Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α1. Ένας τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Αν το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με, τότε κάθε χρονική στιγμή το μέτρο της ταχύτητας του ανώτερου σημείου του τροχού είναι ίσο με: α. β. γ. δ. Α2. Η ομογενής ράβδος του παρακάτω σχήματος έχει ροπές αδράνειας, και ως προς τους άξονες (1), (2) και (3) αντίστοιχα που φαίνονται στο σχήμα. ( 1 ) ( 2) (3) A M L 2 L 2 Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Α3. Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει: α. μόνο όταν ένα σώμα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής. β. μόνο όταν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση. γ. στις περιπτώσεις που ένα σώμα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα και στις περιπτώσεις που ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση, αρκεί ο άξονας γύρω από τον οποίο στρέφεται το σώμα να διέρχεται από το κέντρο μάζας του, να είναι άξονας συμμετρίας και να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης. δ. στις περιπτώσεις που ένα σώμα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα και στις περιπτώσεις που ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση, αρκεί ο άξονας γύρω από τον οποίο στρέφεται το σώμα να διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Α4. Ένας άνθρωπος κρατάει σε κάθε χέρι του ένα βαράκι και έχει τα χέρια του τεντωμένα. Ο άνθρωπος κάθεται πάνω σε ένα αβαρές κάθισμα και περιφέρεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Αν ο άνθρωπος συμπτύξει τα χέρια του, τότε: Σελίδα 1 από 11

α. η στροφορμή του συστήματος θα αυξηθεί. β. η στροφορμή του συστήματος θα μειωθεί. γ. η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος θα αυξηθεί. δ. η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος θα μειωθεί. Α5. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη λανθασμένη. α. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ως προς κάποιο άξονα περιστροφής εξαρτάται από την κατανομή της μάζας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής. β. Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων εξαρτάται από το σημείο ως προς το οποίο υπολογίζεται. γ. Τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της στροφορμής ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από κάποιον άξονα έχουν πάντα την ίδια κατεύθυνση. δ. Το μέτρο της στροφορμής ενός υλικού σημείου μάζας που κινείται σε περιφέρεια οριζόντιου κύκλου ακτίνας με γωνιακή ταχύτητα μέτρου είναι ίσο με. ε. Το κέντρο μάζας ενός σώματος δεν μπορεί να βρίσκεται έξω από το σώμα. A1.γ A2. δ A3. γ A4.γ Α5. α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β1. Η ομογενής ράβδος ΑΓ του σχήματος έχει μήκος, βάρος και ισορροπεί οριζόντια. Η ράβδος στηρίζεται στο άκρο της Α και σε ένα άλλο σημείο της Δ που απέχει απόσταση από το άλλο άκρο της Γ. A L L 4 Το μέγιστο βάρος ενός σώματος αμελητέων διαστάσεων, το οποίο μπορούμε να τοποθετήσουμε στο άκρο Γ της ράβδου, ώστε αυτή να συνεχίσει να διατηρείται οριζόντια είναι ίσο με: α. β. γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Μονάδες 2 Σελίδα 2 από 11

Μονάδες 6 Β1. Σωστή απάντηση είναι η β. Έστω το μέγιστο βάρος ενός σώματος αμελητέων διαστάσεων, το οποίο μπορούμε να τοποθετήσουμε στο άκρο Γ της ράβδου χωρίς η ράβδος να ανατραπεί. Στην περίπτωση αυτή το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το υποστήριγμα (1) είναι. ' F 1 ' F 2 A w L 4 w Ισχύει: ( ) ή ή Β2. Μια ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ μάζας Μ και μήκους περιστρέφεται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου ω γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα (1) που διέρχεται από το κέντρο μάζας της Κ. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα (1) είναι και το μέτρο της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα αυτό είναι ίσο με L. Αν η ράβδος περιστρεφόταν σε οριζόντιο επίπεδο με την ίδια σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από ένα άλλο σταθερό κατακόρυφο άξονα (2) που περνούσε από το άκρο της Α, το μέτρο της στροφορμής της θα ήταν ίσο με: α. β. γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Μονάδες 2 Μονάδες 6 Β2. Σωστή απάντηση είναι η γ. Όταν η ράβδος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα (1) το μέτρο της στροφορμής της είναι: ή (1). (2) (1) l Σελίδα 3 από 11

Όταν η ράβδος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα (2) το μέτρο της στροφορμής της δίνεται από τη σχέση:, όπου η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα (2). Ισχύει: ( ) ή ή. Συνεπώς από τη σχέση (2) προκύπτει: (3). Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων 3 και 1 έχουμε: ή ή Β3. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του ως προς τον οποίο παρουσιάζει ροπή αδράνειας, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου. Ένα πολύ μικρό κομμάτι πλαστελίνης μάζας αφήνεται να πέσει από μικρό ύψος πάνω από το δίσκο. Το κομμάτι της πλαστελίνης κολλάει ακαριαία στο δίσκο σε απόσταση από το κέντρο του. Αν ο αριθμός των περιστροφών που εκτελεί ο δίσκος σε χρόνο πριν την προσκόλληση της πλαστελίνης σε αυτόν είναι ίσος με και ο αριθμός των περιστροφών που εκτελεί ο δίσκος σε χρόνο μετά την προσκόλληση της πλαστελίνης σε αυτόν είναι ίσος με, τότε ισχύει: α. β. γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Μονάδες 2 Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Μονάδες 7 Β3. Σωστή απάντηση είναι η γ. Επειδή η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ενεργούν στο σύστημα ως προς τον άξονα είναι ίση με το μηδέν, η συνολική στροφορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. Συνεπώς ισχύει: ή ή ( ) ή (1). Ο αριθμός των περιστροφών που εκτελεί ο δίσκος σε χρόνο πριν από την προσκόλληση της πλαστελίνης σε αυτόν υπολογίζεται από τη σχέση: ή (2), ενώ ο αριθμός των περιστροφών που εκτελεί ο δίσκος μετά την προσκόλληση της πλαστελίνης σε αυτόν υπολογίζεται από τη σχέση: ή (3). Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (2) και (3) προκύπτει:, ή λόγω της σχέσης (1): ή ΘΕΜΑ Γ Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα και μήκος. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια άρθρωσης στο άκρο και νήματος που είναι δεμένο στο άκρο της και σχηματίζει γωνία με τη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από ένα σημείο Γ της ράβδου έχει δεθεί μέσω αβαρούς σχοινιού ένα γιο γιο μάζας, ο κύλινδρος του οποίου έχει ακτίνα. Το γιο γιο ελευθερώνεται και κατέρχεται διαγράφοντας κατακόρυφη τροχιά, χωρίς το σχοινί να ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου. Καθώς το γιο-γιο κατέρχεται το νήμα ΑΒ, που είναι δεμένο στο άκρο A της ράβδου, ασκεί στη ράβδο δύναμη μέτρου Σελίδα 4 από 11

B M ˆ A Να υπολογίσετε: Γ1. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Γ1. Οι δυνάμεις που δέχεται ο κύλινδρος, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, είναι το βάρος του και η τάση του νήματος W Ισχύει: ή ή (1) Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης έχουμε: ή ή (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: ή ή. Γ2. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον ελεύθερο άξονα περιστροφής του, που περνά από το κέντρο του Κ. Γ2. To μέτρο της τάσης του νήματος υπολογίζεται από τη σχέση (2): Συνεπώς είναι:. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή. T Σελίδα 5 από 11

Γ3. Το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του τη χρονική στιγμή κατά την οποία το κέντρο μάζας του έχει μετατοπιστεί από την αρχική του θέση κατακόρυφα προς τα κάτω κατά Γ3. Ισχύει: ή To μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου τη χρονική στιγμή είναι: ή ή. Το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του τη χρονική στιγμή υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή. Γ4. την απόσταση ( ). Γ4. Στη ράβδο ασκούνται οι εξής δυνάμεις: το βάρος της, η τάση από το νήμα που είναι δεμένο στο άκρο της Α, η δύναμη από την άρθρωση και η δύναμη από το σχοινί που είναι δεμένο στο σημείο Γ της ράβδου. F y O F x F W 1 T 30 T T 1 T 1x T 1 y W Επειδή το σχοινί είναι ισοβαρές ισχύει: Επειδή η ράβδος ισορροπεί ισχύει: ( ) ή ή ( ) ή ( ) ή ( ) Γ5. τη δύναμη που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο (μέτρο και διεύθυνση ως προς τον οριζόντιο άξονα). Γ5. Επειδή η ράβδος ισορροπεί η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτή είναι όση με το μηδέν. Συνεπώς ισχύει: ή (1) και (2) Από τη σχέση (1) έχουμε: ή ή Από τη σχέση (2) έχουμε: ή ή ή Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση δίνεται από τη σχέση: ή. Έστω η γωνία που σχηματίζει η δύναμη με την οριζόντια διεύθυνση. Ισχύει:. Σελίδα 6 από 11

Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον ελεύθερο άξονα περιστροφής του είναι: ΘΕΜΑ Δ Το στερεό σώμα του παρακάτω σχήματος είναι ένα καρούλι που αποτελείται από δυο πανομοιότυπους δίσκους μάζας και ακτίνας 0,4m ο καθένας και από έναν εσωτερικό κύλινδρο μάζας 2 kg και ακτίνας Δ1. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του καρουλιού ως προς τον άξονα που συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου και διέρχεται από τα κέντρα και των δύο δίσκων. Δ1. Η ροπή αδράνειας του καρουλιού υπολογίζεται από τη σχέση: ή Στερεώνουμε το καρούλι, ώστε να μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που ταυτίζεται με τον άξονα. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου τυλίγουμε πολλές φορές ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα και στο ελεύθερο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας 5kg. Αρχικά το σύστημα του καρουλιού και του σώματος Σ διατηρείται ακίνητο με το νήμα τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί, οπότε το καρούλι αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα και το σώμα αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω. Θεωρούμε ότι το νήμα δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου. R 1 R 2 K m Τομή Σελίδα 7 από 11

Δ2. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα Σ. Δ2. Οι δυνάμεις που δέχεται το σώμα Σ είναι το βάρος του και η τάση από το νήμα που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο. Οι δυνάμεις που δέχεται το καρούλι είναι το βάρος του, η δύναμη από τον άξονα και η τάση από το νήμα που είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του κυλίνδρου. Επειδή το νήμα είναι αβαρές ισχύει:. R 1 R 2 F W T T Έστω α το μέτρο της σταθερής επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα Σ κατακόρυφα προς τα κάτω. Επειδή το νήμα που είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του κυλίνδρου δεν ολισθαίνει, το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας του εσωτερικού κυλίνδρου του καρουλιού είναι ίσο με το μέτρο α της επιτάχυνσης του σώματος Σ. Συνεπώς ισχύει: ή (1) Από το θεμελιώδη νόμο μηχανικής για το σώμα Σ έχουμε: ή ή (2) Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης για το καρούλι έχουμε: ή ή ή ή (3) Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (2) και (3) έχουμε: ή ( ) ή ή. W 1 Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της συνολικής στροφορμής του συστήματος του καρουλιού και του σώματος Σ ως προς τον άξονα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το καρούλι έχει εκτελέσει περιστροφές από τη χρονική στιγμή που άρχισε να περιστρέφεται. Δ3. Η γωνία κατά την οποία έχει περιστραφεί η τροχαλία από τη χρονική στιγμή έως τη χρονική στιγμή είναι ή. Ισχύει: ή ή ή ή Σελίδα 8 από 11

Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του καρουλιού τη χρονική στιγμή είναι: ή ή Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ τη χρονική στιγμή υπολογίζεται από τη σχέση: ή. Το μέτρο της συνολικής στροφορμής του συστήματος του καρουλιού και του σώματος Σ τη χρονική στιγμή υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή Τοποθετούμε το σύστημα του καρουλιού και του σώματος Σ πάνω σε δύο οριζόντιες σανίδες, έτσι ώστε οι δύο δίσκοι να βρίσκονται συνεχώς σε επαφή με τις σανίδες, ενώ το σώμα Σ κρέμεται δεμένο στο ελεύθερο άκρο του νήματος που είναι τυλιγμένο γύρω από τον κύλινδρο. Οι σανίδες βρίσκονται σε μεγάλο ύψος πάνω από το έδαφος. Αρχικά το σύστημα του καρουλιού και του σώματος Σ διατηρείται ακίνητο με το νήμα τεντωμένο. Μόλις αφήσουμε το σώμα Σ ελεύθερο να κινηθεί κατακόρυφα προς τα κάτω, οι δύο δίσκοι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν πάνω στις σανίδες R 1 R 2 K Τομή H Δ4. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του καρουλιού. Δ4. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο καρούλι είναι η τάση του νήματος το συνολικό βάρος του ( ), η συνολική κάθετη δύναμη που δέχονται οι δίσκοι από τις σανίδες και η συνολική στατική τριβή που δέχονται οι δίσκοι από τις σανίδες καθώς κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Οι δυνάμεις που δέχεται το σώμα είναι το βάρος του και η τάση του νήματος. Επειδή το νήμα είναι αβαρές ισχύει:. Σελίδα 9 από 11

R 1 a cm y R 2 W T T T x Το καρούλι εκτελεί μεταφορική κίνηση στη διεύθυνση του άξονα και η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του είναι. Η τάση του νήματος δημιουργεί ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του καρουλιού, δε συνεισφέρει όμως στη μεταφορική του κίνηση. W 1 Συνεπώς για να μπορεί να εκτελεί το καρούλι επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση στον άξονα με φορά προς τα δεξιά, θα πρέπει η συνολική στατική τριβή να έχει την ίδια φορά με την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του καρουλιού. Επειδή το καρούλι κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ισχύει:. Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για την μεταφορική κίνηση του καρουλιού έχουμε: ή ( ) (1) Από την εφαρμογή του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης προς τον άξονα περιστροφής του καρουλιού προκύπτει: ή ή (2) Με αντικατάσταση της σχέσης (1) στη σχέση (2) προκύπτει: ( ) ή [( ) ] (3) Έστω κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα Σ. Το μέτρο της κατακόρυφης συνιστώσας της επιτάχυνσης του σώματος Σ ισούται με το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας του κυλίνδρου. Συνεπώς ισχύει: ή. Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για την κίνηση του σώματος Σ έχουμε: ή ή (4) Με αντικατάσταση της σχέσης (4) στη σχέση (3) προκύπτει: ( ) [( ) ] ή [( ) ] ή [( ) ] ή ( ) ή. Δ5. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του καρουλιού τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα προς τα κάτω από την αρχική του θέση κατά 162,5m. Σελίδα 10 από 11

Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του και η ροπή αδράνειας κάθε δίσκου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του δίνονται από την ίδια σχέση:. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι:. Δ5. Συνεπώς το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος Σ είναι: Ισχύει: ή Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του καρουλιού τη χρονική στιγμή σχέση ή. υπολογίζεται από τη Σελίδα 11 από 11