Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3"

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 ο Συνεχίζουµε µε τις µεικτές στρατηγικές. Θα δούµε τώρα ένα παράδειγµα στο οποίο υπάρχουνε ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές αλλά πέρα από αυτό υπάρχει και µια ισορροπία κατά Nash σε µεικτές στρατηγικές. Και αυτό το παίγνιο είναι το γνωστό η µάχη των φύλων Battle of the sexes: (Α) (Γ) Τ Χ Τ 3, -, - Χ -, -, 3 Έχουµε δει ότι σε αυτό το παίγνιο πράγµατι υπάρχουνε δύο ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. Η καλύτερη απάντηση της γυναίκας στην Ταυροµαχία είναι Ταυροµαχία και στο Χορό είναι Χορό και το ίδιο συµβαίνει και για τον άντρα: αν η γυναίκα επιλέξει ταυροµαχίες η καλύτερη απάντηση είναι ταυροµαχία, αν επιλέξει χορό η καλύτερη απάντηση είναι χορός. Άρα βλέπουµε ότι σε αυτό το παίγνιο υπάρχουνε δύο ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές οι οποίες δεν µπορούν να ταξινοµηθούν από άποψη Pareto, γιατί και οι δύο δίνουνε συνολικά τα ίδια κέρδη στους δύο παίκτες (Τ, Τ) 3+=4, (X,X) 3 +=4 άρα καµία από τις δύο δεν είναι καλύτερη από την άλλη. Υπάρχουν συγκρουόµενα συµφέροντα (conflict) µεταξύ των παικτών. Όταν υπάρχουνε τέτοιου είδους ισορροπίες πάντοτε υπάρχει µια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές η οποία θα είναι και η τρίτη ισορροπία αυτού του παιγνίου. Ένα πράγµα που πρέπει να παρατηρήσουµε από την αρχή είναι ότι όταν λύσουµε για τις µεικτές στρατηγικές θα δούµε ότι θα βγουν και οι ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. ηλαδή µε τη λύση που θα κάνουµε θα βρούµε όχι µόνο ένα σηµείο τοµής των καµπυλών αντίδρασης, αλλά τρία σηµεία τοµής, που αντιστοιχούνε στις τρεις ισορροπίες. Άρα ακόµα και αν βρούµε στην αρχή ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές ακολουθώντας τη µεθοδολογία υπολογισµού των µεικτών στρατηγικών θα πετύχουµε όλες τις ισορροπίες. 03

2 Ας πάρουµε την µεθοδολογία που είπαµε. Ας υποθέσουµε ότι ο άντρας µε µια πιθανότητα p επιλέγει ταυροµαχίες και µε ( p) επιλέγει χορό και η γυναίκα αντίστοιχα επιλέγει µε πιθανότητες q και ( q). (Α) (Γ) Τ (q) Χ (-q) Τ (p) 3, -, - Χ (-p) -, -, 3 Το πρώτο που θα κάνουµε είναι να βρούµε την καµπύλη αντίδρασης του άντρα, οπότε θα υπολογίσουµε τα κέρδη του όταν ακολουθεί την στρατηγική Τ Π Α (Τ). Τα κέρδη αυτά είναι αναµενόµενα καθ όσον η γυναίκα θεωρείται ότι ακολουθεί την στρατηγική q και ( q). εδοµένου του q και ( q) βρίσκουµε ότι τα αναµενόµενα κέρδη του άντρα Π Α (Τ) είναι: Π Α (Τ)=3q+( )( q)=4q Tα κέρδη του άντρα στην περίπτωση που ακολουθεί την άλλη στρατηγική χορό είναι: Π(Χ)=( )q+( q)= 2q Άρα τώρα µπορούµε να κάνουµε την ανάλυσή µας και να πούµε: Αν Π A (T) > Π Α (Χ) 4q > 2q 6q > 2 q > 3 Αν q > 3 ο άντρας θα επιλέξει ταυροµαχία. [Τ, Χ;, 0] δηλαδή θα ακολουθήσει την αµιγή στρατηγική Τ η οποία είναι ισοδύναµη µε την µεικτή στρατηγική [Τ, Χ;, 0]. Αν Π Α (Τ) < Π Α (Χ ) 4q < 2q 6q < 2 q < 3 Αν q < 3 θα έχουµε ανάποδο αποτέλεσµα όπου ο άντρας επιλέγει χορό. [Τ, Χ; 0, ] έχουµε εκφράσει την αµιγή στρατηγική σε όρους µικτής στρατηγικής 04

3 οπότε βλέπουµε ότι η µεικτή στρατηγική περιλαµβάνει όλες τις στρατηγικές που βρίσκονται στο support της και τις αντίστοιχες πιθανότητες. Υπάρχει και η τρίτη περίπτωση όπου: Αν Π Α (Τ) = Π Α (Χ ) 4q = 2q 6q=2 q= 3 Σε αυτή την περίπτωση ο άντρας είναι αδιάφορος µεταξύ Χ και Τ και µπορούµε να δούµε ότι οποιαδήποτε µεικτή στρατηγική: [Τ, Χ; p, p] όπου 0 p είναι η καλύτερη απάντηση για τον άντρα. Για να βάλουµε αυτά σε ένα διάγραµµα. Ο κάθετος άξονας παριστάνει τις στρατηγικές της γυναίκας, οπότε η γυναίκα ουσιαστικά επιλέγει ένα νούµερο µεταξύ 0 και και µε αυτό τον τρόπο επιλέγει την αντίστοιχη µεικτή στρατηγική (Τ, Χ). Ο άντρας επιλέγοντας ένα νούµερο µεταξύ 0 και επιλέγει την αντίστοιχη µεικτή στρατηγική. Άρα στο κουτί βρίσκονται όλες οι στρατηγικές των δύο. Ποια είναι η συνάρτηση αντίδρασης ή βέλτιστης απάντησης του άντρα; Περιγράφεται από τα τρία κοµµάτια: q > [Τ, Χ;, 0] 3 q < 3 [Τ, Χ; 0, ] q= 3 [Τ, Χ; p, p] 0 p R A (q): συνάρτηση αντίδρασης του άντρα δεδοµένου του q. 05

4 Αν q > 3 το καλύτερο για τον άντρα είναι να θέσει όλη την πιθανότητα στο Τ p= Αν q < 3 η πιθανότητα στο Τ είναι µηδέν p=0 Ενώ αν q= 3 οποιαδήποτε απάντηση είναι βέλτιστη 0 p Τώρα θα φτιάξουµε και τη συνάρτηση αντίδρασης της γυναίκας. Στη συνέχεια θα τα βάλουµε πάνω στο ίδιο διάγραµµα και θα δούµε ποια είναι τα σηµεία τοµής. εδοµένου ότι ο άντρας επιλέγει p και ( p) η γυναίκα περιµένει τα εξής κέρδη: Π Γ (Τ) : p+( )( p)=2p Π Γ (Χ) : ( )p+3( p)=3 4p Αν Π Γ (Τ) > Π Γ (Χ) 2p > 3 4p 6p > 4 p > 2/3 [Τ, Χ;, 0], στρατηγική γυναίκας αν p > 2/3 Αν Π Γ (Τ) < Π Γ (Χ) 2p < 3 4p 6p < 4 p < 2/3 [Τ, Χ; 0, ], όλη η πιθανότητα για την γυναίκα πάει στο χορό. Αν Π Γ (Τ) < Π Γ (Χ) 2p =3 4p 6p=4 p= 3 2 [Τ, Χ; q, q] όπου 0 q 06

5 Αν p > 2/3 η καλύτερη απάντηση είναι για q=. Aν p < 2/3 η καλύτερη απάντηση είναι για q=0. Aν p=2/3 η καλύτερη απάντηση είναι για 0 q είναι βέλτιστη. Βάζοντας τις δύο καµπύλες βέλτιστης απάντησης στο ίδιο διάγραµµα παίρνουµε τα τρία σηµεία τοµής τους. Έχουµε τρία σηµεία τοµής. Τα δύο σηµεία είναι ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές γιατί αντιστοιχούν στα (q=0, p=0) και (q= και p=), µε αποτελέσµατα (, 3) και (3, ) που βρήκαµε προηγουµένως. 07

6 Τι σηµαίνει η ισορροπία στο σηµείο Α; Αυτή η ισορροπία είναι η εξής: Α: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] (Χ, Χ)=(, 3) Από την άλλη µεριά Β: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] (Τ,Τ)=(3, ) Η τρίτη ισορροπία είναι σε µεικτές στρατηγικές: 2 2 C: T, X ;,, T, X ;, αυτή είναι η ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές µε τις αντίστοιχες πιθανότητες. Τι παρατηρούµε εδώ; Και ο άντρας και η γυναίκα θα πάνε µε περισσότερη πιθανότητα στην επιλογή που προτιµούν περισσότερο. Ο άντρας ταυροµαχία µε 2/3 και η γυναίκα χορό µε 2/3. ηλαδή καθένας πάει προς τη µεριά του λίγο-πολύ. Για να δούµε τι θα συµβεί από άποψη πραγµατοποίησης των διαφόρων ενδεχοµένων. Ποια είναι η πιθανότητα να βγει καθένα από αυτά τα τετραγωνάκια; (Γ) Τ (q) Χ (-q) (Α) p x q =2/3 x/3 = 2/9 p x (-q ) =2/3x/3 = 4/9 Τ (p) 3, -, - Χ (-p) /3 x /3 = /9 -, - /3x 2/3 =2/9, = Βλέπουµε ότι δεν είναι καθόλου συµµετρικά τα πράγµατα. Υπάρχει αρκετά µεγάλη πιθανότητα να εκλέξει ο άντρας ταυροµαχίες και η γυναίκα χορό. Και αυτό γιατί; ιότι ο άντρας προτιµάει ταυροµαχίες και η γυναίκα χορό άρα θα θέσει ο καθένας ψηλή πιθανότητα σε αυτό που προτιµάει περισσότερο µε αποτέλεσµα ο συνδυασµός το ενδεχόµενο (Τ, Χ) να βγει µε πιθανότητα 4/9. Η οικονοµική διαίσθηση αυτού του παίγνιου είναι λογική. Άµα προτιµάει το άτοµο κάτι δίνει περισσότερη πιθανότητα σε αυτό που προτιµά. Ο άντρας βάζει περισσότερη πιθανότητα στην ταυροµαχία και η γυναίκα στο χορό. Οπότε βγαίνει περισσότερη πιθανότητα στο συνδυασµό (Τ, Χ). ηλαδή πάει καθένας σε αυτό που θέλει. Υποφέρουνε βέβαια και οι δύο αλλά είναι αυτό που προτιµούνε. 08

7 Η διαφορά του 4/9 από το /9 έγκειται στο ότι στο 4/9 ο καθένας πάει όπου θέλει ενώ στο /9 πάνε αντίστροφα από αυτό που θέλουνε που είναι λίγο απίθανο. Εδώ πέρα προφανώς όλα µπορούν να συµβούνε. Σηµασία έχει µε τι πιθανότητα συµβαίνει καθένα. Εδώ έχουµε τέσσερα ενδεχόµενα: (Χ, Χ), (Τ, Τ), (Τ, Χ), (Χ, Τ). Σε µια µεικτή στρατηγική όλα είναι πιθανά, αλλά όχι ισοπίθανα. Μεικτή στρατηγική σηµαίνει ότι µε κάποια πιθανότητα εκλέγεις κάτι. ηλαδή µε κάποια πιθανότητα µπορεί να γίνει ή το ένα ή το άλλο. Άµα είναι δύο παίχτες και εκλέγει κάθε ένας µε µια πιθανότητα κάτι, όλα µπορούν να συµβούν. Η ισορροπία είναι µία το C: 2 2 T, X;,, T, X; ; Η πραγµατοποίηση είναι διαφορετική γιατί έχουµε τέσσερα ενδεχόµενα. Στις αµιγείς στρατηγικές υπάρχει ένα ενδεχόµενο γιατί όλη η πιθανότητα µπαίνει σε µια αµιγή στρατηγική. Στις µεικτές στρατηγικές όλα είναι πιθανά. Που σηµαίνει ότι στις µεικτές στρατηγικές ψάχνουµε να βρούµε την πιθανότητα µε την οποία θα εκλέξουµε µεταξύ δύο πραγµάτων. Σε αυτό το παίγνιο πως µπορούσε να δράσει για παράδειγµα ο άντρας µεταξύ ταυροµαχίες και χορού; Τι θα έκανε αν ήτανε να ρίξει ένα ζάρι; Τι θα µπορούσε να κάνει 2 για να προσδιορίσει αυτή την κατανοµή, ; Αν έφερνε π. χ, 2, 3, ή 4 θα πήγαινε 3 3 ταυροµαχία ενώ αν έφερνε 5 ή 6 θα πήγαινε χορό. Το ζάρι βοηθάει να πραγµατοποιηθεί αυτή η στρατηγική. Είναι η συσκευή της τύχης (randomization). Πετώντας ένα ζάρι κανείς, ανάλογα µε το τι θα βγει, αποφασίζει το ένα ή το άλλο. Ουσιαστικά λέει αν βγει κάποιος αριθµός από το 4 εκλέγει ταυροµαχία αν βγει 5 ή 6 εκλέγει χορό. Πετάει το ζάρι και ότι βγει. Ποια είναι τα αναµενόµενα κέρδη στη µεικτή στρατηγική και πως αυτά συγκρίνονται µε τα αναµενόµενα κέρδη των ισορροπιών σε αµιγείς στρατηγικές; Επαναλαµβάνουµε αυτό που είπαµε την προηγούµενη φορά. Τα αναµενόµενα κέρδη µπορούν να βρεθούν µε δύο τρόπους. Ο ένας τρόπος είναι απλός. Ξέρουµε την κατανοµή πιθανοτήτων όλων των ενδεχοµένων. Παίρνουµε για τον άντρα: 09

8 2 9 x x( ) = x( ) + = 9 2 () 9 = Αναµενόµενο Κέρδος Αυτό είναι το πιο απλό να το καταλάβει κανείς. Όµως εµείς είπαµε ότι όταν η γυναίκα ακολουθεί την στρατηγική /3 ό,τι και να κάνει ο άντρας πετυχαίνει τα ίδια κέρδη. Γιατί να δεν πετύχαινε τα ίδια κέρδη δεν θα ήτανε ο,τιδήποτε καλύτερη αντίδραση για 0 p. Tι σηµαίνει καλύτερη αντίδραση; Σηµαίνει ότι οποιαδήποτε πιθανότητα σε ταυροµαχία ή χορό του δίνει τα ίδια κέρδη. Άρα και η πιθανότητα p=0 του δίνει τα ίδια κέρδη και η πιθανότητα p=, του δίνει τα ίδια κέρδη. Αν η γυναίκα εκλέγει την πιθανότητα q= τότε ποιες είναι οι βέλτιστες αντιδράσεις 3 του άντρα; ΟΛΕΣ 0 p. Τι σηµαίνει όλες είναι βέλτιστες αποφάσεις; Σηµαίνει ότι δίνουν τα ίδια κέρδη. Άρα είτε εκλέγει πιθανότητα p=0 είτε εκλέξει πιθανότητα p= παίρνει τα ίδια κέρδη. Αν επιλέξει p=0 ο άντρας ουσιαστικά εκλέγει να πάει στο χορό. Όταν εκλέξει p= o άντρας ουσιαστικά εκλέγει να πάει στις ταυροµαχίες. Αν Άρα µπορούµε να υπολογίσουµε τα αναµενόµενα κέρδη του άντρα για κάποια τιµή του p όποια και να είναι αυτή (ας πούµε το p=). 0

9 Άρα ποια είναι τα αναµενόµενα κέρδη του άντρα; Είναι τα αναµενόµενα του κέρδη όταν εκλέξει p= (ή όταν εκλέξει ταυροµαχίες). Έτσι: Π Α (Τ)=3xq*+( )( q*) 2 =3 + ( ) = Και µπορούµε να κάνουµε την ίδια πράξη µε το χορό, το ίδιο θα βρούµε: Π Α (Χ)=( )q*+( q*)=( ) 2 + () = Π Α (T)= Π Α (Χ)= : αυτό σηµαίνει βέλτιστη αντίδραση. Όταν έχουµε πολλές βέλτιστες 3 αντιδράσεις το µέγιστο των κερδών σε όλες αυτές τις βέλτιστες αντιδράσεις είναι το ίδιο. ( εδοµένου ότι η γυναίκα επιλέγει q= είπαµε ότι ο άντρας είναι αδιάφορος µεταξύ όλων 3 των στρατηγικών. Άρα του δίνουνε όλες οι στρατηγικές τα ίδια κέρδη). Αυτή η αρχή καλείται Αρχή της εξίσωσης κερδών. Αυτή η µέθοδος χρησιµοποιείται για την επίλυση και πιο πολύπλοκων προβληµάτων. Τώρα στη πιο γενική της µορφή τι σηµαίνει η αρχή της εξίσωσης κερδών; Επαναλαµβάνουµε. Ορισµένες στρατηγικές οι κυριαρχούµενες ειδικά στρατηγικές δεν χρησιµοποιούνται σε µια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. ηλαδή η πιθανότητα που θέτει ένα άτοµο σε στρατηγικές κυριαρχούµενες είναι µηδέν. Αν µια στρατηγική εισέρχεται στην ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές µε πιθανότητα µηδέν δεν ανήκει σε αυτό που λέµε support της κατανοµής των πιθανοτήτων. Έστω ότι έχουµε τέσσερις στρατηγικές: S, S 2, S 3, S 4 και θέτουµε ανάλογες πιθανότητες: Ποιο είναι το support αυτής της κατανοµής των πιθανοτήτων;

10 Support: σηµαίνει όλες οι στρατηγικές που παίρνουµε θετική πιθανότητα. Το S 2 δεν είναι στο support αυτής της κατανοµής των πιθανοτήτων. Όλες οι άλλες στρατηγικές ανήκουν στο support. Ένα άλλο παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι µας ενδιαφέρει η κατανοµή εισοδηµάτων σε µια χώρα. Υπάρχει ένα ελάχιστο εισόδηµα στην κατανοµή και υπάρχει και ένα µέγιστο. Η κατανοµή δίνεται από: Ποιο είναι το support της κατανοµής αυτής; Το (Α). Τα άκρα πέραν από το (Α) δεν ανήκουν στο support της κατανοµής γιατί εµφανίζονται µε µηδενική πιθανότητα. Βασικά είναι το πεδίο ορισµού στο οποίο όµως οι πιθανότητες είναι θετικές. Είναι το πεδίο ορισµού για τις τιµές εκείνες που η f(x) είναι θετική. Γιατί το πεδίο ορισµού που είναι κατανοµή πιθανότητας είναι όλος ο άξονας των x. Αλλά οι πιθανότητες σε κάποια σηµεία είναι µηδέν. (Για παράδειγµα στην κανονική κατανοµή το support είναι από -4 έως +4. Αλλά στη Γάµµα κατανοµή κάτω από µερικές τιµές το support είναι από το 0 έως το άπειρο. Σε αρνητικές τιµές δεν υπάρχει support). Στην ισορροπία που ορίσαµε γι αυτό το παίγνιο ποιο είναι το support για τον άντρα και ποιο για την γυναίκα; Α: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] Β: [(Τ, Χ;, 0), (Τ, Χ;, 0)] 2 2 C: T, X,,, T, X;,

11 Για παράδειγµα για την C ποιο είναι το support; Το support έχει να κάνει µε τις στρατηγικές. Ποιες στρατηγικές ανήκουνε στο support; Και δύο. Και η Τ και η Χ, και για τον άντρα και για την γυναίκα διότι και το Τα και το Χ έχουνε υποθετικές πιθανότητες. Για να δούµε τώρα στο Β. Στο Β ποιο είναι το support; Το Τ για τον άντρα και το Τ για την γυναίκα. Όταν, λοιπόν, έχει µηδέν πιθανότητα µια στρατηγική δεν ανήκει στο support της κατανοµής πιθανότητας. Επιστρέφουµε στην αρχή της εξίσωσης κερδών. Και λέµε ότι: τα κέρδη όλων των αµιγών στρατηγικών που ανήκουνε στο support µιας κατανοµής της µεικτής ισορροπίας είναι τα ίδια. ηλαδή, όλες οι αµιγείς στρατηγικές που ανήκουνε στο support µιας µεικτής στρατηγικής στην ισορροπία, δίνουνε τα ίδια κέρδη στον παίκτη. ηλαδή Π Α (Χ)=Π Α (Τ) για ένα δεδοµένο q=/3. Τώρα τι σηµαίνει αυτό; Είναι δυνατόν η ταυροµαχία και ο χορός να δίνουνε τα ίδια κέρδη στον άντρα στο Β: [(Τ, Χ;, 0), (Τ, Χ ;, 0)]; Η ταυροµαχία δίνει περισσότερα κέρδη στον άντρα. Ο χορός δεν είναι στο support (για το Β). Αφού δεν είναι στο support θα δίνει λιγότερα κέρδη. Αν ήτανε στο support θα έδινε τα ίδια κέρδη. εν µπορεί να δώσει περισσότερα κέρδη γιατί τότε το άτοµο δεν θα διάλεγε ταυροµαχία, θα διάλεγε χορό. Άρα: Ό,τι δεν είναι στο support δίνει χαµηλότερα κέρδη. Όλα που είναι στο support δίνουνε τα ίδια κέρδη, όσα είναι απ έξω δίνουνε αυστηρά χαµηλότερα κέρδη. Άρα σε αυτό το παίγνιο χρησιµοποιήσαµε την αρχή της εξίσωσης των κερδών και είπαµε ότι δεν χρειάζεται να αναλύσουµε, να πάρουµε όλα τα ενδεχόµενα µε τις πιθανότητες του κλπ. Το µόνο που θα κάνουµε είναι να πάρουµε µια στρατηγική που ανήκει στο support για τον άντρα (το Τ) και να δούµε δεδοµένης της πιθανότητας που ακολουθεί η γυναίκα που είναι q=/3 τι αναµενόµενα κέρδη έχει ο άντρας. Και είναι: Π Α (Τ)=3 q*+( )( q*) =3 +( ) 2 = // Τώρα πόσα είναι τα κέρδη για την γυναίκα; Θα κάνουµε το ίδιο πράγµα, όµως ξέρουµε ότι λόγω συµµετρίας θα βγει το ίδιο: Έστω ότι παίρνουµε την στρατηγική χορό για την γυναίκα η οποία θα της δώσει: 2 Π Γ (x)=( )p*+3( p*)=( ) +( 3/ ) = 3 /3 3 3

12 Άρα, για να δούµε τώρα τι γίνεται από άποψη κερδών. Τι κέρδη µας δίνει η στρατηγική που αντιστοιχεί στην ισορροπία Α; x x Α : (, 3) Το αναµενόµενο είναι το πραγµατοποιούµενο Τ Τ B : (3, ) C: (/3, /3) το αναµενόµενο κέρδος γιατί µπορεί να συµβεί οτιδήποτε. Τι περίεργο βλέπουµε; Το C είναι συµµετρικό λόγω του παιγνίου οπότε παίρνουν τα ίδια κέρδη. Όµως και οι δύο παίρνουνε πολύ λίγο. Κανονικά και στους δύο παίχτες συµφέρει να παίξουν είτε Α είτε Β γιατί κερδίζουν περισσότερα από το αναµενόµενο κέρδος του C. Όµως το ερώτηµα είναι πως θα συντονιστούν στο Α και στο Β; Μπορεί να τους προκύψει µια ισορροπία (Χ, Τ) ή (Τ, Χ) (-, -). εν µπορούν πάντα να συντονιστούν. Απορία: Που µας χρησιµεύουν οι ισορροπίες που βρίσκουµε; Όταν υπάρχει µια κατάσταση πρέπει να βρούµε µια λύση. Σε αυτό το παίγνιο βρήκαµε τρεις λύσεις: Α: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] (Χ, Χ)=(, 3) Β: [(Τ, Χ;, 0), (Τ, Χ;, 0)] (Τ, Τ)=(3, ) 2 2 C: T, X ;,, T, X ;, Τις συζητάµε και λέµε τι θα κάνουµε τώρα. Πάντοτε σε µεικτές στρατηγικές είναι χειρότερη η ισορροπία; Όχι πάντοτε, εξαρτάται από το παίγνιο. Αυτή δεν είναι γενική ιδιότητα, είναι ιδιότητα που έχει αυτό το παίγνιο. Τώρα, τι θα βρούµε σε αυτό το παίγνιο αν επαναλαµβάνεται µερικές περιόδους; Τι µπορεί να κάνουνε αν επαναλαµβάνεται µερικές περιόδους; Να συµφωνήσουν π.χ. τις µονές περιόδους να παίζουν το Α (Χ, Χ) και τις ζυγές το Β (Τ, Τ). ηλαδή να εναλλάσσουν. Αν εναλλάσσουν ποιο θα είναι το µέσο κέρδος του κάθε ενός (2, 2) , = 2,2 2 2 Οπότε η επανάληψη λίγο πολύ µπορεί να διορθώσει τα πράγµατα. Και βλέπουµε ότι στην ισορροπία εδώ τα κέρδη των ατόµων είναι πολύ περισσότερα. Όταν υπάρχουνε πολλαπλές ισορροπίες σε ένα παίγνιο, καµιά φορά υπάρχουνε κάποια επιχειρήµατα τα οποία λέγονται focal points. ηλαδή κάτι που βρίσκεται έξω από 4

13 το παίγνιο, µπορεί να καθορίσει / να συντονίσει τους παίχτες σε κάποιες ισορροπίες. Εδώ πέρα δεν υπάρχει κάτι που να είναι ξεκάθαρο. Και λέµε εδώ πέρα ότι ανάλογα µε το ποιος είναι κυρίαρχος στη σχέση, κάνει αυτό που θέλει. εν συµφέρει να παίξουνε µεικτές στρατηγικές το ξέρουνε και οι δύο, οπότε ο ένας θα υποκύψει και θα καθορίσει ο άλλος τι θα κάνουνε. Αυτό το παίγνιο είναι πολύ κλασσικό και έχουµε πολλές εφαρµογές στα οικονοµικά. Ας πούµε ότι οι επιχειρήσεις αποφασίζουνε σε πρώτη φάση ποιος θα γίνει ηγέτης και ποιος θα γίνει ακόλουθος. Στάδιο ένα, λοιπόν: ποιος θα γίνει ηγέτης και ποιος ακόλουθος. Και στάδιο δύο: ανταγωνίζονται σε ποσότητες. Τότε θα βγει κάτι παρόµοιο µε «τη µάχη των φύλλων». Πρώτα προσδιορίζεται ο ρόλος σε ένα πρώτο στάδιο και µετά όταν ήδη έχει καθοριστεί ο ρόλος παίζουνε το παιγνίδι. ηλαδή αποφασίζουν ποιος θα είναι ο ηγέτης και ποιος ο ακόλουθος και µετά παίζουνε το κλασσικό παιγνίδι του ηγέτη ακόλουθου που είδαµε στο Stackelberg. Μπορεί να είναι και οι δύο επιχειρήσεις ηγέτες; Τι σηµαίνει να είναι και οι δύο ηγέτες; Ότι παίρνουν τις αποφάσεις ταυτόχρονα. Απορία: Τι σχέση έχει το παίγνιο η µάχη των φύλλων µε τον ηγέτη ακόλουθο; Εδώ δεν έχουµε το χρόνο; Για να φανεί πιο ξεκάθαρο ας πάρουµε το παίγνιο µε τον ανταγωνισµό τιµών. Σε αυτή την περίπτωση αν είναι και οι δύο ηγέτες θα καταλήγουνε σε ένα χαµηλότερο κέρδος, αν είναι και οι δύο ακόλουθοι θα είναι το χαµηλότερο κέρδος και µάλιστα ακόλουθοι σηµαίνει ότι περιµένουνε και µια περίοδο ακόµα, οπότε υπάρχει προεξόφληση και χειροτερεύουν ακόµα περισσότερο τα κέρδη. Αν παίξει ο ένας ηγέτης και ο άλλος ακόλουθος θα καταλήξουν σε θετικά κέρδη. Το παιγνίδι η µάχη των φύλλων έχει εφαρµογές στα οικονοµικά. ηλαδή το: (Α) (Γ) Τ (q) Χ (-q) Τ (p) 3, -, - Χ (-p) -, -, 3 µπορεί να είναι το αποτέλεσµα ενός παιγνίου, το οποίο παίζεται ως εξής: οι επιχειρήσεις στο πρώτο στάδιο αποφασίζουνε τι ρόλο θα παίξουνε ταυτόχρονα. ηλαδή 5

14 ανακοινώνουνε ηγέτης ή ακόλουθος. Και στο δεύτερο στάδιο παίζουν το παιγνίδι του ηγέτη-ακολούθου αν έχουν εκλέξει ηγέτης-ακόλουθος ή παίζουνε και οι δύο ηγέτες ή και οι δύο ακόλουθοι. Τι σηµαίνει τώρα και οι δύο ακόλουθοι; Σηµαίνει ότι θα περιµένουνε µια περίοδο παραπάνω. Με άλλα λόγια: Υπάρχουνε δύο περίοδοι που µπορεί να θέσει κανείς την τιµή του: την περίοδο ή την περίοδο 2. 0,, 2 χρονικές περίοδοι. Στην περίοδο µηδέν, οι επιχειρήσεις εκλέγουνε µεταξύ και 2. ηλαδή οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης είναι το σύνολο {, 2}. Αν και οι δύο επιλέξουνε δηλαδή σαν αν εκλέγουν και οι δύο ηγέτες, παίζουνε ταυτόχρονα. Όποια επιχείρηση επιλέξει την τιµή πριν από την άλλη είναι ηγέτης και η άλλη είναι ακόλουθος. Υπάρχουνε τρεις περίοδοι. Η περίοδος µηδέν είναι πριν από την και η περίοδος ένα είναι πριν από την δύο. Την περίοδο µηδέν οι επιχειρήσεις αποφασίζουν µεταξύ και 2. Αν αποφασίσουν ένα θέτουνε την τιµή την περίοδο, αν αποφασίσουν δύο, θέτουνε την τιµή την περίοδο 2. Αν και οι δύο αποφασίζουνε ένα παίζουνε την περίοδο, το παιχνίδι τιµών ταυτόχρονα και βγάζουνε ότι κέρδη βγάζουνε. Αν περιµένουµε την περίοδο δύο, χάνουνε µια περίοδο από την αγορά και βγάζουνε κάποια κέρδη αργότερα ακόµα και από το να παίξουνε την περίοδο ένα ταυτόχρονα. Αυτές είναι δυνατότητες που υπάρχουν. Οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης είναι οι αριθµοί ή 2. Κάθε επιχείρηση την περίοδο µηδέν ανακοινώνει ένα νούµερο: το ή το 2. Τα νούµερα αυτά ανακοινώνονται ταυτόχρονα από τις δύο επιχειρήσεις. Το (, ) σηµαίνει ότι και οι επιχειρήσεις είναι ηγέτες. Το (2, ) σηµαίνει ακόλουθος-ηγέτης. Το ίδιο σηµαίνει ηγέτης-ακόλουθος και το 6

15 (2, 2) σηµαίνει ότι και οι δύο είναι ακόλουθοι που σηµαίνει ότι και οι δύο παράγουν µόνο την δεύτερη περίοδο. Τώρα, τι θέλουν να αποφύγουν αυτές οι δύο επιχειρήσεις; Θέλουν να αποφύγουν το ταυτόχρονο: (, ) ή (2, 2). Το (, ) θα τους δώσει λίγο µεγαλύτερα κέρδη από το (2, 2) γιατί στο (2, 2) είναι προεξοφληµένα. Θέλουνε, λοιπόν, να αποφύγουνε το ταυτόχρονο. Γιατί; Γιατί είπαµε ότι στο παίγνιο που οι εταιρείες αποφασίζουνε ταυτόχρονα, τα κέρδη του ταυτόχρονου είναι χαµηλότερα από τα κέρδη είτε του ηγέτη είτε του ακόλουθου. Άρα δεν θέλουνε να πάνε στο (, ) ή (2, 2) (2) 2 2 ηγέτης 2 ακόλουθος Άρα αντί να έχουµε ταυροµαχία ή χορό έχουµε ηγέτη ακόλουθο και το ερώτηµα είναι που θα πάνε στο (, 2) ή στο (2, ). Θα έχουµε, λοιπόν, τρεις ισορροπίες. ύο σε αµιγείς στρατηγικές που θα είναι (ηγέτης, ακόλουθος), (ακόλουθος, ηγέτης) και µια σε µεικτές στρατηγικές η οποία θα είναι µε πιθανότητα καθένας να εκλέξει ηγέτης ή ακόλουθος. ώσαµε το παίγνιο µε τη µάχη των φύλων για να δούµε ότι πίσω του κρύβονται πολλά παραδείγµατα - πολλές εφαρµογές οι οποίες µπορούν να εφαρµόσουν σε διάφορους τοµείς της οικονοµίας. Όταν µας δοθεί ένα οικονοµικό πρόβληµα, πρέπει να το µετασχηµατίζουµε σε ένα πρόβληµα γνωστό. Απορία: Όταν µας δοθεί ένα παίγνιο, κάνουµε όλη αυτή τη διαδικασία και βγάζουµε κάποιες-ισορροπίες; Πως αυτές οι ισορροπίες µας βοηθούν να βρούµε ποια στρατηγική θα ακολουθήσουµε; Βλέποντας τις ισορροπίες µπορούµε να αποφασίσουµε ποια στρατηγική θα ακολουθήσουµε; Όταν υπάρχουν πολλαπλές ισορροπίες δεν υπάρχει προτίµηση. Τώρα πως γίνεται επιλογή µεταξύ των ισορροπιών είναι κάτι που έχει σχέση µε τα ήθη και έθιµα µιας 7

16 κοινωνίας, µε την µυθολογία των παικτών κλπ., πράγµατα που δεν έχουµε µέσα στο παίγνιο. Μπορεί να συµβεί κάτι εκτός των ισορροπιών; Αν συµβεί κάτι διαφορετικό από τις ισορροπίες σηµαίνει ότι οι παίκτες δεν είναι ορθολογικοί. Άρα αν θέλουµε να κάνουµε ένα πείραµα και βγάλουµε στο πείραµα κάτι τελείως διαφορετικό από τις ισορροπίες, θα πούµε ότι τα άτοµα δεν είναι ορθολογικά. Άρα η υπόθεση του ορθολογισµού δεν ισχύει. Και όπως ξέρουµε όλα τα οικονοµικά στηρίζονται σε αυτή την υπόθεση. Και αν δεν ισχύει αυτή η υπόθεση όλα όσα έχουµε µάθει δεν ισχύουν. Όµως ένα άτοµο µη-ορθολογικό σε µακροχρόνια βάση θα εξαφανιστεί (θα πεθάνει). Ας δούµε τώρα ένα άλλο παίγνιο. Έχουµε δύο παίχτες µε τις εξής στρατηγικές: (Ι Ι) Α Ι Π, -2 0, 0 2, - (Ι) Κ, - 2, -2, Α αριστερά, Ι ίσια δεξιά Π πάνω, Κ κάτω Οι παίκτες (Ι) και (ΙΙ) αντιµετωπίζουν αυτό το παίγνιο. Αυτό το παίγνιο έχει καµιά ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές; Α Ι Π, -2 0, 0 2, - Κ, - 2, -2, Άρα δεν έχουµε ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές. Αυτό το παίγνιο, είναι 3 2. Άρα ήδη αρχίζει να γίνεται πιο µπλεγµένο γιατί θα χρειαστούµε τρεις πιθανότητες εκτός και αν µπορούµε να πετάξουµε κάτι έξω. Και όπως βλέπουµε η Α (αριστερά) είναι αυστηρά κυριαρχούµενη από την (δεξιά), οπότε ποτέ δεν θα εµφανιστεί µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική σε καµία ισορροπία κατά Nash: σε καµία ούτε σε αµιγείς ούτε σε µεικτές στρατηγικές. 8

17 Άρα µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική ποτέ δεν ανήκει στο support µιας ισορροπίας σε µεικτές στρατηγικές. Αυτό σηµαίνει ότι µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική, δίνει πάντοτε λιγότερα αναµενόµενα κέρδη από µια κυρίαρχη στρατηγική (και αυτό είναι γενικό). Οπότε το Α (αριστερά) το πετάµε έξω. Πριν κάνουµε οτιδήποτε άλλο το πρώτο που ελέγχουµε είναι ποιες στρατηγικές είναι αυστηρά κυριαρχούµενες. Και αφού απαλείφουµε αυτές τις στρατηγικές µετά λύνουµε το παίγνιο, (µε τον κλασσικό τρόπο). (ΙΙ) (Ι) Α Ι Π, -2 0, 0 2, - Κ, - 2, -2, (ΙΙ) ( Ι) q Ι -q p Π 0, 0 2, - -ρ Κ 2, -2, Αυτό το παίγνιο µπορούµε να το λύσουµε είτε µε τον κλασσικό τρόπο βάζοντας πιθανότητες: p, ( p) και q, ( q) γιατί στο Α (αριστερά) η πιθανότητα είναι ήδη µηδέν. Έτσι µπορούµε να φτιάξουµε τις καµπύλες αντίδρασης να δούµε που τέµνονται και να βρούµε την ισορροπία. Μπορούµε όµως να χρησιµοποιήσουµε και την αρχή της εξίσωσης των κερδών. Πως χρησιµοποιείται αυτή η αρχή και πόσο γρήγορα µπορεί να µας βγάλει τη λύση; Αµέσως γιατί σε µια µεικτή ισορροπία ξέρουµε ότι τα κέρδη του παίκτη (Ι) όταν ακολουθεί το Π ή Κ είναι τα ίδια. Άρα εξισώνουµε αυτά τα δύο κέρδη και λύνουµε. Η παράµετρος που εισέρχεται στα κέρδη αυτά είναι το q. εν εισέρχεται η δικιά του παράµετρος (p), εισέρχεται η παράµετρος του αντιπάλου (q). Άρα: ΠΙ( Π) = 0xq + 2( q) = 2 q ΠΙ( Κ) = 2xq + ( q) = q + 3q= q*=/3 ΠI (Π) = Π Ι(Κ) 2-2q = q + 9

18 Π Ι (Π) τα κέρδη του παίχτη Ι όταν ακολουθεί την στρατηγική πάνω Π Ι (K) τα κέρδη του παίχτη Ι όταν ακολουθεί την στρατηγική κάτω. Κάνοντας την ίδια διαδικασία για τον άλλο παίκτη βρίσκουµε το p*. Π Π ΙΙ ΙΙ ( Ι) = 0 p + ( 2)( p) = 2 p ( ) = ( ) p + ( p) = 2 p 2p 2= 2p 4p=3 p*=3/4 2 Π ΙI (I) = Π ( ) Άρα βρίσκουµε αµέσως την ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές η οποία είναι: 3 2 Ισορροπία Π, Κ;, Α, Ι, ; 0,, προσοχή! Για τον παίκτη (ΙΙ) υπάρχουνε τρεις στρατηγικές: Α, Ι, ΙΙ Μια στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο, το οποίο προσδιορίζει τις πιθανότητες σε όλα τα γεγονότα. 3 2 Η Π, Κ;, Α, Ι, ; 0,, επειδή δεν έχουµε ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές είναι η µοναδική ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. (*Αν έχουµε βρει τις ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές και βλέπουµε ότι χρειάζεται άλλη µια ισορροπία σε µεικτές εξισώνουµε τα κέρδη και την βρίσκουµε. εν είναι ανάγκη να βρούµε τις καµπύλες αντίδρασης εκτός και αν το ζητάει η άσκηση). Σε αυτό το παίγνιο επειδή έχουµε σύστηµα γραµµικών εξισώσεων οι ισορροπίες σε µεικτές στρατηγικές δεν µπορεί να είναι πάνω από µια. Έχουµε µοναδική λύση. Αν έχουµε µια ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές, κατά πάσα πιθανότητα δεν θα έχουµε ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. (SOS: Αν στο midterm δούµε καµιά άσκηση σίγουρα θα υπάρχουν αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές). 20

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε: Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας

Διαβάστε περισσότερα

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y Κεφάλαιο 1 Το τελευταίο που κάναµε ήταν µια ιαπραγµάτευση στην οποία υπάρχουν ύο παίκτες, κάνει ο ένας µια προσφορά, ο άλλος τη έχεται ή όχι. Αν εν την εχτεί κάνει αντιπροσφορά την οποία ο πρώτο παίχτης

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 10. Λύση. π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) 4

ΑΣΚΗΣΗ 10. Λύση. π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) 4 ΑΣΚΗΣΗ 10 Στον κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ατελώς υποκατάστατα αγαθά. Οι καµπύλες ζήτησης των προϊόντων τους είναι q 1 = 1000 2p1 +p2 και q 2 = 1000 2p2 +p1. Οι δύο επιχειρήσεις έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2 Θεωρία παιγνίων: Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 3 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία παιγνίων: 3 Δεκεμβρίου 2012 1 / 21 -best responses Κυνήγι ελαφιού: Δυο κυνηγοί ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα. Υπαρξη ϐαλρασιανής ισορροπίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς.

Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα. Υπαρξη ϐαλρασιανής ισορροπίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 1 / 44 ύο Ϲητήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ Όταν εξετάζουµε µία συγκεκριµένη αγορά, πχ. την αστική αγορά εργασίας, η ανάλυση αυτή ονοµάζεται µερικής ισορροπίας. Όταν η ανάλυση µας περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 29.1, 29.2, 29.4, 29.7, 29.8 Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /11/011 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/11/011

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μικροοικονομική Θεωρία ΙΙ Εαρινό εξάμηνο Ακαδ. έτους 08-09 Αν. Παπανδρέου, Φ. Κουραντή, Ηρ. Κόλλιας Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 0 Μαϊου. Θα υπάρξει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 8 Σεπτεµβρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (:00-4:00 ΘΕΜΑ ο (.5 Το παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 2: Ισορροπία Nash Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

/ / 38

/ / 38 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 205-6 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 0 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Ο Κώστας πηγαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

xp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3

xp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο

Διαβάστε περισσότερα

Η παρούσα αξία της επένδυσης αν αυτή υλοποιηθεί άµεσα είναι 0 K 0 1 K

Η παρούσα αξία της επένδυσης αν αυτή υλοποιηθεί άµεσα είναι 0 K 0 1 K 6. Αβεβαιότητα και µη Αναστρέψιµες Επενδύσεις Στην περίπτωση που µία επένδυση δεν µπορεί να αντιστραφεί χωρίς κόστος, δηλαδή αφού έχει πραγµατοποιηθεί η αγορά κεφαλαιακού εξοπλισµού, κατασκευή κτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού.

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. . Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. Σε όλα τα σηµεία ενός αγωγού, σε ηλεκτροστατική ισορροπία, το δυναµικό είναι σταθερό. Για παράδειγµα, στην φορτισµένη σφαίρα του διπλανού σχήµατος τα σηµεία Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1 Μία Μαρκοβιανή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης

Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης Διάλεξη 6 ΖΗΤΗΣΗ Συγκριτική στατική ανάλυση των συναρτήσεων της κανονικής ζήτησης είναι η µελέτη του πώς οι συναρτήσεις κανονικής ζήτησης (, 2,) και (, 2,) αλλάζουν όταν οι τιµές,

Διαβάστε περισσότερα

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Σημεία ισορροπίας Nash: Yπάρχουν πάντα; Έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας; - Ναι, στην εξιδανικευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος Συνδυαστικά Παίγνια 1. Σε ένα παιγνίδι 2 παικτών µηδενικού αθροίσµατος οι παίκτες αναγγέλουν εναλλάξ ένα αριθµό µεταξύ {2,3,4}. Ο παίκτης που κάνει το άθροισµα των αριθµών που έχουν αναγγελθεί να φθάσει

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία-Ευηµερία. 2ο Θεµελιώδες Θεώρηµα των Οικονοµικών της ευηµερίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς.

Γενική Ισορροπία-Ευηµερία. 2ο Θεµελιώδες Θεώρηµα των Οικονοµικών της ευηµερίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. Γενική Ισορροπία-Ευηµερία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία-Ευηµερία 19 Απριλίου 2013 1 / 20 Το πρώτο Θ.Θ.Ο.Ε. µας λέει ότι κάθε Βαλρασιανή

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Ασκήσεις Ιωάννα Καντζάβελου Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 1. Επιλογή Διαδρομής 2. Παραλλαγή του Matching Pennies 3. Επίλυση Matching Pennies με Βέλτιστες Αποκρίσεις 4. Επίλυση BoS με Βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

Condorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x).

Condorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x). Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άνοιξη 2012 Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης ηµόσια Οικονοµική ΙI Η διαδικασία της ψηφοφορίας Ως µεθόδου παροχής των δηµοσίων αγαθών (για τα ιδιωτικά αγαθά, ο µηχανισµός των τιµών).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο

Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 28.1 έως και 28.9 Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Cournot Stackelberg Bertrand

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Υπενθύµιση Τάξης ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να θυµηθείς πώς αντιµετωπίζουµε προβλήµατα της καθηµερινής µας ζωής µε τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία. Τιµές και εισόδηµα. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014

Μικροοικονοµική Θεωρία. Τιµές και εισόδηµα. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Μικροοικονοµική Θεωρία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Μικροοικονοµική Θεωρία 22 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 30 Τιµές και εισόδηµα Η συνάρτηση χρησιµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Μεικτές στρατηγικές σε παίγνια 2 Σημεία ισορροπίας: Ύπαρξη Δεν έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας Π.χ. Το Matching

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE 8.1. Γενικά Εδώ εξετάζουµε τους παράγοντες που επηρεάζουν τις τιµές των δικαιωµάτων προαίρεσης. Όπως θα δούµε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη.

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. 4. Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. Η αγορά ασφαλιστικών συµφωνιών είναι µία ιδιαίτερη περίπτωση αγοράς δικαιωµάτων. Αντικείµενο της αγοράς αυτής είναι να δώσει την ευκαιρία µεταβίβασης εισοδήµατος από

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ.

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Παίγνια πολλών παικτών 2 Παίγνια με > 2 παίκτες Όλοι οι ορισμοί που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Κεφάλαιο 3 Οικονοµικά των Επιχειρήσεων Ε. Σαρτζετάκης 1 Καταναλωτική συµπεριφορά! Σκοπός αυτής της διάλεξης είναι να εξετάσουµε τον τρόπο µε τον οποίο οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n.

Άσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n. http://elear.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /10/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /11/01

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: A (Apricot), B (Banana) [ ιαρκή Αγαθά].

Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: A (Apricot), B (Banana) [ ιαρκή Αγαθά]. 2.2. ΥΟΠΩΛΙΟ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΜΕ ΕΤΕΡΟΓΕΝΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΕΣ Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: (pricot), (anana) [ ιαρκή Αγαθά]. Υποθέτουµε µηδενικό κόστος παραγωγής και P, P, οι τιµές για το Α, αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Κεφάλαιο 7 Ε. Σαρτζετάκης Μονοπωλιακός ανταγωνισμός Η μορφή αγοράς του μονοπωλιακού ανταγωνισμού περιέχει στοιχεία πλήρους ανταγωνισμού (ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

5.1.1 Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 5.1 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ Ο κλάδος των Τηλεπικοινωνιών είναι από τους ταχέως αναπτυσσόµενους κλάδους σχεδόν σε κάθε χώρα. Οι υπηρεσίες τέτοιου είδους αποτελούν το πιο απλό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2. Missing Data mechanisms

2. Missing Data mechanisms Κεφάλαιο 2 ο 2. Missing Data mechanisms 2.1 Εισαγωγή Στην προηγούµενη ενότητα περιγράψαµε κάποια από τα βασικά µοτίβα εµφάνισης των χαµένων τιµών σε σύνολα δεδοµένων. Ένα άλλο ζήτηµα που µας απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

3. Η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής παρουσιάζει φθίνουσες, σταθερές, ή αύξουσες οικονοµίες κλίµακας; παραγωγής παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας.

3. Η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής παρουσιάζει φθίνουσες, σταθερές, ή αύξουσες οικονοµίες κλίµακας; παραγωγής παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. 1. Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής την f(k,l), όπου Κ είναι οι µονάδες κεφαλαίου και L είναι οι µονάδες εργασίας που χρησιµοποιεί. Αν ξέρουµε ότι το οριακό προϊόν της εργασίας είναι θετικό, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 19 Απριλίου 2013

Γενική Ισορροπία. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 19 Απριλίου 2013 Γενική Ισορροπία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία 19 Απριλίου 2013 1 / 50. Παρατήρηση. Στη γενική ισορροπία προσέξτε ότι οι καµπύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Λύσεις παιγνίων 2 Επιλέγοντας στρατηγική... Δεδομένου ενός παιγνίου, τι στρατηγική πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα