Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές
Βασικές Εννοιές (1) Πρόβλημα του χρωματισμού των κορυφών ετσι ώστε κανένα ζεύγος γειτονικών κορυφών να μην έχει το ίδιο χρώμα. Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών Χρωματική τάξη (colo class): σύνολο κορυφών με το ίδιο χρώμα
Βασικές Εννοιές (2) Χρωματισμός ενός γράφου G είναι το βάψιμο των κορυφών του γράφου ετσι ώστε να μην υπάρχουν γειτονικές κορυφές με το ίδιο χρώμα. Χρωματικός αριθμός χ(g) είναι ο ελάχιστος n για τον οποίο ο G έχει ένα n-χρωματισμό. Δηλ. ο χρωματικός αριθμός μας δείχνει τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να χρωματίσουμε τις κορυφές του γράφου.
Βασικές Εννοιές (3) Ενας γράφος είναι κ-χρωματίσιμος εάν είναι δυνατό να ορίσουμε σε κάθε κορυφή ένα χρώμα από ένα σετ κ-χρωμάτων ετσι ώστε οι γειτονικές κορυφές να έχουν διαφορετικά χρώματα. Το μικρότερο κ για το οποίο ο γράφος G είναι κ-χρωματίσιμος και έχει χρωματικό αριθμό χ(g). 4-χρωματίσιμος γράφος 3-χρωματίσιμος γράφος c a a d c a a a c a c
Βασικές Εννοιές (4) Ενας γράφος G είναι κ-κρίσιμος αν (1) χ(g)=κ και (2) χ(g-u)=κ-1 για κάθε κορυφή u έτσι ώστε η απομάκρυνσή της από το γράφο G να ελαττώσει το χρωματικό αριθμό κατά 1. Αν χ(g)=κ, τότε ο γράφος G πρέπει να περιέχει κ- κρίσιμους υπογράφους. Θεώρημα: Αν G είναι κ-κρίσιμος, τότε deg(u)>=κ-1 Θεώρημα: Αν χ(g)=κ, τότε ο G πρέπει να έχει τουλάχιστον κ-κορυφές με βαθμό τουλάχιστον κ-1.
Παραδείγματα χρωματισμού Ο κύκλος C5 έχει χρωματικό αριθμό 3, και V(C5) είναι τα τμήματα {a,c}, {d}, {e}. Ο γράφος για τον οποίο χ(g)=3 καλείται τριμερής. Μοναδικός κ-χρωματίσιμος εάν υπάρχει μόνο ένα τμήμα του υπογράφου V(G) σε κ υποσύνολα τέτοια ώστε οι κορυφές στο ίδιο υποσύνολο να μην είναι γειτονικές. Χρωματισμός C5 με 3 χρώματα Blue e Red a White Ιδιος τριμερής γράφος- διαφορετικός διαχωρισμός Red e Blue a White White d c Red White d c Red Μοναδικός 3-χρωματίσιμος γράφος
Χρωματισμός Κορυφών χ(k n )=n χ(ν n )=1 χ(k m,n )=2, για m,n>=1 χ(g)=2, αν δεν υπάρχει κύκλος περιττού μήκους χ(τ)=2, αν το δένδρο έχει n>2 κορυφές χ(c 2n )=2 χ(c 2n+1 )=3 χ(w 2n )=4 χ(w 2n+1 )=3
Χρωματισμός ακμών Καθορίζει τα διαφορετικά χρώματα των ακμών του γράφου. Δεν υπάρχει περιορισμός στο πόσες ακμές έίναι χρωματισμένες. Αν θεωρήσουμε ότι οι γειτονικές ακμές έχουν συγκεκριμένα χρώματα, τότε ο χρωματισμός καλείται κατάλληλος χρωματισμός ακμών. Χρωματικός αριθμός ακμών χ1(g) είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που απαιτείται για έναν κατάλληλο χρωματισμό ακμών.
Χρωματισμός Ακμών (1) χ (C 2n )=2 χ (C 2n+1 )=3 χ (W n )=n-1, αν n>=4 Θεώρημα (Vizing 1964): Για κάθε απλό γράφο G ισχύει D(G)<=χ (G)<=D(G)+1 Θεώρημα: Για κάθε πλήρη διμερή γράφο ισχύει χ (K m,n )=D(K m,n )=max(m,n)
Χρωματισμός Ακμών (2) Θεώρημα: Για κάθε πλήρη γράφο ισχύει χ (K n )=n (n περιττό) χ (K n ) =n-1 = (n άρτιο)
Παράδειγμα χρωματισμού ακμών t Βρείτε το χρωματικό αριθμό ακμών για τον παρακάτω γράφο. s u x y z g t s w w g u x y z g v v Αφού οι ακμές έχουν συγκεκριμένα χρώματα σε έναν κατάλληλο χρωματισμό, οι τεσσερις ακμές του s πρέπει να χρωματίζονται διαφορετικά. Χωρίς χάσιμο της γενικότητας, τα χρώματα των ακμών st, sz,su, sv είναι ed, white, lue and geen αντίστοιχα.τότε η ακμή vz μπορεί να λάβει μόνο το χρώμα lue o ed. Υποθέτουμε ότι χρωματίζεται με μπλέ. Τότε συμπληρώνουμε το χρωματισμό ως εξής: vy:ed, uy:white, ux:ed, xy:lue, tx:geen. Χρειαστήκαμε 4 χρώματα και ο γράφος είναι χ1(g)=4
Θεωρημα Θεώρημα: Για κάθε πλήρη διμερή γράφο ισχύει χ (K m,n )=D(K m,n )=max(m,n) 1 g g 2 3 w w g w 4 5 6 7
Μονοχρωματικά τρίγωνα του Kn Τα 4 είδη τριγώνων στο χρωματισμό ακμών του Kn με χρώματα ed and lue. Στον Kn, κάθε σετ 3 ακμών καθορίζει ένα σύνολο. Ο συνολικός αριθμός των τριγώνων στον Kn είναι: n n ( n 1)( n 2) 2 1 3 2 2 1 3 2 3 6 2 2 2 3 2
Παράδειγμα-Προγραμματισμός τελικών εξετάσεων (Ι) Το τμήμα Χ που ανήκει στο πανεπιστήμιο U έχει οκτώ καθηγητές καθένας από τους οποίους διδάσκει 3 μαθήματα το εξάμηνο. Τα προγράμματα φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Για τον προγραμματισμό των τελικών εξετάσεων αποφασίστηκε ότι κάθε μάθημα θα έχει μια τελική εξέταση έτσι ώστε όλα τα τμήματα του συγκεκριμένου μαθήματος να έχουν την τελική εξέταση την ίδια χρονική στιγμή. Pofesso Couses Taught Agnesi 132, 136, 211 Benoulli 127, 131, 153 Cauchy 131, 132, 211 Descates 127, 131, 205 Eule 131, 138, 154 Foenius 132, 136, 201 Gauss 127, 131, 138 Hamilton 153,154, 205
Παράδειγμα-Προγραμματισμός τελικών εξετάσεων (ΙΙ) Φτιάχνουμε το γράφο όπου κάθε κορυφή αναπαριστά ένα δοσμένο μάθημα και ονομάζουμε την κορυφή με τον αριθμό του μαθήματος. Έπειτα τοποθετούμε τις ακμές, εάν κάποιος καθηγητής διδάσκει και τα δυο από τα μαθήματα. 127 131 132 136 211 154 153 138 201 205
Παράδειγμα-Προγραμματισμός τελικών εξετάσεων (ΙΙΙ) Εχουμε εναν 4-χρωματίσιμο γράφο οπου καθε χρωμα παριστανει την κοινη χρονικη περιοδο εξετασης μαθηματων ολων των τμηματων Time slot Exams Scheduled Pofessos Exams 1 (ed) 127, 132, 154 Agnesi(132), Benoulli (127), Cauchy (132), Descates (127), Foenius (132), Eule (154), Gauss (127),Hamilton (154) 2 (lue) 131, 136 Agnesi(136), Benoulli (131), Cauchy (131), Descates (131), Foenius (136), Eule (131), Gauss (131 3 (yellow) 138, 201, 205 Descates (205), Eule (138)Foenius (201), Gauss (138),Hamilton (205) 4 (geen) 153, 211 Agnesi(211), Benoulli (153), Cauchy (211), Hamilton (153)
Παράδειγμα-Προγραμματισμός τελικών εξετάσεων (ΙV) Ο γραφος με βαση τα χρωματισμενα time slots. g g y y y
Αλγόριθμοι Χρωματισμού γράφων Διαδοχικός χρωματισμός (Sequential Coloing) 1. Χρωμάτισε την πρώτη κορυφή με 1. 2. χρωμάτισε κάθε διαδοχική κορυφή με το χαμηλότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται από τις γειτονικές που έχουν ήδη χρωματιστεί. Συνεχίζει μέχρι να χρωματιστούν όλες οι κορυφές. Παράδειγμα1: a 1 f g 3 2 1 e d c h 2 1 3 2 (a) ()
Αλγόριθμοι Χρωματισμού γράφων Διαδοχικός χρωματισμός (Sequential Coloing) 1. Χρωμάτισε την πρώτη κορυφή με 1. 2. χρωμάτισε κάθε διαδοχική κορυφή με το χαμηλότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται από τις γειτονικές που έχουν ήδη χρωματιστεί. Συνεχίζει μέχρι να χρωματιστούν όλες οι κορυφές. Παράδειγμα2: e 4 a d g 1 3 1 f c h 2 1 2 3 (a) ()
Χρωματισμός μέγιστου βαθμού χρώματος a Εφαρμόστε τον αλγόριθμο στο γράφημα του παρακάτω σχήματος: f e d g c h Πρώτα ταξινομούμε τις κορυφες κατα φθινουσα ταξη βαθμων σε λίστα U=c,d,,e,a,f,g,h. Επειτα χρωματίζουμε τις c,d,,e με 1,2,3,3 αντίστοιχα. Η a παίρνει το χρώμα 1 και η f το χρώμα 2. Τελικά, η g παίρνει το χρώμα 1 και η h το χρώμα 2. 3 1 2 1 2 3 1 2 Χρωματισμός μέγιστου βαθμού χρώματος
Βασικές Έννοιες-Σύνοψη Κρίσιμος (citical): χ(η)<χ(g), για κάθε Η υποσύνολο του G k-κρίσιμος (k-citical): o G είναι κρίσιμος και k- χρωματικός Τέλειος (pefect): αριθμός κλίκας ω(g)=χ(g) χρωματικό αριθμό Θεώρημα: Αν ο G είναι k-κρίσιμος, τότε d(g)>=k-1
Βασικές Έννοιες-Σύνοψη Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς ακμές (k-edge coloale): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα Γράφος k-χρωματικός ως προς ακμές (k-edge chomatic): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1 Χρωματικός αριθμός ακμών ή κατάλογος (chomatic index): χ (G)=k Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς περιοχές (kegion coloale): οι περιοχές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα
Χρωματισμός Χαρτών Θεώρημα(4 χρωματων):καθε επίπεδος απλός γράφος G είναι 4-χρωματίσιμος (ως προς τις κορυφές) Πορισμα : Η εικασια των 4 χρωματων ως προς τις περιοχές ειναι ισοδυναμη με την εικασια των 4 χρωματων ως προς τις κορυφες, απλων επιπεδων γραφων Θεώρημα: Ένας επίπεδος απλός γράφος G είναι k- χρωματίσιμος (ως προς τις κορυφές), αν και μόνον αν ο G* είναι k-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές Θεώρημα: Ένας χάρτης G είναι 2-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές αν και μόνον αν είναι Euleian Θεώρημα: Ένας χάρτης είναι 3-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές αν και μόνον αν κάθε περιοχή περικλείεται από άρτιο αριθμό ακμών
Χρωματικά Πολυώνυμα ή Συναρτηση(1) Ερώτηση(ορισμος): Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε τις κορυφές ενός γράφου με k χρώματα; Απάντηση: Χρωματικό πολυώνυμο ή Συναρτηση P G (k)
Χρωματικά Πολυώνυμα ή Συναρτηση(2) Θεώρημα: Έστω γράφος G και δύο μη γειτονικές κορυφές u,w. Τότε ισχύει P G (k)=p G1 (k)+ P G2 (k), όπου G 1 =G+(u,w) και G 2 =G/(u,w) Θεώρημα (Bikhoff 1912) Το χρωματικό πολυώνυμο γράφου G με n κορυφές είναι πολυώνυμο ως προς k βαθμού n. Το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές με εναλλασσόμενα πρόσημα, μεγαλύτερο όρο το k n και σταθερό όρο ίσο με 0