α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα"

Καλλιστώ Μελετόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΤΣΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕΕΡΙ A. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Αν f > ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςε όλο το Δ f> Μονάδες 7 A. Πότε λζμε ότι μία ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα κλειςτό διάςτθμα *α, β+; Μονάδες A3. Ζςτω ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ Α. Πότε λζμε ότι θ f παρουςιάηει ςτο A τοπικό μζγιςτο; Μονάδες A. Να χαρακτηρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουθοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ δίπλα ςτο γράμμα που αντιςτοιχεί ςε κάθε πρόταςη τη λζξη Σωστό, αν η πρόταςη είναι ςωςτή, ή Λάθος, αν η πρόταςη είναι λανθαςμζνη. α Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα β Μια ςυνάρτθςθ f είναι -, αν και μόνο αν για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμϊν τθσ θ εξίςωςθ f=y ζχει ακριβϊσ μία λφςθ ωσ προσ γ Αν είναι lim f ημ τότε f< κοντά ςτο δ ', R { } ε fg' d [ f g ] f' gd όπου fϋ, g ϋ είναι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ ςτο *α,β+ a Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωροφμε τουσ μιγαδικοφσ αρικμοφσ και w για τουσ οποίουσ ιςχφουν οι επόμενεσ ςχζςεισ: 5w w

2 B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων των μιγαδικϊν αρικμϊν ςτο επίπεδο είναι κφκλοσ με κζντρο τθν αρχι των αξόνων και ακτίνα ρ = B. Αν, είναι δφο από τουσ παραπάνω μιγαδικοφσ αρικμοφσ με τότε, να βρείτε το Μονάδες 7 B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων των μιγαδικϊν αρικμϊν w y ςτο επίπεδο είναι θ ζλλειψθ με εξίςωςθ και ςτθ ςυνζχεια να 9 βρείτε τθ μζγιςτθ και τθν ελάχιςτθ τιμι του w B. Για τουσ μιγαδικοφσ αρικμοφσ,w που επαλθκεφουν τισ ςχζςεισ και να αποδείξετε ότι: w

3 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f = ln, > Γ. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο διάςτθμα Δ =,] και γνθςίωσ αφξουςα ςτο διάςτθμα Δ =[,+. Στθ ςυνζχεια να βρείτε το ςφνολο τιμϊν τθσ f Γ. Να αποδείξετε ότι θ εξίςωςθ 3, ζχει ακριβϊσ δφο κετικζσ ρίηεσ., 3-= Γ3. Αν, με < είναι οι ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ του ερωτιματοσ Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει, τζτοιο, ϊςτε f ' f Γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ g=f+ με >, τον άξονα ϋ και τθν ευκεία = Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Ζςτω θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f :, + R, θ οποία για κάκε > ικανοποιεί τισ ςχζςεισ: f ln - ft lnt - t f t f l Δ. Να αποδείξετε ότι θ f είναι παραγωγίςιμθ και να βρείτε τον τφπο τθσ. Μονάδες

4 Αν είναι f = nl, >, τότε: Δ. Να υπολογίςετε το όριο: lim [ f f ] f Μονάδες 5 Δ3. Με τθ βοικεια τθσ ανιςότθτασ ln που ιςχφει για κάκε >, να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ a F ft, όπου α>, είναι κυρτι μονάδεσ. Στθ ςυνζχεια να αποδείξετε ότι: F + F3 > F, για κάκε > μονάδεσ. Δ. Δίνεται ο ςτακερόσ πραγματικόσ αρικμόσ β>. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ β, β τζτοιο ϊςτε: F β + F 3β = F ξ Μονάδες

5 ΕΝΔΕΙΚΣΙΚΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξθ ςχολικοφ βιβλίου ςελ. 53 Α. Οριςμόσ ςελ. 9 Α3. Οριςμόσ ςελ. 58 Α. α. Σ, β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ΘΕΜΑ Β Β. κφκλοσ με Κ, ρ= Β. ος τρόπος Είναι M. M M Παρατθρϊ ότι το τρίγωνο M OM, είναι ορκογϊνιο αφοφ OM OM M M M M και ιςοςκελζσ αφοφ OM OM

6 Το τετράπλευρο ΟΜ ΜΜ είναι τετράγωνο αφοφ ζχω παραλ/μο με ορκι και διαδοχικζσ πλευρζσ ίςεσ Άρα M M OM ος τρόπος Εφαρμόηω τον κανόνα παραλλθλογράμμου αφοφ τον αποδείξω.. Γνωρίηουμε ότι:, Άρα Άρα 3 ος τρόπος Όμωσ, ανικουν ςτον γ.τόπο του Β άρα άρα Θζτω A A A A Όμωσ Α> άρα Α=

7 Β3. w 5w Ζςτω w yi, τότε w yi οπότε w 5w yi 5 yi yi 5 5yi w 5w 6yi 6y 6 36 y 9 : y a 9 Ιςχφει ότι: 5 Ο μεγάλοσ άξονασ βρίςκεται ςτον χϋχ. Β, Α -3, O Α 3, B, - Ζχω w ma όταν θ Μw βρίςκεται ςτο Α ι ςτο Αϋ Επομζνωσ w ma 3 και ζχω w min όταν θ Μw βρίςκεται ςτο Β ι Βϋ Επομζνωσ w min

8 Β. Β, Γ, Α -3, O Α 3, Γ, - Β, - w ma A 3 w min άρα - w Γ. f ' ln, f '' για κάκε Άρα f ςτο, με f ' Οπότε f ' f ' f ' f ' Για f ' f ' f ' f ' X f ' - + f, f ολικό ελάχιςτο με f Οπότε f ςτο Δ =,+ με f [ f, lim f

9 Και lim f lim ln Άρα f [, f ςτο Δ =[,+ με f [ f, lim f Και lim f lim ln και f [, Άρα f f f [, Γ. 3 με Οπότε ln ln 3 Άρα ln 3 ln Άρα ln f Η f ςτο,] ζχει ςφνολο τιμϊν f [, και θ τιμι ανικει ςτο f. Άρα υπάρχει μοναδικό και αφοφ θ f ςτο τζτοιο ϊςτε f. f [, και f Υπάρχει μοναδικό και αφοφ θ f ςτο με f Άρα θ f ζχει ακριβϊσ κετικζσ ρίηεσ για κάκε Γ3. f, f Ζχω f ' f, άρα κεωρϊ h f ' f. Για τθν h κεϊρθμα Bolano ςτο [, ], ιςχφει: h ςυνεχισ ςτο [, ]

10 h f ' f f ' h f ' f f ' h h f ' f ' Άρα υπάρχει, τζτοιο ϊςτε h o Άρα f ' f o f ' f o o o Γ. g f ln ln Άρα g ςτο, E g d ln d ln ln [ ln ] [ ln ] [ ln ] [ ] [ ln ] [ ] d d d d ln ln ln ln ln - + g τετραγωνικζσ μονάδεσ ΘΕΜΑ Δ Δ. Ζχω f t ; Θεωρϊ G f t με G,,> και G f t, Άρα G G,,

11 Άρα G Θεϊρθμα Frmat Ζχω G f, και G Άρα G f f f Ζχω f ςυνεχι ςτο, και f f Άρα, άρα f<, άρα θ f διατθρεί ςτακερό πρόςθμο, με ln ln t t f t f ln ln t t f t f Ζχω ln t t ln f με ln-<, αφοφ ln, f t ln t t Άρα. Ζτςι f t ln ln t t f t =f Άρα θ f παραγωγίςιμθ ωσ πθλίκο παραγωγίςιμων ςυναρτιςεων. Επομζνωσ ln f ln t t f t ln f ln t t f t ln f ln t t f t ln ln, f f άρα ln c, c R, f Για =, ζχω ln f c, c, c, c ln ln Άρα :, f, f ln f, Δ. Ζχω lim f lim ln, άρα κζτοντασ u,lim u lim f f

12 u u u u lim [ f f ] lim u lim lim lim o f u u u u u u u u Δ3. F' f ln F'' ln ln, Αφοφ ln ln δθλ. F, Άρα ln, Δθλ. θ F είναι κυρτι ςτο, Θ.Μ.Τ για τθν F ςτα διαςτιματα [, ] και [, 3]. Άρα υπάρχουν,,,3 ϊςτε Και F ' F ' F- F F- F F3- F 3 F3- F Όμωσ F κυρτι θ F άρα F' F ' F F F3 F F F F3, F F F3 F Δ. Θεωρϊ H F F - F3, [, ] με Η ςυνεχισ ωσ πράξθ ςυνεχϊν ςυναρτιςεων, ςτο *β, β+ Ζχω H F F - F3 F - F3 Αφοφ F ςτο, και ζχοντασ β 3β Fβ F3β Fβ F3β

13 Η F είναι, αφοφ F' f ln, αφοφ ln ln και H F F - F3 Αφοφ από Δ3. για =β, ζχω F F3 F F - F - F3 Άρα για τθν Η ιςχφει το Θεϊρθμα Bolano, δθλαδι υπάρχει ζνα τουλάχιςτον ξ β, β ϊςτε Ηξ= F F F3

Σχετικά έγγραφα

lim x και lim f(β) f(β). (β > 0)

lim x και lim f(β) f(β). (β > 0) . Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςτο * α, β + ( 0 < α < β ) ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ιςχφουν: f(α) lim (-) a και lim ( f(β)) = Να δείξετε ότι: α. f(α) < α και f(β) > β β. Αν g() = τότε θ C f και C g ζχουν ζνα