ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Λογισμικά ανάλυσης Στο παρόν παράρτημα παρουσιάζονται τα λογισμικά τα οποία χρησιμοποιήθηκαν τόσο για την ανάλυση των O-C διαγραμμάτων όσο και για την κατασκευή των φωτομετρικών μοντέλων σε κάποιες περιπτώσεις. 1. Λογισμικό για την ανάλυση των O-C διαγραμμάτων Στο λογισμικό Matlab (v.7.0.4.365) χρησιμοποιήθηκαν οι παρακάτω κώδικες που κατασκευάστηκαν από τον P. Zasche (http://sirrah.troja.mff.cuni.cz/~zasche/) για την ανάλυση των O-C διαγράμματων. Το πρόγραμμα χρησιμοποιηθεί την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με στατιστικό βάρος ώστε να κατασκευάσει την καλύτερη θεωρητική καμπύλη και να την προσαρμόσει στα παρατηρησιακά δεδομένα. To στατιστικό βάρος σε κάθε χρόνο παρατήρησης είναι ανάλογο του τρόπου παρατήρησης από τον οποίο προήλθε ο χρόνος ελαχίστου. Ο κατασκευαστής του προγράμματος προτείνει στατιστικό βάρος ίσο με 1 για τα σημεία που προήλθαν από οπτικές παρατηρήσεις (v), ίσο με 5 για τα σημεία που προήλθαν από φωτογραφικές παρατηρήσεις (p), ίσο με 10 για τα σημεία που προήλθαν από φωτοηλεκτρικές παρατηρήσεις (e), και τέλος ίσο με 10 για τα σημεία που προήλθαν από ccd παρατηρήσεις (cc). Βέβαια το στατιστικό βάρος είναι προσωπική υπόθεση, και είναι στην ευχέρεια του χρήστη να αποκλείσει κάποια σημεία τα οποία τα θεωρεί τελείως λάθος, ανεξάρτητα της μεθόδου με την οποία έχουν προκύψει, θέτοντας στατιστικό βάρος ίσο με 0. Χρησιμοποιεί την μέθοδο των επαναλήψεων (iterations), δηλαδή οι τελικές παράμετροι που προκύπτουν από κάθε επανάληψη χρησιμοποιούνται στην επόμενη ως αρχικές τιμές. Α. Ο κώδικας Apsidal motion Το πρόγραμμα εμπεριέχει τις εξισώσεις της Apsidal Motion ( 4.3) και έχει ως ελεύθερες παραμέτρους τις ποσότητες : JD 0 και P, που είναι τα στοιχεία της αστρονομικής εφημερίδας του αστέρα, ω καιω το μήκος και ο ρυθμός μεταβολής του περιάστρου της τροχιάς του δευτερεύοντος αστέρα (ταχύτητα της κίνησης της γραμμής των αψίδων), και e η εκκεντρότητα της τροχιάς του δευτερεύοντος αστέρα ως προς τον πρωτεύοντα. Παρακάτω παρουσιάζεται η σειρά δημιουργίας απαραίτητων αρχείων, για την εκτέλεση του προγράμματος. 226
To αρχείο minima (.min) Αρχικά πρέπει να φτιάξουμε ένα αρχείο όπου θα περιέχει τους χρόνους ελαχίστων τους οποίους θα χρησιμοποιήσουμε με τα αντίστοιχα στατιστικά βάρη. Τέλος κάνουμε save το παραπάνω αρχείο δίνοντάς του το όνομα : Όνομα αστέρα.min (π.χ GOCyg.min). To αρχείο input (.in) Σε αυτό το αρχείο δίνουμε αρχικές παραμέτρους για τον αστέρα : JD 0, P, Ω και dω. Τέλος κάνουμε save το παραπάνω αρχείο δίνοντας του το όνομα : Όνομα dt αστέρα.in (π.χ GOCyg.in). To αρχείο (_Epoch.m) Αυτό το αρχείο είναι ένα σύνολο εντολών που κατασκευάζει το O-C διάγραμμα του αστέρα και καλεί τις τιμές των δύο παραπάνω αρχείων. Μπαίνουμε μέσα στον κώδικα, και αλλάζουμε το όνομα του αστέρα, με το όνομα του αστέρα τον οποίο θέλουμε να μελετήσουμε. Τέλος κάνουμε save το παραπάνω αρχείο δίνοντας του το όνομα: Όνομα αστέρα_εpoch.m (π.χ GOCyg_Epoch.m). To αρχείο (_onlyapsidal.m) Αυτό το αρχείο είναι ουσιαστικά το σύνολο εντολών που θα τρέξουν στο Matlab. Στις παραμέτρους εισόδου (input parameters και input Data points) το πρόγραμμα «καλεί» τα αρχεία.min και.in ώστε να πάρει τιμές για τους υπολογισμούς. Πηγαίνουμε μέσα στο πρόγραμμα και αλλάζουμε το όνομα των αρχείων.min και.in με το όνομα των αρχείων που φτιάξαμε στα δύο πρώτα βήματα. Στα τελευταία βήματα του κώδικα, στις εντολές που αναφέρονται στην εμφάνιση των O-C διαγραμμάτων, αλλάζουμε το όνομα, με το όνομα του συστήματός μας, ώστε ο τίτλος στα διαγράμματα που θα προκύψουν να είναι του συστήματός μας. 227
Β. Ο κώδικας LITE & Mass transfer Το πρόγραμμα περιέχει τις εξισώσεις του LITE ( 4.4) και τις εξισώσεις της μεταφοράς μάζας ( 4.5), περνά από τα σημεία του O-C διαγράμματος την θεωρητική καμπύλη και εξάγει τις παραμέτρους του τρίτου σώματος και της μεταφοράς μάζας. Έχει ως ελεύθερες παραμέτρους τις παρακάτω ποσότητες : JD 0 και P που είναι ο χρόνος (αρχικού) πρωτεύοντος ελαχίστου και η περίοδός του διπλού συστήματος αντίστοιχα, P 3 είναι η περίοδος του τρίτου σώματος, Τ 0 μία τιμή HJD όπου θεωρούμε ότι ξεκινάει η ημιτονοειδής καμπύλη του O-C, δηλαδή η στιγμή όπου το τρίτο σώμα περνά από το περίαστρο της τροχιάς του, Α το πλάτος του ημιτονοειδούς O-C, Ω το μήκος του περιάστρου της τροχιάς του τρίτου σώματος, e η εκκεντρότητα της τροχιάς του τρίτου σώματος και qmt o ρυθμός μεταβολής της περιόδου ανά τροχιακό κύκλο. Ο κώδικας έχει δημιουργηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε οι υπορουτίνες που καλούν είτε τις εξισώσεις του LITE είτε της μεταφοράς (απώλειας) μάζας να μπορούν να απομονωθούν. Ο χρήστης αρχικά καλείται να επιλέξει ποιες εξισώσεις θέλει να εφαρμόσει ο κώδικας στη κατασκευή της θεωρητικής καμπύλης στο O-C διάγραμμα. Δίνονται οι παρακάτω τρεις επιλογές : i) LITE only, ii) LITE + mass transfer, iii) Mass transfer only. Παρακάτω παρουσιάζεται η σειρά δημιουργίας των απαραίτητων αρχείων για την εκτέλεση του προγράμματος. To αρχείο minima (.min) Αρχικά πρέπει να φτιάξουμε ένα αρχείο όπου θα περιέχει τους χρόνους ελαχίστων τους οποίους θα χρησιμοποιήσουμε με τα αντίσοιχα στατιστικά βάρη. Τέλος κάνουμε save το παραπάνω αρχείο δίνοντας του το όνομα : Όνομα αστέρα.min (π.χ GOCyg.min). To αρχείο input (.in) Σε αυτό το αρχείο δίνουμε αρχικές παραμέτρους για το σύστημα : JD 0, P 3, Τ 0, Α, Ω, e, qmt. Τέλος κάνουμε save το παραπάνω αρχείο δίνοντας του το όνομα : Όνομα αστέρα.in (π.χ GOCyg.in). To αρχείο (.m) Αυτό το αρχείο είναι ουσιαστικά το σύνολο εντολών, που θα τρέξουν στο Matlab. Στις παραμέτρους εισόδου (input parameters και input Data points) το πρόγραμμα «καλεί» τα αρχεία.min και.in ώστε να πάρει τιμές για τους υπολογισμούς. Πηγαίνουμε μέσα στο πρόγραμμα και αλλάζουμε το όνομα των αρχείων.min και.in με το όνομα των αρχείων που φτιάξαμε στα προηγούμενα βήματα. Στα τελευταία βήματα του κώδικα, στις εντολές που αναφέρονται στην εμφάνιση των O-C διαγραμμάτων, αλλάζουμε το όνομα, με το όνομα του αστέρα μας, ώστε ο τίτλος στα διαγράμματα που θα προκύψουν να είναι του αστέρα μας. 228
C. Ο κώδικας LITE & Apsidal motion & Mass Transfer Το πρόγραμμα εμπεριέχει τις εξισώσεις της Apsidal Motion ( 4.3) του LITE ( 4.4) και τις εξισώσεις της μεταφοράς μάζας ( 4.5). και έχει ως ελεύθερες παραμέτρους τις ποσότητες : JD 0 και P, που είναι τα στοιχεία της αστρονομικής εφημερίδας του αστέρα, ω καιω το μήκος και ο ρυθμός μεταβολής του περιάστρου της τροχιάς του δευτερεύοντος αστέρα (ταχύτητα της κίνησης της γραμμής των αψίδων), e η εκκεντρότητα της τροχιάς του δευτερεύοντος αστέρα ως προς τον πρωτεύοντα, P 3 η περίοδος του τρίτου σώματος, Τ 0 μία τιμή HJD όπου θεωρούμε ότι ξεκινάει η ημιτονοειδής καμπύλη του O-C, δηλαδή η στιγμή όπου το τρίτο σώμα περνά από το περίαστρο της τροχιάς του, Α το πλάτος του ημιτονοειδούς O-C, Ω 3 το μήκος του περιάστρου της τροχιάς του τρίτου σώματος, e 3 η εκκεντρότητα της τροχιάς του τρίτου σώματος και qmt o ρυθμός μεταβολής της περιόδου ανά τροχιακό κύκλο. Ο κώδικας έχει δημιουργηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε οι υπορουτίνες που καλούν είτε τις εξισώσεις του LITE είτε της μεταφοράς (απώλειας) μάζας να μπορούν να απομονωθούν, ενώ πάντα θα χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις της Apsidal motion. Ο χρήστης αρχικά καλείται να επιλέξει ποιες εξισώσεις θέλει να εφαρμόσει ο κώδικας στη κατασκευή της θεωρητικής καμπύλης στο O-C διάγραμμα μαζί με αυτές της Apsidal motion. Δίνονται οι παρακάτω τρεις επιλογές: i) LITE only, ii) LITE + mass transfer, iii) Mass transfer only. Παρακάτω παρουσιάζεται η σειρά δημιουργίας απαραίτητων αρχείων, για την εκτέλεση του προγράμματος. To αρχείο minima (.min) Αρχικά πρέπει να φτιάξουμε ένα αρχείο όπου θα περιέχει τους χρόνους ελαχίστων τους οποίους θα χρησιμοποιήσουμε με τα αντίσοιχα στατιστικά βάρη. Τέλος κάνουμε save το παραπάνω αρχείο δίνοντας του το όνομα : Όνομα αστέρα.min (π.χ GOCyg.min). To αρχείο input (.in) Σε αυτό το αρχείο δίνουμε αρχικές παραμέτρους για το σύστημα : JD 0, P 3, Τ 0, Α, Ω 3, e 3, qmt, e, Ω και d Ω. Τέλος κάνουμε save το παραπάνω αρχείο δίνοντας του dt το όνομα : Όνομα αστέρα.in (π.χ GOCyg.in). To αρχείο (.m) Αυτό το αρχείο είναι ουσιαστικά το σύνολο εντολών, που θα τρέξουν στο Matlab. Στις παραμέτρους εισόδου (input parameters και input Data points) το πρόγραμμα «καλεί» τα αρχεία.min και.in ώστε να πάρει τιμές για τους υπολογισμούς. Πηγαίνουμε μέσα στο πρόγραμμα και αλλάζουμε το όνομα των αρχείων.min και.in με το όνομα των αρχείων που φτιάξαμε στα προηγούμενα βήματα. Στα τελευταία βήματα του κώδικα, στις εντολές που αναφέρονται στην εμφάνιση των O-C διαγραμμάτων, αλλάζουμε το όνομα, με το όνομα του αστέρα μας, ώστε ο τίτλος στα διαγράμματα που θα προκύψουν να είναι του αστέρα μας. 229
To αρχείο (_Epoch.m) Αυτό το αρχείο είναι ένα σύνολο εντολών που κατασκευάζει το O-C διάγραμμα του αστέρα και καλεί τις τιμές των δύο παραπάνω αρχείων. Μπαίνουμε μέσα στον κώδικα, και αλλάζουμε το όνομα του αστέρα, με το όνομα του αστέρα τον οποίο θέλουμε να μελετήσουμε. Τέλος κάνουμε save το παραπάνω αρχείο δίνοντας του το όνομα: Όνομα αστέρα_εpoch.m (π.χ GOCyg_Epoch.m). To αρχείο (_onlyapsidal.m) Αυτό το αρχείο είναι ουσιαστικά το σύνολο εντολών, που θα τρέξουν στο Matlab. Στις παραμέτρους εισόδου (input parameters και input Data points) το πρόγραμμα «καλεί» τα αρχεία.min και.in ώστε να πάρει τιμές για τους υπολογισμούς. Πηγαίνουμε μέσα στο πρόγραμμα και αλλάζουμε το όνομα των αρχείων.min και.in με το όνομα των αρχείων που φτιάξαμε στα δύο πρώτα βήματα. Στα τελευταία βήματα του κώδικα, στις εντολές που αναφέρονται στην εμφάνιση των O-C διαγραμμάτων, αλλάζουμε το όνομα, με το όνομα του συστήματός μας, ώστε ο τίτλος στα διαγράμματα που θα προκύψουν να είναι του συστήματός μας. 230
2. Λογισμικό για την κατασκευή του φωτομετρικού μοντέλου ενός διπλού εκλειπτικού συστήματος H ανάλυση των φωτομετρικών και φασματοσκοπικών παρατηρήσεων (ακτινικές ταχύτητες) για την κατασκευή των μοντέλων γίνεται με το λογισμικό PHOEBE 0.29d (Prša & Zwitter 2005) το οποίο χρησιμοποιεί την έκδοση του κώδικα των Wilson & Devinney (2003). Η επίσημη ιστοσελίδα του προγράμματος είναι η : http://phoebe.fiz.uni-lj.si/ όπου είναι διαθέσιμες οι τρέχουσες εκδόσεις του και το εγχειρίδιο χρήσης (manual). Παρακάτω παρουσιάζονται οι παράμετροι που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα και μία σύντομη επέξηγησή τους. Λόγω απουσίας φασματοσκοπικών παρατηρήσεων σε συστήματα που αναλύθηκαν στην παρούσα εργασία, εξήχθη το φωτομετρικό μοντέλο του συστήματος. Εισαγωγή παρατηρησιακών δεδομένων και επιλογή μοντέλου Αρχικά εισάγουμε στο πρόγραμμα τα παρατηρησιακά μας δεδομένα με αρχεία τύπου.txt. Οι καμπύλες φωτός (LC) δίνονται σε μορφή Phase magnitude ή Phase - Flux πρέπει να οριστεί με ανάλογη επιλογή ποιο φωτομετρικό φίλτρο αντιπροσωπεύουν (π.χ Bessell R). Επιλέγουμε την τιμή του φαινομένου μεγέθους στην οποία το πρόγραμμα θα κανονικοποιήσει την καμπύλη φωτός, έτσι ώστε να κατασκευάσει το διάγραμμα ροής. Eν συνεχεία και με παρόμοιο τρόπο δίνονται (εάν υπάρχουν) οι ακτινικές ταχύτητες στη μορφή Phase RV. Οι επιλογές του προγράμματος για την εφαρμογή μοντέλου είναι οι εξής : General Binary (No constraints) : Ελεύθερες όλες οι παράμετροι Detached Binary : Για αποχωρισμένα συστήματα Semi - Detached Binary, primary star fills Roche Lobe : Για ημιαποχωρισμένα συστήματα όπου ο πρωτεύων αστέρας έχει γεμίσει τον λοβό Roche του Semi - Detached Binary, secondary star fills Roche Lobe : Για ημιαποχωρισμένα συστήματα όπου ο δευτερεύων αστέρας έχει γεμίσει τον λοβό Roche του Double contact Binary : Για συστήματα σε επαφή Overcontact binary of the W UMa type : Για συστήματα σε υπερ-επαφή τύπου W UMa Overcontact binary not in Thermal contact : Για συστήματα σε υπερ-επαφή που δεν βρίσκονται σε θερμική ισορροπία X-Ray Binary : Για συστήματα ακτίνων Χ Αναλόγα λοιπόν με την καμπύλη φωτός του συστήματος, ο χρήστης καλείται να επιλέξει κάποιο από τα παραπάνω μοντέλα το οποίο και θα περιγράφει καλύτερα τα δεδομένα του. Πιθανόν, η καμπύλη φωτός να επιλύεται με παραπάνω από ένα από τα μοντέλα, οπότε η λύση δεν είναι μοναδική. Οι ακτινικές ταχύτητες όμως (εάν είναι διαθέσιμες) απότελούν μία πολύ σημαντική πηγή πληροφόρησης και συνήθως δείχνουν ποιο μοντέλο πρέπει να χρησιμοποιηθεί. 231
Παράμετροι που σχετίζονται με το σύστημα ΗJD 0 PERIOD DPDT PSHIFT SMA RM ΙΝCL VGA Χρόνος πρωτεύοντος ελαχίστου Περίοδος του συστήματος Πρώτη παράγωγος της περιόδου Μετατόπιση της καμπύλης σε φάση Ημιάξονας της σχετικής τροχιάς Λόγος μαζών (m 2 /m 1 ) των αστέρων Γωνία μεταξύ του τροχιακού επιπέδου του συστήματος και της οπτικής ευθείας Σχετική ταχύτητα του κέντρο μάζας Παράμετροι που σχετίζονται με τους αστέρες του σύστηματος ΤΑVH Θερμοκρασία του πρωτεύοντος αστέρα TAVC Θερμοκρασία του δευτερεύοντος αστέρα PHSV Δυναμικό επιφανείας του πρωτεύοντος αστέρα PCSV Δυναμικό επιφανείας του δευτερεύοντος αστέρα Επιτάχυνση της βαρύτητας του πρωτεύοντος LOGG 1 αστέρα Επιτάχυνση της βαρύτητας του δευτερεύοντος LOGG 2 αστέρα MET 1 MET 2 Μεταλλικότητα του πρωτεύοντος αστέρα Μεταλλικότητα του δευτερεύοντος αστέρα Τροχιακές παράμετροι Ε PERR0 DPERDT F 1 F 2 Σχετική εκκεντρότητα του δευτερεύοντος αστέρα Γωνία του περιάστρου της σχετικής τροχιάς Πρώτη παράγωγος της γωνία του περιάστρου της σχετικής τροχιάς Σύγχρονη κίνηση του πρωτεύοντος αστέρα Σύγχρονη κίνηση του δευτερεύοντος αστέρα Παράμετροι φωνειτότητας των αστέρων Primary level / Filter Secondary level / Filter 3 rd light level / Filter Eclipse proximity effects Φωτεινότητα του πρωτεύοντος αστέρα / φίλτρο Φωτεινότητα του δευτερεύοντος αστέρα / φίλτρο Συνεισφορά της φωτεινότητας του τρίτου σώματος είτε σε ποσοστό επί ολικής φωτεινότητας είτε στην ροή Φαινόμενα ασυμμετρίας στις εκλείψεις, είτε για τον πρωτεύοντα είτε για τον δευτερεύοντα αστέρα 232
Παράμετροι φαινομένου αμαύρωσης χείλους Εξίσωση υπολογισμού του φαινομένου Limb darkening Law (Συνημίτονο, λογάριθμος, τετραγωνική ρίζα) Bolometric coefficients Συντελεστές βολομετρικού μεγέθους LC Monochromatic Limb Συντελεστές του φαινομένου αμαύρωσης darkening coefficients / χείλους / φίλτρο στις καμπύλες φωτός filter * RV Monochromatic Limb Συντελεστές του φαινομένου αμαύρωσης darkening coefficients / χείλους / φίλτρο στις καμπύλες ακτινικών filter * ταχυτήτων *Λαμβάνονται από τους πίνακες του van Hamme (1993) Παράμετροι της επιφανείας των αστέρων ALB 1 ALB 2 GR 1 GR 2 Spots on primary star Spots on secondary star Λευκαύγεια του πρωτεύοντος αστέρα Λευκαύγεια του δευτερεύοντος αστέρα Φαινόμενο αμαύρωσης λόγω βαρύτητας του πρωτεύοντος αστέρα Φαινόμενο αμαύρωσης λόγω βαρύτητας του δευτερεύοντος αστέρα Αριθμός κηλίδων στον πρωτεύοντα αστέρα με παραμέτρους το αστρογραφικό τους πλάτος και μήκος, την θερμοκρασία τους και την ακτίνα τους Αριθμός κηλίδων στον δευτερεύοντα αστέρα με παραμέτρους το αστρογραφικό τους πλάτος και μήκος, την θερμοκρασία τους και την ακτίνα τους Το πρόγαμμα χρησιμοποιεί την μέθοδο των διαφορικών διορθώσεων κάθε φορά που συγκλίνει σε νέες παραμέτρους, ενώ ο χρήστης μπορεί να χρησιμοποιήσει και την μέθοδο των υποσυνόλων, δηλαδή την χρήση συνόλου παραμέτρων (multiple subsets που θα αφήνονται ελεύθερες σε κάθε επανάληψη. Σε κάθε μια από τις παραπάνω παραμέτρους υπάρχει σχετική επιλογή (adjust) για το αν ο χρήστης επιθυμεί να την συμπεριλάβει στους υπολογισμούς είτε να παραμείνει ως έχει, αλλά και το βήμα της αλλαγής της εκάστοτε τιμής της (step). Από την βιβλιογραφία χρησιμοποιούμε κάποιες αρχικές τιμές σε όλες τις παραπάνω παραμέτρους (ανάλογα με το μοντέλο που χρησιμοποιούμε) και έτσι το πρόγραμμα με κατάλληλες επιλογές των παραμέτρων που θα χρησιμοποιηθούν στις επαναλήψεις προκειμένου να κατασκευαστεί νέα θεωρητική καμπύλη συγκλίνει σε νέα λύση. Από το άθροισμα των τετραγώνων των υπολοίπων (x 2 ) αλλά και από την προσαρμογή της θεωρητικής καμπύλης στα παρατηρησιακά δεδομένα ανά φίλτρο, ο χρήστης μπορεί να κρίνει αν θα συνεχίσει προκειμένου να βρει νέα λύση. 233