µία σχέση R επί του A έτσι ώστε η R να είναι συµµετρική και η R(x,y) να µπορεί λογικά να διαβαστεί ως ο x είναι γιός του y 4/3/ Συµµετρική ιδιότητα 2. Η R είναι ασύµµετρη αν και µόνο αν η R R 1 = ø. Ευθύ: Έστω ότι η R είναι ασύµµετρη. Τότε a,b((a,b) R (b,a) R). Εποµένως, a,b((a,b) R (a,b) R 1 ). Τότε όµως, R R 1 =ø. Αντίστροφο: Έστω ότι η R R 1 = ø. Τότε a,bµε (a,b) Rισχύει ότι (a,b) R 1. Τότε όµως, (b,a) R. Άρα, a,b((a,b) R (b,a) R) και εποµένως η R είναι ασύµµετρη. 4/3/ Απάντηση: κάθε µοντέλο στο οποίο δεν υπάρχουν x, y τέτοια ώστε η γιός_του(x, y) να είναι αληθής Π.χ., A = {John, Mary, Sarah}, AxA R= {} Για την κενή σχέση, ισχύει ότι a,b((a,b) R (b,a) R) και εποµένως η κενή σχέση είναι συµµετρική! 4/3/

4 Αντισυµµετρικότητα Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; όχι όχι 4/3/ /3/ Αντισυµµετρικότητα Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; όχι Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; όχι όχι ναι 4/3/ /3/

5 Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y εν είναι συµµετρική. (Π.χ., 5 6 αλλά όχι 6 5) εν είναι ασύµµετρη. (Π.χ., 5 5) (Θα λέγαµε πως είναι «σχεδόν» ασύµµετρη, επειδή όλες οι συµµετρίες εµφανίζονται όταν x=y) Αυτό ονοµάζεται αντισυµµετρικότητα: οι µόνες συµµετρίες (x,y), (y,x) στη σχέση εµφανίζονται όταν x=y. Μπορείτε να το πείτε αυτό στον κατηγορηµατικό λογισµό; Μία σχέση R επί ενός συνόλου Α είναι µεταβατική εάν και µόνο αν a,b,c A (((a,b) R (b,c) R) (a,c) R). 4/3/ /3/ Αντισυµµετρικότητα Μία διµελής σχέση R επί του A είναι αντισυµµετρική εάν και µόνο αν a,b((a,b) R (b,a) R) (a=b)). Μπορείτε να σκεφτείτε παραδείγµατα αντισυµµετρικών σχέσεων που έχουµε δει; Π.χ.:,, Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y Ο x συµπαθεί τον y Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y 4/3/ /3/

6 Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y 4/3/ /3/ Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y 4/3/ /3/

7 Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα ΕΝ ΕΙΝΑΙ Ο x είναι δυνατότερος από τον y Κλειστότητα σχέσεων ως προς κάποια ιδιότητα Για κάθε ιδιότητα X, η X - κλειστότητα µιας σχέσης R ορίζεται ως το µικρότερο υπερσύνολο της R που έχει την ιδιότητα X. Πιο συγκεκριµένα, Ηανακλαστικήκλειστότηταµιας σχέσης R επί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της R που έχει την ανακλαστική ιδιότητα. Ησυµµετρικήκλειστότηταµιας σχέσης R επί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της R που έχει την συµµετρική ιδιότητα. Ηµεταβατικήκλειστότηταµιας σχέσης R επί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της R που έχει την µεταβατική ιδιότητα. 4/3/ /3/ Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα ΕΝ ΕΙΝΑΙ Ο x είναι δυνατότερος από τον y ΕΙΝΑΙ Υπολογισµός κλειστοτήτων Η ανακλαστική κλειστότητα µιας σχέσης R επί του A υπολογίζεται προσθέτοντας τα στοιχεία (a,a) στην R για κάθε a A. ηλ., R I A Η συµµετρική κλειστότητα µιας σχέσης R υπολογίζεται προσθέτοντας τα στοιχεία (b,a) στην R για κάθε (a,b) στην R. ηλ., R R 1 Υπολογισµός της µεταβατικής κλειστότητας R* της R 4/3/ /3/

8 Παραδείγµατα για την R* R(a,b) O α είναι γονέας του b. Ποιά είναι η R*; Παραδείγµατα για την R* R(a,b) α => b. (a, b, προτάσεις του προτασιακού λογισµού) Ποιά είναι η R*; 4/3/ /3/ Παραδείγµατα για την R* R(a,b) O α είναι γονέας του b. Ποιά είναι η R*; - R*(a, b) = Ο a είναι πρόγονος του b Παραδείγµατα για την R* R(a,b) α => b. (a, b, προτάσεις του προτασιακού λογισµού) Ποιά είναι η R*; - R*(a, b) = «Εάν ισχύει η a ως προϋπόθεση, µπορώ να αποδείξω την ισχύ της b σε κάποιο πλήθος βηµάτων» 4/3/ /3/

9 Παραδείγµατα για την R* R(a,b) : Υπάρχει απευθείας ακτοπλοϊκή σύνδεση µεταξύ των λιµανιών α και b. Ποιά είναι η R*; Αναπαριστώντας σχέσεις Γιατί να ενδιαφερόµαστε για εναλλακτικές αναπαραστάσεις; εν µας φτάνει ένας τρόπος; Ένας λόγος: ο χαρακτηρισµός κάποιων σχέσεων ως προς τις ιδιότητές τους και κάποιοι υπολογισµοί γίνονται πιο εύκολη υπόθεση ανάλογα µε το είδος της αναπαράστασης που χρησιµοποιούµε. 4/3/ /3/ Παραδείγµατα για την R* R(a,b) : Υπάρχει απευθείας ακτοπλοϊκή σύνδεση µεταξύ των λιµανιών α και b. Ποιά είναι η R*; - R*(a, b) = Υπάρχει τρόπος να ξεκινήσει κανείς από το λιµάνι a και να φτάσει ακτοπλοϊκώς στο λιµάνι b Αναπαριστώντας σχέσεις µέσω πινάκων Αναπαράσταση µίας διµελούς σχέσης R:A Α µε ένα A Α 0-1 πίνακα M R = [m ij ]: m ij = 1 αν και µόνο αν (a i,b j ) R. Π.χ., δέστε τον παρακάτω πίνακα: Joe Fred Mark Joe Fred Mark /3/ /3/

10 Αναπαριστώντας σχέσεις µέσω πινάκων έστε τον παρακάτω πίνακα: Joe Fred Mark Joe Fred Mark Αντιστοιχεί στη σχέση {(Joe, Joe), (Joe, Fred), (Fred, Fred), (Mark, Mark)} 4/3/ Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. Ανακλαστική: µόνο 1 στη διαγώνιο 4/3/ Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 4/3/ Οτι-δήποτδήποτε 0 Οτι Οτι-δήποτδήποτε 0 Οτι Οτι-δήποτδήποτε 0 Οτι Μη ανακλαστική: µόνο 0 στη διαγώνιο 4/3/

11 Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. Συµµετρική: όλα συµµετρικά 4/3/2016 ως προς τη διαγώνιο 41 Αναπαριστώντας σχέσεις µε κατευθυνόµενους γράφους Έναςκατευθυνόµενος γράφος G=(A,E) αποτελείται από ένα σύνολο A κορυφών (κόµβων) και από ένα σύνολο ακµών E A A. Οπτικά αναπαριστάται χρησιµοποιώντας τελείες για τις κορυφές και βέλη για τις ακµές. Μία σχέση R Α Α αναπαριστάται ως ο γράφος G=(A, E). Πίνακας M R : Γράφος G: Joe Fred Mark Joe Fred Mark Σύνολο κορυφών A 4/3/2016 (µαύρες τελείες) 43 Joe Mark Σύνολο ακµών E (µπλέ βέλη) Fred Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 1 Οτι-δήποτδήποτε 0 Οτι Οτι-δήποτδήποτε 0 Οτι Ασύµµετρη: τα συµµετρικά 4/3/2016 των 1είναι 0 42 Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. 4/3/

12 Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Ανακλαστική: Κάθε κόµβος έχει ένα βρόγχο Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Συµµετρική: Αν υπάρχει σύνδεση προς τη µία κατεύθυνση, υπάρχει και προς την άλλη 4/3/ /3/ Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Μη ανακλαστική: Κανένας κόµβος δεν έχει βρόγχο Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Ασύµµετρη: καµµία σύνδεση και προς τις 2 κατευθύνσεις 4/3/ /3/

13 Ιδιαίτερες ευκολίες µε γράφους Ιδιότητες οι οποίες είναι κατά κάποιο τρόπο τοπικές και σχετιζόµενες µε ένα συγκεκριµένο στοιχείο, π.χ., υπάρχουν αποµονωµένα στοιχεία; Ιδιότητες που περιλαµβάνουν συνδυασµούς από ζευγάρια, π.χ., Περιέχονται κύκλοι στη σχέση; ; Έννοιες που έχουν να κάνουν µε την σύνθεση σχέσεων Παράδειγµα: Σύνθεση σχέσεων Σχέση Μ= O φοιτητής x παίρνει το µάθηµα y (ορίζεται στο Φοιτητές x Μαθήµατα) Μ={(Κώστας, ιακριτά), (Νίκος, ιακριτά), (Πάνος, Προγραµµατισµός), (Μαρία, Λογική)} 4/3/ /3/ Σύνθεση σχέσεων Έστω R:A B, και S:B C. Τότε η σύνθεση SR:A Cτης R και της S είναι µία σχέση που ορίζεται ως: SR = {(a,c) A C b Β: arb bsc} Σύνθεση σχέσεων Σχέση = Το µάθηµα y το διδάσκει ο καθηγητής z (ορίζεται στο Μαθήµατα x Καθηγητές) ={( ιακριτά, Αργυρός), (Υπολογιστική Όραση, Αργυρός), (Προγραµµατισµός, Παπαγιαννάκης), (Λογική, Πλεξουσάκης)} 4/3/ /3/

14 Σύνθεση σχέσεων Σχέση Μ= Ο φοιτητής x παρακολουθεί µάθηµα που διδάσκει ο καθηγητής z (ορίζεται στο Φοιτητές x Καθηγητές) Μ={(Κώστας, Αργυρός), (Νίκος, Αργυρός), (Πάνος, Παπαγιαννάκης), (Μαρία, Πλεξουσάκης)} 4/3/