Έλεγχος Κίνησης Σημειώσεις του Θεωρητικού Μέρους

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Έλεγχος Κίνησης Σημειώσεις του Θεωρητικού Μέρους Ενότητα: Μέρος Α Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Coons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας... 4. Συστήματα Περιστροφικής Κίνησης... 5. Βασικές έννοιες και μεγέθη... 5. Στατική ισορροπία του συστήματος κίνησης... 7.3 Δυναμική συμπεριφορά του συστήματος κίνησης... 9. Ηλεκτροκινητήρες Συνεχούς Ρεύματος.... Γενικά χαρακτηριστικά και λειτουργία.... Βασικές εξισώσεις....3 Στατική συμπεριφορά... 4.4 Μέθοδοι ρύθμισης του μεταστρεφόμενου κινητήρα σ.ρ.... 8.5 Δυναμική συμπεριφορά... 3.6 Απόκριση σε μεταβολές της τάσης τυμπάνου... 5.7 Απόκριση σε μεταβολές της ροπής φορτίου... 3 3

Σκοποί ενότητας Το παρόν τεύχος σημειώσεων απευθύνεται στους φοιτητές που παρακολουθούν το μάθημα ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ του προγράμματος σπουδών του Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού. Σκοπός της ενότητας «Έλεγχος Κίνησης Σημειώσεις Θεωρητικού Μέρους - Τεύχος Α» είναι οι φοιτητές που παρακολουθούν την ενότητα να: κατανοήσουν τα συστήματα περιστροφικής κίνησης και να γνωρίσουν σε βάθος τις βασικές έννοιες και μεγέθη που χρησιμοποιούνται σ αυτά, κατανοήσουν τη συμπεριφορά ενός συστήματος κίνησης και να είναι σε θέση να αντιληφθούν τη διαφορά της στατικής ισορροπίας και της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος κίνησης, γνωρίσουν τα γενικά χαρακτηριστικά και τη λειτουργία των ηλεκτροκινητήρων συνεχούς ρεύματος, γνωρίσουν τις μεθόδους ρύθμισης του μεταστρεφόμενου κινητήρα σ.ρ., είναι σε θέση να επιλύουν προβλήματα σχετιζόμενα με κινητήρες σ.ρ.. 4

. Συστήματα Περιστροφικής Κίνησης Οι επόμενες ενότητες συνοψίζουν τα κυριότερα στατικά και δυναμικά χαρακτηριστικά των συστημάτων μηχανικής περιστροφικής κίνησης.. Βασικές έννοιες και μεγέθη Ένα σύστημα περιστροφικής κίνησης (συνοπτικά σύστημα κίνησης ή σύστημα κινητήρα-φορτίου) αποτελείται από τον κινητήρα, τη διάταξη μετάδοσης και το φορτίο, όπως δείχνει και το σχήμα -0. Παράδειγμα Κινητήρας ηλεκτροκινητήρας σ.ρ. επαγωγικός κινητήρας υδραυλικός κινητήρας αεριοστρόβιλος Διάταξη μετάδοσης Μειωτήρας σύστημα τροχαλιών-ιμάντων σύστημα τροχών-αλύσων Φορτίο βαρούλκο (π.χ. σε αναβατόριο) αντλία τύμπανο μεταφορικού ιμάντα τροχοί (π.χ. οχήματος) Σχήμα -0: Σύστημα περιστροφικής κίνησης Τα βασικότερα μεγέθη που χαρακτηρίζουν τη λειτουργία του συστήματος κίνησης είναι η στρεπτική ροπή Τ και η γωνιακή ταχύτητα ω. Ειδικότερα, ο κινητήρας αναπτύσσει ροπή που εξαρτάται από την ταχύτητα σύμφωνα με τη χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας του κινητήρα. Ανάλογα, το φορτίο αναπτύσσει ροπή (αντίσταση στην κίνηση) που εξαρτάται από την ταχύτητα σύμφωνα με τη χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας του φορτίου. Δηλαδή, στη γενική περίπτωση: Τ =f (ω ) (00) Τ =f (ω ) (00) 5

f j (.) μαθηματική συνάρτηση που εκφράζει την εξάρτηση της ροπής (του κινητήρα για j= ή του φορτίου για j=) από τη γωνιακή ταχύτητα j η στρεπτική ροπή στον άξονα του κινητήρα (j=) ή του φορτίου (j=) αντίστοιχα ω j η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του άξονα του κινητήρα (j=) ή του φορτίου (j=) αντίστοιχα. Κινητήρας ω,τ Μετάδοση Ν=ω /ω Φορτίο ω,τ Σχήμα -0. Γενική δομή και παράμετροι του συστήματος κίνησης Θεωρώντας ότι η διάταξη μετάδοσης δεν παρουσιάζει μηχανική ολίσθηση, η μετάδοση της κίνησης χαρακτηρίζεται από σταθερή σχέση μετάδοσης Ν που ορίζεται ως: ω Ν ή ω = Ν ω (003) ω Ν ω ω η σχέση μετάδοσης η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του φορτίου. Ακόμη, εάν η μετάδοση της κίνησης θεωρηθεί ιδανική, δηλαδή χωρίς μηχανικές απώλειες, η στιγμιαία μηχανική ισχύς του κινητήρα αποδίδεται εξολοκλήρου στο φορτίο. Αυτή η διατήρηση της μηχανικής ισχύος εκφράζεται από την εξίσωση: ω Τ =ω Τ (004) ήτοι, λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη σχέση 003, Τ = Ν Τ (005) Στην περίπτωση που η διάταξη μετάδοσης έχει απώλεια μηχανικής ισχύος, η ροπή στον άξονα του κινητήρα δίνεται από την παραπάνω σχέση αυξημένη όμως κατά το λόγο /n tr όπου n tr είναι ο συντελεστής μηχανικής απόδοσης της μετάδοσης (n tr <). 6

. Στατική ισορροπία του συστήματος κίνησης Για την ανάλυση της συμπεριφοράς του συστήματος κίνησης, τα μεγέθη ανάγονται στον άξονα του κινητήρα. Ειδικότερα, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις 004 και 005, η εξίσωση 00 δηλαδή η χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας του φορτίου μεταφέρεται στον άξονα του κινητήρα ως: ω f (006) L N Ν Ν η σχέση μετάδοσης f (.) μαθηματική συνάρτηση που εκφράζει την εξάρτηση της ροπής του φορτίου από τη γωνιακή ταχύτητα L η προερχόμενη από το φορτίο στρεπτική ροπή (αντίσταση) ανηγμένη όμως στον άξονα του κινητήρα ω=ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του άξονα του κινητήρα. Στη μόνιμη κατάσταση, δηλαδή σε στατική ισορροπία, ο κινητήρας αποδίδει στον άξονα ακριβώς τη ροπή που απαιτεί η κίνηση του φορτίου. Έτσι, το σημείο λειτουργίας του συστήματος κίνησης ορίζεται από τη συνθήκη: L (ω ο )=Τ(ω ο ) (007) η ροπή την οποία αναπτύσσει ο κινητήρας (f (.) στη σχέση 00) L η προερχόμενη από το φορτίο ροπή ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα κατάλληλη τιμή της γωνιακής ταχύτητας ώστε να ισχύει η εξίσωση. ω ο Γραφικά, το σημείο λειτουργίας αντιστοιχεί στην τομή της χαρακτηριστικής ροπήςταχύτητας του κινητήρα με εκείνην του φορτίου αφού αναχθεί στον άξονα του κινητήρα. Παράδειγμα: Η χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας ενός κινητήρα είναι γραμμική. Σε στάση (μηδενική ταχύτητα) ο κινητήρας αναπτύσσει ροπή 75 newton.etre και χωρίς φορτίο (μηδενική ροπή) στρέφεται με 800 rp. Ο κινητήρας συνδέεται σε ιδανικό μειωτήρα σχέσης 5:. Ο άξονας του μειωτήρα κινεί φορτίο με μόνιμη στατική ροπή 00 newton.etre και επιπρόσθετη ροπή φορτίου ανάλογη με το τετράγωνο της ταχύτητας και με συντελεστή 0,307 newton. etre/rp. Στο μετρικό σύστημα, η ταχύτητα του κινητήρα χωρίς φορτίο είναι (800)(6,8)/(60)=88,5 rd/sec. 7

[newton.etre] Η κλίση της χαρακτηριστικής είναι (-75)/(88,5)= -0,398 newton.etre/(rd/sec). Έτσι, σε μετρικές μονάδες, η χαρακτηριστική του κινητήρα έχει τη μορφή =(75)- (0,398)ω. Σε μετρικές μονάδες, ο συντελεστής που συνδέει τη ροπή φορτίου με το τετράγωνο της ταχύτητας είναι (0,307)(60) /(6,8) =8 newton.etre/(rd/sec). Δηλαδή η χαρακτηριστική του φορτίου έχει τη μορφή =(00)-(8)ω για μεγέθη, όμως, που αναφέρονται στον άξονα του φορτίου Σύμφωνα με τη σχέση 006, η χαρακτηριστική φορτίου ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα θα έχει στατική ροπή (00)/(5)=8 newton.etre και συντελεστή (8)/(5) 3 =0,0079 newton.etre/(rd/sec). Επομένως, σε μετρικές μονάδες και ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα, έχει την αριθμητική έκφραση =(8)+(0,0079)ω. 80 70 60 50 40 30 0 0 0 0 50 00 50 00 ω [rd/sec] Σχήμα -0. Χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας του κινητήρα και του φορτίου Με αναφορά στον άξονα του κινητήρα, οι χαρακτηριστικές ροπής-ταχύτητας του κινητήρα και του φορτίου απεικονίζονται γραφικά στο σχήμα -0. Το σημείο λειτουργίας του συστήματος κίνησης μπορεί να εντοπισθεί είτε γραφικά, είτε με επαναληπτικό υπολογισμό ή επίσης με αναλυτικό υπολογισμό. Στην τελευταία περίπτωση, εξισώνοντας τις εκφράσεις των δύο χαρακτηριστικών ανωτέρω καταλήγουμε στη σχέση (75)-(0,398)ω=(8)+(0,0079)ω. Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο τη γωνιακή ταχύτητα. Επιδέχεται μια μήαρνητική λύση ω ο = rd/sec. Με αντικατάσταση σε οποιαδήποτε από τις δύο χαρακτηριστικές, υπολογίζουμε την αντιστοιχούσα ροπή σε 30,5 newton.etre. Στο σημείο λειτουργίας αυτό, ο κινητήρας αποδίδει, μέσω της διάταξης μετάδοσης, μηχανική ισχύ ()(30,5)=340 wtt την οποία καταναλώνει το φορτίο. 8

.3 Δυναμική συμπεριφορά του συστήματος κίνησης Η αποδιδόμενη από τον κινητήρα στρεπτική ροπή εκπληρώνει δύο ρόλους: επιταχύνει τις στρεφόμενες μάζες του συστήματος κίνησης, αφενός, και αντισταθμίζει την αντίσταση του φορτίου (δηλαδή κινεί το φορτίο), αφετέρου. Έτσι, η χρονική συμπεριφορά της γωνιακής ταχύτητας του κινητήρα περιγράφεται από τη δυναμική εξίσωση: dω J L dt (008) J ω L η συνολική ροπή αδρανείας του συστήματος κινητήρα-φορτίου ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα η ροπή του φορτίου, ανηγμένη στον κινητήρα η ροπή του κινητήρα Στην εξίσωση αυτή, η συνολική ροπή αδρανείας J που πολλαπλασιάζει τη γωνιακή επιτάχυνση συμπεριλαμβάνει τη ροπή αδρανείας των στρεφόμενων μερών του ίδιου του κινητήρα J καθώς και τη και τη ροπή αδρανείας του φορτίου, ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα μέσω της σχέσης: J J L N (009) J L J Ν η ροπή αδρανείας του φορτίου ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα η ροπή αδρανείας του φορτίου με αναφορά στον άξονα του φορτίου η σχέση μετάδοσης, κατά τον ορισμό 003 ανωτέρω. Παράδειγμα: Η χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας ενός κινητήρα είναι γραμμική. Σε στάση (μηδενική ταχύτητα) ο κινητήρας αναπτύσσει ροπή 50 newton.etre και χωρίς φορτίο (μηδενική ροπή) στρέφεται με 30 rd/sec. Ο κινητήρας συνδέεται σε ιδανικό μειωτήρα σχέσης 6:. Ο άξονας του μειωτήρα κινεί φορτίο με μόνιμη στατική ροπή 0 newton.etre και επιπρόσθετη ροπή φορτίου ανάλογη με την ταχύτητα με συντελεστή 30 (newton. etre)/(rd/sec). Η ροπή αδρανείαςτου φορτίου είναι 00 kg. και του κινητήρα 0,5 kg.. Εφαρμόζοντας την εξίσωση 009, η συνολική ροπή αδρανείας είναι (0,5)+(00)/(6) =0,89 kg.. 9

Η κλίση της χαρακτηριστικής του κινητήρα είναι (-50)/(30)=-,67 newton.etre/(rd/sec). Έτσι, σε μετρικές μονάδες, η χαρακτηριστική του κινητήρα έχει τη μορφή =(50)-(,67)ω. Ακόμη, σύμφωνα με τη σχέση 006, η χαρακτηριστική φορτίου ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα θα έχει στατική ροπή (0)/(6)=,5 newton.etre και κλίση (30)/(6) =0,7 newton.etre/(rd/sec). Επομένως, σε μετρικές μονάδες και ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα, έχει τη μορφή =(,5)+(0,7)ω. Συνολικά, και με βάση την εξίσωση 008, η δυναμική συμπεριφορά του κινητήρα περιγράφεται από τη λύση ω(t) της διαφορικής εξίσωσης: dω (0,89) (,5) (0,7)ω (50) (,67)ω dt ΠΡΟΣΟΧΗ: οι συντελεστές της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης έχουν συγκεκριμένες φυσικές διαστάσεις και αντίστοιχες μονάδες. Οι μεταβλητές ω και t εκφράζονται σε rd/sec και sec αντίστοιχα. 0

. Ηλεκτροκινητήρες Συνεχούς Ρεύματος Οι επόμενες ενότητες συνοψίζουν τα κυριότερα χαρακτηριστικά της στατικής και δυναμικής συμπεριφοράς συστημάτων κίνησης που χρησιμοποιούν ηλεκτρικούς κινητήρες συνεχούς ρεύματος.. Γενικά χαρακτηριστικά και λειτουργία Η αρχή της λειτουργίας του ηλεκτρικού κινητήρα συνεχούς ρεύματος περιγράφεται από έναν απλό βρόχο που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα και βρίσκεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Στους αγωγούς του βρόχου ασκούνται ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις κάθετες στο επίπεδο του βρόχου. Η συνισταμένη των δυνάμεων αυτών δημιουργεί ροπή που τείνει να περιστρέψει το βρόχο γύρω από άξονα κάθετο στη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Ταυτόχρονα, στα άκρα του βρόχου αναπτύσσεται διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού (αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη) που αντιτίθεται στη διέλευση του ρεύματος στο βρόχο. Οι συνήθεις βιομηχανικοί η/κ έχουν έναν αριθμό από βρόχους πολλαπλών τυλιγμάτων που φέρονται στο δρομέα (περιστρεφόμενο τμήμα) του κινητήρα. Τα άκρα των βρόχων συνδέονται σε αντιδιαμετρικούς τομείς στον άξονα του κινητήρα. Στους τομείς εφάπτονται ολισθαίνουσες επαφές (ψήκτρες ή μεταγωγείς) μέσω των οποίων οι βρόχοι τροφοδοτούνται με ηλεκτρικό ρεύμα. Η επαφή τομέων-ψηκτρών αντιστρέφει κάθε μισή περιστροφή την πολικότητα των τυλιγμάτων του τυμπάνου. Το ηλεκτρικό σύνολο που περιλαμβάνει ψήκτρες, τομείς και τυλίγματα ονομάζεται κύκλωμα τυμπάνου του κινητήρα. Ακόμη, στη συνήθη πρακτική, το μαγνητικό πεδίο δημιουργείται από τυλίγματα που φέρονται στο στάτη (σταθερό τμήμα) του κινητήρα και ονομάζονται από κοινού διέγερση. Ανάλογα με τον τρόπο σύνδεσης του κυκλώματος διέγερσης με το κύκλωμα τυμπάνου, διακρίνουμε τη διάταξη διέγερσης σε σειρά, τη διάταξη μεταστροφής (ή παράλληλης διέγερσης) και τη διάταξη σύνθετης διέγερσης. Ο κυριότεροι χρησιμοποιούμενοι όροι αναφέρονται κατωτέρω: Τύμπανο Διέγερση Διάταξη Ελληνικοί όροι δρομέας στάτης μεταστροφής οπλισμός πεδίο παράλληλης διέγερσης επαγώγιμο επάγον διέγερσης σειράς σύνθετης ή μικτής διέγερσης Αγγλικοί όροι rotor sttor shunt field dru excittion series field rture field copound field

. Βασικές εξισώσεις Η θεωρία των ηλεκτρικών μηχανών προβλέπει οτι στα τυλίγματα του τυμπάνου κινητήρα σ.ρ. αναπτύσσεται αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη (τάση) ανάλογη με τη μαγνητική ροή του πεδίου διέγερσης και με την ταχύτητα περιστροφής, όπως εκφράζει η ακόλουθη εξίσωση: E =k φ ω (00) E k φ ω η αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη στο κύκλωμα του τυμπάνου (ο δείκτης προέρχεται από τον αγγλικό όρο rture για το τύμπανο) παράμετρος που εξαρτάται από την κατασκευή του κινητήρα η μαγνητική ροή του πεδίου διέγερσης η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δρομέα. Ακόμη, στο δρομέα αναπτύσσεται στρεπτική ροπή ανάλογη με τη μαγνητική ροή του πεδίου διέγερσης και με την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τα τυλίγματα του τυμπάνου, δηλαδή: =k φ I (00) Τ k φ Ι η μηχανική ροπή στον άξονα του κινητήρα όπως ακριβώς στην προηγούμενη εξίσωση η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα του τυμπάνου. Οι ανωτέρω εξισώσεις περιέχουν τον κοινό όρο k φ. Εάν ο όρος αυτός απλοποιηθεί, παράγεται η σχέση: Τ ω = E I (003) Τω E Ι η αποδιδόμενη από τον κινητήρα μηχανική ισχύς η αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη και η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα του τυμπάνου. Επίσης, η τάση στα άκρα του κυκλώματος τυμπάνου αντισταθμίζεται από την αναπτυσσόμενη αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη και την ωμική πτώση τάσης στην αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου, δηλαδή:

V= E + I R (004) V E Ι R η τάση στα άκρα του κυκλώματος τυμπάνου η αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη και η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα του τυμπάνου η συνολική ωμική αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου. Παράδειγμα: Το κύκλωμα τυμπάνου, ενός μεταστρεφόμενου η/κ παρουσιάζει συνολική αντίσταση 6,4 oh. Σε λειτουργία υπό φορτίο, το κύκλωμα τυμπάνου διαρρέεται από ρεύμα 8,5 pere όταν ο κινητήρας τροφοδοτείται με τάση 300 volt. (α) πόση αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη αναπτύσσεται στο κύκλωμα τυμπάνου; Στη διάταξη μεταστροφής (ή διάταξη παράλληλης διέγερσης) το κύκλωμα τυμπάνου είναι συνδεδεμένο παράλληλα στην τροφοδοσία. Δηλαδή, η τάση στα άκρα του κυκλώματος τυμπάνου ισούται με την τάση τροφοδοσίας. Επομένως, από την εξίσωση 004, η αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη στο κύκλωμα του τυμπάνου είναι (300)-(6,4)(8,5)=45,6 volt (β) πόση μηχανική ισχύ σε hp αποδίδει ο κινητήρας; Εφαρμόζοντας τη σχέση 003, η ισχύς σε μετρικές μονάδες είναι (45,6)(8,5)=087 wtt και σε ίππους (087)/(746)=,8 hp [Υπενθύμιση hp = 746 wtt και wtt = newton.etre/sec = volt.pere]. (γ) εάν ο κινητήρας στρέφει με 500 στροφές ανά λεπτό (rp) πόση είναι η ροπή του φορτίου; Η γωνιακή ταχύτητα είναι (500 rot/in)(6,8 rd/rot)/(60 sec/in)=5,36 rd/sec. Από τον ορισμό της περιστροφικής μηχανικής ισχύος, =P/ω, δηλαδή (087)/(5,36)=39,9 newton.etre. Στη μόνιμη κατάσταση (δηλαδή όταν το σύστημα φορτίο-κινητήρας στρέφει με σταθερή ταχύτητα) η ροπή φορτίου είναι ίση με τη ροπή του κινητήρα. 3

.3 Στατική συμπεριφορά Μέσω της εξίσωσης 004, τα ηλεκτρικά μεγέθη E και I μπορούν να υποκατασταθούν από τις παραμέτρους V και R του κυκλώματος τυμπάνου. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις 00, 00 και 004, η σχέση μεταξύ ροπής και ταχύτητας στη μόνιμη κατάσταση είναι: kφ (V ωk φ) (005) R Τ ή, ισοδύναμα, η εξάρτηση της ταχύτητας από τη ροπή: ω k φv ΤR (006) (kφ) ω Τ k φ V R η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα η μηχανική ροπή στον άξονα του κινητήρα παράμετρος που εξαρτάται από την κατασκευή του κινητήρα η μαγνητική ροή του πεδίου διέγερσης η τάση στα άκρα του κυκλώματος τυμπάνου η συνολική ωμική αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου. Σύμφωνα με τις εξισώσεις αυτές, εάν η διέγερση και η τάση τυμπάνου διατηρούνται σταθερές ανεξάρτητα από τις στροφές, η ροπή και η ταχύτητα θα συνδέονται γραμμικά. Στην περίπτωση αυτή, ο κινητήρας αναπτύσσει τη μέγιστη ροπή όταν η ταχύτητα είναι μηδέν (αρνητικός όρος στην παρένθεση στο δεξιό μέλος της εξίσωσης 005), δηλαδή σε στάση: k φv Τ x (007) R Ακόμη, ο κινητήρας στρέφεται με μέγιστη ταχύτητα όταν η ροπή είναι μηδενική (αρνητικός όρος στον αριθμητή της εξίσωσης 006), δηλαδή χωρίς φορτίο. Η μέγιστη αυτή τιμή της γωνιακής ταχύτητας είναι: V ωx (008) k φ 4

Η συνολική ηλεκτρική ισχύς που παρέχεται στο κύκλωμα τυμπάνου (δηλ. στον κινητήρα) είναι ίση με το γινόμενο VI. Η μηχανική ισχύς στον άξονα του κινητήρα είναι ίση με το γινόμενο Τω. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση 005 με ω, εκφράζουμε την εξάρτηση της μηχανικής ισχύος από τη γωνιακή ταχύτητα: kφ Τω= ω (V - ωkφ) R (009) Τω η μηχανική ισχύς στον άξονα του κινητήρα k, φ, V, R όπως παραπάνω. Όπως δείχνει η εξίσωση αυτή, η μηχανική ισχύς συνδέεται με τη γωνιακή ταχύτητα με μια παραβολική συνάρτηση που μηδενίζεται στα άκρα του διαστήματος λειτουργίας του κινητήρα [0,ω x ]. Για σταθερά στοιχεία τροφοδοσίας και κυκλωμάτων (δηλαδή σταθερά k, φ, V και R ), η μηχανική ισχύς παίρνει μέγιστη τιμή: Τω x = όταν ω ωx 4R V (00) [Τω] x η μέγιστη τιμή της μηχανικής ισχύος στον άξονα του κινητήρα ω x η γωνιακή ταχύτητα χωρίς φορτίο, όπως στην εξίσωση 008 V, R όπως παραπάνω. Παράδειγμα: Το κύκλωμα τυμπάνου, ενός μεταστρεφόμενου η/κ παρουσιάζει συνολική αντίσταση 8,4 oh. Σε λειτουργία χωρίς φορτίο (εν κενώ) ο κινητήρας στρέφει με 750 σ.α.λ. όταν τροφοδοτείται με τάση 40 volt. (α) ποιά είναι η μέγιστη ροπή που αναπτύσσει ο κινητήρας, με την ίδια τάση τροφοδοσίας; Η γωνιακή ταχύτητα χωρίς φορτίο είναι (750)(6,8)/(60)=78,5 rd/sec. Στο μεταστρεφόμενο κινητήρα η τάση στα άκρα του κυκλώματος τυμπάνου ισούται με την τάση τροφοδοσίας.επομένως, από την εξίσωση 008 υπολογίζουμε τον όρο k φ ως (40)/(78,5)=3, volt.sec/rd. Κατόπιν, εφαρμόζουμε την εξίσωση 007 για τον υπολογισμό της μέγιστης ροπής (3,)(40)/(8,4)=87,3 newton.etre. (β) πόση ροπή αναπτύσσει ο κινητήρας όταν στρέφει με 50% της ταχύτητας χωρίς φορτίο, με την ίδια τάση τροφοδοσίας; Η γωνιακή ταχύτητα είναι (50%)(78,5)=39,3 rd/sec. Από την εξίσωση 005, η νέα ροπή υπολογίζεται σε (3,)[40-(3,)(39,3)]/(8,4)=43,7 newton.etre. 5

[newton.etre] Η γενικότερη εξάρτηση της ροπής από τη γωνιακή ταχύτητα απεικονίζεται στο σχήμα -0. Στο σχήμα διακρίνεται η γραμμική εξάρτηση της ροπής από την ταχύτητα καθώς και η θέση των ακραίων μεγεθών x (θεωρητική ροπή πέδησης) και ω x (ταχύτητα χωρίς φορτίο). 00 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 0 0 40 60 80 00 ω [rd/sec] Σχήμα -0. Στατική χαρακτηριστική ροπών-στροφών (γ) Για το ίδιο σημείο λειτουργίας, όπως στο προηγούμενο ερώτημα, πόση ισχύς παρέχεται στο κύκλωμα του τυμπάνου και πόση αποδίδεται στον άξονα του κινητήρα; Γνωρίζοντας τη ροπή και τον όρο k φ, το ρεύμα του κυκλώματος τυμπάνου υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης 00 ως (43.7)/(3,)=4,3 pere. Η ηλεκτρική ισχύς είναι επομένως (40)(4,3)=3438,6 wtt. Η μηχανική ισχύς μπορεί να υπολογισθεί μέσω της εξίσωσης 009 ως (3,)(39,3)[(40)-(39,3)(3,)]/(8,4)=74 wtt. Στην ειδική αυτή περίπτωση, η γωνιακή ταχύτητα είναι η μισή της ταχύτητας χωρίς φορτίο και η παραγόμενη μηχανική ισχύς είναι η μέγιστη, δηλαδή εφαρμόζεται και η εξίσωση 00 που δίνει το ίδιο αποτέλεσμα (0,5)(40) /(8,4)=74 wtt. Η γενικότερη εξάρτηση της ισχύος (ηλεκτρικής, μηχανικής) από τη γωνιακή ταχύτητα παρουσιάζεται στο σχήμα -0. Το σχήμα αναδεικνύει τη σημαντική διαφορά (απώλεια) μεταξύ ηλεκτρικής και μηχανικής ισχύος, διαφορά που οφείλεται στη σχετικά μεγάλη τιμή της ωμικής αντίστασης του κυκλώματος τυμπάνου. 6

Ισχύς [wtt] (δ) με ποιά ταχύτητα στρέφει ο κινητήρας όταν στον άξονα εφαρμόζεται ροπή 40 newton.etre και η τάση τροφοδοσίας είναι 300 volt; Με άμεση εφαρμογή της εξίσωσης 006, υπολογίζουμε [(3,)(300)- (40)(8,4)]/(3,) =6, rd/sec ή περίπου 594 rp. 7000 6000 Ηλεκτρική Ισχύς 5000 4000 3000 000 000 μηχανική ισχύς 0 0 0 0 30 40 50 60 70 80 ω [rd/sec] Σχήμα -0. Εξάρτηση της ηλεκτρικής και μηχανικής ισχύος από την ταχύτητα 7

.4 Μέθοδοι ρύθμισης του μεταστρεφόμενου κινητήρα σ.ρ. Η επισκόπηση της εξίσωσης 006 υποδεικνύει και τους κύριους τρόπους για τη ρύθμιση του σημείου λειτουργίας του κινητήρα σ.ρ. και, ειδικότερα, τους τρόπους ρύθμισης της ταχύτητας: kφ V Τ R ω ( k φ ) V k φ R μεταβολή της τάσης τροφοδοσίας π.χ. μέσω των ρυθμίσεων που παρέχει η διάταξη τροφοδοσίας μεταβολή της διέγερσης π.χ. παρεμβάλοντας αντίσταση εν σειρά με τα τυλίγματα του στάτη ή αλλάζοντας την τάση τροφοδοσίας τους μεταβολή της αντίστασης τυμπάνου, δηλαδή παρεμβολή ωμικής αντίστασης εν σειρά στο κύκλωμα του τυμπάνου Η επόμενη συνοπτική παρουσίαση των μεθόδων αυτών επικεντρώνεται σε διατάξεις όπου η διέγερση είναι ανεξάρτητη από το κύκλωμα τυμπάνου, δηλαδή σε κινητήρα παράλληλης διέγερσης (μεταστρεφόμενο) ή ξένης διέγερσης. Στην περίπτωση αυτή, η σχέση μεταξύ ροπής και ταχύτητας είναι γραμμική όπως διακρίνεται καλύτερα αναδιατυπώνοντας την εξίσωση 005 (οι όροι μέσα στις παρενθέσεις δεν εξαρτώνται από την ταχύτητα ή τη ροπή): k k Τ V ω R (0) R ω Τ k V R η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα η μηχανική ροπή στον άξονα του κινητήρα το γινόμενο k φ, δηλαδή μια παράμετρος που εξαρτάται από την κατασκευή του κινητήρα και τη μαγνητική ροή του πεδίου διέγερσης η τάση στα άκρα του κυκλώματος τυμπάνου η συνολική ωμική αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου. Για την παρουσίαση των μεθόδων ελέγχου της ταχύτητας, χρησιμοποιούνται τα δεδομένα από το ακόλουθο παράδειγμα: Παράδειγμα: Το κύκλωμα τυμπάνου ενός μεταστρεφόμενου ηλεκτροκινητήρα με ονομαστικά στοιχεία 5 hp / 300 Volt παρουσιάζει συνολική αντίσταση,4 oh. Τροφοδοτούμενος με την ονομαστική τάση, ο κινητήρας αναπτύσσει την ονομαστική ισχύ στην 8

ονομαστική ταχύτητα των 000 rp. Ο κινητήρας συνδέεται σε ιδανικό μειωτήρα σχέσης :0. Ο άξονας του μειωτήρα κινεί φορτίο με μόνιμη στατική ροπή 50 newton.etre και επιπρόσθετη ροπή φορτίου ανάλογη με το τετράγωνο της ταχύτητας με συντελεστή 0,03 (newton. etre) /rp. Στο μετρικό σύστημα, η ονομαστική ταχύτητα είναι (000)(6,8)/(60)=04,7 rd/sec και η ισχύς (5)(746)=3730 wtt. Στις ονομαστικές συνθήκες, ο κινητήρας αναπτύσσει ροπή (3730)/(04,7)=35,6 newton.etre. Η παράμετρος k του κινητήρα υπολογίζεται λύνοντας τη σχέση 0 ως δευτεροβάθμια εξίσωση με γνωστούς συντελεστές ω, -V και ΤR και με άγνωστη μεταβλητή k. Η διακρίνουσα της εξίσωσης αυτής είναι Δ=V -4ωR και είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν, σύμφωνα με τον ορισμό της μέγιστης ισχύος από τη σχέση 00. Στην περίπτωση του παραδείγματος, η τιμή της διακρίνουσας είναι Δ=(300) -(4)(35,6)(04,7)(,4)=69 volt και η εξίσωση ικανοποιείται για δύο (εξίσου αποδεκτές) λύσεις (0,5)[(300)(69)]/(04,7). Επιλέγουμε αυθαίρετα- τη μικρότερη από τις δύο αυτές τιμές και υπολογίζουμε k =0,77 volt.sec/rd. Σε μετρικές μονάδες ο συντελεστής που συνδέει τη ροπή φορτίου με το τετράγωνο της ταχύτητας είναι (0,03)(60) /(6,8) =,74 newton.etre/(rd/sec). Ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα, η χαρακτηριστική φορτίου έχει στατική ροπή (50)/(0)=,5 newton.etre και συντελεστή (,74)/(0) 3 =0,00034 newton.etre/(rd/sec) Μεταβολή της τάσης τροφοδοσίας (V) Όπως φαίνεται και από τις εξισώσεις 007 και 008, οι ακραίες τιμές της ταχύτητας και της ροπής (ω x και Τ x ) είναι ευθέως ανάλογες με την τάση του κυκλώματος τυμπάνου. Επομένως, όταν η τάση τυμπάνου αλλάζει, τα άκρα της χαρακτηριστικής (ευθείας) ροπής-ταχύτητας μετατοπίζονται κατά το ίδιο ποσοστό. Για τα δεδομένα του παραδείγματος, ο υπολογισμός δίνει τα κατωτέρω μεγέθη: V [volt] ω x [rd/sec] Τ x [newton.etre] 00 8,8 5,3 300 (ονομ. τιμή) 693, 37,97 400 57,6 50,6 500 8,0 63,8 Το σχήμα -03 απεικονίζει τη χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας του κινητήρα για διάφορες τιμές της τάσης τροφοδοσίας. Όπως φαίνεται και στο σχήμα, η κλίση της χαρακτηριστικής ροπής-ταχύτητας του κινητήρα δεν εξαρτάται από την τάση (συντελεστής της γωνιακής ταχύτητας στο δεξιό μέλος της εξίσωσης 0), επομένως η χαρακτηριστική μετατοπίζεται παράλληλα στον εαυτό της. 9

Τ [new ton.etre] Κατά τη μετατόπιση αυτή, το σημείο λειτουργίας του συστήματος κινητήρα-φορτίου (δηλαδή το σημείο τομής των δύο χαρακτηριστικών) αλλάζει, όπως δείχνει και ο κατωτέρω πίνακας τιμών: Τάση Ταχύτητα Ροπή [volt] [rp] [rd/sec] [newton.etre] 00 56 63,5,64 300 3 4, 3,54 400 89 30,7 43,83 500 3380 354,0 55,34 90 80 70 60 50 500 volt 40 30 0 0 400 volt 300 volt 00 volt 0 0 00 00 300 400 500 ω [rd/sec] Σχήμα -03. Ρύθμιση της ταχύτητας μεταστρεφόμενου η/κ μέσω της τάσης τυμπάνου Μεταβολή της διέγερσης (φ ή k ) Όπως φαίνεται και από τις εξισώσεις 007 και 008, οι ακραίες τιμές της ταχύτητας και της ροπής (ω x και Τ x ) εξαρτώνται από τη μαγνητική ροή. Όμως, το γινόμενο: V Τ x ωx = (0) R 0

[new ton.etre] δεν περιέχει τον όρο k επομένως είναι ανεξάρτητο της μαγνητικής ροής. Όταν η διέγερση αλλάζει, η χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας του κινητήρα μετατοπίζεται (στρέφεται) έτσι ώστε το εμβαδόν που περικλείεται από την ίδια και τους άξονες να είναι σταθερό. Το σχήμα -04 απεικονίζει τη χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας του κινητήρα του παραδείγματος για διάφορες τιμές της διέγερσης και για την ονομαστική τάση τροφοδοσίας (300 volt). Οι υπολογισμοί γίνονται κυρίως για τιμές της διέγερσης μικρότερες της ονομαστικής που επιτυγχάνονται π.χ. με την παρεμβολή ωμικής αντίστασης στο κύκλωμα διέγερσης του κινητήρα. Η προσέγγιση αυτή είναι γνωστή ως ρύθμιση της ταχύτητας με εξασθένηση πεδίου. Για τα δεδομένα του παραδείγματος, η εξασθένηση του πεδίου και η αντίστοιχη μετατόπιση της χαρακτηριστικής του κινητήρα μεταφέρει το σημείο λειτουργίας προς χαμηλότερες ταχύτητες. Αυτός δεν είναι γενικός κανόνας αλλά έχει να κάνει με τα δεδομένα του συγκεκριμένου παραδείγματος. 50 40 5% 30 00% 75% 0 50% 0 5% 0 0 50 00 50 00 50 300 350 ω [rd/sec] Σχήμα -04. Ρύθμιση της ταχύτητας μεταστρεφόμενου η/κ με εξασθένηση του πεδίου Ο ακόλουθος πίνακας συνοψίζει την επίδραση της μεταβολής της διέγερσης στο σημείο λειτουργίας του συστήματος κινητήρα-φορτίου: διέγερση: % ονομαστικής τιμής 5% 50% 75% 00% 5% K [volt.sec/rd] 0,0443 0,0886 0,39 0,77 0,5 χαρακτηριστική ω x [rd/sec] 677,8 3386,4 57,6 693, 354,6 κινητήρα: Τ x [newton.etre] 9,49 8,98 8,48 37,97 47,46 σημείο ω [rd/sec] --- 9,7 98,5 4, 7,6 λειτουργίας: Τ [newton.etre] --- 8,73 33,5 38,87 44,5

[new ton.etre] Μεταβολή της αντίστασης τυμπάνου (R ) Όπως φαίνεται και από την εξίσωση 008, η τιμή της ταχύτητας χωρίς φορτίο ω x είναι ανεξάρτητη από την αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου. Αντίθετα, όπως δείχνει η εξίσωση 007 η ροπή πέδησης Τ x είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την αντίσταση R. Επομένως, όταν η αντίσταση τυμπάνου αλλάζει, το ένα άκρο (το τοποθετημένο στον άξονα της ταχύτητας) της χαρακτηριστικής ροπής-ταχύτητας παραμένει σταθερό ενώ το άλλο μετατοπίζεται. Το σχήμα -05 απεικονίζει τη χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας του κινητήρα για διάφορες τιμές της αντίστασης τυμπάνου και για τα δεδομένα του παραδείγματος. Όπως φαίνεται και στο σχήμα, η αύξηση της αντίστασης και η αντίστοιχη μετατόπιση της χαρακτηριστικής του κινητήρα μεταφέρει το σημείο λειτουργίας προς χαμηλότερες ταχύτητες. Το φαινόμενο αυτό σχετίζεται με τη αύξηση των ωμικών απωλειών στο κύκλωμα τυμπάνου, αύξηση που επέρχεται σε βάρος της αποδιδόμενης στον άξονα μηχανικής ισχύος. 70 60 50 40 oh 30 0 0,4 oh oh 3 oh 5 oh 0 0 00 00 300 400 ω [rd/sec] Σχήμα -05. Ρύθμιση της ταχύτητας μεταστρεφόμενου η/κ μέσω της αντίστασης τυμπάνου Ο ακόλουθος πίνακας συνοψίζει την επίδραση της μεταβολής της αντίστασης του κυκλώματος τυμπάνου στο σημείο λειτουργίας του συστήματος κινητήρα-φορτίου: αντίσταση τυμπάνου R [oh],0,4,0 3,0 5,0 χαρακτηριστική ω x [rd/sec] 693, κινητήρα: Τ x [newton.etre] 53,5 37,97 6,58 7,7 0,63 σημείο ω [rd/sec] 30,9 4, 8, 09, --- λειτουργίας: Τ [newton.etre] 8,54 6, 33,90 4,85 ---

Όπως απεικονίζεται στο σχήμα -05, για αυξανόμενες τιμές της αντίστασης τυμπάνου το σημείο λειτουργίας του συστήματος κίνησης μετατοπίζεται προς χαμηλότερες ταχύτητες περιστροφής. Για ιδιαίτερα αυξημένη R (5 oh στη δεξιά στήλη στον πίνακα), η ροπή την οποία αναπτύσσει ο κινητήρας σε στάση δεν επαρκεί για να υπερκεράσει τη «στατική» ροπή του φορτίου δηλαδή το σύστημα κίνησης δεν εκκινεί..5 Δυναμική συμπεριφορά Συνυπολογίζοντας και τα μεταβατικά φαινόμενα, η τάση στα άκρα του κυκλώματος του τυμπάνου αντισταθμίζεται από τρείς όρους: την πτώση τάσης στην ωμική αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου, η οποία είναι ευθέως ανάλογη με την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα τυμπάνου, την τάση που αναπτύσσεται λόγω αυτεπαγωγής και η οποία είναι ανάλογη με την ταχύτητα (χρονική παράγωγο) της έντασης του ρεύματος τυμπάνου, και την αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη που αναπτύσσεται στο κύκλωμα του τυμπάνου, η οποία σύμφωνα με την εξίσωση 00 είναι ανάλογη με την ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα. Έτσι, η χρονική συμπεριφορά του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα τυμπάνου περιγράφεται από τη δυναμική εξίσωση: di L dt R I k ω V (03) I L R k ω V η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα του τυμπάνου η συνολική αυτεπαγωγή του κυκλώματος τυμπάνου η συνολική ωμική αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου το γινόμενο k φ, δηλαδή μια παράμετρος που εξαρτάται από την κατασκευή του κινητήρα και τη μαγνητική ροή του πεδίου διέγερσης η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δρομέα η τάση στα άκρα του κυκλώματος τυμπάνου. Ακόμη, συνυπολογίζοντας τα μεταβατικά φαινόμενα, η αποδιδόμενη στον άξονα στρεπτική ροπή αποτελείται από: τη ροπή που καταναλώνεται για την επιτάχυνση των στρεφόμενων μαζών του συστήματος κινητήρας-φορτίο, η οποία είναι ανάλογη προς τη γωνιακή επιτάχυνση του άξονα του κινητήρα, και τη ροπή που απαιτείται για την κίνηση του φορτίου, η οποία εξαρτάται από τα ειδικά χαρακτηριστικά του φορτίου. 3

ροπή φορτίου Λαμβάνοντας υπόψη τη βασική εξίσωση 00, η αποδιδόμενη στον άξονα ροπή εκφράζεται ως συνάρτηση του ρεύματος τυμπάνου και της διέγερσης. Επομένως, η χρονική συμπεριφορά της γωνιακής ταχύτητας του κινητήρα περιγράφεται από τη δυναμική εξίσωση: dω J L k I (04) dt J ω L k I η συνολική ροπή αδρανείας του συστήματος κινητήρα-φορτίου ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα η ροπή του φορτίου, ανηγμένη στον κινητήρα το γινόμενο k φ, όπως στην προηγούμενη εξίσωση η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα του τυμπάνου. Στη γενική περίπτωση, η ροπή του φορτίου είναι μια σύνθετη συνάρτηση της γωνιακής ταχύτητας L (ω). Εξετάζοντας τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος κινητήρα-φορτίου γύρω από ένα σημείο λειτουργίας (ω ο,τ ο ). η γενική αυτή συνάρτηση μπορεί να προσεγγισθεί τοπικά από μια γραμμική σχέση. Όπως δείχνει το σχήμα -06, η γραμμική προσέγγιση έχει τη μορφή ευθείας που εφάπτεται της χαρακτηριστικής του φορτίου στο σημείο λειτουργίας (με την οποία έχει την ίδια κλίση B) και διασταυρώνεται με τον άξονα των τετμημένων σε κάποιο σημείο Α. ΤL(ω) Αω+Β (ω ο,τ ο ) γωνιακή ταχύτητα ω Σχήμα -06. Γραμμική προσέγγιση της χαρακτηριστικής του φορτίου 4

Με την προσέγγιση αυτή, και στην περιοχή γύρω από το σημείο λειτουργίας, η ροπή εκφράζεται ως: L A Βω (05) L η ροπή του φορτίου ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα Α η ροπή που αντιστοιχεί στην προέκταση της προσέγγισης έως την ταχύτητα ω=0 Β η κλίση d L /dω της χαρακτηριστικής στο σημείο λειτουργίας (ω ο,τ ο ). Εάν η ροπή του φορτίου στην εξίσωση 04 αντικατασταθεί από την έκφραση 05, οι εξισώσεις 03 και 04 αποτελούν σύστημα γραμμικών δυναμικών εξισώσεων με μεταβλητές κατάστασης τη γωνιακή ταχύτητα ω(t) και το ρεύμα τυμπάνου I (t), και με ανεξάρτητη παράμετρο (είσοδο) την τάση τυμπάνου V(t)..6 Απόκριση σε μεταβολές της τάσης τυμπάνου Το σύστημα εξισώσεων 03 και 04 μπορεί να μετατραπεί σε μια δυναμική εξίσωση δεύτερης τάξης ως προς τη γωνιακή ταχύτητα με ανεξάρτητη μεταβλητή (είσοδο) την τάση τροφοδοσίας στα άκρα του κυκλώματος τυμπάνου: d ω dt b dω dt b ω k AR V - k (06) Ή, διατυπωμένη στη μορφή συνάρτησης μεταφοράς: ΔΩ(s) ΔU(s) s k b s b (07) 5

ΔΩ(s) η μετασχηματισμένη στο πεδίο συχνότητας της μεταβλητής των μεταβολών εξόδου Δω(t) ΔU(s) η μετασχηματισμένη στο πεδίο συχνότητας της μεταβλητής των μεταβολών της εισόδου Δu(t)=Δ[V(t)-AR /k ]=ΔV(t) s ο τελεστής Lplce (μιγαδική συχνότητα) Οι ανωτέρω εκφράσεις περιέχουν τις σταθερές χρόνου, b, οι οποίες σχηματίζονται από τις διάφορες παραμέτρους του συστήματος κινητήρα-φορτίου μέσω των εξισώσεων: L (08) R J b (09) B R J (00) k L R J Β k η συνολική αυτεπαγωγή του κυκλώματος τυμπάνου η συνολική ωμική αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου η συνολική ροπή αδρανείας του συστήματος κινητήρα-φορτίου ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα η κλίση d L /dω της χαρακτηριστικής του φορτίου στο σημείο λειτουργίας (ω ο,τ ο ) το γινόμενο k φ, δηλαδή παράμετρος που εξαρτάται από την κατασκευή του κινητήρα και τη μαγνητική ροή του πεδίου διέγερσης. Η συνάρτηση μεταφοράς 07 συγκρίνεται με την τυπική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος δεύτερης τάξης: Y(s) U(s) Gωn s s (0) n n G ω n ζ η ενίσχυση (στατικό κέρδος) του συστήματος δεύτερης τάξης η φυσική (αναπόσβεστη) συχνότητα ο συντελεστής απόσβεσης 6

Με βάση την αντιστοίχιση των όρων των εκφράσεων 07 και 0, η φυσική γωνιακή συχνότητα του συστήματος κίνησης είναι: ω (0) n b ο συντελεστής απόσβεσης υπολογίζεται ως: ζ b (03) ω n και το στατικό κέρδος είναι: G (04) k ω n Γνωρίζοντας τις ανωτέρω παραμέτρους, η απόκριση της ταχύτητας σε μεταβολές της τάσης τυμπάνου υπολογίζεται από τυποποιημένους πίνακες ή διαγράμματα απόκρισης συστήματος δεύτερης τάξης ή ακόμη αναλυτικά σύμφωνα με την ακόλουθη κατάταξη. Στην περίπτωση ζ<, φθίνουσα ταλάντωση με ω d ωn ζ : Δω ζ G exp( ζω t) cos(ω t sin(ω t) (05) n d d ΔV ζ Στην περίπτωση ζ=, οριακή απόκριση της μορφής: Δω ΔV G exp(-ω t) ω t (06) n n Εάν ζ>, εκθετική χρονική απόκριση με s ωn ζ ζ και s ωn ζ ζ : 7

Δω G ΔV ωn exp(-s t) exp(-s ζ s s t) (07) Συνοψίζοντας, η ανωτέρω ανάλυση γύρω από τη συνάρτηση μεταφοράς 07 είναι κατάλληλη για τον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης της ταχύτητας του συστήματος κίνησης στην περιοχή (γειτονιά) ενός σημείου λειτουργίας και για σχετικά περιορισμένες μεταβολές της τάσης τροφοδοσίας. Ο υπολογισμός αυτός χρησιμοποιεί τα ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά του κυκλώματος τυμπάνου (R,L) και διέγερσης (k ) του κινητήρα καθώς και τα μηχανικά χαρακτηριστικά (J,B) του συστήματος κινητήρα-φορτίου ανηγμένα στον άξονα του κινητήρα. Παράδειγμα: Τα κυριότερα δεδομένα του συστήματος κινητήρα-φορτίου από το παράδειγμα της προηγούμενης ενότητας συνοψίζονται κατωτέρω: ονομαστική ισχύς κινητήρα ονομαστική τάση συνολική αντίσταση τυμπάνου συντελεστής k 5 hp 300 volt,4 oh 0,77 volt.sec/rd Σχέση μετάδοσης μειωτήρα :0 στατική ροπή φορτίου ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα συντελεστής ω ανηγμένος στον άξονα του κινητήρα ταχύτητα λειτουργίας στην ονομαστική τάση τροφοδοσίας,5 newton.etre 0,00034 newton.etre/(rd/sec) 4, rd/sec. Επιπρόσθετα, η τιμή της αυτεπαγωγής του κυκλώματος τυμπάνου του κινητήρα μετρήθηκε ως 5,4 henry. Η ροπή αδρανείας του δρομέα του κινητήρα είναι,4 kg.etre και του φορτίου 7 kg.etre. Όπως υπολογίσθηκε στην ενότητα.4, όταν ο κινητήρας τροφοδοτείται με την ονομαστική τάση 300 volt, το σύστημα κινητήρα-φορτίου λειτουργεί σε γωνιακή ταχύτητα 4, rd/sec. Στο σημείο αυτό, η κλίση της χαρακτηριστικής του φορτίου - και επομένως και η κλίση της γραμμικής προσέγγισης- είναι B=()(4,)( 0,00034)=0,66 newton.etre/(rd/sec). 8

[new ton.etre] Το σχήμα -07 παρουσιάζει την ακριβή και την προσεγγιστική χαρακτηριστική ταχύτητας-ροπής του φορτίου, καθώς και τη χαρακτηριστική του κινητήρα για την ονομαστική τάση. 00 80 60 40 350 volt 0 300 volt 0-0 0 00 00 300 400 500 ω [rd/sec] Σχήμα -07. Γραμμική προσέγγιση της χαρακτηριστικής του φορτίου Η συνολική ροπή αδρανείας, ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα, είναι J=(,4)+(7)/(0 )=,58 kg.etre. Με τα δεδομένα αυτά, οι εξισώσεις 08, 09 και 00 εφαρμόζονται άμεσα για τον υπολογισμό των =(5,4)/(,4)=3,86 sec, =(,4)(,58)/(0,77) =5,06 sec και b =(,58)/(0,66)=5,58 sec. Επίσης, από την εξίσωση 0, η τιμή της φυσικής γωνιακής ταχύτητας είναι ω n ={(/3,86)[(/5,06)+(/5,58)]}=0,4 rd/sec. Ακόμη, από την εξίσωση 03, ο συντελεστής απόσβεσης υπολογίζεται ως ζ=[(/3,86)+(/5,58)]/[()(0,4)]=,8 δηλαδή το σύστημα κίνησης παρουσιάζει εκθετική απόκριση. Με άμεση εφαρμογή της εξίσωσης 04, το στατικό κέρδος υπολογίζεται σε G=[(3,86)(5,06)(5,58)(0,4)] - =0,673 rd/sec.volt. Το σχήμα -08 παρουσιάζει τη χρονική απόκριση της γωνιακής ταχύτητας όταν η τάση τροφοδοσίας αυξάνεται βηματικά από 300 σε 350 volt. Όπως δείχνει το σχήμα, η ταχύτητα αποκαθίσταται στο διάστημα 5% της τελικής τιμής της σε διάστημα μικρότερο του ενός λεπτού. Η μεταβολή της τάσης είναι ΔV=50 9

Δω [rd/sec] volt και, σύμφωνα με τη γραμμική προσέγγιση της χαρακτηριστικής του φορτίου, η αναλογούσα μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας Δω=(0,673)(50)=33,6 rd/sec. Επομένως, στη νέα μόνιμη κατάσταση, το σύστημα κίνησης στρέφει με (4,)+(33,6)=75,7 rd/sec (στην πλευρά του κινητήρα) ή περίπου 633 rp. Η προσεγγιστική αυτή τιμή δεν απέχει πολύ από το αποτέλεσμα του ακριβούς υπολογισμού του σημείου λειτουργίας για 350 volt που δίνει 73,9 rd/sec. 40 35 30 5 0 5 0 5 0 0 0 0 30 40 50 60 t [sec] Σχήμα -08.Χρονική απόκριση (μεταβολή) της γωνιακής ταχύτητας (k=0,77) Εάν επιλεγεί η άλλη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης που επιλύθηκε στο παράδειγμα της ενότητας.4, ο συντελεστής k είναι k =,688 volt.sec/rd. Επαναλαμβάνοντας τους ανωτέρω υπολογισμούς, έχουμε νέο σημείο λειτουργίας ω=08,4 rd/sec και συντελεστή B=0,074 newton.etre/(rd/sec). Από τις εξισώσεις 09 και 00 οι τιμές των σταθερών χρόνου υπολογίζονται, =0,50 sec και b =34,8 sec. Η τιμή της σταθεράς Τ δεν εξαρτάται από το συντελεστή k, δηλαδή παραμένει Τ =3,86 sec. Η νέα τιμή της φυσικής γωνιακής ταχύτητας είναι ω n =0,73 rd/sec. Επίσης, από την εξίσωση 03, ο συντελεστής απόσβεσης υπολογίζεται ως ζ=0, δηλαδή το σύστημα κίνησης αποκρίνεται με φθίνουσα ταλάντωση. Με άμεση εφαρμογή της εξίσωσης 04, το στατικό κέρδος υπολογίζεται σε G=0,367 rd/sec.volt. Για την περίπτωση αυτή, το σχήμα -09 παρουσιάζει τη χρονική απόκριση της γωνιακής ταχύτητας όταν η τάση τροφοδοσίας αυξάνεται βηματικά από 300350 volt. 30

Δω [rd/sec] Όπως δείχνει το σχήμα, η ταχύτητα αποκαθίσταται στο διάστημα 5% της τελικής τιμής της σε διάστημα μικρότερο του μισού λεπτού. Η μεταβολή της τάσης είναι ΔV=50 volt και, σύμφωνα με τη γραμμική προσέγγιση της χαρακτηριστικής του φορτίου, η αναλογούσα μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας Δω=(0,367)(50)=8,3 rd/sec. 30 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 30 35 t [sec] Σχήμα -09.Χρονική απόκριση (μεταβολή) της γωνιακής ταχύτητας (k =,688) 3

.7 Απόκριση σε μεταβολές της ροπής φορτίου Το σύστημα εξισώσεων 03 και 04 μπορεί επίσης να μετατραπεί σε μια δυναμική εξίσωση δεύτερης τάξης ως προς τη γωνιακή ταχύτητα στην οποία να εμφανίζεται και η εξάρτηση από τη ροπή του φορτίου: d ω dt b dω dt - ω J L k V - R (08) Ή, διατυπωμένη στη μορφή συνάρτησης μεταφοράς: Ω(s) (s) (09) s - J b s Ω(s) Τ(s) s η μετασχηματισμένη στο πεδίο συχνότητας της μεταβλητής εξόδου ω(t) η μετασχηματισμένη στο πεδίο συχνότητας της μεταβλητής εισόδου V(t) ο τελεστής Lplce (μιγαδική συχνότητα) Οι ανωτέρω εκφράσεις περιέχουν τις σταθερές χρόνου, b, οι οποίες σχηματίζονται από τις διάφορες παραμέτρους του συστήματος κινητήρα-φορτίου μέσω των εξισώσεων: L (08) R J b (09) B R J (00) k L R J η συνολική αυτεπαγωγή του κυκλώματος τυμπάνου η συνολική ωμική αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου η συνολική ροπή αδρανείας του συστήματος κινητήρα-φορτίου ανηγμένη στον άξονα του κινητήρα 3

Β k η κλίση d L /dω της χαρακτηριστικής του φορτίου στο σημείο λειτουργίας (ω ο,τ ο ) το γινόμενο k φ, δηλαδή παράμετρος που εξαρτάται από την κατασκευή του κινητήρα και τη μαγνητική ροή του πεδίου διέγερσης. Η συνάρτηση μεταφοράς 07 συγκρίνεται με την τυπική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος δεύτερης τάξης: Y(s) U(s) Gωn s ω (0) n n G ω n ζ η ενίσχυση (στατικό κέρδος) του συστήματος δεύτερης τάξης η φυσική (αναπόσβεστη) συχνότητα ο συντελεστής απόσβεσης Με βάση την αντιστοίχιση των όρων των εκφράσεων 07 και 0, η φυσική γωνιακή συχνότητα του συστήματος κίνησης είναι: ω n (030) ο συντελεστής απόσβεσης υπολογίζεται όπως στην προηγούμενη ενότητα μέσω της εξίσωσης 03, και το στατικό κέρδος είναι: R G (03) k Με βάση αυτές τις παραμέτρους, η απόκριση της ταχύτητας σε μεταβολές της ροπής φορτίου υπολογίζεται από τυποποιημένους πίνακες ή διαγράμματα απόκρισης συστήματος δεύτερης τάξης ή από τους αναλυτικούς τύπους που δόθηκαν στην προηγούμενη ενότητα. Όπως είναι αναμενόμενο, αύξηση της ροπής του φορτίου (δηλαδή «φόρτωση» του συστήματος κίνησης) επιφέρει μείωση της ταχύτητας. Αυτό εκφράζεται από το αρνητικό πρόσημο στην εξίσωση 03. 33

Η ίδια εξίσωση υποδεικνύει τρόπους να γίνει το σύστημα κίνησης «ανθεκτικό» σε μεταβολές του φορτίου. Η ταχύτητα του συστήματος κίνησης επηρεάζεται λιγότερο από αλλαγές στη ροπή φορτίου όταν το στατικό κέρδος είναι μικρότερο, δηλαδή για: μικρότερη αντίσταση του κυκλώματος τυμπάνου R, μεγαλύτερες τιμές K, επομένως και σύμφωνα με τη σχέση 0, ισχυρότερη μαγνητική ροή φ. 34