HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/ Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... Έχουµε υποθέσεις p, θέλουµε να αποδείξουµε το συµπέρασµα q. Βρες ένα s 1 τέτοιο ώστε p s 1 Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s 1. Μετά, βρές s 2 τέτοιο ώστε s 1 s 2. Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s 2.. Και ελπίζουµε να βρούµε ένα s n τ.ω.: s n q. Το πρόβληµα µε αυτή τη άµεση απόδειξη είναι ότι µπορεί να είναι δύσκολο να «δούµε» το «µονοπάτι» που οδηγεί στην p. 2 Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις... Συχνά είναι πιο εύκολο να «δούµε» το ίδιο ακριβώς µονοπάτι, αν ξεκινήσουµε από το συµπέρασµα q κι όχι από τις υποθέσεις ηλαδή, πρώτα βρες ένα s n τέτοιο ώστε s n q. Μετά ένα s n-1 : s n-1 s n, κ.ο.κ µέχρις ότου βρείς ένα s 1 τέτοιο ώστε p s 1. Σηµειώστε ότι εξακολουθούµε να χρησιµοποιούµε modus ponens για να διαδώσουµε την ισχύ των προτάσεων από την pστην s 1 στην στην s n στην q Βρίσκουµε το µονοπάτι προς τα πίσω, αλλά το εφαρµόζουµε προς τα εµπρός!!!! Αυτό δεν είναι το ίδιο µε την έµµεση απόδειξη!!! Παράδειγµα Θεώρηµα: a>0,b>0,a b: (a+b)/2 > (ab) 1/2. Απόδειξη: εν είναι προφανές πως από τις υποθέσεις a>0, b>0, a b οδηγούµαστε στο συµπέρασµα (a+b)/2 > (ab) 1/2. Οπότε, ας δοκιµάσουµε να ξεκινήσουµε από το συµπέρασµα, (a+b)/2 > (ab) 1/2! 3 4 1

2 Βήµατα... (a+b)/2 > (ab) 1/2 (a+b) 2 /4 > ab (a+b) 2 > 4ab a 2 +2ab+b 2 > 4ab a 2 2ab+b 2 > 0 (a b) 2 > 0 Τώρα, εφόσον a b, (a b) 0, προκύπτει ότι (a b) 2 >0, και µπορούµε να ακολουθήσουµε την σωστή σειρά των βηµάτων Απόδειξη παραδείγµατος Θεώρηµα: a>0,b>0,a b: (a+b)/2 > (ab) 1/2. Απόδειξη: a b (a b) 0 (a b) 2 >0 a 2 2ab+b 2 > 0 a 2 2ab+b 2 +4ab > 4ab a 2 +2ab+b 2 > 4ab (a+b) 2 > 4ab (a+b) 2 /4 > ab. Αφού ab>0, προκύπτει ότι (a+b)/2 > (ab) 1/ Άλλο ένα παράδειγµα Ξεκινώντας από το τέλος... Παιχνίδι µε τους εξής κανόνες: Υπάρχουν 15 πέτρες σε µία στοίβα. ύο παίκτες παίζουν εναλλάξ και καθένας τους µπορεί να πάρει 1, 2, ή 3 πέτρες από τη στοίβα. Νικητής είναι αυτός που παίρνει την τελευταία πέτρα. Θεώρηµα: Υπάρχει µία στρατηγική η οποία εξασφαλίζει στον 1 ο παίκτη την νίκη σε κάθε περίπτωση. Πως το αποδεικνύουµε; Ξεκινώντας από το τέλος του παιχνιδιού!!! Ο Π1 νικά αν είναι σειρά του Π2 και δεν υπάρχουν πέτρες Ο Π1 µπορεί να το επιτύχει αυτό αν του µείνουν 1 ή 2 ή 3 πέτρες... Αυτό θα συµβεί αν στον Π2 µείνουν 4 πέτρες... Ο Π1 µπορεί να το επιτύχει αυτό αν του µείνουν 5 ή 6 ή 7 πέτρες... Αυτό θα συµβεί αν στον Π2 µείνουν 8 πέτρες... Κλπ! Παίκτης 1 Παίκτης 2 0 1, 2, 3 4 5, 6, 7 8 9, 10, , 14,

3 ιατυπώνοντας την απόδειξη από την αρχή... Θεώρηµα: Υπάρχει µία στρατηγική η οποία εξασφαλίζει στον 1 ο παίκτη την νίκη σε κάθε περίπτωση. Απόδειξη. Ο Π1 παίρνει 3 πέτρες, αφήνοντας 12. Αφού παίξει ο Π2, θα περισσέψουν 11, 10, ή 9 πέτρες. Σε κάθε περίπτωση, ο Π1 µπορεί να µειώσει τον αριθµό από πέτρες σε 8. Τότε ο Π2 θα µειώσει τον αριθµό από πέτρες σε 7, 6, ή 5. Σε κάθε περίπτωση, ο Π1 µπορεί να µειώσει τον αριθµό από πέτρες σε 4. Τότε, ο Π2 πρέπει να τις µειώσει σε 3 ή 2, ή 1. Ο Π1 παίρνει τις τελευταίες πέτρες και κερδίζει!!! 9 3/15/2016 Τέλος, κάποιες κοινές απατηλές αποδείξεις Μία απατηλή απόδειξη είναι ένας µηχανισµός εξαγωγής συµπερασµάτων ο οποίος δεν ευσταθεί λογικά. Μία απατηλή απόδειξη µπορεί να οδηγεί σε εσφαλµένο συµπέρασµα Απατηλότητα αποδοχής του συµπεράσµατος: p q αληθές, και q αληθές, άρα p αληθές. (Όχι, γιατί F T αληθές.) Απατηλότητα άρνησης της υπόθεσης: p q αληθές, και p ψευδές, άρα q ψευδές. (Όχι, πάλι επειδή F T αληθές.) 3/15/2016 Κυκλικός συλλογισµός Η απατηλότητα (εµµέσως ή αµέσως) του να υποθέτουµε την ισχύ του συµπεράσµατος, στην πορεία προς την απόδειξή του! Παράδειγµα: (για ακεραίους n) εάν ο n 2 είναι άρτιος τότε ο n είναι άρτιος. Επιχειρούµενη απόδειξη: Ο n 2 είναι άρτιος. Τότε ο n 2 =2k για κάποιο ακέραιο k. ιαιρώντας και τα δύο µέλη µε n µας δίνει n = (2k)/n = 2(k/n). Οπότε υπάρχει ένας ακέραιος j (ο k/n) τέτοιος ώστε n=2j. Αρα ο n είναι άρτιος. Σε ποιό σηµείο χρησιµοποιείται κυκλικός συλλογισµός; Πως αποδεικνύεται ότι ο j= k/n = n/2 είναι ακέραιος, χωρίς πρώτα να υποθέσουµε ότι ο n είναι άρτιος;;;; 3/15/2016 Ας µην ξεχνάµε Έχουµε επίσης δει µία ορθή απόδειξη για την ίδια πρόταση: µία καλή υπενθύµιση για το ότι εάν µία απόδειξη είναι εσφαλµένη, αυτό δεν σηµαίνει ότι το συµπέρασµα του αντίστοιχου θεωρήµατος δεν ισχύει!!! 3

4 Όρια των αποδείξεων Μερικές πολύ απλές προτάσεις της θεωρίας αριθµών δεν έχουν αποδειχτεί ακόµα! Π.χ.. Εικασία του Goldbach: Έστω Α(x) = x άρτιος, P(x) = x πρώτος x( [x>2 A(x)] p q P(p) P(q) p+q = x). Κάθε άρτιος αριθµός µεγαλύτερος του 2 είναι το άθροισµα δύο πρώτων. Και οι µεγαλύτεροι µαθηµατικοί έχουν προτείνει ψευδείς εικασίες! Ο Euler έκανε την εικασία ότι εάν n>2, το άθροισµα n 1 n οστών δυνάµεων θετικών ακεραίων δεν είναι n οστή δύναµη κάποιου ακεραίου. Παρέµεινε «αληθές» για όλες τις περιπτώσεις που δοκιµάστηκαν για 200 χρόνια, χωρίς όµως να µπορεί να βρεθεί απόδειξη. Το 1966, κάποιος παρατήρησε ότι = Και οι µεγαλύτεροι µαθηµατικοί έχουν προτείνει ψευδείς εικασίες! Ο Euler έκανε την εικασία ότι εάν n>2, το άθροισµα n 1 n οστών δυνάµεων θετικών ακεραίων δεν είναι n οστή δύναµη κάποιου ακεραίου. Παρέµεινε «αληθές» για όλες τις περιπτώσεις που δοκιµάστηκαν για 200 χρόνια, χωρίς όµως να µπορεί να βρεθεί απόδειξη. Το 1966, κάποιος παρατήρησε ότι = Θεωρία Συνόλων 15 3/15/

5 Εισαγωγή στη θεωρία συνόλων Ένα σύνολο είναι µία δοµή που αναπαριστά µία συλλογή διαφορετικών αντικειµένων (ενδεχοµένως κενή) τα οποία δεν έχουν διάταξη. Η θεωρία συνόλων ασχολείται µε πράξεις, σχέσεις και προτάσεις σχετικά µε τα σύνολα. Τα σύνολα είναι πανταχού παρόντα στα υπολογιστικά συστήµατα. Όλα τα µαθηµατικά µπορούν να οριστούν µε κάποια µορφή της θεωρίας συνόλων (χρησιµοποιώντας κατηγορηµατικό λογισµό). Εισαγωγή στη θεωρία συνόλων Σχεδόν οτιδήποτε µπορείτε να κάνετε µε διαφορετικά αντικείµενα, µπορείτε να το κάνετε και µε σύνολα αντικειµένων. Π.χ. (µιλώντας άτυπα), µπορείτε Να αναφέρεστε σε αυτά, να τα συγκρίνετε, να τα συνδυάζετε, Επίσης, µπορείτε να κάνετε µε σύνολα, πράγµατα που δεν µπορείτε, πιθανά, να κάνετε µε συγκεκριµένα αντικείµενα: Π.χ., µπορείτε: Να ελέγξετε αν ένα σύνολο περιέχεται σε ένα άλλο Να καθορίσετε πόσα στοιχεία έχει Να τα χρησιµοποιήσετε σαν το πεδίο ορισµού µεταβλητών στον κατηγορηµατικό λογισµό 3/15/ /15/ Βασικοί συµβολισµοί για τα σύνολα Για τα σύνολα, θα χρησιµοποιούµε τις µεταβλητές S, T, U, Μπορούµε να συµβολίζουµε ένα σύνολο S µε το να απαριθµούµε όλα τα στοιχεία του σε αγκύλες: Το σύνολο S = {a, b, c} περιέχει τρία στοιχεία, τα οποία συµβολίζονται µε τα a, b, c. Επίσης, µπορούµε να ορίσουµε ένα σύνολο µε βάση µία ιδιότητα P που έχουν τα στοιχεία του το {x P(x)} είναι το σύνολο όλων των x που έχουν την ιδιότητα P. Βασικές ιδιότητες των συνόλων Τα σύνολα είναι από τη φύση τους µη διατεταγµένα: Ανεξάρτητα από το τι είναι τα στοιχεία a, b, και c, {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = Όλα τα στοιχεία είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Οι πολλαπλές εµφανίσεις ενός στοιχείου δεν κάνουν καµία διαφορά! Εάν a=b, τότε {a, b, c} = {a, c} = {b, c} = {a, a, b, a, b, c, c, c, c}. Πόσα στοιχεία περιλαµβάνει; 2 στοιχεία (το πολύ)! 3/15/ /15/

6 Πολυσύνολα Υπάρχει ένα διαφορετικό µαθηµατικό κατασκεύασµα το οποίο ονοµάζεται πολυσύνολο, για το οποίο η προηγούµενη υπόθεση δεν ισχύει. Εάν a=b, τότε [c, a] = [c, b], αλλά [a, b, c] [a, c] [a,a,a,c] Συµβολισµός: Εάν B είναι πολυσύνολο, τότε count B (e)=πλήθος εµφανίσεων του e στο B Εποµένως, count [1,2,3,3,1,3,3] (3)=4 Ορισµός της ισότητας συνόλων ύο σύνολα είναι ίσα αν και µόνο αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. εν έχει σηµασία πως το σύνολο έχει οριστεί: Για παράδειγµα: {1, 2, 3, 4} = {x x ακέραιος όπου x>0 και x<5 } = {x x θετικός ακέραιος του οποίου το τετράγωνο είναι µεγαλύτερο του 0 και µικρότερο του 25} 3/15/ /15/ Άπειρα σύνολα ιαγράµµατα Venn Τα σύνολα µπορεί να είναι άπειρα. Σύµβολα και µερικά άπειρα σύνολα ειδικού ενδιαφέροντος: N = {1, 2, } Οι φυσικοί (Natural). Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, } Οι ακέραιοι (Γερµανικά: Zahl=αριθµός). R = Οι πραγµατικοί (Real) Q = Οι ρητοί (Quotient) Οι συµβολισµοί (N, Z, R, Q) χρησιµοποιούνται επίσης για τα παραπάνω ειδικά σύνολα. Τα άπειρα σύνολα έχουν διαφορετικά µεγέθη (!!!) Περισσότερα γι αυτό αργότερα... John Venn /15/ /15/

7 «ανήκει» x S ( το στοιχείο xανήκει στο σύνολο S ), είναι η πρόταση που λέει ότι το αντικείµενο x είναι ένα στοιχείο/µέλος του συνόλου S. π.χ. 3 N, α {x x γράµµα του αλφάβητου} : Από το ελληνικό «στίν» Συµβολισµός: x S : ορ. (x S) Πως θα ορίζαµε την ισότητα συνόλων µε βάση τον κατηγορηµατικό λογισµό; Ισότητα συνόλων Η ισότητα συνόλων ορίζεται µε βάση το : ύο σύνολα είναι ίσα αν και µόνο αν έχουν τα ίδια στοιχεία. S=T : ορ. x (x S x T) 3/15/ /15/ Ένα σύνολο µπορεί να είναι κενό Υποθέστε ότι καλούµε ένα σύνολο S κενό αν και µόνο αν δεν περιέχει κανένα στοιχείο: x(x S). Καλούµαστε να αποδείξουµε ότι: xy((κενό(x) κενό(y) x=y) Ποιό είναι το νόηµα της παραπάνω πρότασης; Ένα σύνολο µπορεί να είναι κενό Θέλουµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει το πολύ ένα κενό σύνολο. Πως αυτό µπορούµε να το αποδείξουµε τυπικά; 3/15/ /15/

8 Υπάρχει µόνο ένα κενό σύνολο Το Κενό Σύνολο Θέλουµε να αποδείξουµε ότι: xy((κενό(x) κενό(y) x=y) Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο σύνολα Α και Β διαφορετικά µεταξύ τους, έτσι ώστε και τα δύο να είναι κενά. Εποµένως, x(x A) x(x Β) Εφόσον Α Β, θα ισχύει πως x(x Α (x Β)) x(x Β (x Α)) Η 1η πρόταση δεν µπορεί να ισχύει γιατί x(x Α). Η 2η πρόταση δεν µπορεί να ισχύει γιατί x(x Β) Αντίφαση. Εποµένως υπάρχει το πολύ ένα κενό σύνολο. και επειδή υπάρχει και τουλάχιστον ένα, το κενό σύνολο είναι ένα και µοναδικό. 3/15/ Είδαµε ότι υπάρχει ακριβώς ένα κενό σύνολο, εποµένως θα του δώσουµε ένα ειδικό όνοµα: ( το κενό σύνολο ) είναι το µοναδικό σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο. = {} 3/15/ S T ( Το S είναι υποσύνολο του T ) σηµαίνει ότι κάθε στοιχείο του S είναι επίσης και στοιχείο του T. Πως µπορούµε να ορίσουµε τη σχέση υποσυνόλου µε βάση τον κατηγορηµατικό λογισµό; S T ( Το S είναι υποσύνολο του T ) σηµαίνει ότι κάθε στοιχείο του S είναι επίσης και στοιχείο του T. S T : ορ. x (x S x T) 3/15/ /15/

9 S S ; S ; S S ; ΝΑΙ S ; 3/15/ /15/ S S ; ΝΑΙ S ; ΝΑΙ S S ; S ; 3/15/ /15/

10 S S ;ΟΧΙ S ; S S ;ΟΧΙ S ; ΌΧΙ πάντα! Π.χ., {, α, β} αλλά {α, β} 3/15/ /15/ Αυτό µας βοηθά να κατανοήσουµε περισσότερο τον τελεστή «εάν τότε» Η πρόταση x (P(x) Q(x)) σηµαίνει ότι «τα στοιχεία που έχουν την ιδιότητα P είναι υποσύνολο των στοιχείων που έχουν την ιδιότητα Q» Αν κανένα στοιχείο στο π.ο. της x δεν έχει την ιδιότητα P, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι αληθής Αν όλα τα στοιχεία έχουν την ιδιότητα Q, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι και πάλι αληθής Η µόνη περίπτωση να είναι ψευδής η πρόταση είναι να υπάρχει ένα στοιχείο µε την ιδιότητα P που να µην έχει την ιδιότητα Q Περισσότεροι συµβολισµοί: S T ( Το S είναι υπερσύνολο του T ) : ορ. T S. Σηµειώστε ότι S=T S T S T. : ορ. (S T), δηλ. x(x S x T) S T 3/15/ /15/

11 Γνήσια υποσύνολα και υπερσύνολα S T ( Το S είναι γνήσιο υποσύνολο του T ) σηµαίνει ότι S T S T Παράδειγµα:{1,2} {1,2,3} Ισχύει ότι {1,2,3} {1,2,3},... αλλά όχι ότι {1,2,3} {1,2,3} Τα σύνολα είναι αντικείµενα επίσης! Τα στοιχεία ενός συνόλου µπορούν να είναι από µόνα τους σύνολα. Π.χ. S={{1,2}, {1,3}} Προσοχή: {1,2} {{1,2}} 3/15/ /15/ Πληθικός αριθµός S ( ο πληθικός αριθµός του S ) είναι το πλήθος των στοιχείων του S. π.χ., =0, {1,2,3} = 3, {a,b} = 2, {{1,2,3},{4,5}} = 2 Εάν S N, τότε λέµε ότι το S είναι πεπερασµένο. Αλλιώς, λέµε ότι το S είναι άπειρο. 3/15/