ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΙΣΤΕΥΩ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΑΛΕΡΗ, ΓΚΑΤΖΙΟΥ ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΙΔΗΣ ΠΟΠΟΤΗΣ

ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΙΣΤΕΥΩ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΑΛΕΡΗ, ΓΚΑΤΖΙΟΥ ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΙΔΗΣ ΠΟΠΟΤΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το θέμα με το οποίο ασχοληθήκαμε είναι «Αντιλήψεις και πιστεύω μαθητών και δασκάλων για την επίλυση προβλήματος». Μελετήσαμε τέσσερις έρευνες, οι οποίες είχαν πολύ διαφορετικά στοιχεία σχετικά με το δείγμα και τον τρόπο συλλογής δεδομένων, καθώς αφορούσαν μαθητές δημοτικού και γυμνασίου, φοιτητές και εκπαιδευτικούς, προκειμένου να εντοπίσουμε τους παράγοντες που διαμορφώνουν και επηρεάζουν μια από τις πτυχές της επίλυσης προβλήματος.

Συναίσθημα και μετα- συναίσθημα στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος: Μια αναπαραστατική προοπτική De Bellis V. A. & Goldin G. A. (2006) Εισαγωγή Η έρευνα για τη μάθηση των μαθηματικών και την επίλυση προβλημάτων παραδοσιακά τονίζει τη γνώση, δίνοντας λιγότερη προσοχή στο συναίσθημα ή στις γνωστικές- συναισθηματικές αλληλεπιδράσεις. Οι ερευνητές της μαθηματικής εκπαίδευσης όλο και περισσότερο αντιμετωπίζουν σοβαρά το συναισθηματικό τομέα. Ωστόσο, υπάρχει σημαντική ποικιλομορφία στα θεωρητικά πλαίσια που χρησιμοποιούνται για την σύλληψη της έννοιας του συναισθήματος στον τομέα της μαθηματικής εκπαίδευσης.

Θεωρητικό πλαίσιο Το ανθρώπινο συναίσθημα λειτουργεί ως ένα εσωτερικό αναπαραστατικό σύστημα που ανταλλάσσει πληροφορίες με τα γνωστικά συστήματα. Αυτό το σύστημα αποτελείται από συναισθήματα, στάσεις, πεποιθήσεις και αξίες. Το συναίσθημα περιλαμβάνει: ü την εναλλαγή συναισθηματικών καταστάσεων κατά τη διάρκεια της μαθηματικής επίλυσης προβλημάτων (τοπικό συναίσθημα) ü πιο σταθερές, μακροπρόθεσμες δομές (καθολικό συναίσθημα). Οι συναισθηματικές καταστάσεις: ü μεταφέρουν νοήματα για το άτομο ü κωδικοποιούν και ανταλλάσσουν πληροφορίες σε αλληλεπίδραση με τα άλλα εσωτερικά συστήματα αναπαράστασης.

Θεωρητικό πλαίσιο Το συναίσθημα (ως αναπαράσταση) αποτελεί επίσης ένα σύστημα (σιωπηρής) επικοινωνίας μεταξύ των ανθρώπων μέσω του τονισμού, των κινήσεων των ματιών, των εκφράσεων του προσώπου, της «γλώσσας του σώματος», του γέλιου, των δακρύων, των ήχων, των επιφωνημάτων, κ.λπ. - ένα σύστημα κατά καιρούς εξαιρετικά αμφιλεγόμενο, αλλά αποτελεσματικό στις προσωπικές και κοινωνικές αλληλεπιδράσεις. Το νόημα των συναισθημάτων εξαρτάται εξαιρετικά από το πλαίσιο. Συχνά τα συναισθήματα είναι ασυνείδητα και είναι δύσκολο να τα εκφράσει κανείς με λόγια ή να τα ερμηνεύσει. Το συναίσθημα μπορεί να ενδυναμώσει ή να αποδυναμώσει τους μαθητές σε σχέση με τα μαθηματικά.

Θεωρητικό πλαίσιο Συναισθηματικές ικανότητες: οι ικανότητες ενός ατόμου να κάνει αποτελεσματική χρήση του συναισθήματος κατά τη διάρκεια της μαθηματικής δραστηριότητας (π.χ. να ενεργεί με περιέργεια ή να λαμβάνει την απογοήτευση ως ένδειξη για να αλλάξει στρατηγική). Μετα- συναίσθημα: το συναίσθημα για το συναίσθημα, το συναίσθημα για τη γνώση και εντός της γνώσης για το συναίσθημα, και η παρακολούθηση του συναισθήματος του ατόμου τόσο μέσω της γνώσης όσο και του συναισθήματος. Το μετα- συναίσθημα είναι η πιο σημαντική πτυχή του συναισθήματος (DeBellis, 1996 DeBellis και Goldin, 1997, 1999 Gomez- Chacon, 2000 Goldin, 2002).

Θεωρητικό πλαίσιο Το μετα- συναίσθημα συνιστά ότι οι πιο σημαντικοί συναισθηματικοί στόχοι στα μαθηματικά δεν είναι να εξαλείψουμε την απογοήτευση, να αφαιρέσουμε το φόβο και το άγχος ή να κάνουμε τη μαθηματική δραστηριότητα συνεχώς εύκολη και διασκεδαστική. Περισσότερο είναι να αναπτύξουμε το μετα- συναίσθημα, όπου τα συναισθήματα για τα συναισθήματα που συνδέονται με αδιέξοδο ή δυσκολία είναι παραγωγικά για τη μάθηση και την επιτυχία. Μαθηματική οικειότητα: περιλαμβάνει βαθιά ριζωμένη συναισθηματική εμπλοκή, ευαισθησία, και οικοδόμηση μαθηματικού νοήματος και σκοπού για το μαθητή. Περιγράφει μια πιθανή ενδοψυχική σχέση μεταξύ του εαυτού και των μαθηματικών κάποιου (εσωτερικά αναπαραστώμενα) που έρχεται σε επαφή με την εσωτερική αίσθηση της αυτο- αξίας κάποιου (De Bellis, 1998).

Θεωρητικό πλαίσιο Μαθηματική ακεραιότητα: η συναισθηματική ψυχολογική στάση ενός ατόμου σε σχέση με το πότε τα μαθηματικά είναι «σωστά», πότε η λύση ενός προβλήματος είναι ικανοποιητική, πότε η κατανόηση του μαθητή επαρκεί, ή πότε το μαθηματικό επίτευγμα αξίζει το σεβασμό ή τον έπαινο. Συστατικά της μαθηματικής ακεραιότητας είναι η: ü αναγνώριση μιας ανεπάρκειας της μαθηματικής κατανόησης ή επιτυχίας, ü απόφαση για ανάληψη περαιτέρω δράσης, και ü φύση της δράσης. Μαθηματική αυτο- γνωσία: η ικανότητα (ή τη βούληση) ενός μαθητή ή ενός λύτη προβλημάτων να αναγνωρίζει την ανεπάρκεια της μαθηματικής του κατανόησης (DeBellis, 1996 DeBellis και Goldin, 1997).

Στόχος της έρευνας Να εκτιμηθεί το (εσωτερικό) συναίσθημα από την (εξωτερική, παρατηρήσιμη) συμπεριφορά. Ερευνητική υπόθεση Το συναίσθημα είναι ουσιαστικά αναπαραστατικό, παρά ένα σύστημα ως επί το πλείστον ακούσιων, φυσιολογικών παρενεργειών της γνώσης.

Μεθοδολογία Δείγμα: Από 22 παιδιά ηλικίας 9 έως 10 χρονών σε 4 δημόσια σχολεία του New Jersey που ξεκίνησαν τη μελέτη, 19 την ολοκλήρωσαν. Τέσσερα υποκείμενα, που διαφέρουν στα παρατηρήσιμα επίπεδα του συναισθήματός τους, επελέγησαν για μια εκτενή και σε βάθος συναισθηματική ανάλυση. Μέσα συλλογής δεδομένων: μαγνητοσκοπημένες κλινικές συνεντεύξεις βασισμένες σε εργασίες (περιλαμβάνουν τουλάχιστον μια μη συνηθισμένη), παραγωγές των παιδιών, σημειώσεις του δασκάλου των μαθηματικών και του παρατηρητή.

Πηγές δεδομένων Ø γενικές πληροφορίες για το κάθε παιδί Ø πλήρη, λεπτομερή αντίγραφα συνεντεύξεων (ομιλία, αλλαγές τόνου φωνής, χρονομετρημένες παύσεις, περιγραφές εκφράσεων του προσώπου, κινήσεις χεριών και σώματος, στάση σώματος, σχηματικές αναπαραστάσεις αυθεντικών διαγραμμάτων που σχεδιάστηκαν ή άλλες εξωτερικές αναπαραστάσεις που παρήχθησαν) Ø πινακοποίηση των συναισθηματικών λεκτικών εκφράσεων Ø πινακοποίηση περιπτώσεων συναισθήματος που αλληλεπιδρά με τον εκτελεστικό έλεγχο Ø γενικές εντυπώσεις για το συναίσθημα του παιδιού από μεμονωμένους εκπαιδευτικούς των μαθηματικών, οι οποίοι ανεξάρτητα βλέπουν τις βιντεοκασέτες

Πηγές δεδομένων Ø γνωστική ανάλυση με έμφαση στις συναισθηματικές αλληλεπιδράσεις σε ένα μη συνηθισμένο πρόβλημα Ø αποτελέσματα από ένα ανεξάρτητα αναπτυγμένο σχήμα συναισθηματικής κωδικοποίησης για τις εκφράσεις του προσώπου - Maximally Discriminative Facial Movement Coding System (MAX) (Izard, 1983) Ø αναγνωρισμένα στοιχεία του μετα- συναισθήματος Ø αναγνωρισμένα στοιχεία σχετικά με τη μαθηματική ακεραιότητα Ø συμπεράσματα που επιτρέπουν την περιγραφή των συναισθηματικών μονοπατιών Οι μέθοδοι έχουν σοβαρούς επιστημονικούς περιορισμούς και θα πρέπει να θεωρηθούν ως καθαρά διερευνητικές.

Ένα παράδειγμα που σχετίζεται με το μετα- συναίσθημα Χαρακτηριστικό του μετα- συναισθήματος είναι ότι επιτρέπει στο λύτη να βιώσει ένα υποθετικό συναίσθημα για να βοηθήσει στην ενημέρωση της γνώσης. Η Londa (10 ετών) ερωτάται: «Ποιο θα ήταν ευκολότερο: να κόψεις μια τούρτα γενεθλίων σε τρία ή τέσσερα ίσα κομμάτια;» Τρία αντικείμενα από φελιζόλ είναι στο τραπέζι ένας κύκλος, ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Από τις χειρονομίες, τις εκφράσεις του προσώπου και τις κινήσεις του σώματος, συνάγεται ότι η Londa φαντάζεται πώς θα ήταν να κόψει τον κύκλο σε τρίτα, μια διαδικασία που περιλαμβάνει να αφήσει τον εαυτό της να νιώσει δυσφορία για να κωδικοποιήσει πόσο δύσκολο θα ήταν να αποφασίσει πού να κόψει. Επιτρέπει στον εαυτό της να νιώσει το συναίσθημα, σε ένα υποθετικό πλαίσιο.

Ένα παράδειγμα σχετικά με τη μαθηματική ακεραιότητα Ο εκπαιδευτικός των μαθηματικών τοποθετεί τρεις κάρτες μπροστά από την Jacqueline (9 ετών) και, σε αργή διαδοχή, κάνει τις ακόλουθες ερωτήσεις: «Τι νομίζεις ότι θα είναι στην επόμενη κάρτα; Γιατί; Μπορείς να μου δείξεις τι εννοείς; Νομίζεις ότι αυτό το μοτίβο συνεχίζεται; Πώς θα καταλάβαινες τι θα έχει η 10η κάρτα;» Αφού μια ολοκληρωμένη, συνεκτική απάντηση έχει εκμαιευθεί, ζητείται από το παιδί να βρει πόσες κουκίδες θα υπάρχουν στην 50η κάρτα. Η Jacqueline αναγνωρίζει την ανεπάρκεια στην κατανόηση, κάνει μια αλλαγή, προτείνει μια νέα στρατηγική, και προσπαθεί να τη χρησιμοποιήσει, σε ένα σύνολο από 10 διαφορετικές φορές - εμφανίζοντας υψηλή επιμονή.

Ένα παράδειγμα σχετικά με τη μαθηματική οικειότητα Δύο γυάλινα βάζα, ένα με 100 πράσινα και ένα με 100 πορτοκαλί φασόλια ζελεδάκια τοποθετήθηκαν πάνω στο τραπέζι. Ο δάσκαλος των μαθηματικών ρωτά τον Jerome (10 ετών): «Υπόθεσε ότι παίρνεις 10 πράσινα φασόλια από το πράσινο βάζο και τα βάζεις στο πορτοκαλί βάζο και τα ανακατεύεις. Στη συνέχεια, υπόθεσε ότι παίρνεις 10 φασόλια από το μείγμα και τα βάζεις πίσω στο πράσινο βάζο. Ποια βάζο θα είχε περισσότερα από τα φασόλια άλλου χρώματος;» Οι συμπεριφορές του Jerome, υποδηλώνουν στενή εμπλοκή, όταν υψώνει τη φωνή, αναπνέει βαθιά, χτενίζει με το χέρι του τα μαλλιά του, σηκώνει τους ώμους, κάνει εκφράσεις του προσώπου και σιωπηλές παύσεις. Κάθεται πίσω στην καρέκλα του σαν να αποστασιοποιείται όταν το αποτέλεσμα έρχεται σε αντίθεση με τις προσδοκίες του - μια προστατευτική κίνηση, που υποδηλώνει συναισθήματα ευαισθησίας.

Απευθυνόμενοι στο συναίσθημα: Παραγωγικό όφελος από την επίλυση καινοτόμων μαθηματικών προβλημάτων Aldous, C. R. (2006) Στόχος Να αναδειχθούν τα γνωστικά και μη γνωστικά συστήματα αιτιολόγησης που χρησιμοποιούνται στην επίλυση καινοτόμων προβλημάτων καθώς επίσης και η αναζήτηση τρόπων με τους οποίους οι μαθητές υποβοηθούνται εποικοδομητικά προς την κατεύθυνση αυτή.

Αποσαφηνίζοντας: Το συναίσθημα και η διαίσθηση με την ενδοσκοπική έννοια του όρου έπαιξαν σπουδαίο ρόλο στο μαθηματικό συλλογισμό. Συναίσθημα: μια μορφή επεξεργασίας πληροφοριών που σηματοδοτεί το σχηματισμό μιας νέας συνεκτικής δομής, η οποία στερείται όμως λογικής αξιολόγησης (Ghiselin, 1963, όπ. αναφ. στο Aldous, 2006) Ωστόσο πέρα από τη διαπίστωση της παρουσίας αυτής της συναισθηματικής γνώσης μεγάλη σημασία έχει και η εξακρίβωση της σχέσης που έχουν τέτοια συναισθήματα με την επιτυχή επίλυση καινοτόμων προβλημάτων.

Μέθοδος ανάλυσης Για την έρευνα χρησιμοποιήθηκε ένα δομικό μοντέλο επίλυσης καινοτόμων προβλημάτων βασισμένο σε ένα σύνολο μεταβλητών και στα δομικά τους στοιχεία, τα οποία υιοθετήθηκαν από παλαιότερα πρότυπα: ü Προϋπάρχοντα προσωπικά στοιχεία (φύλλο, ηλικία, τύπος σχολείου) ü Προσωπικές ικανότητες (2 και 3 διαστάσεων χωρική ικανότητα) ü Επιμονή και κίνητρο (συμμετοχή σε μαθηματικά παιχνίδια και εγγενή κίνητρα) ü Ευκαιρίες μάθησης (συμμετοχή και προηγούμενη εμπειρία επίλυσης καινοτόμων προβλημάτων) ü Επίτευξη αποτελέσματος (επιδόσεις σε 2 καινοτόμα μαθηματικά προβλήματα) ü Προσεγγίσεις για συλλογισμό (γνωστικά και μη γνωστικά συστήματα αξιολόγησης- συναίσθημα και διαίσθηση)

Συλλογή δεδομένων Η συλλογή δεδομένων έγινε από 405 μαθητές Γυμνασίου που συμμετείχαν στο Μαθηματικό Διαγωνισμό για Νέους Αυστραλούς, οι οποίοι κλήθηκαν απαντήσουν σε ένα Ερωτηματολόγιο Συστημάτων Συλλογισμού (SRQ) (Aldous, 2001, όπ. αναφ. στο Aldous, 2006), αφού πρώτα έλυσαν κάποια από τα προβλήματα του Διαγωνισμού. Μέσα από τη διαδικασία αναδείχθηκαν οι συλλογιστικές πορείες που ακολούθησαν οι μαθητές για την επίλυση των συγκεκριμένων προβλημάτων και ακολούθως οι δεξιότητες που χρειάζονταν για την αντιμετώπιση του κάθε προβλήματος.

Αποτελέσματα Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της έρευνας: v προσωπικές ικανότητες: Όσο μεγαλύτερη ηλικία έχουν τα παιδιά τόσο καλύτερα ανταποκρίνονται σε δοκιμασίες που αφορούν τη χωρική τους αντίληψη. Ακόμη τα αγόρια φαίνεται να έχουν καλύτερες επιδόσεις στον τομέα αυτό από τα κορίτσια. v επιμονή και κίνητρο: Τα παιδιά που παίζουν πιο συχνά μαθηματικά παιχνίδια και τα απολαμβάνουν περισσότερο έχουν μεγαλύτερο κίνητρο στην περίπτωση των καινοτόμων προβλημάτων. v ευκαιρίες μάθησης: Η ηλικία συνδέεται άμεσα με την εμπειρία. Όσο μεγαλύτερη η ηλικία των παιδιών τόσο μεγαλύτερη η εμπειρία τους. v προσεγγίσεις για συλλογισμό: Στο κάθε πρόβλημα χρησιμοποιείται άλλη λογική προσέγγιση. v επίτευξη αποτελέσματος: Αναδεικνύεται η σημασία της διαίσθησης και της εξοικείωσης στην επίλυση καινοτόμων μαθηματικών προβλημάτων.

Αποφάσεις ελέγχου και προσωπικές πεποιθήσεις: η επίδρασή τους στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων Lerch, C. M. (2004) Στόχος και ερευνητικά ερωτήματα: Η εξέταση του τρόπου που οι προσωπικές αντιλήψεις των φοιτητών καθορίζουν τις αποφάσεις ελέγχου όταν ασχολούνται με συνήθη ή μη συνήθη προβλήματα. (1) Πώς οι φοιτητές παίρνουν αποφάσεις ελέγχου όταν «κάνουν» μαθηματικά; (2) Πώς οι προσωπικές πεποιθήσεις των φοιτητών καθοδηγούν το έργο τους σχετικά με συνήθη και μη συνήθη προβλήματα;

Υποστηρικτική βιβλιογραφία: Προγενέστερες μελέτες και βιβλιογραφικές αναφορές παρουσιάζουν ότι τα περισσότερα μοντέλα γνωστικής διαδικασίας στηρίζονται σε τέσσερα βασικά βήματα: σχέδιο, πράξη, αναθεώρηση, παρούσα κατάσταση. Ο Polya πρότεινε ένα μοντέλο σύμφωνα με το οποίο οι εκπαιδευόμενοι αναπτύσσουν σταδιακά στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων με την καθοδήγηση αρχικά του εκπαιδευτή. Ο Schoenfeld φαίνεται να θεωρεί το παραπάνω μοντέλο ελλιπές και εισάγει τη συναισθηματική απόκριση των εκπαιδευόμενων, η οποία, όπως υποστηρίζει, συνδέεται άμεσα με την επιτυχία ή την αποτυχία τους κατά την εξάσκηση των δεξιοτήτων επίλυσης προβλήματος.

Μεθοδολογία: Έρευνα δράσης και έρευνα στην τάξη. Συμμετέχοντες: Αρχικά 44 φοιτητές του χειμερινού εξαμήνου (1999) εγγεγραμμένοι στο μάθημα Άλγεβρα 1, από διαφορετικά τμήματα του πανεπιστημίου, με μέσο όρο ηλικίας τα 23 έτη. Στο επόμενο εξάμηνο συνέχισαν εθελοντικά 4 φοιτητές. Πηγές δεδομένων: 1)Στοχαστική γραφή 2)Εικονογραφήματα 3)Περιγραφή μοντέλων γραφής 4)Πρωτόκολλα των 4 φοιτητών (που συνέχισαν) 5)Συνεντεύξεις των 4 φοιτητών, σημειώσεις και παρατηρήσεις της ερευνήτριας

Οργάνωση δεδομένων: Τα δεδομένα οργανώθηκαν γύρω από 4 κατηγορίες γνώσης που υποστηρίζουν γενικά την επίλυση προβλήματος (Schoenfeld, 1985, όπ. αναφ. στο Lerch, 2004). Ø 1 η κατηγορία γνώσης- πόροι: μαθηματικές έννοιες, αλγόριθμοι και διαδικασίες διαθέσιμες στο λύτη. Ø 2η κατηγορία γνώσης- στρατηγικές: διάφορες τεχνικές επίλυσης προβλήματος, που χρησιμοποιούνται για τη λύση. Ø 3η κατηγορία γνώσης- έλεγχος: που περιλαμβάνει τις ατομικές αποφάσεις κατά την επίλυση προβλήματος. Ø 4η κατηγορία γνώσης- σύστημα πεποιθήσεων : προσωπικό για κάθε άτομο, που επιδρά στον τρόπο προσέγγισης και στην επιμονή για εξεύρεση λύσης.

ΕΥΡΗΜΑΤΑ (I) ü Οι φοιτητές ήταν σε θέση να χρησιμοποιούν στρατηγικό μοντέλο μαθηματικής διαδικασίας κατά την ενασχόλησή τους με συνήθη προβλήματα, πράγμα που δεν συνέβαινε όταν επρόκειτο για μη συνήθη προβλήματα. ü Κανένας από τους φοιτητές δεν παρουσίασε τα είδη των αποφάσεων ελέγχου (Ο έλεγχος κατά τον Schoenfeld περιλαμβάνει συνολικές αποφάσεις σχετικά με την επιλογή πηγών, την εφαρμογή στρατηγικών, την καταγραφή και αξιολόγηση, την λήψη αποφάσεων και συνειδητές μεταγνωστικές πράξεις). Τα δεδομένα της παρούσας έρευνας έδειξαν ότι η διαδικασία αποφάσεων ελέγχου υφίσταται μόνο όταν ο λύτης γνωρίζει ότι διαθέτει εναλλακτικές πηγές και στρατηγικές επίλυσης να χρησιμοποιήσει. ü Οι 3 από τους 4 φοιτητές που συμμετείχαν περιέγραψαν ότι η ενασχόλησή τους με τα δημιουργικά μαθηματικά τους έκανε να νιώσουν άβολα. ü Παρόλο που οι φοιτητές γνωρίζονταν δεν συζήτησαν τα προβλήματα μεταξύ τους.

ΕΥΡΗΜΑΤΑ (ΙΙ) ü ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΩΝ Από την έρευνα φάνηκε να επιβεβαιώνονται τα παρακάτω ευρήματα προηγούμενων ερευνητικών εργασιών: v Πεποίθηση: Τα επίσημα μαθηματικά συνδέονται ελάχιστα ως καθόλου με τον πραγματικό τρόπο σκέψης και την επίλυση προβλημάτων. Επακόλουθο: Σε ένα πρόβλημα που απαιτεί ανακαλυπτική διαδικασία τα επίσημα μαθηματικά δεν βρίσκουν εφαρμογή. v Πεποίθηση: Τα μαθηματικά προβλήματα είτε λύνονται σε 10, είτε δε λύνονται καθόλου. Επακόλουθο: Παραίτηση από το πρόβλημα σε περίπτωση που δεν μπορεί να λυθεί γρήγορα. v Πεποίθηση: Μόνο οι ιδιοφυείς είναι πραγματικά ικανοί να ανακαλύπτουν και να δημιουργούν μαθηματικά. Επακόλουθο: Από τη στιγμή που ο λύτης δεν αντιλαμβάνεται τον εαυτό του ως ιδιοφυία δεν είναι ικανός να αναπτύξει μαθηματικά σενάρια και λύσεις.

Πολλοί φοιτητές εξέφρασαν τις μαθηματικές πεποιθήσεις τους μέσω των εικονογραφημάτων (σχέδια- σκίτσα με δύο ή περισσότερες εικόνες που παρουσιάζουν την εξέλιξη μιας διαδικασίας ή μιας ιστορίας) και των αυτοβιογραφιών τους, δείχνοντας ότι ένιωθαν ανίκανοι να φτάσουν στη λύση των προβλημάτων.

Προτιμήσεις επίλυσης προβλημάτων των καθηγητών Μαθηματικών: Εστιάζοντας στη συμμετρία Leikin, R. (2003) ΣΤΟΧΟΙ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Παράγοντες που επηρεάζουν τις προτιμήσεις των δασκάλων, για ένα συγκεκριμένο τρόπο επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος. Ανάπτυξη και αλλαγές στις προτιμήσεις των εκπαιδευτικών για την επίλυση προβλημάτων 1. Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν τις προτιμήσεις επίλυσης προβλημάτων των εκπαιδευτικών; 2. Πώς η σχεδιασμένη δραστηριότητα αλλάζει τις προτιμήσεις των εκπαιδευτικών για την επίλυση προβλημάτων;

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ (Ι) Η τρέχουσα μελέτη προέρχεται από την υπόθεση ότι, αν οι εκπαιδευτικοί πρέπει να είναι σε θέση να προωθήσουν ουσιαστική δραστηριότητα επίλυσης προβλημάτων, θα πρέπει οι ίδιοι να είναι ικανοί για μαθηματική επίλυση προβλημάτων. Αυτή η εμπειρία επίλυσης προβλημάτων φαίνεται να να συνδέεται έντονα με τη γνώση του περιεχομένου των εκπαιδευτικών (Polya, 1963 Silver & Marshall, 1990 Yerushalmy, Chazan, & Gordon, 1990). Ένα από τα πολύτιμα συστατικά αυτής της γνώσης, η οποία είναι συνδεδεμένη με την τεχνογνωσία επίλυσης προβλημάτων, είναι η επίλυση των προβλημάτων με διαφορετικούς τρόπους.

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ (ΙΙ) Επίσης πολλοί μαθηματικοί και εκπαιδευτικοί των μαθηματικών τονίζουν το σημαντικό ρόλο που η συμμετρία έχει στην επίλυση των προβλημάτων σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών (Dreyfus & Eisenberg, 1990 Polya, 1973 Polya, 1981 Schoenfeld, 1985 Yaglom, 1962 Weyl, 1952).

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Προηγήθηκε μια πιλοτική μελέτη, ενώ η κύρια μελέτη διεξήχθη σε δύο στάδια: 1 ο : Εντοπίστηκαν τα κύρια χαρακτηριστικά των διαφορετικών στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων, όπως γίνονται αντιληπτά από τους καθηγητές και 2 ο : Κατασκευάστηκαν ερευνητικά εργαλεία και χρησιμοποιήθηκαν για να αναζητήσουν στοιχεία για να απαντηθούν τα δύο ερευνητικά ερωτήματα.

ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ - ΠΗΓΕΣ Πιλοτική μελέτη: περίπου 40 καθηγητές μαθηματικών λυκείου και γυμνασίου. 1 η Φάση: 100 έμπειροι καθηγητές λυκείου. 2 η Φάση: 33 έμπειροι καθηγητές μαθηματικών λυκείου Τα ερευνητικά δεδομένα συλλέχθηκαν από διάφορες πηγές: ερευνητικά ερωτηματολόγια, βιντεοσκοπήσεις ανταλλαγής απόψεων σε ζεύγη εργασίας και ομαδικής συζήτησης, και κάποια άλλα συμπληρωματικά στοιχεία.

Η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Οι εκπαιδευτικοί έλαβαν μέρος σε μια ειδική μαθηματική δραστηριότητα «Επίλυση προβλημάτων με δύο διαφορετικούς τρόπους». Η δραστηριότητα αυτή βασίζεται: στη μέθοδο εκμάθησης «Ανταλλαγής της γνώσης σε ζεύγη» στη χρήση επεξεργασμένων παραδειγμάτων, η οποία διευκολύνει την απόκτηση γνώσεων που απαιτούνται για την επίλυση προβλημάτων στα μαθηματικά και την επιστήμη.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η ερμηνεία του συναισθήματος είναι πολύ δύσκολη. Η εμφάνιση σαφώς καθορισμένων μονοπατιών του τοπικού συναισθήματος έχει επιπτώσεις για την ανάπτυξη των καθολικών στάσεων και πεποιθήσεων ενός ατόμου προς τα μαθηματικά και αντιστρόφως. Το συναίσθημα έχει νόημα. Πρέπει όμως να ασχοληθεί κανείς με το μετα- συναίσθημα, προκειμένου να κατανοήσει το συναίσθημα και την έννοιά του. Η σχέση μεταξύ γνωστικών και μη γνωστικών συστημάτων αιτιολόγησης στην επίλυση καινοτόμων μαθηματικών προβλημάτων επιβεβαιώνεται.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι μεταγνωστικές πτυχές της επίλυσης προβλημάτων θα έπρεπε να επεκταθούν, περιλαμβάνοντας και την αυτοεικόνα του λύτη. Αντίθετα με την κοινή αντίληψη φαίνεται ότι ο μη γνωστικός συναισθηματικός παράγοντας είναι πιο σημαντικός. Η ανάπτυξη ισχυρών συναισθηματικών και μετα- συναισθηματικών δομών, όπως εκείνες της μαθηματικής οικειότητας και της μαθηματικής ακεραιότητας, μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι τα κλειδιά που ξεκλειδώνουν τη μαθηματική δύναμη στους μαθητές.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι φοιτητές συνάντησαν περισσότερες δυσκολίες στα μη συνήθη προβλήματα και οι εκπαιδευτικοί έτειναν να εφαρμόσουν μια στερεότυπη λύση σε ένα πρόβλημα. Οι αποφάσεις που έλαβαν οι φοιτητές κατά την προσπάθεια επίλυσης βρίσκονταν σε άμεση εξάρτηση με το προσωπικό τους σύστημα πεποιθήσεων και οι εκπαιδευτικοί φάνηκε επίσης να ενεργούν σύμφωνα με τις πεποιθήσεις τους στην επίλυση των προβλημάτων. Παρά την έμφαση του αναλυτικού προγράμματος στην επίλυση προβλημάτων, οι φοιτητές δεν ήταν σε θέση να διατυπώσουν τις συνιστώσες ενός μοντέλου μαθηματικής διαδικασίας ούτε να εφαρμόσουν στρατηγικές επίλυσης.

ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ (Ι) Οι εκπαιδευτικοί έδειξαν μεγαλύτερη δεκτικότητα στη χρήση εναλλακτικής μεθόδου επίλυσης προβλημάτων (π.χ. συμμετρία), όταν ήταν εξοικειωμένοι με το είδος της εναλλακτικής διαδικασίας επίλυσης και με το μαθηματικό θέμα στο οποίο ανήκε το πρόβλημα. Επίσης επηρεάζονταν από τον τρόπο με τον οποίο χαρακτήριζαν μια στρατηγική επίλυσης προβλημάτων. Οι φοιτητές με θετικές μαθηματικές εμπειρίες εμφανίστηκαν συχνά πιο επίμονοι στις προσπάθειές τους για εύρεση ορθής λύσης.

ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ (ΙΙ) Οι παράγοντες που επηρεάζουν τις προτιμήσεις των εκπαιδευτικών στην επίλυση προβλημάτων είναι βασισμένοι στις μαθηματικές και διδακτικές εμπειρίες τους και αλληλένδετοι. Οι εκπαιδευτικοί οφείλουν να στρέψουν τους μαθητές στην αξιοποίηση των εσωτερικών τους πόρων, τους οποίους μπορούν να ανακαλύψουν μέσω του συναισθήματος με τη βαθύτερή του έννοια, όπως επισήμανε ο Poincaré.

Ευχαριστούμε πολύ!!!