Evolutionary Equilibrium Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών v. 22.05.2012 Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 1
τι θα πούμε εξελικτικά παίγνια (evolutionary games) evolutionary stable strategy (ESS) παραδείγματα Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 2
Darwin θεωρία εξέλιξης του Δαρβίνου: μια «συμπεριφορά» επιβιώνει εάν δεν υπάρχει άλλη συμπεριφορά πιο επιτυχημένη στη δημιουργία απογόνων η επιτυχία αναπαραγωγής μιας συμπεριφοράς ενός οργανισμού μπορεί να εξαρτάται από τη συμπεριφορά άλλων οργανισμών εάν για παράδειγμα όλοι οι οργανισμοί έχουν μια επιθετική συμπεριφορά μπορεί ένα οργανισμός να ευνοείται εάν επιλέξει και αυτός μια επιθετική συμπεριφορά(ή ανάλογα με τους όρους του παιγνίου) μια πιο παθητική συμπεριφορά Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 3
ένα μοντέλο εξελικτικών παιγνίων οι παίκτεςθεωρούνται ένα δυναμικός πληθυσμός οργανισμών (άνθρωποι, ζώα, φυτά, μικροοργανισμοί, κτλ.) οι παίκτες αλληλεπιδρούν σε τυχαία ζευγάρια οι παίκτες παίζουν ένα στρατηγικό παίγνιο οι κινήσεις ενός παίκτη αντιστοιχούν στις διαφορετικές συμπεριφορές που θα μπορούσε να υιοθετήσει λόγω μεταλλάξεων (mutations) συνάρτηση απόδοσης: δίνει το μέτρο του βιολογικού fitness ή αλλιώς της επιτυχίας αναπαραγωγής (μέσος αριθμός υγιών απογόνων) Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 4
κινήσεις και αποδόσεις θεωρούμε ότι τα κέρδη των παικτών δεν προκύπτουν από προσωπικά, υποκειμενικά κριτήρια επίσης οι κινήσεις τους δεν αποτελούν συνειδητές επιλογές η απόδοση κάθε παίκτη είναι ένα μέτρο του fitness κάθε παίκτης είναι προγραμματισμένοςνα ακολουθεί μια συγκεκριμένη συμπεριφορά την οποία: είτε (με μεγάλη πιθανότητα) κληρονόμησεαπό τον πρόγονο ή τους προγόνους του είτε (με μικρή πιθανότητα) απέκτησε λόγω κάποιας μετάλλαξης Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 5
ισορροπία έστω ένας πληθυσμός και ένα εξελικτικό παίγνιο έστω δύο συμπεριφορές/στρατηγικές α και α έστω ότι στην τρέχουσα κατάσταση παίκτες της συμπεριφοράς α αναπαράγονται γρηγορότερα από παίκτες της συμπεριφοράς α αποτέλεσμα: η σύνθεση του πληθυσμού θα αλλάξει προς όφελος της συμπεριφοράς α επομένως: μια κατάσταση του παιγνίου είναι σταθερή μόνο εάν η κίνηση κάθε οργανισμού είναι η βέλτιστη απόκριση (best response) στην τρέχουσα κατάσταση συμπεραίνουμε ότι εξελικτικά σταθερές συμπεριφορές σχετίζονται με τις ισορροπίες Nash Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 6
monomorphic pure strategy equilibrium έστω πληθυσμός με οργανισμούς που συνεχώς επιλέγονται και παίζουν ανά δύο (τυχαία) θεωρούμε ότι ο πληθυσμός είναι αρκετά μεγάλος ώστε η πιθανότητα να παίξει το ίδιο ζευγάρι να είναι αμελητέα οι πιθανές συμπεριφορές είναι ίδιες για όλους τους παίκτες κάθε οργανισμός δίνει απογόνους σε τακτά χρονικά διαστήματα υποθέτουμε asexual reproduction, δηλαδή κάθε οργανισμός μόνος του δίνει απογόνους Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 7
το παίγνιο ένας πληθυσμός από ζώα του ίδιου είδους τα οποία ανταγωνίζονται για τροφή θεωρούμε ότι υπάρχει ένα σύνολο κινήσεων Α η συνάρτηση απόδοσης u(α,α ) ερμηνεύεται ως το fitnessενός οργανισμού τύπου α όταν συναντά οργανισμό τύπου α διαφορετικές συναρτήσεις απόδοσης ορίζουν διαφορετικά παίγνια ο ρυθμός αναπαραγωγής κάθε οργανισμού του πληθυσμού καθορίζεται από την απόδοση που έχει από τα παίγνια στα οποία συμμετέχει υπάρχει σύνθεση του πληθυσμού που να είναι σταθερή, με την έννοια ότι δεν μπορεί να εισβάλει άλλος οργανισμός θεωρούμε ότι σε κάθε προσπάθεια εισβολής μόνο οργανισμοί ενός τύπου προσπαθούν να εισβάλλουν επίσης εξετάζουμε αρχικά παράδειγμα στο οποίο στον πληθυσμό αρχικά όλοι οι παίκτες παίζουν την ίδια κίνηση (monomorphic pure strategy equilibria) Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 8
παράδειγμα 1 Χ Υ Χ 2,2 0,0 Υ 0,0 1,1 έστω ότι όλοι οι οργανισμοί ακολουθούν τη στρατηγική Χ ένα μικρό ποσοστό ε του πληθυσμού αλλάζει και επιλέγει τη στρατηγική Y τι θα συμβεί; μπορεί να εισβάλλει η νέα συμπεριφορά; τι ισχύει για το αντίστροφο σενάριο; Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 9
παράδειγμα 2 Χ Υ Χ 2,2 0,0 Υ 0,0 0,0 τι ισχύει για τη στρατηγική Υ; Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 10
evolutionary stable strategy συμμετρικό παίγνιο σε στρατηγική μορφή με δύο παίκτες συνάρτηση απόδοσης U(α,α ) evolutionary stable strategy α*: (α*,α*) ισορροπία Nash U(β,β)<U(α*,β) για κάθε στρατηγική β α* η οποία είναι κίνηση βέλτιστης απόκρισης ως προς α* Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 11
Asymmetric Contests Side-blotched lizards Male lizards follow one of three reproductive strategies, each associated with a distinctive coloration Image: www.richard-seaman.com orange throats: very aggressive and defend large territories blue throats:less aggressive and defend smaller territories yellow stripes on their throats: do not defend any territory, but rather depend on their similarity in coloration to females Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 12
αναλογία των φύλων ένας πληθυσμός αρσενικών και θηλυκών που ζευγαρώνουν ανά δύο για την δημιουργία απογόνων έστω ότι το φύλο κάθε απογόνου είναι αρσενικό, με πιθανότητα p θηλυκό, με πιθανότητα 1-p θα υπάρχει steady state στο οποίο ποσοστό p του πληθυσμού είναι αρσενικά και ποσοστό 1-p θηλυκά για ποιες τιμές του p είναι μια τέτοια κατάσταση σταθερή εξελικτικά; Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 13
αναλογία των φύλων εάν p 1/2 τότε αρσενικά και θηλυκά έχουν διαφορετικό πλήθος απογόνων (κατά μέσο όρο) το πλήθος των απογόνων είναι n για κάθε θηλυκό, και ((1-p)/p) n για κάθε αρσενικό έστω ότι εμφανίζεται οργανισμός που έχει αναλογία απογόνων 1/2, δηλαδή p=1/2 για λόγους απλότητας υποθέτουμε ότι το νέο χαρακτηριστικό είναι κυρίαρχο, δηλαδή εάν ένας γονέας το έχει τότε όλοι οι απόγονοι έχουν p=1/2 θεωρούμε ότι το πλήθος των απογόνων για τα θηλυκά που έχουν το χαρακτηριστικό παραμένει n Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 14
αναλογία των φύλων θα αλλάξει η σύνθεση του πληθυσμού; θα καταφέρει η νέα συμπεριφορά να εισβάλει στον πληθυσμό; ένα κανονικό θηλυκό έχει: p nαρσενικούς και (1-p) n θηλυκούς απογόνους επομένως ένα κανονικό θηλυκό έχει 2(1-p) n 2 εγγόνια πόσα εγγόνια έχει ένα νέο θηλυκό (p=1/2); σημείωση: υπάρχουν παραλλαγές του μοντέλου, πχ. Gintis 4.17 Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 15
λύση Osborne Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 16
TromelinIsland Μια πραγματική, δραματική, ιστορία 60 άνθρωποι εγκαταλείφτηκαν σε ένα ερημονήσι με ελάχιστα εφόδια 15 χρόνια μετά, ένα πλοίο διάσωσης βρήκε εν ζωή 7 γυναίκες και ένα μωρό αγοράκι ορισμένοι είχαν διαφύγει νωρίτερα Shipwrecked and Abandoned, The Independent, 2007 http://www.independent.co.uk/news/world/africa/shipwrecked-and-abandoned-the-story-of-the-slavecrusoes-435092.html http://en.wikipedia.org/wiki/tromelin_island Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 17
Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 18
λογισμικό VirtualLabs in evolutionary game theory http://www.univie.ac.at/virtuallabs/ Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 19
Πηγές -Αναφορές Osborne, An Introduction to Game Theory, Κεφάλαιο 13 Η έννοια του evolutionary stable strategy ορίσθηκε από τον John Maynard Smith με βάση κάποιες πρώτες ιδέες του G. A. Price Gintis, Game Theory Evolving, Κεφάλαιο 4 Algorithmic Game Theory Evolutionary Equilibium 20