Ε. Κ. Παλούρα NF model_µέρος Πυκνότητα καταστάσεων g() Ορισµός ο αριθµός ενεργειακών καταστάσεων ανά µονάδα όγκου στην ενεργειακή περιοχή (,+d) ή αριθµός e ή τροχιακών ανά µονάδα ενέργειας g () = dn d Η g() είναι καθοριστική για τη συγκέντρωση φορέων είναι ιδιαίτερα σηµαντική για τις ιδιότητες µεταφοράς. Το πλήθος των e που καταλαµβάνουν τις διαθέσιµες καταστάσεις στην περιοχή ενεργειών (Ε,Ε+d) είναι: dn()=g()f()d όπου f() η πιθανότητα κατάληψης, δηλ. η κατανοµή Fermi-Dirac. Πυκνότητα καταστάσεων στο µοντέλο του ελεύθερου ηλεκτρονίου. Αυξανοµένης της Τ ηλεκτρόνια διεγείρονται από την περιοχή 1 στην. Page 1 of 7
Ε. Κ. Παλούρα NF model_µέρος Η πυκνότητα καταστάσεων αλλάζει αυξανοµένης της Τ. Επίσης µεταβάλλεται και η κατανοµή των κυµατοδιανυσµάτων στη σφαίρα Fermi. H g() εξαρτάται από τη µορφή των ταινιών και οι αποκλίσεις τους από τον παραβολικό χαρακτήρα επηρεάζουν και την πυκνότητα καταστάσεων. Υπολογισµός της g() Κοντά στον πυθµένα των ταινιών για 0 ισχύει: = h το σχήµα m των επιφανειών είναι σφαιρικό η κυψελίδα που περιέχει την g()d είναι επίσης σφαιρική µε όγκο 4π d όπου η ακτίνα και d το πάχος αυτής της κυψελίδας. Κάθε επιτρεπτή κατάσταση στον χώρο των έχει όγκο (π) το πλήθος των επιτρεπτών καταστάσεων ανά µονάδα όγκου στον χώρο είναι ( ) 1 π Το πλήθος των καταστάσεων στην κυψελίδα όπου ορίζεται η g() είναι: Page of 7
Ε. Κ. Παλούρα NF model_µέρος 1 π π Πλήθος καταστάσεων= 4 d ( ) και = h m g()d = 1 m 4π h 1 Λόγω spin x g()d = 1 m π h 1 Στην παραβολική περιοχή των ταινιών Η g() 1/ παραβολικό σχήµα Η g() m / η g() µε την m Αυξανοµένης της Ε παύει να ισχύει ο παραβολικός χαρακτήρας των ταινιών και της g() ενώ στα όρια της ζώνης και µέσα στο χάσµα g()=0. H g() αυξάνεται όταν αρχίζει η επόµενη ταινία. Η επιφάνεια Fermi Η επιφάνεια Fermi είναι ιδιαίτερα σηµαντική στα φαινόµενα µεταφοράς αφού µόνον τα e µε Ε Ε F συµµετέχουν σε φαινόµενα διέγερσης. Στο µοντέλο του ελεύθερου e η Fermi είναι σφαιρική. Η επίδραση του πλέγµατος αποκλίσεις από τη σφαιρικότητα. Page of 7
Ε. Κ. Παλούρα NF model_µέρος ηλαδή το σχήµα της Fermi καθορίζεται από τη γεωµετρία των ταινιών. Κοντά στο κέντρο της ζώνης και για χαµηλές ενέργειες ισχύει η παραβολική προσέγγιση (σφαιρική Fermi). Οσο γεµίζουν οι ταινίες και η Ε η Fermi παραµορφώνεται και η παραµόρφωση είναι µεγαλύτερη κοντά στα όρια της ΖΒ. Η θέση της F στην κατανοµή g(): Μονοσθενές µέταλλο: µόνον η µισή ταινία είναι γεµάτη. Mονωτής Υπολογισµός της Ε F στην παραβολική προσέγγιση. Για Τ=0 η Ε F ικανοποιεί τη συνθήκη F g ()d = n = αριθµός e. 0 1 m είξαµε ότι g()d = π h 1 F = h m ( π n) Page 4 of 7
Ε. Κ. Παλούρα NF model_µέρος Η ταχύτητα του ηλεκτρονίου Bloch. Ελεύθερο ηλεκτρόνιο µε κυµατοσυνάρτηση ψ έχει ταχύτητα p h v = = η v είναι πάντοτε //. mo m o 1 Στα ηλεκτρόνια Bloch v = () h δηλ. η ταχύτητα του ηλεκτρονίου µε κυµατοδιάνυσµα είναι ανάλογη της κλίσης της ενέργειας. Επειδή οι Ε() δεν είναι γενικώς σφαιρικές το δεν είναι πάντοτε // µε την v. Kοντά στο κέντρο της ζώνης Brillouin ( 0): = h m h v = m, δηλ. το e συµπεριφέρεται σαν ελεύθερο µε m η v //. Το e που περιγράφεται από την ψ αλλάζει κατάσταση µόνον όταν υποστεί σκέδαση από το πλέγµα. Η επίδραση του πλέγµατος περιλαµβάνεται στην Ε(). Στο 1D πλέγµα : 1 v = h, δηλ. η v είναι ανάλογη της κλίσης της Ε(). Page 5 of 7
Ε. Κ. Παλούρα NF model_µέρος Στο =0 v=0 Γραµµική αύξηση µε το Στο =±π/α v=0 Γιατί?? Λόγω ανάκλασης στα όρια της ΖΒ Για 0 το e συµπεριφέρεται σαν επίπεδο κύµα. Αυξανοµένου του το e σκεδάζεται από το πλέγµα εµφανίζεται ένα καινούριο κύµα οδεύον προς τα αριστερά µε κυµατοδιάνυσµα τo ηλεκτρόνιο στάσιµο κύµα και παρίσταται από το άθροισµα: ix π i x α ψ e + be και έχει ταχύτητα h h π v = b, m m α o o όπου ο συντελεστής b υπολογίζεται από θεωρία διαταραχών. π ' = α Αυξανοµένου του αυξάνεται και συντελεστής b σε κάποιο σηµείο η v αρχίζει αν µειώνεται και στα όρια της ΖΒ b=1 και v=0. Page 6 of 7
Ε. Κ. Παλούρα NF model_µέρος Η δυναµική ενεργός µάζα. Όταν στον κρύσταλλο εφαρµόζεται ηλεκτρικό πεδίο, το e-bloch υφίσταται επιτάχυνση α: dv dv d α = = dt d dt όµως δείξαµε ότι 1 d v = και h = e = F h dt α = 1 h d d ος νόµος Newton αν θέσουµε h m = d d ηλαδή το e-bloch συµπεριφέρεται σαν ελεύθερο e µε m=m. H m είναι αντιστρόφως ανάλογη της καµπυλότητας των ταινιών. Κοντά στον πυθµένα της ταινίας η m σταθερή. Αυξανοµένου του αυξάνεται και η m. Για > σηµείο καµπής η m<0. Γιατί η µάζα γίνεται αρνητική?? Στην περιοχή =±π/α το e υφίσταται επιβράδυνση από το πλέγµα ισχυρότερη από το ηλεκτρικό πεδίο. Page 7 of 7