HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Transcript

1 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 15-Mar

2 Σχέσεις 15-Mar-18 2

3 Έχουμε ήδη δει Έστω A, B οποιαδήποτε σύνολα. Μία διμελής σχέση R από το A στο B, είναι ένα υποσύνολο του A B. Τα (a, b)r, arb, R(a,b) σημαίνουν ότι «το a σχετίζεται μέσω της R με το b» Μία n-μελής σχέση R στα σύνολα A 1,,A n, είναι ένα υποσύνολο R A 1 A n. Τα σύνολα A i ονομάζονται πεδία της R. Ο βαθμός της R είναι n. Συμπληρωματική σχέση, αντίστροφη σχέση, σχέση επί συνόλου. Σχέσεις και ιδιότητες: ανακλαστική, μη ανακλαστική, συμμετρική, ασύμμετρη, αντισυμμετρική διμελής σχέση. 15-Mar-18 3

4 Μεταβατικότητα Μία σχέση R επί ενός συνόλου Α είναι μεταβατική εάν και μόνο αν a,b,c A (((a,b)r(b,c)r) (a,c)r). 15-Mar-18 4

5 Μεταβατικότητα Τι λέτε ως προς την μεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συμπαθεί τον y ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόμετρο από τον y ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ Η ομάδα x νίκησε την ομάδα y στο πρωτάθλημα ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ Ο x είναι δυνατότερος από τον y ΕΙΝΑΙ 15-Mar-18 5

6 Μεταβατικότητα Τι λέτε ως προς την μεταβατικότητα της παρακάτω σχέσης; R = {(a,b), (b, c), (a, c), (c,d)} Δεν είναι: Θα έπρεπε η σχέση να περιλαμβάνει και το στοιχείο (a,d). 15-Mar-18 6

7 Κλειστότητα σχέσεων ως προς κάποια ιδιότητα Για κάθε ιδιότητα X, η X - κλειστότητα μιας σχέσης R ορίζεται ως το μικρότερο υπερσύνολο της R που έχει την ιδιότητα X. Πιο συγκεκριμένα, Η ανακλαστική κλειστότητα μιας σχέσης R επί του A είναι το μικρότερο δυνατό υπερσύνολο της R που έχει την ανακλαστική ιδιότητα. Η συμμετρική κλειστότητα μιας σχέσης R επί του A είναι το μικρότερο δυνατό υπερσύνολο της R που έχει την συμμετρική ιδιότητα. Η μεταβατική κλειστότητα μιας σχέσης R επί του A είναι το μικρότερο δυνατό υπερσύνολο της R που έχει την μεταβατική ιδιότητα. 15-Mar-18 7

8 Υπολογισμός κλειστοτήτων Η ανακλαστική κλειστότητα μιας σχέσης R επί του A υπολογίζεται συμπεριλαμβάνοντας στην R τα στοιχεία (a,a) για κάθε aa. Δηλ., R I A όπου I A η ταυτοτική σχέση (σχετίζει κάθε aa με τον εαυτό του) Η συμμετρική κλειστότητα μιας σχέσης R υπολογίζεται συμπεριλαμβάνοντας στην R τα στοιχεία (b,a) για κάθε (a,b) στην R. Δηλ., R R 1 Υπολογισμός της μεταβατικής κλειστότητας R* της R 15-Mar-18 8

9 Παραδείγματα για την R* R(a,b) O α είναι γονέας του b. Ποιά είναι η R*; - R*(x, y) = Ο x είναι πρόγονος του y 15-Mar-18 9

10 Παραδείγματα για την R* R(a,b) a b αληθής (a, b, προτάσεις του προτασιακού λογισμού) Ποιά είναι η R*; - R*(x, y) = «Εάν ισχύει η x ως προϋπόθεση, μπορώ να αποδείξω την ισχύ της y σε κάποιο πλήθος βημάτων» 15-Mar-18 10

11 Παραδείγματα για την R* R(a,b) : Υπάρχει απευθείας ακτοπλοϊκή σύνδεση μεταξύ των λιμανιών α και b. Ποιά είναι η R*; - R*(x, y) = Υπάρχει τρόπος να ξεκινήσει κανείς από το λιμάνι x και να φτάσει ακτοπλοϊκώς στο λιμάνι y 15-Mar-18 11

12 Γιατί η R* είναι ενδιαφέρουσα; Υποθέστε ότι μία μολυσματική ασθένεια μεταδίδεται από άνθρωπο σε άνθρωπο μέσω χειραψίας Χ(a, b) Έστω ότι ξέρετε ότι ο Φώτης είναι μολυσμένος και ότι θέλετε να μάθετε ποιός άλλος έχει μολυνθεί από αυτόν. Για να το πετύχετε, πρέπει να: 1. Προσδιορίσετε τους ανθρώπους που έκαναν χειραψία με το Φώτη. Αυτό σας δίνει τους άμεσα μολυσμένους 2. Βρείτε οποιονδήποτε μολύνθηκε από κάποιον που μολύνθηκε από τον Φώτη... Και ούτω καθεξής Mar-18 12

13 τελικά, ποιός μολύνθηκε;;; Υποθέστε ότι η «Χειραψία» είναι η ακόλουθη σχέση: Χ={(Φώτης, Νίκος), (Νίκος,Κώστας), (Κώστας, Πέτρος), (Μάνος, Μαρία)}. Η ίδια η σχέση μας δίνει τους άμεσα μολυσμένους από το Φώτη Η μεταβατική της κλειστότητα μας δίνει όλους τους μολυσμένους X* = {(Φώτης, Νίκος), (Νίκος,Κώστας), (Κώστας, Πέτρος), (Μάνος, Μαρία), (Νίκος, Πέτρος), (Φώτης, Κώστας), (Φώτης Πέτρος)} Στη X* εμφανίζονται τα στοιχεία (Φώτης, Νίκος), (Φώτης, Κώστας), (Φώτης Πέτρος) επομένως και αυτοί, εμμέσως (μεταβατικά) μολύνθηκαν! 15-Mar-18 13

14 Δεν ξέρουμε πάντα την R* Στην πραγματική ζωή, συχνά δεν ξέρουμε την ακριβή έκταση της R* (δηλ., ποιά ζεύγη ανήκουν σε αυτή τη σχέση) Δεν έχω κάνει ποτέ χειραψία με τον δήμαρχο του Hong Kong ((Αργυρός, ΔήμαρχοςHongKong) Χ) Τι μπορούμε να πούμε για το κατά πόσον Χ*(Αργυρός, ΔήμαρχοςHongKong) ; 15-Mar-18 14

15 Αναπαριστώντας σχέσεις Γιατί να ενδιαφερόμαστε για εναλλακτικές αναπαραστάσεις; Δεν μας φτάνει ένας τρόπος; Ένας λόγος: ο χαρακτηρισμός κάποιων σχέσεων ως προς τις ιδιότητές τους και κάποιοι υπολογισμοί γίνονται πιο εύκολη υπόθεση ανάλογα με το είδος της αναπαράστασης που χρησιμοποιούμε. 15-Mar-18 15

16 Αναπαριστώντας σχέσεις μέσω πινάκων Αναπαράσταση μίας διμελούς σχέσης R A Α επί ενός συνόλου Α με ένα A Α πίνακα M R = [m ij ] που έχει τιμές 0 και 1, με m ij = 1 αν και μόνο αν (a i,b j )R. Π.χ., δέστε τον παρακάτω πίνακα: Joe Fred Mark Joe Fred Mark Mar-18 16

17 Αναπαριστώντας σχέσεις μέσω πινάκων Δέστε τον παρακάτω πίνακα: Joe Fred Mark Joe Fred Mark Αντιστοιχεί στη σχέση {(Joe, Joe), (Joe, Fred), (Fred, Fred), (Mark, Mark)} επί του συνόλου {Joe, Fred, Mark}. 15-Mar-18 17

18 Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυμηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, μη ανακλαστική, συμμετρική, και αντισυμμετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε αν μία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 1 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι Οτιδήποτε Οτιδήποτε Mar-18 18

19 Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυμηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, μη ανακλαστική, συμμετρική, και αντισυμμετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε αν μία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 1 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι Οτιδήποτε Οτιδήποτε Ανακλαστική: μόνο 1 στη διαγώνιο Μη ανακλαστική: μόνο 0 στη διαγώνιο Συμμετρική: όλα συμμετρικά ως προς τη διαγώνιο Ασύμμετρη: τα συμμετρικά των 1είναι 0 15-Mar-18 19

20 Αναπαριστώντας σχέσεις με κατευθυνόμενους γράφους Ένας κατευθυνόμενος γράφος G=(A,R) αποτελείται από ένα σύνολο A κορυφών (κόμβων) και από ένα σύνολο ακμών RA A. Οπτικά αναπαριστάται χρησιμοποιώντας τελείες για τις κορυφές και βέλη για τις ακμές. Μία σχέση R Α Α αναπαριστάται ως ο γράφος G=(A, R). Πίνακας M R : Γράφος G: Joe Fred Mark Joe Fred Mark Mar Joe Mark Σύνολο ακμών E (μπλέ βέλη) Fred Σύνολο κορυφών A (μαύρες τελείες)

21 Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες μιας σχέσης μπορούν εύκολα να διαπιστωθούν με παρατήρηση του γράφου με τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. 15-Mar-18 21

22 Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες μιας σχέσης μπορούν εύκολα να διαπιστωθούν με παρατήρηση του γράφου με τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Ανακλαστική: Κάθε κόμβος έχει ένα βρόγχο Μη ανακλαστική: Κανένας κόμβος δεν έχει βρόγχο Συμμετρική: Αν υπάρχει σύνδεση προς τη μία κατεύθυνση, υπάρχει και προς την άλλη Ασύμμετρη: καμία σύνδεση και προς τις 2 κατευθύνσεις 15-Mar-18 22

23 Ιδιαίτερες ευκολίες με γράφους Ιδιότητες οι οποίες είναι κατά κάποιο τρόπο τοπικές και σχετιζόμενες με ένα συγκεκριμένο στοιχείο, π.χ., υπάρχουν απομονωμένα στοιχεία; Ιδιότητες που περιλαμβάνουν συνδυασμούς από ζευγάρια, π.χ., Περιέχονται κύκλοι στη σχέση; Μεταβατικότητα; Έννοιες που έχουν να κάνουν με την σύνθεση σχέσεων 15-Mar-18 23

24 Σύνθεση σχέσεων Έστω R:A B, και S:B C. Τότε η σύνθεση SR:A C της R και της S είναι μία σχέση που ορίζεται ως: SR = {(a,c) A C bβ: arb bsc} 15-Mar-18 24