ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ 11.1 Εισαγωγή 11.2 Χαρακτηρισμοί και Ιδιότητες 11.3 Τετραγωνικός Αλγόριθμος Αναγνώρισης 11.4 Γραμμικός Αλγόριθμος Αναγνώρισης Προαπαιτούμενη Γνώση Πολύ καλή γνώση των εννοιών και των θεμάτων του Κεφαλαίου 1 που αφορούν τα γραφήματα τομής και τα τέλεια γραφήματα, και πολύ καλή κατανόηση των ιδιοτήτων των τριγωνικών γραφημάτων του Κεφαλαίου 9. Η πολύ καλή γνώση δομών δεδομένων και προχωρημένων αλγοριθμικών τεχνικών είναι προαπαιτούμενη για την κατανόηση των θεμάτων του κεφαλαίου.

332 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων 11.1 Εισαγωγή Το 1957 ο G. Hajös διατύπωσε το εξής πρόβλημα: Έστω ένα πεπερασμένο σύνολο διαστημάτων επάνω σε μία ευθεία γραμμή και έστω ένα γράφημα που κατασκευάζεται με τον εξής τρόπο: κάθε διάστημα του συνόλου αντιστοιχεί σε έναν κόμβο του γραφήματος και δύο κόμβοι συνδέονται με ακμή, εάν-ν τα αντίστοιχα διαστήματα επικαλύπτονται. Για ένα δεδομένο γράφημα, το ερώτημα είναι κατά πόσο το είναι ισόμορφο με ένα από τα γραφήματα που κατασκευάζονται με τον προηγούμενο τρόπο. Ανεξάρτητα από τον Hajös, ο γνωστός μοριακός βιολόγος Seymour Benzer, το 1959 κατά τη διάρκεια της ανακάλυψης της δομής του γονιδίου, έθεσε το εξής ερώτημα: Ήταν γνωστό ότι ένα χρωμόσωμα (chromosome) δομείται σε μία γραμμική διάταξη από κληρονομικά στοιχεία, τα γνωστά μας γονίδια (genes), τα οποία αποτελούνται από υποστοιχεία που έχουν τη δική τους εσωτερική δομή. Στο επίπεδο της έρευνας του Benzer, τέθηκε πάλι το ίδιο ερώτημα για τα γονίδια: συνδέονται τα υποστοιχεία εντός του γονιδίου με τρόπο που να δομούνται σε μία γραμμική διάταξη ανάλογη με αυτή των γονιδίων στο χρωμόσωμα; Η προσέγγιση του ερωτήματος έγινε από την οπτική της τοπολογίας, διότι κρίθηκε ότι η απάντησή του βασίζεται στον τρόπο σύνδεσης των διαφόρων μερών της δομής του γονιδίου μεταξύ τους. Έτσι, η πειραματική μελέτη της τοπολογίας τους επικεντρώθηκε σε ποιοτικές ερωτήσεις (για παράδειγμα, δύο μέρη της δομής είναι σε επαφή ή όχι;) και όχι σε ποσοτικές (πόσο μακριά είναι αυτά μεταξύ τους;). Η λύση σε αυτό το πρόβλημα θα μπορούσε να βρεθεί μελετώντας εκείνα τα γραφήματα που αναπαριστούν επικαλυπτόμενα διαστήματα σε μία ευθεία γραμμή και επαληθεύοντας το κατά πόσο τα δεδομένα (χαρακτηριστικά δομής) των γονιδίων συμφωνούν ή όχι με τη γενετική υπόθεση της γραμμικής διάταξης. Τέτοια γραφήματα που αναπαριστούν επικαλυπτόμενα διαστήματα (intersecting intervals) σε μία ευθεία γραμμή ονομάζονται γραφήματα διαστημάτων (interval graphs). Τα γραφήματα διαστημάτων εισήχθησαν από τους. Hajös (1957) και Seymour Benzer (1959), είναι γραφήματα τομής (intersection graphs) και ανήκουν στην κλάση των τέλειων γραφημάτων. Ορισμός 11.1 Έστω ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα τάξης. Το γράφημα ονομάζεται γράφημα διαστημάτων, εάν μπορεί να ανατεθεί σε κάθε κόμβο του v i ένα διάστημα της πραγματικής ευθείας, έτσι ώστε εάν-ν n. Το σύνολο των διαστημάτων της πραγματικής ευθείας που ορίζουν το ονομάζεται αναπαράσταση διαστήματος (interval representation) του γραφήματος. Δεν έχει σημασία εάν χρησιμοποιούμε ανοιχτά ή κλειστά διαστήματα η προκύπτουσα κλάση γραφημάτων είναι η ίδια. Στο Σχήμα 11.1 δίνουμε την αναπαράσταση διαστήματος Ι ενός γραφήματος. Το γράφημα έχει τέσσερις κλίκες:, και. και το γράφημα

Γραφήματα Διαστημάτων 333 Σχήμα Η αναπαράσταση διαστήματος ενός γραφήματος. Εφαρμογή Χρονοπρογραμματισμού. Έστω μία συλλογή μαθημάτων πληροφορικής που προφέρει ένα τμήμα ενός πανεπιστημίου και έστω είναι το χρονικό διάστημα της ημέρας που διδάσκεται το μάθημα,. Θέλουμε να αναθέσουμε τα μαθήματα σε αίθουσες, ώστε να μη συμπέσουν δύο μαθήματα, την ίδια ώρα στην ίδια αίθουσα. Το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί ανάγοντας τη λύση του στο πρόβλημα του χρωματισμού των κόμβων του γραφήματος, όπου εάν-ν Κάθε χρώμα του αντιστοιχεί σε διαφορετική αίθουσα. Το είναι προφανώς ένα γράφημα διαστημάτων, καθώς αναπαρίσταται από χρονικά διαστήματα. Σημειώνουμε εδώ ότι το παράδειγμα αυτό είναι ιδιαιτέρα ενδιαφέρον, διότι υπάρχουν αποτελεσματικοί αλγόριθμοι, μάλιστα γραμμικής πολυπλοκότητας χρόνου, οι οποίοι χρωματίζουν βέλτιστα ένα γράφημα διαστημάτων. Στη συνέχεια, δίδουμε χαρακτηρισμούς και αποδεικνύουμε ιδιότητες που δείχνουν τη σχέση των γραφημάτων διαστημάτων με γραφήματα άλλων κλάσεων τέλειων γραφημάτων. 11.2 Χαρακτηρισμοί και Ιδιότητες Πρόταση 11.1 (Hajös, 1958). Ένα γράφημα διαστημάτων ικανοποιεί την τριγωνική ιδιότητα. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι το γράφημα διαστημάτων περιέχει έναν άχορδο κύκλο ( ) μήκους. Έστω είναι το διάστημα που αντιστοιχεί στον κόμβο. Για, επιλέγουμε ένα σημείο. Επειδή και δεν επικαλύπτονται, τα σημεία p i αποτελούν μία γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα ακολουθία. Επομένως, τα διαστήματα και δεν μπορούν να επικαλύπτονται, κάτι το οποίο αντιβαίνει στο ότι είναι ακμή του γραφήματος. Πρόταση 11.2 (Ghouila - Houri, 1962). Έστω ένα γράφημα διαστημάτων. Το συμπληρωματικό γράφημα του γραφήματος ικανοποιεί τη μεταβατική ιδιότητα (ή το γράφημα είναι μεταβατικό).

334 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Απόδειξη. Έστω μία αναπαράσταση διαστήματος του γραφήματος. Ορίζουμε έναν προσανατολισμό F του γραφήματος ) ως εξής: εάν-ν όπου, < σημαίνει ότι το διάστημα βρίσκεται εξ ολοκλήρου στα αριστερά του διαστήματος I y. Προφανώς, τότε, ο προσανατολισμός είναι μεταβατικός, επειδή συνεπάγεται. Επομένως, το γράφημα είναι μεταβατικό. Θεώρημα 11.1 (Gilmore Hoffman, 1964) Έστω ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα τάξης. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες. 1. Το είναι γράφημα διαστημάτων. 2. Το δεν περιέχει επαγόμενο και το συμπληρωματικό του είναι μεταβατικό. 3. Οι μεγιστικές κλίκες του μπορούν να διαταχθούν, έτσι ώστε για κάθε κόμβο V( ) οι κλίκες που περιέχουν τον κόμβο να εμφανίζονται σε διαδοχικές θέσεις στη διάταξη. Απόδειξη. (1) (2) Προκύπτει άμεσα από την Πρόταση 11.1 (το γράφημα είναι τριγωνικό) και την Πρόταση 11.2 (το γράφημα είναι μεταβατικό). (2) (3) Έστω ότι το γράφημα δεν περιέχει επαγόμενο και έστω ένας μεταβατικός προσανατολισμός του. Σχήμα Λήμμα 11.1 Έστω, δύο διακριτές μη-κενές μεγιστικές κλίκες του και έστω ( ) ένας προσανατολισμός του γραφήματος. Τότε, ισχύουν οι εξής προτάσεις. 1. Υπάρχει κατευθυνόμενη ακμή στο με το ένα άκρο στο και το άλλο στο. 2. Όλες οι κατευθυνόμενες ακμές μεταξύ και έχουν την ίδια κατεύθυνση. Απόδειξη Λήμματος 11.1: (1) Ισχύει τετριμμένα, καθώς διαφορετικά θα ίσχυε ότι είναι κλίκα στο με και, κάτι το οποίο έρχεται σε αντίφαση με τον ορισμό των και (μεγιστικές κλίκες). (2) Υποθέτουμε ότι με (βλέπε Σχήμα 11.2). Θα καταλήξουμε σε αντίφαση. Εάν, τότε θα πρέπει, το οποίο δεν μπορεί να ισχύει, επειδή το είναι κλίκα στο και, επομένως,. Άρα, οι 4 κόμβοι a, b, c και d είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Επιπρόσθετα, δεν μπορεί να ισχύει, διότι τότε το θα περιείχε επαγόμενο. Έτσι, χωρίς βλάβη της γενίκευσης, υποθέτουμε ότι και, συνεπώς,.

Γραφήματα Διαστημάτων 335 Τότε διακρίνουμε τις ακόλουθες δύο περιπτώσεις όσον αφορά στην κατεύθυνση της ακμής : (i). Τότε, από τη μεταβατικότητα της συνεπάγεται ότι. Άτοπο, διότι (ii). Σε αυτή την περίπτωση συνεπάγεται ότι. Άτοπο, διότι Και στις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε σε άτοπο, το οποίο αποδεικνύει το Λήμμα 11.1. Σχήμα Επιστρέφουμε τώρα στην απόδειξη του θεωρήματος. Ορίζουμε μία σχέση < επάνω στη συλλογή C των μεγιστικών κλικών του γραφήματος ως ακολούθως: για τις μεγιστικές κλίκες και, εάν-ν υπάρχει ακμή στο με την αρχή της στο και το τέλος της στο. Σύμφωνα με το Λήμμα 11.1, η σχέση αυτή ορίζει ένα τουρνουά (πλήρης προσανατολισμός) στο σύνολο των μεγιστικών κλικών του γραφήματος. Θα αποδείξουμε ότι είναι ένα μεταβατικό τουρνουά και, επομένως, ορίζει μία πλήρη διάταξη (complete order) στο. Υποθέτουμε ότι. Τότε, υπάρχουν ακμές και (βλέπε Σχήμα 11.3). Εάν τότε και, επομένως, και συνεπάγεται. Άρα. Εάν τότε και ανάλογα έχουμε και. Υποθέτουμε τώρα ότι οι ακμές. Το γράφημα δεν περιέχει και, επομένως,. Εφόσον F είναι μεταβατικός προσανατολισμός, έχουμε. Άρα,. Αποδείξαμε ότι είναι ένα μεταβατικό τουρνουά, και είναι μία πλήρης διάταξη (γραμμική) των μεγιστικών κλικών του. Στη συνέχεια, υποθέτουμε ότι έχει διαταχθεί γραμμικά, σύμφωνα με την προηγούμενη σχέση και ότι υπάρχουν κλίκες < < με, και. Τότε: Έχουμε καταλήξει σε αντίφαση και, ως εκ τούτου, ο αρχικός ισχυρισμός είναι αληθής. (3) (2) Για κάθε κόμβο, έστω είναι το σύνολο όλων των μεγιστικών κλικών του που περιέχουν τον κόμβο. Τα σύνολα για κάθε, είναι στοιχεία του συνόλου. Απομένει να δειχθεί ότι, εάν-ν Η πρόταση προφανώς

336 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων ισχύει, διότι δύο κόμβοι συνδέονται με ακμή, εάν-ν και οι δύο ανήκουν σε κάποια μεγιστική κλίκα. Πόρισμα 11.1 Ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα είναι γράφημα διαστημάτων, εάν-ν το είναι τριγωνικό και το συμπληρωματικό του είναι μεταβατικό γράφημα. Θεώρημα 11.2 (Fulkerson-Gross, 1965) Ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα είναι γράφημα διαστημάτων, εάν-ν πίνακας κλικών του έχει την ιδιότητα των διαδοχικών στις στήλες του. Απόδειξη. Μία διάταξη των μεγιστικών κλικών του γραφήματος αντιστοιχεί σε μία μετάθεση των γραμμών του πίνακα. Η απόδειξη προκύπτει άμεσα από την πρόταση (3) του Θεωρήματος 11.1. (α) (β) Σχήμα (α) Ένα γράφημα διαστημάτων. (β) Ο πίνακας κλικών του. Ορισμός 11.2 Μία ακολουθία κόμβων ενός μη-κατευθυνόμενου γραφήματος ονομάζεται αστεροειδής τριπλέτα (asteroidal triplet), εάν το σύνολο { } είναι ευσταθές και κάθε διαδρομή από τον πρώτο κόμβο στον τρίτο δεν περνάει από γείτονες του δεύτερου κόμβο. Στο Σχήμα 11.5 η τριπλέτα είναι αστεροειδής και στα δύο γραφήματα και. Πράγματι, το σύνολο { } είναι ευσταθές και κάθε διαδρομή από τον πρώτο κόμβο στον τρίτο δεν περνάει από γείτονα του δεύτερου κόμβου. Αντίθετα, η τριπλέτα δεν είναι αστεροειδής και στα δύο αυτά γραφήματα. Στο γράφημα, η τριπλέτα των κόμβων είναι αστεροειδής, ενώ η τριπλέτα των ίδιων κόμβων δεν είναι αστεροειδής. Σχήμα Γραφήματα και αστεροειδείς τριπλέτες.

Γραφήματα Διαστημάτων 337 Στη συνέχεια, δίδουμε ένα χαρακτηρισμό των γραφημάτων διαστημάτων, που διατυπώθηκε από τους Lekkerkerker and Boland και ο οποίος δείχνει ότι σε ένα γράφημα διαστημάτων μία διακλάδωση: 1. δεν μπορεί να επιστρέψει πίσω κάνοντας κύκλο, και 2. δεν μπορεί να επεκταθεί σε περισσότερες από δύο κατευθύνσεις. Ο χαρακτηρισμός (1) δείχνει ότι σε ένα γράφημα διαστημάτων δεν υπάρχουν άχορδοι κύκλοι μήκους μεγαλύτερου του 3, ενώ ο χαρακτηρισμός (2) δείχνει ότι οποιαδήποτε τριάδα ευσταθών κόμβων του μπορεί να διαταχθεί, έτσι ώστε κάθε διαδρομή από τον πρώτο κόμβο στον τρίτο περνάει από γείτονες του δεύτερου κόμβου. Ο χαρακτηρισμός αυτός μπορεί να διατυπωθεί ισοδύναμα ως εξής: για οποιαδήποτε τριάδα ευσταθών κόμβων του υπάρχει τριπλέτα αυτών (μία μετάθεση των κόμβων ) η οποία δεν είναι αστεροειδής, που σημαίνει ότι κάθε διαδρομή από τον κόμβο στον περνάει από γείτονες του Ο χαρακτηρισμός (2) περιγράφει ένα γνωστό νόμο του εμπορίου: κάθε μετακίνηση προϊόντος από τον παραγωγό στον καταναλωτή πρέπει να περάσει από ένα μεσάζοντα. Τα γραφήματα και του Σχήματος 11.5 δεν είναι γραφήματα διαστημάτων, διότι ικανοποιούν το χαρακτηρισμό (1) άλλα όχι τον (2). Πράγματι, και τα δύο γραφήματα είναι τριγωνικά, αλλά και στα δύο για την τριάδα κόμβων δεν υπάρχει διάταξή τους που να μην είναι αστεροειδής τριπλέτα. Αντίθετα, το γράφημα του ίδιου σχήματος είναι γράφημα διαστημάτων, διότι ικανοποιεί το χαρακτηρισμό (1), καθώς το είναι τριγωνικό, και το χαρακτηρισμό (2), καθώς για την τριάδα κόμβων υπάρχει διάταξη αυτών που δεν είναι αστεροειδής τριπλέτα. Σχήμα Παράδειγμα της απόδειξης του Θεωρήματος των Lekkerkerker and Boland. Θεώρημα 11.3 (Lekkerkerker and Boland, 1962) Έστω τάξης n. Το γράφημα είναι γράφημα διαστημάτων, εάν-ν (1) το είναι τριγωνικό, και (2) το δεν έχει αστεροειδείς τριπλέτες. ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα Απόδειξη. Έστω ότι το γράφημα είναι ένα γράφημα διαστημάτων τάξης. Τότε από το Πόρισμα 11.1 το γράφημα είναι τριγωνικό. Υποθέτουμε τώρα ότι το έχει μία αστεροειδή τριπλέτα. Θεωρούμε μία πραγματοποίηση διαστήματος του και, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι το αριστερό άκρο του διαστήματος είναι μικρότερο από τα αρι-

338 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων στερά άκρα των διαστημάτων και, και το δεξιό άκρο του διαστήματος είναι μεγαλύτερο από τα δεξιά άκρα των διαστημάτων και. Τότε υπάρχει ακολουθία από κόμβους, τέτοια ώστε για κάθε Επιπρόσθετα, για κάποια το οποίο οδηγεί σε αντίφαση, διότι υποθέσαμε ότι είναι αστεροειδής τριπλέτα (βλέπε Σχήμα 11.6). Επομένως, το γράφημα δεν έχει αστεροειδείς τριπλέτες. Η απόδειξη της αντίστροφης κατεύθυνσης αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. 11.3 Τετραγωνικός Αλγόριθμος Αναγνώρισης Στη συνέχεια παρουσιάζουμε έναν αλγόριθμο αναγνώρισης γραφημάτων διαστημάτων πολυπλοκότητας χρόνου, όπου είναι η τάξη του γραφήματος εισόδου. Ορισμός 11.3 Μία -διάταξη (layout) ενός γραφήματος είναι μία και επί συνάρτηση, όπου. Θεώρημα 11.4 Ένα γράφημα -διάταξη τέτοια ώστε: (H απόδειξη του θεωρήματος αυτού αφήνεται ως άσκηση.) είναι γράφημα διαστημάτων εάν-ν υπάρχει μία Θεώρημα 11.5 Έστω ένα συν-μεταβατικό (co-comparability) γράφημα, και έστω ένας μεταβατικός προσανατολισμός του. Εάν υπάρχει -διάταξη του, τέτοια ώστε: τότε το είναι γράφημα διαστημάτων, εάν-ν ικανοποιεί την συνθήκη (1), όπου με συμβολίζουμε τον εισερχόμενο βαθμό του στον προσανατολισμό. Απόδειξη. ) Εάν ισχύει η συνθήκη (1), τότε από το Θεώρημα 11.4 έχουμε ότι το είναι γράφημα διαστημάτων. Υποθέτοντας, εν αντιθέσει, ότι η -διάταξη ικανοποιεί τη συνθήκη (2) αλλά όχι τη συνθήκη (1), θα αποδείξουμε ότι το γράφημα περιέχει. (i) Εάν, τότε από τη μεταβατικότητα του προσανατολισμού ισχύει και, ως εκ τούτου,. (ii) Εάν και τότε (αλλιώς, και από (i) έχουμε ότι ). (1) (2) Από το (i) και τη μεταβατικότητα του προσανατολισμού προκύπτει ότι: Τώρα, υποθέστε ότι η -διάταξη ικανοποιεί τη συνθήκη (1). Έτσι, υπάρχουν (3) (4) τέτοια ώστε:

Γραφήματα Διαστημάτων 339 Από το (ii) προκύπτει ότι και από τη συνθήκη (3) προκύπτει ότι Δεδομένου ότι προκύπτει. Ισχύει και, ως εκ τούτου, υπάρχει, τέτοιο ώστε,. Επιπρόσθετα, (αλλιώς, άτοπο) και έτσι. Επομένως, έχουμε: Εάν τότε, άτοπο. Εάν τότε, άτοπο. Άρα, και επομένως οι κόμβοι επάγουν ένα στο γράφημα. Θεώρημα 11.6 Έστω ένα γράφημα με μία -διάταξη και έστω οι συναρτήσεις, τέτοιες ώστε: (5) διαφορετικά Τότε η -διάταξη ικανοποιεί τη συνθήκη (1), εάν-ν. Απόδειξη. Εάν η -διάταξη δεν ικανοποιεί τη συνθήκη (1), τότε υπάρχουν τέτοια ώστε και, αλλά. Έτσι,. Εάν υπάρχει, τέτοιο ώστε, τότε παίρνοντας μας δίνει κόμβους, τέτοιους ώστε και, αλλά το οποίο αντιβαίνει στη συνθήκη (1). Σχήμα Παράδειγμα των συναρτήσεων και, όπου =, 1. Ονομάζουμε τον αλγόριθμο αναγνώρισης γραφημάτων διαστημάτων που προτάθηκε από τους Ramalingam και Rangan το 1990 και τον περιγράφουμε τυπικά στη συνέχεια.

340 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Αλγόριθμος 11.1: Input: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα τάξης και μεγέθους. Output: ΝΑΙ, εάν το είναι γράφημα διαστημάτων, άλλως ΟΧΙ. 1. Υπολόγισε ένα μεταβατικό προσανατολισμό του γραφήματος ; 2. Υπολόγισε μία L-διάταξη του σύμφωνα με μία φθίνουσα διάταξη των βαθμών εξόδου (out-degree) των κόμβων του προσανατολισμού ; 3. Για κάθε κόμβο, υπολόγισε τις ποσότητες και ; 4. Εάν για κάθε κόμβο ισχύει, τότε επίστρεψε ΝΑΙ (το είναι γράφημα διαστημάτων), άλλως επίστρεψε ΟΧΙ. Παράδειγμα. Έστω ότι ο αλγόριθμος παίρνει για είσοδο το γράφημα του Σχήματος 11.7. Στο Βήμα 1 υπολογίζει το συμπληρωματικό γράφημα και ένα μεταβατικό προσανατολισμό του. Στο επόμενο σχήμα δείχνουμε το και ένα μεταβατικό προσανατολισμό : Παρατηρούμε ότι οι βαθμοί εξόδου των κόμβων του προσανατολισμού είναι:. Επομένως, μία -διάταξη του είναι η εξής:. Από το Σχήμα 11.7 παρατηρούμε ότι για κάθε κόμβο ισχύει και, επομένως, ο αλγόριθμος επιστρέφει ΝΑΙ και το γράφημα εισόδου είναι γράφημα διαστημάτων. Ορθότητα Αλγόριθμου Εάν το γράφημα είναι γράφημα διαστημάτων, τότε το έχει ένα μεταβατικό προσανατολισμό. Από το Θεώρημα 11.5, η -διάταξη που υπολογίσθηκε στο βήμα 2 του αλγορίθμου ικανοποιεί τη συνθήκη (1). Από το Θεώρημα 11.5 η συνθήκη ισχύει. Εάν το δεν είναι γράφημα διαστημάτων, τότε καμία -διάταξη δεν ικανοποιεί τη συνθήκη (1) και, επομένως, από το Θεώρημα 11.6 η συνθήκη δεν ισχύει. Πολυπλοκότητα Αλγόριθμου (i) Η εύρεση ενός μεταβατικού προσανατολισμού του απαιτεί χρόνο (Spinrad, 1985) ή Ο(n + logn) χρόνο (McConnel Spinrad, 1994) (δεν χρειάζεται να ελέγξουμε εάν ο προσανατολισμός είναι μεταβατικός). (ii) Η ταξινόμηση βάσει των βαθμών εξόδου των κόμβων του γραφήματος μπορεί να εκτελεσθεί σε χρόνο, όπου.

Γραφήματα Διαστημάτων 341 (iii) Ο υπολογισμός των για όλους τους κόμβους γίνεται σε Ο( χρόνο, ενώ ο υπολογισμός των σε Ο( χρόνο. Επομένως, με βάση τα προηγούμενα, εύκολα μπορούμε να αποφανθούμε ότι η πολυπλοκότητα χρόνου του αλγορίθμου είναι όπου η τάξη του γραφήματος εισόδου. Σχόλια. Μπορούμε να δημιουργήσουμε μία πραγματοποίηση (realization) ενός γραφήματος διαστημάτων χρησιμοποιώντας την -διάταξη. Αυτό απορρέει από την απόδειξη του Θεωρήματος 11.4, η οποία είναι κατασκευαστική. Από την απόδειξη συνεπάγεται ότι κάθε μεταβατικός προσανατολισμός του έχει μία -διάταξη (μία ή περισσότερες) που ικανοποιεί τη συνθήκη (1). 11.4 Γραμμικός Αλγόριθμος Αναγνώρισης Το 1998 οι Corneil, Olariu και Stewart παρουσίασαν ένα νέο αλγόριθμο αναγνώρισης γραφημάτων διαστημάτων. Ο αλγόριθμος αυτός είναι γραμμικού χρόνου, αλλά διαφέρει από τους προηγούμενους διότι δεν χρησιμοποιεί τις μεγιστικές κλίκες και τα PQ-δέντρα, αλλά βασίζεται σε μία τετραπλή σάρωση με χρήση του Lexicographic Breadth First Search (LBFS) αλγορίθμου, ο οποίος παρουσιάσθηκε από τους Rose, Tarjan και Lueker το 1976. Αντί, λοιπόν, να βασισθεί στην εύρεση μίας διαδοχικής διάταξης των μεγιστικών κλικών, ο αλγόριθμος αυτός βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των γραφημάτων διαστημάτων: Θεώρημα 11.7 Ένα γράφημα είναι γράφημα διαστημάτων, εάν-ν υπάρχει μία γραμμική διάταξη στο σύνολο των κόμβων του, τέτοια ώστε για κάθε επιλογή κόμβων με και : συνεπάγεται ότι. (6) Αποδεικνύεται ότι ο γνωστός LexBFS αλγόριθμος που χρησιμοποιείται για την αναγνώριση των τριγωνικών γραφημάτων μπορεί, μετά από κατάλληλες τροποποιήσεις και με μία τετραπλή σάρωση, να δώσει μία γραμμική διάταξη των κόμβων που ικανοποιεί τη συνθήκη (6) εάν-ν το δοθέν γράφημα είναι γράφημα διαστημάτων. Ο αλγόριθμος βασίζεται σε μία ειδική κατηγορία γραφημάτων, τα γραφήματα χωρίς αστεροειδείς τριάδες (asteroidal triple-free ή AT-free γραφήματα). Μία αστεροειδής τριάδα (asteroidal triple) είναι μία τριάδα μη γειτονικών ανά δύο κόμβων, τέτοια ώστε μεταξύ κάθε ζεύγους από αυτές να υπάρχει μία διαδρομή που να αποφεύγει τη γειτονιά του τρίτου κόμβου της τριάδας. Η σύνδεση μεταξύ των γραφημάτων διαστημάτων και των AT-free γραφημάτων φαίνεται στο εξής θεώρημα των Lekkerkerker και Boland: Θεώρημα 11.8 (Lekkerkerker και Boland, 1962). Ένα γράφημα είναι γράφημα διαστημάτων, εάν-ν είναι τριγωνικό και δεν περιέχει αστεροειδείς τριάδες. Κατά συνέπεια, ο αλγόριθμος αυτός αποτελεί τον πρώτο αλγόριθμο που εφάρμοσε τα ποικίλα αποτελέσματα των γραφημάτων χωρίς αστεροειδείς τριάδες στα γραφήματα διαστημάτων.

342 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Ακολούθως, παραθέτουμε κάποιους χρήσιμους ορισμούς για την παρουσίαση και την απόδειξη της ορθότητας του αλγορίθμου των Corneil, Olariu και Stewart. Κάθε διαδρομή που ενώνει δύο κόμβους και θα αναφέρεται ως -διαδρομή. Ένας κόμβος βλέπει μία διαδρομή, εάν είναι γειτονικός σε τουλάχιστον έναν κόμβο στο, αλλιώς τη χάνει. Για τους κόμβους, ενός γραφήματος, το σύνολο των κόμβων που βλέπουν όλες τις u,v-διαδρομές θα συμβολίζεται με. Το ζεύγος λέγεται ότι είναι κυρίαρχο, εάν Δύο κόμβοι λέμε ότι δεν σχετίζονται ως προς έναν άλλο κόμβο, εάν και Ένας κόμβος του είναι αποδεκτός (admissible), εάν δεν υπάρχουν κόμβοι του μη σχετιζόμενοι ως προς τον. Επίσης, υπενθυμίζεται ότι ένας κόμβος καλείται Ν-πλήρης (simplicial), εάν οι γείτονες του είναι γειτονικοί ανά δύο. Μία ακμή καλείται ακμή-ομπρέλα (umbrella), εάν υπάρχει κόμβος, τέτοιος ώστε και Οι Rose, Tarjan και Lueker στην εργασία Algorithmic aspects of vertex elimination on graphs απέδειξαν ότι ένα γράφημα είναι τριγωνικό, εάν-ν η διάταξη των κόμβων του, που παράγεται από μία εφαρμογή του αλγορίθμου LexBFS (Αλγόριθμος 9.1), είναι ένα τέλειο σχήμα απαλοιφής. Επίσης, έχει αποδειχθεί ότι μία διπλή σάρωση του αλγορίθμου LexBFS μπορεί να χρησιμοποιηθεί, για να βρούμε σε γραμμικό χρόνο ένα κυρίαρχο ζεύγος κόμβων ενός συνδεδεμένου γραφήματος χωρίς αστεροειδείς τριάδες. Προκύπτει, λοιπόν, ότι μία έξυπνη τροποποίηση του αλγορίθμου LexBFS μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναγνώριση των γραφημάτων διαστημάτων. Ο γενικός αλγόριθμος LexBFS (Αλγόριθμος 9.1) επιτρέπει την αυθαίρετη επιλογή του κόμβου στο βήμα 2 (Επιλογή) μεταξύ των κόμβων με την ίδια λεξικογραφικά μεγαλύτερη επιγραφή. Το σύνολο αυτών των κόμβων με την ίδια λεξικογραφικά μεγαλύτερη επιγραφή θα αναφέρεται ως φέτα (slice) και θα συμβολίζεται με. Στη συνέχεια, περιγράφονται δύο παραλλαγές του αλγορίθμου LexBFS, στις οποίες ο κόμβος επιλέγεται αιτιοκρατικά. Και στους δύο αυτούς αλγορίθμους η επιλογή του εξαρτάται είτε από μία είτε από δύο διατάξεις των κόμβων του γραφήματος, οι οποίες έχουν προκύψει από προηγούμενες LBFS σαρώσεις. Procedure LBFS + (G, u). Για αυτή την παραλλαγή του αλγορίθμου LexBFS απαιτείται μόνον μία προηγούμενη σάρωση. Στο βήμα 2 (Επιλογή) ως επιλέγεται ο κόμβος στο που εμφανίζεται δεξιότερα στη διάταξη που προκύπτει από την προηγούμενη σάρωση. Procedure LBFS * (G, u). Αυτή η παραλλαγή του LexBFS απαιτεί δύο προηγούμενες LexBFS σαρώσεις. Από το σύνολο επιλέγουμε δύο κόμβους a και b, όπου a είναι ο κόμβος στο που εμφανίζεται δεξιότερα στη διάταξη που προκύπτει από την πρώτη σάρωση και b ο κόμβος στο που εμφανίζεται δεξιότερα στη διάταξη της δεύτερης σάρωσης. Ως θα επιλέξουμε είτε τον κόμβο a είτε τον κόμβο b. Για να κάνουμε αυτήν την επιλογή, χρησιμοποιούμε την εξής ορολογία: Λέμε ότι ένας κόμβος στο «βλέπει-δεξιά», εάν υπάρχει κόμβος y, τέτοιος ώστε ο να εμφανίζεται δεξιότερα από το και. Επιπλέον, ο κόμβος θεωρείται ότι «βλέπειδεξιά-μέσω-γείτονα», εάν δεν βλέπει-δεξιά, αλλά έχει ένα γείτονα στο που βλέπει-δεξιά. Ο αλγόριθμος LBFS * απόφασης: επιλέγει μεταξύ των κόμβων a και b βασιζόμενος στον εξής πίνακα

Γραφήματα Διαστημάτων 343 b βλέπει-δεξιά b βλέπει-δεξιάμέσω-γείτονα σε αντίθετη περίπτωση a βλέπει-δεξιά b b b a βλέπει-δεξιά-μέσω-γείτονα a b b Σε αντίθετη περίπτωση a a b Σχήμα Πίνακας απόφασης του αλγορίθμου LBFS*. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον πίνακα του Σχήματος 11.8, εάν ο κόμβος a βλέπει-δεξιά και ο κόμβος b βλέπει-δεξιά-μέσω-γείτονα, τότε επιλέγεται ο κόμβος b. Αλγόριθμος IntervalRec_Linear. Για τυχούσα LexBFS διάταξη τ και για κόμβο, ο δείκτης δεξιότερου γείτονα του στην τ ορίζεται ως η μέγιστη θέση στη διάταξη που κατέχει κάποιος κόμβος γείτονας του. Δηλαδή αρκεί να βρω τις θέσεις στη διάταξη όλων των κόμβων που είναι γειτονικοί στον κόμβο και ως παίρνω τη μεγαλύτερη τιμή θέσης μεταξύ αυτών. Συνεπώς,, μόνον εάν ο κόμβος είναι γειτονικός σε κάποιον κόμβο που εμφανίζεται δεξιότερα από αυτόν στη διάταξη. Για λόγους απλότητας, τίθεται, εάν ο κόμβος δεν είναι γειτονικός σε κανέναν από τους κόμβους που εμφανίζονται μετά από αυτόν στη διάταξη. Στη συνέχεια, θα περιγραφούν τα βήματα του αλγορίθμου αναγνώρισης των Corneil, Olariu και Stewart, τον οποίον (στο παρόν σύγγραμμα) θα ονομάσουμε. Αλγόριθμος Βήμα 1. Βήμα 2. Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο LexBFS ξεκινώντας από έναν τυχαίο κόμβο. Έστω ο τελευταίος κόμβος που επισκεφτήκαμε και σ η διάταξη των κόμβων που προκύπτει από τον LexBFS. Χρησιμοποιώντας τη διάταξη, εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο LBFS + ξεκινώντας από τον κόμβο. Έστω ο τελευταίος κόμβος που επισκεφτήκαμε και η διάταξη των κόμβων που δίνει ο LBFS +. Βήμα 3. Για κάθε κόμβο του δοθέντος γραφήματος, υπολογίζουμε το δείκτη δεξιότερου γείτονά του. Επίσης, υπολογίζουμε το σύνολο των γειτόνων του που εμφανίζονται πριν από αυτόν στη διάταξη και είναι γειτονικοί σε κάποιον κόμβο μετά τον στην (δηλαδή ο δείκτης δεξιότερου γείτονα αυτών των κόμβων στην είναι μεγαλύτερος από το ). Ας σημειωθεί ότι τα στοιχεία των συνόλων είναι συνδεδεμένα, έτσι ώστε ένα συγκεκριμένο στοιχείο να μπορεί να αφαιρεθεί από όλα τα σύνολα σε χρόνο γραμμικό στο πλήθος εμφανίσεών του. Επιπλέον, μπορούμε να διατηρούμε τους πληθαρίθμους αυτών των συνόλων και να τους τροποποιούμε κάθε φορά που αφαιρείται κάποιο στοιχείο τους.

344 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Βήμα 4. Χρησιμοποιώντας τη διάταξη, εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο LBFS + ξεκινώντας από τον κόμβο. Έστω ο τελευταίος κόμβος που επισκεφτήκαμε και η διάταξη των κόμβων που δίνει ο LBFS +. Βήμα 5. Για κάθε κόμβο v του γραφήματος, υπολογίζουμε το δείκτη δεξιότερου γείτονα του στη διάταξη και το σύνολο των γειτόνων του που εμφανίζονται πριν από αυτόν στη και είναι γειτονικοί σε κάποιον κόμβο μετά τον v στη. Τα στοιχεία είναι συνδεδεμένα και πάλι, ώστε να επιτρέπουν τη γρήγορη διαγραφή τους. Επίσης, και πάλι αποθηκεύονται οι πληθάριθμοι των συνόλων. Βήμα 6. Χρησιμοποιώντας τις διατάξεις και, εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο LBFS * ξεκινώντας από τον κόμβο y (βλέπε Βήμα 4) και έστω η διάταξη των κόμβων που δίνει ο αλγόριθμος LBFS *. Καθώς επισκεπτόμαστε κάθε κόμβο κατά την εκτέλεση του LBFS*, τo διαγράφουμε από τα σύνολα και και τροποποιούμε τους πληθαρίθμους τους. Το κόστος για τη πραγματοποίηση της διαγραφής του κόμβου v είναι γραμμικό στο βαθμό του. Στη συνέχεια, περιγράφουμε πως επιλέγεται ο κατάλληλος κόμβος στο βήμα (*) του αλγορίθμου LBFS*. Υπενθυμίζεται ότι ο LBFS* απαιτεί δύο διατάξεις των κόμβων του γραφήματος, οι οποίες έχουν προκύψει από προηγούμενες LBFS + σαρώσεις. Έστω ότι a είναι ο τελευταίος κόμβος στη διάταξη μίας φέτας και ο αντίστοιχος τελευταίος κόμβος από την στη διάταξη. (a) Εάν, επίλεξε τον κόμβο. (b) Εάν, επίλεξε τον κόμβο. (c) Εάν, επίλεξε τον κόμβο. (d) Έστω y τυχαίο στοιχείο του συνόλου. Εάν, τότε επίλεξε τον κόμβο, αλλιώς επίλεξε τον. Ας σημειωθεί ότι από τη στιγμή που αποθηκεύονται οι πληθάριθμοι, όλα τα προηγούμενα βήματα γίνονται σε χρόνο. Βήμα 7. Εάν η διάταξη δεν έχει ακμές-ομπρέλες, τότε το είναι γράφημα διαστημάτων, διαφορετικά το δεν είναι γράφημα διαστημάτων. Παράδειγμα. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένα παράδειγμα εφαρμογής του αλγορίθμου αυτού που έχει αντληθεί από την εργασία των Corneil, Olariu και Stewart του 1998 με τίτλο The ultimate interval graph recognition algorithm. Έστω το γράφημα του Σχήματος 11.9. Σχήμα Ένα γράφημα διαστημάτων τάξης.

Γραφήματα Διαστημάτων 345 Ο αλγόριθμος δίνει διαδοχικά τις ακόλουθες διατάξεις, εάν ξεκινήσει να επεξεργάζεται αρχικά τον κόμβο 6: : : : : Η τελική διάταξη δεν έχει ακμές-ομπρέλες και, άρα, το γράφημα του Σχήματος 11.9 είναι γράφημα διαστημάτων. Το προηγούμενο παράδειγμα βοηθά να αντιληφθούμε καλύτερα την απαίτηση και για τις σαρώσεις που περιγράφηκαν. Αρχικά, παρατηρούμε ότι στην τελική διάταξη, όταν θεωρούμε τη φέτα, και. Καθώς το βλέπει-δεξιά και το ούτε βλέπει-δεξιά ούτε βλέπει-δεξιά-μέσω-γείτονα, επιλέγεται το. Εάν αντί για τον αλγόριθμο LBFS * χρησιμοποιούσαμε τον αλγόριθμο LBFS +, τότε θα επιλεγόταν το b και η ακμή (9, 10) θα ήταν ακμή-ομπρέλα επάνω από τον κόμβο 6. Επίσης, αφού ο LBFS * απαιτεί μόνο δύο προηγούμενες σαρώσεις, είναι φυσικό να αναρωτηθεί κανείς εάν ένας αλγόριθμος με συνολικά τρεις (αντί για τέσσερις) σαρώσεις θα ήταν επαρκής (π.χ. LexBFS, LBFS +, LBFS * ). Το παράδειγμα, όμως, δείχνει ότι ένας τέτοιος απλούστερος αλγόριθμος θα μπορούσε να αποτύχει. Δοθείσης της ίδιας αρχικής διάταξης σ, η τρίτη σάρωση (αν και με εφαρμογή του LBFS * ) θα παρήγαγε ακριβώς τη διάταξη που είδαμε προηγουμένως, με την ακμή (8, 11) να είναι ακμή-ομπρέλα επάνω από τους κόμβους 9 και 10. Οι παρατηρήσεις αυτές υπογραμμίζουν το γεγονός ότι, για να μην περιέχει ακμές-ομπρέλες η τελική LBFS * διάταξη, ο αλγόριθμος απαιτεί και τις 4 σαρώσεις που περιγράφηκαν προηγουμένως. Στη συνέχεια θα παρουσιασθούν κάποιες σημαντικές ιδιότητες της τελευταίας ακολουθίας που δίνει ο αλγόριθμος. Αρχικά, κατευθείαν από την τελική ακολουθία μπορούμε να κατασκευάσουμε μία αναπαράσταση διαστημάτων για το δοθέν γράφημα αναπαριστώντας τον κόμβο με το διάστημα. Για παράδειγμα, η αναπαράσταση διαστημάτων του γραφήματος του Σχήματος 11.9 φαίνεται στο Σχήμα 11.10. Σχήμα Η αναπαράσταση διαστημάτων του γραφήματος του Σχήματος 11.9. Επίσης, είτε από την αναπαράσταση διαστημάτων ενός γραφήματος είτε κατευθείαν από την τελική ακολουθία, μπορούμε εύκολα να κατασκευάσουμε μία γραμμική διάταξη των διαδοχικών

346 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων μεγιστικών κλικών του. Για να κατασκευάσουμε μία τέτοια διάταξη από την αναπαράσταση διαστημάτων, σαρώνουμε τα διαστήματα από αριστερά προς τα δεξιά σταματώντας σε κάθε άκρο. Σε κάθε άκρο διαστήματος, καθορίζουμε τα διαστήματα που περιέχουν αυτό το άκρο. Το σύνολο αυτών των διαστημάτων αποτελεί κλίκα του, παρότι μπορεί να μην είναι μεγιστική. Για να βεβαιώσουμε ότι κρατάμε μόνο τις μεγιστικές κλίκες, η κλίκα που προέκυψε για κάποιο άκρο απορρίπτεται, εάν είναι υποσύνολο της κλίκας που προκύπτει στο αμέσως επόμενο άκρο κατά τη σάρωση. Για το γράφημα με την αναπαράσταση διαστημάτων του Σχήματος 11.10, το σύνολο των κλικών σε γραμμική διάταξη είναι:,. Ορθότητα Αλγόριθμου Οι αλγόριθμοι LBFS + και LBFS * επιλέγουν από μία φέτα έναν κόμβο που είναι τελευταίος μεταξύ των κόμβων της σε κάποια προηγούμενη LexBFS διάταξη. Το κίνητρο, για να γίνει αυτό, βασίζεται σε κάποια ενδιαφέροντα αποτελέσματα στα τριγωνικά γραφήματα και τα γραφήματα χωρίς αστεροειδείς τριάδες. Λήμμα 11.2 Έστω τυχαίος κόμβος ενός γραφήματος διαστημάτων και έστω το σύνολο όλων των κόμβων με για κάποια αυθαίρετη LexBFS διάταξη. Ο κόμβος είναι N-πλήρης στο υπογράφημα του που επάγεται από το. Το αντίστοιχο αποτέλεσμα για τα γραφήματα χωρίς αστεροειδείς τριάδες είναι το εξής: Λήμμα 11.3 Έστω τυχαίος κόμβος ενός γραφήματος χωρίς αστεροειδείς τριάδες και έστω το σύνολο όλων των κόμβων με για κάποια αυθαίρετη LexBFS διάταξη. Ο κόμβος είναι αποδεκτός (admissible) στο υπογράφημα του που επάγεται από το σύνολο. Συνεπώς, εάν ένα γράφημα είναι γράφημα διαστημάτων, τότε κάθε κόμβος που επιλέγεται στο βήμα Επιλογή του αλγορίθμου LBFS + ή του LBFS* έχει την ιδιότητα ότι είναι Ν-πλήρης και αποδεκτός. Τέτοιους κόμβους θα τους ονομάζουμε καλούς. Το επόμενο λήμμα συσχετίζει τους καλούς κόμβους με τη διάταξη του συνόλου κόμβων που δίνει κάποιος αλγόριθμος LexBFS. Λήμμα 11.4 Ένας κόμβος ενός γραφήματος διαστημάτων είναι καλός, εάν-ν υπάρχει κάποια LexBFS διάταξη του, τέτοια ώστε ο κόμβος να είναι τελευταίος στη διάταξη. Με τη σειρά της, μία LexBFS διάταξη θα θεωρείται καλή εάν κάθε φέτα της ξεκινά και τελειώνει με κόμβους που είναι καλοί. Οι διατάξεις, και είναι καλές ακόμα και αν η ίδια η διάταξη δεν είναι. Ο πίνακας απόφασης του αλγορίθμου LBFS* (βλέπε Σχήμα 11.8) βασίζεται στις έννοιες του κόμβου που βλέπει-δεξιά ή που βλέπει-δεξιά-μέσω-γείτονα. Ο λόγος για τον οποίο γίνεται αυτό παρατίθεται στο επόμενο λήμμα.

Γραφήματα Διαστημάτων 347 Λήμμα 11.5 Έστω μία συνεκτική συνιστώσα μίας φέτας του σε μία καλή LexBFS. Εάν ένας κόμβος βλέπει-δεξιά, τότε ο κόμβος είτε είναι ένας καλός κόμβος της είτε είναι γειτονικός σε έναν καλό κόμβο της. Το επόμενο λήμμα δείχνει πως μία φέτα σε κάποια LexBFS διάταξη συμπεριφέρεται καλά σε όλες τις LexBFS διατάξεις του γραφήματος. Λήμμα 11.6 Έστω ένα τριγωνικό γράφημα και μία φέτα κάποιας LexBFS διάταξης του. Επιπλέον, έστω μία άλλη LexBFS διάταξη του συνόλου κόμβων του Τότε η διάταξη των κόμβων της φέτας στη διάταξη αποτελεί LexBFS διάταξη του υπογραφήματος που επάγεται από τους κόμβους της. Επιστέφουμε στον αλγόριθμο και συγκεκριμένα στο 6 ο βήμα του. Για να δικαιολογήσουμε το γεγονός ότι οι περιπτώσεις (a) και (b) αντιστοιχούν στην πρώτη γραμμή και στήλη του πίνακα απόφασης, παρατηρούμε: Λήμμα 11.7 Έστω ένα γράφημα διαστημάτων και μία φέτα σε κάποια LexBFS διάταξη που δεν επάγει κλίκα. Ας θεωρήσουμε κάποια LexBFS διάταξη του και έστω ο τελευταίος κόμβος της στην. Τότε ο κόμβος βλέπει-δεξιά κάποιον κόμβο σε σχέση με τη φέτα και τη διάταξη, εάν-ν ο κόμβος είναι μετά τον στη διάταξη. Έτσι, ο κόμβος βλέπει-δεξιά, εάν-ν > (παρόμοια, ο κόμβος βλέπει-δεξιά, εάν-ν > ). Οι περιπτώσεις (c) και (d) του βήματος 6 του αλγορίθμου δικαιολογούνται από το επόμενο λήμμα. Λήμμα 11.8 Έστω ένα γράφημα διαστημάτων και μία φέτα σε κάποια LexBFS διάταξη που δεν επάγει κλίκα. Ας θεωρήσουμε κάποια LexBFS διάταξη σ του και έστω ο τελευταίος κόμβος της στην, όπου ο δεν βλέπει-δεξιά στη διάταξη. Τότε, ανάλογα με την τιμή της διαμέτρου του υπογραφήματος που επάγεται από τη φέτα, ισχύουν τα εξής: (α) : ο κόμβος x βλέπει-δεξιά-μέσω-γείτονα, εάν-ν υπάρχει κόμβος στην, τέτοιος ώστε και (b) : διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (i) εάν υπάρχει κόμβος στην, τέτοιος ώστε και τότε ο κόμβος βλέπει-δεξιά-μέσω-γείτονα στην (ii) εάν δεν υπάρχει τέτοιος κόμβος στην και ο κόμβος βλέπει-δεξιά-μέσωγείτονα, τότε όλοι οι γείτονες του που βλέπουν-δεξιά είναι γειτονικοί σε όλους τους κόμβους της. Πολυπλοκότητα Αλγόριθμου Εύκολα μπορεί να δείξει κάποιος ότι ο αλγόριθμος αναγνώρισης γραφημάτων διαστημάτων που παρουσιάσθηκε είναι γραμμικός ως προς το μέγεθος του γραφήματος εισόδου και, επομένως, η χρονική πολυπλοκότητά του είναι, όπου n είναι η τάξη και το μέγεθος του γραφήματος.

348 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων ΑΣΚΗΣΕΙΣ 11 1. Δείξτε ότι ο πίνακας κλικών (clique matrix) ενός γραφήματος διαστημάτων έχει το πολύ μη-μηδενικά στοιχεία. Ισχύει το ίδιο για τριγωνικά γραφήματα; 2. Έστω μία οικογένεια διαστημάτων στην ευθεία των πραγματικών αριθμών, και έστω είναι το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος από ανά-δύο μη-επικαλυπτόμενα (pairwise disjoint) διαστήματα στη. Δείξτε ότι υπάρχουν σημεία στην ευθεία τέτοια ώστε κάθε διάστημα της περιέχει τουλάχιστον ένα από αυτά τα σημεία. 3. Δίδεται γράφημα διαστημάτων τάξης και το αντίστοιχο μοντέλο διαστημάτων, όπου είναι το διάστημα που αντιστοιχεί στον κόμβο του,. Έστω (αντίστοιχα, ) η διάταξη των διαστημάτων του σε αύξουσα τάξη των αριστερών (αντίστοιχα, δεξιών) άκρων τους, και (αντίστοιχα, ) η αντίστοιχη διάταξη των κόμβων του, δηλαδή στην (αντίστοιχα, ) εάν-ν στην (αντίστοιχα, ). (i) Δείξτε ότι η δεν είναι πάντα τέλειο σχήμα απαλοιφής του γραφήματος. (ii) Δείξτε ότι η είναι τέλειο σχήμα απαλοιφής του γραφήματος. 4. Προτείνετε τρόπους, πως τα γραφήματα διαστημάτων και η ιδιότητα των ακολουθιακών 1, θα μπορούσαν να εφαρμοσθούν στο εξής πρόβλημα: Κάποιες ψυχοθεραπείες πρόκειται να ελεγχθούν σε παιδιά. Αναθέστε ένα εύρος ηλικίας σε κάθε θεραπεία που να αναπαριστά τη φυσική διάταξη στη διαδικασία ανάπτυξης, κατά την οποία εφαρμόζεται η θεραπεία. Ποιες θεραπείες θα ήταν κατάλληλες για μία τέτοια μελέτη; 5. Ένα γράφημα είναι ένα μοναδιαίο γράφημα κυκλικών ακμών (unit circular-arc graph) εάν υπάρχει μία αναπαράσταση κυκλικών ακμών του όπου κάθε ακμή είναι μοναδιαίου μεγέθους (η διάμετρος του κύκλου είναι μεταβλητή). Αποδείξτε ότι το επόμενο γράφημα είναι ένα κατάλληλο γράφημα κυκλικών ακμών αλλά δεν είναι μοναδιαίο γράφημα κυκλικών ακμών. (Στο παράδειγμά μας υποθέτουμε είτε ότι όλες οι ακμές είναι ανοικτές είτε ότι όλες οι ακμές είναι κλειστές.) 6. Έστω Μ ένας συμμετρικός πίνακας με τιμές (0, 1). Αποδείξτε είτε ότι ο πίνακας έχει την ιδιότητα των ακολουθιακών 1 για γραμμές και στήλες ή ότι ο πίνακας δεν έχει καμία ιδιότητα. Αποδείξτε το ίδιο αποτέλεσμα για κύκλο από 1.

Γραφήματα Διαστημάτων 349 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 11 [1] C. BERGE, Graphs and Hypergraphs, North-Holland (Mathematical Library No. 6), 1976. [2] C. BERGE, Färbung von Graphen, deren sämtliche bzw. deren ungerade Kreise starr sind, Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg Math.-Natur. Reihe 10, 114-115, 1961. [3] V.A. BOJARSHINOV, Edge and total coloring of interval graphs, Discrete Applied Mathematics 114, 23-28, 2001. [4] K.S. BOOTH AND G.S. LUEKER, Testing for the consecutive ones property, interval graphs, and graph planarity using PQ-tree algorithms, J. Computer System Science 13, 335-379, 1976. [5] K.S. BOOTH AND G.S. LUEKER, Linear algorithms to recognize interval graphs and test for the consecutive ones property, Proc. 7th ACM Symposium Theory of Computing (STOC 75), pp. 255-265, 1975. [6] A. BRANDSTADT, V.B. LE, AND J. SPINRAND, Graph Classes - A Survey, SIAM Monographs in Discrete Mathematics and Applications, SIAM, Philadelphia, 1999. [7] D.G. CORNEIL, S. OLARIU, AND L. STEWART, The ultimate interval graph recognition algorithm?, Proc. 9th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 98), pp. 175-180, 1998. [8] S. EVEN AND G. EVEN, Graph Algorithms, Cambridge University Press (2nd Edition), 2012. [9] D.R. FULKERSON AND O.A. GROSS, Incidence matrices and interval graphs, Pac. J. Math. 15, 835-855, 1965. [10] M.C. GOLUMBIC, Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs, Academic Press, New York, 1980. Second edition, Annals of Discrete Mathematics 57, 2004. [11] J.L. GROSS AND J. YELLEN. Graph Theory and Its Applications, Chapman and Hall/CRC (2nd Edition), 2005. [12] W.L. HSU, A simple test for interval graphs, Springer LNCS 657, pp. 11-16, 1992. [13] W.L. HSU AND C.H. MA, Fast and simple algorithms for recognizing chordal comparability graphs and interval graphs, Springer LNCS 557, pp. 52-60, 1991. [14] W. KOCAY AND D.L. KREHER, Graphs, Algorithms, and Optimization, Chapman and Hall/CRC, 2004. [15] C.G. LEKKERKERKER AND J.C. BOLAND, Representation of a finite graph by a set of intervals on the real line, Fund. Math. 51, 45-64, 1962. [16] G.S. LUEKER AND K.S. BOOTH, A linear time algorithm for deciding interval graph isomorphism, J. ACM 26, 183-195, 1979. [17] T.A. MCKEE AND F.R. MCMORRIS, Topics in Intersection Graph Theory, SIAM 1999. [18] M. SHAOHAN AND W.D. WALLIS, Maximal-clique partitions of interval graphs, J. Austral. Soc (Series A) 45, 227-232, 1988. [19] H.N.V. TEMPERLEY, On the mutual cancellation of cluster integrals in Mayer's fugacity series, Proc. Phys. Soc. 83, 3-16, 1964. [20] M. YANNAKAKIS, Computing the minimum fill-in is NP-complete, SIAM J. Alg. Disc. Meth 2, 1981.

350 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων