A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ. να βρείτε την τιμή του x

Σχετικά έγγραφα
ΝΟΕΜΒΡΙΟ Ημερομηνία: 12/11/2016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων):

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΘΕΜΑ 4 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που

1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό.

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

ΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία)

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

ΘΕΜΑ 4 Στο κυρτό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ ιςχφουν τα εξήσ: α = β, γ = δ και ε = ζ. α) Να υπολογίςετε το άθροιςμα α+ γ + ε. (Μονάδεσ 8) β) Αν οι πλευρζσ ΑΖ και

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

A

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

B τάξη Γυμνασίου ( 2 2) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009

Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=αx+β είναι μια ευκεία με εξίςωςθ y=αx+β θ οποία τζμνει τον άξονα των y ςτο ςθμείο Β(0,β) και ζχει κλίςθ λ=α.

β =. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3β + α α 3β αν δίνεται ότι: 3

lim x και lim f(β) f(β). (β > 0)

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα

Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ (Β - Γ Λυκείου)

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Β.1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 11 Νοεμβρίου 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Α=

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2017

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

4. Πότε δφο ποςά ονομάηονται ανάλογα ; 5. Να ςυμπλθρϊςετε τα κενά ςτισ παρακάτω προτάςεισ i) θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ είναι

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2008 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στη Γεωμετρία Σελίδα 1. (απ.: Ε ΕΒΓΔΗΖ = 44 cm 2 ) (απ.: ΒΗ = 8 cm, (BHΝ) = 12 cm 2 )

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ

ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1) Nα βρείτε τα Σ.Κ. τθσ ςυνάρτθςθσ

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε

Πρόβλημα 1 (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Μονάδες 2 (β) Αν ισχύει ότι: και αβγ 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Γ= + +.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου)

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB

α) Να αποδείξετε ότι = και = 2 (Μονάδες 15) β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΔ και ΓΕ. (Μονάδες 10)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η.

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ. Τρίτη 25 η Ιουνίου 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 7 8 (Α - Β Γυμνασίου)

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

Transcript:

A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξζταςησ: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογϊντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. 1) α) Να υπολογίςετε την τιμή τησ παράςταςησ : 2 19 7 β) Αν 1 x 1 20 4 να βρείτε την τιμή του x 1 4 2 1 2 5 A 1 7 2 6 2 2) Ο μιςθόσ του Νίκου είναι 60 ηην εβδομάδα για επγαζία 44 ωπών. Αν ο εβδομαδιαίορ μιζθόρ ηος Νίκος αςξηθεί καηά 10% και οι ώπερ επγαζίαρ μειωθούν καηά 10%, να ςπολογίζεηε ηο νέο ωπιαίο μιζθό ηο Νίκος. ) Ζνασ αριθμόσ αποτελείται μόνο από τα ψηφία 1 και 2 και διαιρείται με το 6. Να βρείτε το μικρότερο αριθμό που υπάρχει. 4) Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Bˆ Γˆ 2Αˆ. Από τη κορυφή Γ φζρνουμε ευθεία ε παράλληλη προσ την πλευρά ΑΒ. Η διχοτόμοσ τησ γωνίασ Ε και την ευθεία ε ςτο ςημείο Δ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΑΒΓ και τη γωνία ΒΓΔ ˆ ABΓ τζμνει πλευρά ΑΓ ςτο β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΓΕ και ΒΓΔ είναι ιςοςκελή

Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. 1) Ο μιςθόσ του Νίκου είναι 60 ηην εβδομάδα για επγαζία 44 ωπών. Αν ο εβδομαδιαίορ μιζθόρ ηος Νίκος αςξηθεί καηά 10% και οι ώπερ επγαζίαρ μειωθούν καηά 10%, να ςπολογίζεηε ηο νέο ωπιαίο μιζθό ηο Νίκος. 2) α) Αν ιςχφει ότι: β 4 5, α 6 γ 6 Να βρείτε την τιμή τησ παράςταςησ: 9 α 2β 16 2γ Γ α 12 4γ β) Να υπολογίςετε: 2014 201 2012 2011 2 A 2 (2 2 2... 2 2 2 1) ) Υπάρχουν δφο αδζλφια ο Κώςτασ και ο Γιάννησ. Η ηλικία του Κώςτα είναι μεταξφ 0 και 40 χρονών, και η ηλικία του Γιάννη, είναι μεταξφ 40 και 50 χρονών. Το γινόμενο των ηλικιών τουσ είναι τζλειοσ κφβοσ. Να βρείτε το άθροιςμα των ηλικιών τουσ. 4) Στο πιο κάτω ςχήμα τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΕΔΗΖ είναι ίςα με εμβαδόν 16cm 2 το κάθε ζνα. Αν Θ είναι το μζςο τησ ΒΓ και ΕΖ, να βρείτε το εμβαδόν ΑΒΘΖΗΔΑ.

Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογϊντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. 1. Υπάρχουν δφο αδζλφια ο Κϊςτασ και ο Γιάννησ. Η ηλικία του Κϊςτα είναι μεταξφ 0 και 40 χρονϊν, και η ηλικία του Γιάννη, είναι μεταξφ 40 και 50 χρονϊν. Το γινόμενο των ηλικιϊν τουσ είναι τζλειοσ κφβοσ. Να βρείτε το άθροιςμα των ηλικιϊν τουσ. 2. Αν A 124567891 124567896 124567898 και B 124567899 124567894 124567892 να υπολογίςετε τη διαφορά Β- Α.. Ποιοσ είναι ο μικρότεροσ αριθμόσ διαδοχικϊν θετικϊν ακεραίων που όταν προςτεθοφν δίνουν τον αριθμό 1000. Να γράψετε αυτοφσ τουσ αριθμοφσ. 4. Στο παρακάτω ςχήμα τα δφο ορθογϊνια ΑΒΓΔ και ΑΕΖΗ είναι ίςα. Η πλευρά ΕΖ διχοτομεί την πλευρά ΓΔ ςτο ςημείο Μ. Αν ΑΒ=8cm και ΜΖ = 2cm, να βρεθεί το εμβαδόν τησ ςκιαςμζνησ επιφάνειασ των δφο ορθογωνίων.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 2014 A ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ : 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Δίνεηαι ηπίγωνο με ηα ζημεία και να είναι ηα μέζα ηων πλεςπών και ανηίζηοισα Αν και ηόηε α) Να βπείηε ηο ζςναπηήζει ηων και β) Να δείξεηε όηι γ) Να δείξεηε όηι ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α) Να δείξεηε όηι β) Να ςπολογίζεηε ηην παπάζηαζη ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σηο ζσήμα οι εςθείερ και είναι εθαπηόμενερ ηος κύκλος ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Να δείξεηε: α) β) γ) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 α) Να δείξεηε όηι β) Αν ιζσύει όηι να δείξεηε όηι όπος και

Β ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 α) Να δείξετε ότι β) Να υπολογίςετε την παράςταςη ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α) Να δείξετε ότι όπου και β) Αν ιςχφει ότι να δείξετε ότι ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο διπλανό ςχήμα δφο μικροί κφκλοι τζμνονται μεταξφ τουσ και εφάπτονται ενόσ μεγαλφτερου κφκλου. Τα ςημεία βρίςκονται ςτην ίδια ευθεία και. Να υπολογίςετε το εμβαδό του ςκιαςμζνου χωρίου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Έςτω μια ςυνάρτηςη με ( ),. Αν ιςχφει ότι, τότε να βρείτε την τιμή.

Γ ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. Θέμα 1 Δίνεται η ςυνάρτηςη με και και ιςχφουν οι προχποθζςεισ του Θ.Μ.Τ. ςτο διάςτημα με. Να αποδείξετε ότι Α) Β) Θέμα 2 Έζηω,, θαη. Να βξεζεί ε. Θέμα Σην δηπιαλό ζρήκα δύν κηθξνί θύθινη ηέκλνληαη κεηαμύ ηνπο θαη εθάπηνληαη ελόο κεγαιύηεξνπ θύθινπ. Τα ζεκεία βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία θαη. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ζθηαζκέλνπ ρωξίνπ. Θέμα 4 Μηα ππνινγηζηηθή κεραλή ππνινγίδεη (πξνζεγγηζηηθά) ηηο δπλάκεηο ηνπ αξηζκνύ (δειαδή ηηο ηηκέο ηνπ γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ) ρξεζηκνπνηώληαο ην άζξνηζκα. (α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε πξνζέγγηζε ηεο ππνινγηζηηθήο κεραλήο είλαη κηθξόηεξε από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ. (β) Γηα πνηεο ζεηηθέο ηηκέο ηνπ είλαη θαιή ε πξνζέγγηζε ηεο ππνινγηζηηθήο κεραλήο (έρεη κηθξόηεξν ζθάικα); Γηα ηηο ηηκέο θνληά ζην ή γηα πην κεγάιεο ηηκέο; Να αηηηνινγήζεηε επαξθώο ηελ απάληεζε ζαο.

A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομθνία: 08/11/2014 Ώρα Εξζταςθσ: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. 1) α) Να υπολογίςετε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ : 2 19 7 β) Αν 1 x 1 20 4 α) να βρείτε τθν τιμι του x 2 2 1 4 2 1 2 5 A 1 7 2 6 1 4 2 2 1 12 10 1 9 2 2 5 2 15 4 15 10 A 1 7 6 1 6 7 6 2 20 2 6 7 7 1 2 β) 2 19 1 1 x 1 20 4 2 2 x 1 10 2 19 15 x 1 20 20 x 1 10 x 2 4 x 1 20 2) Ο μιςκόσ του Νίκου είναι 60 ηην εβδομάδα για επγαζία 44 ωπών. Αν ο εβδομαδιαίορ μιζθόρ ηος Νίκος αςξηθεί καηά 10% και οι ώπερ επγαζίαρ μειωθούν καηά 10%, να ςπολογίζεηε ηο νέο ωπιαίο μιζθό ηο Νίκος. 10 60 60 60 6 96 100

10 44 44 44 4,4 9,6 100 96 10 Άπα ο Νίκορ θα παίπνει 10 ηην ώπα 9,6 ) Ζνασ αρικμόσ αποτελείται μόνο από τα ψθφία 1 και 2 και διαιρείται με το 6. Να βρείτε το μικρότερο αρικμό που υπάρχει. Αφοφ ο αρικμόσ διαιρείται με το 6 τότε διαιρείται με το 4 και 9. - Ο αρικμόσ διαιρείται με το 4 άρα τα δφο τελευταία ψθφία του πρζπει να ςχθματίηουν αρικμό πολλαπλάςιο του 4 δθλαδι 12 - Ο αρικμόσ διαιρείται με το 9 άρα το άκροιςμα το ψθφίων του πρζπει να είναι 9. Άρα ο πιο μικρόσ αρικμόσ είναι ο 22212 4) Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Bˆ Γˆ 2Αˆ. Από τθ κορυφι Γ φζρνουμε ευκεία ε παράλλθλθ προσ τθν πλευρά ΑΒ. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τθν ευκεία ε ςτο ςθμείο Δ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΑΒΓ και τθ γωνία ΒΓΔ β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΓΕ και ΒΓΔ είναι ιςοςκελι ˆ ABΓ τζμνει πλευρά ΑΓ ςτο Ε και α) Το άκροιςμα γωνιϊν τριγϊνου είναι 180 0 ˆ ˆ ˆ 0 ABΓ 180 ˆ ˆ ˆ 0 A2Α 2Α 180 τότε ˆΑ 6 0 0 και ΒˆΓ ˆ 72 ΒΕ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Β τότε ΒAΓ ˆ ΑΓΔ ˆ 6 AΒE ˆ EBΓ ˆ 6 0 ωσ εντόσ εναλλάξ γωνίεσ ςτισ ΑΒ//ε ΒΓΔ ˆ BΓΕ ˆ ΕΓΔ ˆ 72 6 108 0 0 0 0 0 0 0 β) - ΓΕΒ ˆ ΕΑΒ ˆ ΑBΕ ˆ 6 6 72 ωσ εξωτερικι γωνία του τριγϊνου ΑΒΕ 0 ΑφοφΓΕΒ ˆ ΒΓΕ ˆ 72 τότε το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ιςοςκελζσ 0 - AΒΕ ˆ ΒΔΓ ˆ 6 ωσ εντόσ εναλλάξ γωνίεσ ςτισ ΑΒ//ε Τότε το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ιςοςκελζσ.

Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογώντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. 1) Ο μιςκόσ του Νίκου είναι 60 ηην εβδομάδα για επγαζία 44 ωπών. Αν ο εβδομαδιαίορ μιζθόρ ηος Νίκος αςξηθεί καηά 10% και οι ώπερ επγαζίαρ μειωθούν καηά 10%, να ςπολογίζεηε ηο νέο ωπιαίο μιζθό ηο Νίκος. 10 60 60 60 6 96 100 10 44 44 44 4,4 9,6 100 96 10 Άπα ο Νίκορ θα παίπνει 10 ηην ώπα 9,6 2) α) Αν ιςχφει ότι: β 4 5, α 6 γ 6 Να βρείτε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ: 9 α 2β 16 2γ Γ α 12 4γ β) Να υπολογίςετε: 2014 201 2012 2011 2 A 2 (2 2 2... 2 2 2 1) 9 α 2β 16 2γ 9 α 2β 16 2γ α) Γ α 12 4γ α α 12 12 4γ 4γ 1 β 1 4 1 β 4 1 1 1 5 1 1 1 10 4 6 9 α 6 4 γ 2 α 6 γ 4 2 6 4 2 12 12 4

β) Να υπολογίςετε: 2014 201 2012 2011 2 A 2 (2 2 2... 2 2 2 1) α τρόποσ 2014 201 2012 2011 2 2A 22 2 (2 2 2... 2 2 2 1) 2015 2014 201 2012 4 2 2A 2 2 2 2... 2 2 2 2 A 2A A 2015 2014 201 2012 2 2014 201 2012 2011 2 2 2 2 2... 2 2 2 2 2 2... 2 2 1 2015 2014 2014 2015 2014 2015 2015 2 2 2 12 22 1 2 2 1 1 β τρόποσ 2014 201 2012 2011 2 A 2 2 2 2... 2 2 21 201 201 2012 2011 2 201 2012 2011 2 2 2 2 2 2... 2 2 2 1 2 2 2... 2 2 2 1 2012 2012 2011 2 2 2 2 2... 2 2 2 1... 1 ) Υπάρχουν δφο αδζλφια ο Κώςτασ και ο Γιάννθσ. Η θλικία του Κώςτα είναι μεταξφ 0 και 40 χρονών, και θ θλικία του Γιάννθ, είναι μεταξφ 40 και 50 χρονών. Το γινόμενο των θλικιών τουσ είναι τζλειοσ κφβοσ. Να βρείτε το άκροιςμα των θλικιών τουσ. Αφοφ θ θλικία του Κώςτα είναι μεταξφ 0 και 40 και θ θλικία του Γιάννθ είναι μεταξφ 40 και 50 τότε το γινόμενο των θλικιών τουσ είναι μεταξφ 1200 και 2000 άρα αναηθτώ ζνα τζλειο κφβο μεταξφ 1200 και 2000 Το 10 1000, 11 11, 12 1728 11 απορρίπτεται γιατί το 11 είναι πρώτοσ αρικμόσ ενώ 2 6 2 2 4 12 2 2 2 2 6 48 Άρα ο Κώςτασ είναι 6 χρονών και ο Γιάννθσ 48 χρονών. Το άκροιςμα των θλικιών τουσ είναι 6 48 84

4) Στο πιο κάτω ςχιμα τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΕΔΗΖ είναι ίςα με εμβαδόν 16cm 2 το κάκε ζνα. Αν Θ είναι το μζςο τθσ ΒΓ και ΕΖ, να βρείτε το εμβαδόν ΑΒΘΖΗΔΑ. Tο εμβαδόν του κάκε τετραγώνου είναι 16cm 2 τότε ΑΒ = ΕΖ = 4cm. Φζρνω το ευκφγραμμο τμιμα ΘΔ, τότε ςχθματίηονται δφο ίςα ορκογώνια τρίγωνα ΕΔΘ και ΘΔΓ. Το Θ αφοφ είναι το μζςον των ΕΖ και ΒΓ τότε ΕΘ = ΘΓ = 2cm. βυ 24 2 Το EΘΕΔ ΕΘΓΔ 4cm 2 2 Άρα το ηθτοφμενο εμβαδόν είναι Ε E E Ε Ε 216 24 24cm ΑΒΓΔ ΕΖΗΔ ΘΓΔ ΘΕΔ 2

Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. 1. Υπάρχουν δφο αδζλφια ο Κϊςτασ και ο Γιάννθσ. Θ θλικία του Κϊςτα είναι μεταξφ 0 και 40 χρονϊν, και θ θλικία του Γιάννθ, είναι μεταξφ 40 και 50 χρονϊν. Το γινόμενο των θλικιϊν τουσ είναι τζλειοσ κφβοσ. Να βρείτε το άκροιςμα των θλικιϊν τουσ. Αφοφ θ θλικία του Κϊςτα είναι μεταξφ 0 και 40 και θ θλικία του Γιάννθ είναι μεταξφ 40 και 50 τότε το γινόμενο των θλικιϊν τουσ είναι μεταξφ 1200 και 2000 άρα αναηθτϊ ζνα τζλειο κφβο μεταξφ 1200 και 2000 Το 10 1000, 11 11, 12 1728 11 απορρίπτεται γιατί το 11 είναι πρϊτοσ αρικμόσ ενϊ 2 6 2 2 4 12 2 2 2 2 6 48 Άρα ο Κϊςτασ είναι 6 χρονϊν και ο Γιάννθσ 48 χρονϊν. Το άκροιςμα των θλικιϊν τουσ είναι 6 48 84 2. Αν A 124567891 124567896 124567898 και B 124567899 124567894 124567892 να υπολογίςετε τθ διαφορά Β - Α. Ζςτω α 124567895 τότε τότε 2 2 2 A α 4 α 1 α α α 4 α α α α 9α 4α 12 A α 1α 12

τότε 2 2 2 B α 4 α 1 α α α 4 α α α α 9α 4α 12 B α 1α 12 B A α 1α 12 α 1α 12 α 1α 12 α 1α 12 24 Τότε BA 24. Ποιοσ είναι ο μικρότεροσ αρικμόσ διαδοχικϊν κετικϊν ακεραίων που όταν προςτεκοφν δίνουν τον αρικμό 1000. Να γράψετε αυτοφσ τουσ αρικμοφσ. α) Δεν μπορεί να είναι 2 διαδοχικοί κετικοί ακζραιοι γιατί το άκροιςμα τουσ είναι περιττόσ αρικμόσ β) ζςτω ότι είναι διαδοχικοί ακζραιοι οι x, x 1, x 2 τότε 997 x x 1x 2 1000 x 1000 x 997 x Απορρίπτεται γιατί το x δεν είναι ακζραιοσ γ) ζςτω ότι είναι 4 διαδοχικοί ακζραιοι οι x, x 1, x 2, x τότε 994 x x 1x 2x 1000 4x 6 1000 4x 994 x 4 Απορρίπτεται γιατί το x δεν είναι ακζραιοσ δ) ζςτω ότι είναι 5 διαδοχικοί ακζραιοι οι x, x 1, x 2, x, x 4 τότε x x 1x 2x x 4 1000 990 5x 10 1000 5x 990 x 198 5 Άρα υπάρχουν 5 διαδοχικοί κετικοί ακζραιοι οι οποίοι είναι : 198, 199, 200, 201, 202 4. Στο παρακάτω ςχιμα τα δφο ορκογϊνια ΑΒΓΔ και ΑΕΗΘ είναι ίςα. Θ πλευρά ΕΗ διχοτομεί τθν πλευρά ΓΔ ςτο ςθμείο Μ. Αν ΑΒ=8cm και ΜΗ = 2cm, να βρείτε το εμβαδόν τθσ ςκιαςμζνθσ επιφάνειασ των δφο τριγϊνων. Φζρνω τθν ΑΜ. Δθμιουργοφνται δφο ορκογϊνια τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΜΕ. Αν ΑΔ=x τότε ΕΜ=x-2 και ΑΕ=8 Στο τρίγωνο ΑΜΔ από το πυκαγόρειο κεϊρθμα ιςχφει: AM AΔ ΔΜ 2 2 2 (1) Στο τρίγωνο ΑΜΕ από το πυκαγόρειο κεϊρθμα ιςχφει: AM AE EΜ 2 2 2 (2)

Από τισ (1) και (2) : AΔ ΔΜ AE EΜ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 4 8 x 2 x 16 64 x 4x 4 x 1 Εμβαδόν μθ ςκιαςμζνθσ επιφάνειασ: AΔΔΜ AEEΜ 14 811 2 E 70cm 2 2 2 2 Συνεπϊσ το εμβαδόν τθσ ςκιαςμζνθσ επιφάνειασ είναι : Ε 2E 2Ε 281270 68cm Σ ABΓΔ 2

A ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Γίνεηαι ηπίγωνο με ηα ζημεία και να είναι ηα μέζα ηων πλεςπών και ανηίζηοισα Αν και ηόηε α) Να βπείηε ηο ζςναπηήζει ηων και Λύζη: μέζο ΒΑ άπα μέζο ΑΓ άπα β) Να δείξεηε όηι γ) Να δείξεηε όηι θα πρέπει να δείξουμε ότι ιςχύει για κάποια ηιμή ηος κ. από ηο επώηημα β δείξαμε όηι άπα ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α) Να δείξεηε όηι αθού είναι άθποιζμα θεηικών απιθμών ( ), άπα Α>Β

β) Να ςπολογίζεηε ηην παπάζηαζη = ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σηο ζσήμα οι εςθείερ και είναι εθαπηόμενερ ηος κύκλος ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Να δείξεηε: α) Σςγκπίνω ηα ηπίγωνα ακηίνα κάθεηη ζηην εθαπηομένη) ακηίνερ κοινή πλεςπά Τα ηπίγωνα είναι ίζα γιαηί είναι οπθογώνια με δύο ανηίζηοισερ πλεςπέρ ίζερ άπα και οι ηπίηερ πλεςπέρ ανηίζηοισα ίζερ μεηαξύ ηοςρ δηλαδή Δπίζηρ και οι ανηίζηοισερ γωνίερ ίζερ δηλαδή β) Σςγκπίνω ηα ηπίγωνα ΓΓ ακηίνα κάθεηη ζηην εθαπηομένη ακηίνερ κοινή πλεςπά Τα ηπίγωνα είναι ίζα γιαηί είναι οπθογώνια με δύο ανηίζηοισερ πλεςπέρ ίζερ άπα και οι ανηίζηοισερ γωνίερ ίζερ δηλαδή γ) Άπα επίζηρ και έηζι ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 α) Να δείξεηε όηι όπος και β) Αν ιζσύει όηι να δείξεηε όηι Από ηο επώηημα α πποκύπηει

Β ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογώντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 α) Να δείμεηε όηη αθνύ είλαη άζξνηζκα ζεηηθώλ αξηζκώλ ( ) άξα Α>Β β) Να ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε = ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α) Να δείμεηε όηη όπνπ θαη β) Αλ ηζρύεη όηη λα δείμεηε όηη Από ην εξώηεκα α πξνθύπηεη

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σην δηπιαλό ζρήκα δύν κηθξνί θύθινη ηέκλνληαη κεηαμύ ηνπο θαη εθάπηνληαη ελόο κεγαιύηεξνπ θύθινπ. Τα ζεκεία βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία θαη. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ζθηαζκέλνπ ρωξίνπ. Λφςθ Έςτω : Το εμβαδό του Μεγάλου Κφκλου : Το εμβαδό ενόσ από τουσ ΜικροφσΚφκλου : Το εμβαδό τθσ Τομισ των μικρών Κφκλων. Τότε το ηθτοφμενο εμβαδό ( υπολογίηεται από τθ ςχζςθ. Για τον υπολογιςμό του εργαηόμαςτε ωσ εξισ: Φζρουμε τα ευκφγραμμα τμιματα. Ιςχφει ότι Άρα τα τρίγωνα και είναι ιςόπλευρα που ςθμαίνει το αποτελείται από δφο κυκλικά τμιματα κφκλων ακτίνασ και γωνίασ. ( ) ( ) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Έζηω κηα ζπλάξηεζε κε,. Αλ ηζρύεη όηη, ηόηε λα βξείηε ηελ ηηκή. Λύση Εθαξκόδνπκε ηε ζπλάξηεζε Επνκέλωο έρνπκε όηη: ζηε ζρέζε ( ) ή ( ) Γηα, έρνπκε: [ ] Αλ Ξέξνπκε όκωο όηη, επνκέλωο, άξα ηειηθά έρνπκε

Γ ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 Θέμα 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Δίνεται θ ςυνάρτθςθ με και και ιςχφουν οι προχποκζςεισ του Θ.Μ.Τ. ςτο διάςτθμα με. Να αποδείξετε ότι Α) Β) Λφςθ ζτςι Α) Ιςχφουν οι προχποκζςεισ του Θ.Μ.Τ άρα : ( ) (*) Β) ζτςι για ιςχφει ότι αφξουςα Η είναι αφξουςα άρα για ιςχφει Από (*) Άρα

Θέμα 2 Έζηω,, θαη. Να βξεζεί ε. Λφςθ Τν είλαη πνιπώλπκν β βαζκνύ κε ζπληειεζηή ηνπ ην 5. L=. Αθνύ ην όξην ππάξρεη θαη ηζνύηαη κε ζεκαίλεη ε κηα ξίδα ηνπ είλαη ην 2, ώζηε λα γίλεηαη απινπνίεζε θαη λα κελ κεδελίδεηαη ν παξνλνκαζηήο. Θ έμα Σην δηπιαλό ζρήκα δύν κηθξνί θύθινη ηέκλνληαη κεηαμύ ηνπο θαη εθάπηνληαη ελόο κεγαιύηεξνπ θύθινπ. Τα ζεκεία βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία θαη. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ζθηαζκέλνπ ρωξίνπ. Λφςθ Ζςτω : Το εμβαδό του Μεγάλου Κφκλου : Το εμβαδό ενόσ από τουσ Μικροφσ Κφκλου : Το εμβαδό τθσ Τομισ των μικρών Κφκλων. Τότε το ηθτοφμενο εμβαδό υπολογίηεται από τθ ςχζςθ. Για τον υπολογιςμό του εργαηόμαςτε ωσ εξισ: Φζρουμε τα ευκφγραμμα τμιματα. Ιςχφει ότι Άρα τα τρίγωνα και είναι ιςόπλευρα που ςθμαίνει το αποτελείται από δφο κυκλικά τμιματα κφκλων ακτίνασ και γωνίασ. ( ) ( ) ( ) Θέμα 4 Μηα ππνινγηζηηθή κεραλή ππνινγίδεη (πξνζεγγηζηηθά) ηηο δπλάκεηο ηνπ αξηζκνύ (δειαδή ηηο ηηκέο ηνπ γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ) ρξεζηκνπνηώληαο ην άζξνηζκα. (α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε πξνζέγγηζε ηεο ππνινγηζηηθήο κεραλήο είλαη κηθξόηεξε από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ.

(β) Γηα πνηεο ζεηηθέο ηηκέο ηνπ είλαη θαιή ε πξνζέγγηζε ηεο ππνινγηζηηθήο κεραλήο (έρεη κηθξόηεξν ζθάικα); Γηα ηηο ηηκέο θνληά ζην ή γηα πην κεγάιεο ηηκέο; Να αηηηνινγήζεηε επαξθώο ηελ απάληεζε ζαο. Λφςθ (α) Ορίηεται θ ςυνάρτθςθ: υπολογιςτικισ μθχανισ. Επομζνωσ θ είναι αφξουςα, άρα Επομζνωσ θ είναι αφξουςα, άρα Επομζνωσ θ είναι αφξουςα, άρα Συνεπώσ ζχουμε, άρα που μασ δίνει το ςφάλμα του υπολογιςμοφ τθσ Επομζνωσ θ πραγματικι τιμι του υπολογιςτικι μθχανι. είναι μεγαλφτερθ από τθν προςζγγιςθ που δίνει θ (β) Η μασ δίνει το ςφάλμα του αποτελζςματοσ τθσ υπολογιςτικισ μθχανισ. Αποδείξαμε ότι θ είναι αφξουςα ςυνάρτθςθ για. Επομζνωσ όςο αυξάνονται οι τιμζσ του, αυξάνονται κι οι τιμζσ τθσ ςυνάρτθςθσ, άρα ουςιαςτικά αυξάνεται το ςφάλμα τθσ υπολογιςτικισ μθχανισ. Επομζνωσ μικρότερο ςφάλμα ζχουμε για τιμζσ του κοντά ςτο.