1 ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΚΑΙ ΕΥΕΛΙΞΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ Ε ΚΑΙ ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Χαράλαμπος Λεμονίδης, Ιωάννα Καϊάφα Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας xlemon@uowm.gr, j.kaiafa@windowslive.com Στην παρούσα εργασία τα βασικά ερωτήματα που τίθενται είναι κατά πόσο οι μαθητές κατανοούν τις πράξεις που εκτελούν με ρητούς αριθμούς και κατά πόσο μπορούν να εκτελούν τις πράξεις αυτές με διαφορετικές στρατηγικές. Για το σκοπό αυτό αναλύθηκαν οι απαντήσεις 266 μαθητών της Ε και ΣΤ τάξης του Δημοτικού Σχολείου, σε πράξεις με κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά, στις οποίες μπορούν να εφαρμοστούν διαφορετικοί τρόποι επίλυσης. Τα αποτελέσματα της έρευνας δείχνουν ότι οι μαθητές του δείγματος πραγματοποιούν πολλά λάθη στις πράξεις των ρητών, τα οποία οφείλονται στα σχήματα που έχουν διαμορφώσει για τους ακέραιους αριθμούς, ενώ φαίνεται πως δεν διαθέτουν μεγάλο ρεπερτόριο νοερών στρατηγικών υπολογισμού. Λέξεις κλειδιά: κατανόηση πράξεων με ρητούς αριθμούς, νοεροί υπολογισμοί, ευελιξία στις στρατηγικές υπολογισμού. I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύγχρονες έρευνες και θεωρίες σχετικά με την ανάπτυξη του αριθμητισμού, στην προσπάθειά τους να ερμηνεύσουν τις δυσκολίες στους ρητούς αριθμούς, υποστηρίζουν ότι η μάθηση των ακεραίων αριθμών εμποδίζει τη μάθηση των ρητών (π.χ., Geary, 2006; Leslie, Gelman, & Gallistel, 2008; Wynn, 2002). Οι θεωρίες της εννοιολογικής αλλαγής, από την άλλη πλευρά, επικεντρώνονται στις διαφορές που παρατηρούνται στις διαδικασίες μάθησης των ακεραίων αριθμών και των κλασματικών, καθώς και στον τρόπο με τον οποίο τα σχήματα που έχουν αναπτύξει οι μαθητές για τους ακέραιους αριθμούς αποτελούν εμπόδιο στη μάθηση των (Ni & Zhou, 2005; Vosniadou, Vamvakoussi, & Skopeiliti, 2008). Οι Caney, A., και Watson, J. M. (2003) διεξήγαγαν μία έρευνα με 24 μαθητές, με σκοπό να καταγράψουν τις στρατηγικές που αυτοί χρησιμοποιούσαν εκτελώντας νοερούς υπολογισμούς με κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά. Παρά το γεγονός ότι το δείγμα της έρευνας ήταν σχετικά μικρό, ωστόσο καταγράφηκε πλήθος νοερών στρατηγικών που χρησιμοποίησαν οι μαθητές, προκειμένου να ανταποκριθούν στις δοκιμασίες. Οι συγκεκριμένοι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι στις πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς οι περισσότερες απαντήσεις των μαθητών χαρακτηρίζονται ως εργαλειακές, σε αντίθεση με τις πράξεις που αφορούν κλάσματα και ποσοστά στις οποίες οι απαντήσεις των μαθητών χαρακτηρίζονται ως εννοιολογικές.
2 Το 2004 οι Callingham και Watson διεξήγαγαν μία έρευνα (με δείγμα 5.535 μαθητές από την Τρίτη Δημοτικού μέχρι την Πρώτη Λυκείου), με σκοπό να περιγράψουν μια αναπτυξιακή κλίμακα σχετικά με την επάρκεια των μαθητών στην εκτέλεση νοερών υπολογισμών με κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά. Τα έξι επίπεδα της αναπτυξιακής κλίμακας, στην οποία κατέληξαν, φαίνεται να υποδεικνύουν μια αυξανόμενη κατανόηση της δομής των συγκεκριμένων αριθμών. Στο πρώτο επίπεδο, οι μαθητές είναι σε θέση να αναγνωρίσουν το ½ τόσο ως αριθμό όσο και ως τελεστή, π.χ. το ½ του 62, ενώ, όταν φτάνουν στο έκτο επίπεδο, φαίνεται ότι αποκτούν μια καλή κατανόηση των δομών του αριθμού και είναι σε θέση να εφαρμόζουν τις στρατηγικές που έχουν μάθει σε μια σειρά από λιγότερο γνωστούς αριθμούς και σε πιο σύνθετες πράξεις (π.χ. 20:5, 0,3x0,3). Αντικείμενο μελέτης σε πολλές έρευνες αποτελούν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές σε έργα σχετικά με τους ρητούς αριθμούς. Οι στρατηγικές αυτές διακρίνονται σε εννοιολογικές και διαδικαστικές (Clarke & Roche, 2009; Λεμονίδης, 2013; Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel, 1993; Yang, Reys, & Reys, 2007). Οι Yang et al. (2007) αναφέρονται σε στρατηγικές που στηρίζονται σε απομνημονευμένους κανόνες (rule-based strategies), καθώς και σε στρατηγικές που στηρίζονται στα εννοιολογικά χαρακτηριστικά της αίσθησης του αριθμού (number sense-based strategies). Στην παρούσα έρευνα υιοθετούνται οι όροι εννοιολογικές και εργαλειακές ή διαδικαστικές στρατηγικές. Συγκεκριμένα: Εννοιολογικές στρατηγικές. Χαρακτηρίζονται από την κατανόηση των πράξεων και των αριθμών, που χρησιμοποιούνται σε αυτές, και προκύπτουν από την ικανότητα των μαθητών να αντιμετωπίζουν τους ρητούς αριθμούς ολιστικά, στηριζόμενοι στα εννοιολογικά χαρακτηριστικά της αίσθησης του αριθμού. Στις εννοιολογικές στρατηγικές περιλαμβάνονται η χρήση του «αριθμού αναφοράς», η αξιοποίηση συμπληρωμάτων της μονάδας (π.χ. στη σύγκριση των και, το είναι πιο κοντά στη μονάδα από το, άρα είναι μεγαλύτερο), η σχηματική αναπαράσταση (π.χ. στην αφαίρεση -, φαντάζομαι ή σχηματίζω ένα κύκλο με σκιασμένα τα και αφαιρώ το ) και το πέρασμα από μία μορφή ρητού σε μία άλλη (π.χ. στον πολλαπλασιασμό 0,3 x 0,3 μετατρέπω τους δεκαδικούς σε κλάσματα και έχω x = ). Εργαλειακές ή διαδικαστικές στρατηγικές. Οι μαθητές, όταν κάνουν χρήση εργαλειακών στρατηγικών, στηρίζονται σε απομνημονευμένους κανόνες, οι οποίοι δεν συνδέονται απαραίτητα με βαθιά εννοιολογική κατανόηση. Στις διαδικαστικές στρατηγικές περιλαμβάνονται η μετατροπή σε ομώνυμα για τη σύγκριση δύο, η εφαρμογή του «χιαστί» και η χρήση απομνημονευμένων κανόνων (π.χ. για να διαιρέσω δύο κλάσματα μεταξύ τους, αντιστρέφω τους όρους του δεύτερου κλάσματος και κάνω πολλαπλασιασμό).
3 II. Η ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ.1. Τα ερωτήματα της έρευνας Τα ερευνητικά ερωτήματα που τέθηκαν στη συγκεκριμένη εργασία είναι τα εξής: - Κατά πόσο τα σχήματα που έχουν αναπτύξει οι μαθητές για τους ακέραιους επηρεάζουν την επίδοσή τους στην εκτέλεση πράξεων στους ρητούς αριθμούς. - Ποιες στρατηγικές χρησιμοποιούν οι μαθητές αυτοί, όταν εκτελούν νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς, και πόσες από αυτές τις στρατηγικές είναι εννοιολογικές ή διαδικαστικές. - Αν οι συγκεκριμένοι μαθητές είναι ευέλικτοι κατά την εκτέλεση των πράξεων, αν δηλαδή γνωρίζουν και είναι ικανοί να χρησιμοποιούν ποικίλες στρατηγικές κατά την εκτέλεση νοερών υπολογισμών με ρητούς αριθμούς. ΙΙ.2. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Το δείγμα Το δείγμα της έρευνας αποτελούν 266 μαθητές της Ε και Στ τάξης, οι οποίοι έλαβαν μέρος στον 9ο Διαγωνισμό των «Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής», που διεξήχθη το Μάιο του 2013, και προέρχονται από Δημοτικά σχολεία της Φλώρινας και των Σερρών. Από αυτούς οι 122 φοιτούσαν στην Ε τάξη και οι 144 στη Στ. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αρκετοί εκπαιδευτικοί και γονείς των σχολείων, όπου φοιτούσαν οι μαθητές, δέχτηκαν κάποια επιρροή αναφορικά με τους νοερούς υπολογισμούς και τις στρατηγικές τους, μέσα από τα θέματα του διαγωνισμού προηγούμενων ετών, αλλά και από επιμορφωτικές εκδηλώσεις, όπως ομιλίες ή φυλλάδια σχετικά με νοερούς υπολογισμούς. Οπότε μπορεί να θεωρηθεί ότι οι μαθητές δεν ήταν εντελώς ανεπηρέαστοι σχετικά με τους νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς. Διαδικασία εξέτασης Ο διαγωνισμός πραγματοποιήθηκε εκτός σχολικού προγράμματος, ημέρα Σάββατο, σε ένα σχολείο, όπου συγκεντρώθηκαν όλοι οι διαγωνιζόμενοι μαθητές από τους νομούς της Φλώρινας και των Σερρών. Η εξέταση διεξήχθη γραπτά, ενώ οι ασκήσεις νοερών υπολογισμών με ρητούς αποτελούσαν μέρος ενός ευρύτερου φύλλου αξιολόγησης, το οποίο περιελάμβανε και αριθμητικά προβλήματα. Οι ερωτήσεις Θεωρήθηκε ότι ο καταλληλότερος τρόπος, για να εξεταστεί η κατανόηση των μαθητών στις πράξεις και κατ επέκταση στους ρητούς αριθμούς, ήταν να ζητηθεί από τους μαθητές να υπολογίσουν νοερά τις πράξεις και να καταγράψουν τον τρόπο, με τον οποίο σκέφτηκαν. Η καταγραφή από τους μαθητές του τρόπου σκέψης τους
4 θα έδινε στην έρευνα τη δυνατότητα να εξετάσει ποιες και πόσες στρατηγικές χρησιμοποίησαν. Για να μην υπάρχει περιορισμός στους τρόπους υπολογισμού, ζητήθηκε από τους μαθητές να απαντήσουν σε κάθε πράξη με όσους περισσότερους τρόπους μπορούσαν. Οι ερωτήσεις που τέθηκαν στους μαθητές είναι οι εξής: Ε ΤΑΞΗ Υπολογίζω με το μυαλό πόσο κάνει: α) ¾ - ½, β) 0,3x0,3 και γ) συγκρίνω τα κλάσματα 4/7 και 4/5, με όσους περισσότερους τρόπους μπορώ. Κάθε φορά γράφω τον τρόπο που σκέφτηκα. ΣΤ ΤΑΞΗ Υπολογίζω με το μυαλό: α) πόσο είναι το ½ του ¼, β) πόσο κάνει 20:0,5 και γ) πόσο κάνει το 25% του 80, με όσους περισσότερους τρόπους μπορώ. Κάθε φορά γράφω τον τρόπο που σκέφτηκα. II.3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ II.3.α. Οι επιδόσεις των μαθητών Στον πίνακα 1 που ακολουθεί παρατίθενται στοιχεία για τα ποσοστά επιτυχίας και αποτυχίας σε κάθε άσκηση ξεχωριστά και για τον αριθμό των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές γενικά, αλλά και ειδικά στους νοερούς υπολογισμούς. Όσον αφορά την επίδοση των μαθητών σε κάθε άσκηση, ανεξάρτητα από την στρατηγική, την οποία χρησιμοποιούν, παρατηρήθηκε ότι στην Ε τάξη η άσκηση με το μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας (87%) είναι η σύγκριση ( & ). Τα τρία τέταρτα περίπου των μαθητών (73,5%) πετυχαίνουν την αφαίρεση - και μόνο το 40% των μαθητών πετυχαίνει τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών 0,3x0,3. Στην Έκτη τάξη η άσκηση με το μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας (78%) είναι αυτή που ζητά την εύρεση του ποσοστού (το 25% του 80). Σχεδόν οι μισοί μαθητές (52%) πετυχαίνουν τη διαίρεση 20:0,5 και η δυσκολότερη άσκηση με ποσοστό επιτυχίας μόνο 32% είναι να βρουν το του. Στην άσκηση με τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών 0,3x0,3 στην Ε τάξη το σημαντικότερο λάθος είναι η απάντηση 0,9, που παρουσιάζεται στο 46% των μαθητών. Το λάθος αυτό δείχνει αδυναμία ελέγχου της αξίας θέσης των αριθμών σε δεκαδικούς αριθμούς και μάλιστα εδώ φαίνεται να μεταφέρεται λανθασμένα από τους ακεραίους αριθμούς η αντίληψη ότι ο πολλαπλασιασμός μεγαλώνει τον αριθμό. Στη Στ τάξη στη διαίρεση 20:0,5 ένα μαζικό λάθος (27,3%) ήταν η απάντηση 10, όπου φαίνεται να μεταφέρεται η αντίληψη από τους ακεραίους ότι η διαίρεση μικραίνει τον αριθμό. Με παρόμοιο τρόπο στο ερώτημα ποιο είναι το του οι μαθητές πραγματοποιούν διαίρεση αντί για πολλαπλασιασμό, επηρεασμένοι από τη
5 λογική των ακεραίων ότι η διαίρεση μικραίνει τον αριθμό. Έτσι, ένα μεγάλο ποσοστό μαθητών (37,2%) πραγματοποιεί τη διαίρεση : και βρίσκει το λάθος αποτέλεσμα ή. Επιτυχία Τρεις στρατηγικές Δύο στρατηγικές Μία στρατηγική Μια στρατηγική νοερών υπολογ. Τουλάχιστον δύο στρατ. νοερ υπολ Ε ΤΑΞΗ Συγκρίνω - 0,3 x 0,3 & Το του 90 49 106(86,9%) 46 (73,7%) (40,1%) (31,9%) 2 4 (3,3%) 0 (0%) 3 (2,5%) (1,4%) 46 15 (37,7%) (12,3%) 37 (30,3%) 9 (6,3%) 40 34 (32,8%) (27,9%) 66 (54,1%) 35 (24,3%) 42 (34,4%) Σωστή απάν μόνο με 39 (32%) γραπτό αλγόρ Αποτυχία ΣΥΝΟΛΟ 26 (21,3%) 64 (52,4%) 31 (21,5%) ΣΤ ΤΑΞΗ 20:0,5 Το 25% του 80 112 75 (52%) (77,8%) 1 (0,7%) 2 (1,4%) 18 35 (12,5%) (24,3%) 56 75 (38,9%) (52,1%) 40 (27,8%) 65 (45,1%) 9 (7,4%) 0 (0%) 25 (29,5%) 6 (4,2%) 11 (7,6%) 8 (5,5%) 32 (26,2%) 122 (100%) 23 (18,8%) 17 (13,9%) 9 (6,3%) 73 (59,8%) 16 (13,1%) 98 (68%) 122 (100%) 122 (100%) 144 (100%) 24 (16,7%) 69 (47,9%) 144 (100%) Πίνακας 1: Οι απαντήσεις των μαθητών Ε και Στ τάξης στις πράξεις 39 (27,1%) 32 (22,2%) 144 (100%) Όσον αφορά τον αριθμό των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές, ανεξάρτητα αν υπολογίζουν με γραπτούς αλγόριθμους ή νοερές στρατηγικές, παρατηρεί κανείς ότι είναι πολύ περιορισμένος, καθώς φτάνει μέχρι τις δύο στρατηγικές, ενώ ελάχιστοι μαθητές, όπως φαίνεται στον πίνακα 1, χρησιμοποιούν επιτυχώς τρεις στρατηγικές. Συνεπώς, μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι το ρεπερτόριο των στρατηγικών για τον υπολογισμό των ρητών αριθμών στους μαθητές
6 αυτούς είναι πολύ περιορισμένο, δηλαδή δεν υπάρχουν οι προϋποθέσεις στους μαθητές αυτούς για να είναι ευέλικτοι στους υπολογισμούς τους. Όπως προκύπτει από τον πίνακα 1, ένα αρκετά μεγάλο ποσοστό που κυμαίνεται από το 6,3% έως το 32% μπορεί να λύσει τις προτεινόμενες ασκήσεις μόνο με την εφαρμογή του γραπτού αλγόριθμου. Η πλειοψηφία των μαθητών που απαντούν σωστά μπορεί να χρησιμοποιήσει μόνο μία στρατηγική νοερών υπολογισμών. Τα ποσοστά των μαθητών αυτών κυμαίνονται από το 21,3% έως το 52,4% του συνολικού πληθυσμού. Τέλος, τα ποσοστά των μαθητών που είναι σε θέση να χρησιμοποιήσουν τουλάχιστον δύο στρατηγικές νοερών υπολογισμών κινούνται σε πολύ χαμηλά επίπεδα, καθώς μόνο στην σύγκριση των &, στην Ε τάξη, εμφανίζεται ένα σημαντικό ποσοστό (29,5%) μαθητών που μπορούν να χρησιμοποιούν σωστά τουλάχιστον δύο στρατηγικές νοερών υπολογισμών. Στη συνέχεια παρουσιάζεται με τρόπο πιο διεξοδικό, το είδος των νοερών στρατηγικών που χρησιμοποίησαν οι μαθητές. ΙΙ.3.β. Στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές Στον πίνακα 2 που ακολουθεί συνοψίζονται οι στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές για να απαντήσουν στις ερωτήσεις που τους τέθηκαν. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Εκτέλεση του γραπτού αλγόριθμου (διαδικαστική Νοερή ή σχηματική αναπαράσταση Αφαίρεση Σύγκριση Πολλαπλασιασμός δεκαδικών Το ½ του ¼ Μετατροπή των σε ομώνυμα και πραγματοποίηση αφαίρεσης. ¾ - ½ = ¾ - 2/4 = ¼ Μετατροπή των σε ομώνυμα και σύγκριση των αριθμητών. 4/7 & 4/5 = 20/35 & 28/35. Άρα μεγαλύτερο είναι το 28/35, δηλαδή το 4/5. Τοποθέτηση των δεκαδικών σε κάθετη διάταξη και πραγματοποίηση του πολλαπλασιασμού Πραγματοποίηση πολλαπλασιασμού. ½ x ¼ = 1/8 Διαίρεση ακεραίου με Πραγματοποίηση κάθετης διαίρεσης δεκαδικό Εύρεση ποσοστού 25/100 x 80 = 2000/100 = 20 Αφαίρεση Φαντάζομαι ή σχηματίζω ένα κύκλο με σκιασμένα τα ¾ και αφαιρώ το ½
7 Πέρασμα από μία μορφή του ρητού σε άλλη Ίδιος αριθμητής, σύγκριση παρονομαστή Σημείο αναφοράς η μονάδα Σύγκριση Το ½ του ¼ Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός δεκαδικών Σύγκριση Το ½ του ¼ Διαίρεση ακεραίου με δεκαδικό Εύρεση ποσοστού Σύγκριση Φαντάζομαι ή σχηματίζω δύο πίτσες, η μία χωρισμένη σε 7 κομμάτια και η άλλη σε 5 και παίρνω τα 4. Χωρίζω έναν κύκλο σε τέσσερα κομμάτια και μετά το ένα από αυτά το χωρίζω στη μέση. Μετατροπή των σε δεκαδικό και πραγματοποίηση αφαίρεσης. ¾ - ½ =. 0,75-0,5=0,25. Μετατροπή των σε ποσοστό και πραγματοποίηση αφαίρεσης. ¾ = 75%, ½=50%, 75%- 50%-25%. Μετατροπή των δεκαδικών σε κλάσμα και πραγματοποίηση πολλαπλασιασμού. 3/10x3/10 = 9/100. Μετατροπή των σε δεκαδικό και σύγκρισή τους. 4/7 = 0,57 & 4/5=0,8. Άρα, 4/7<4/5. Μετατροπή των σε δεκαδικό. Το 0,5 του 0,25 = 0,125. Μετατροπή των σε ποσοστά. Το 50% του 25% είναι το 12,5%. Μετατροπή του δεκαδικού σε κλάσμα και πραγματοποίηση διαίρεσης. 20:0,5 = 20: ½= 40 Μετατροπή του ποσοστού σε κλάσμα. Το 25%=1/4. Το ¼ του 80 είναι το 20. Μετατροπή του ποσοστού σε δεκαδικό. 0,25 x 80 = 20 Αφού τα δύο κλάσματα έχουν κοινό αριθμητή, μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή. Σύγκριση Το 4/5 είναι πιο κοντά στη μονάδα από το 4/7. Διαίρεση 20:1 κάνει 20, άρα 20: 0,5= 40
8 Αναφορά στο μισό Πολλαπλασιάζω με το 10 διαιρέτη και διαιρετέο Απλή μέθοδος των τριών (διαδικαστική ακεραίου με δεκαδικό Το ½ του ¼ Διαίρεση ακεραίου με δεκαδικό Διαίρεση ακεραίου με δεκαδικό Σκέφτομαι ότι το 1/2 του 1/4 είναι το μισό του ¼. Ποια είναι δύο μισά που αν τα ενώσω βρίσκω το 1/4; Είναι το 1/8. Ή το μισό του ¼ το βρίσκω αν διπλασιάσω τον παρονομαστή δηλαδή το κάνω 1/8. Πόσα μισά έχει το 20; 200:5=40 Εύρεση ποσοστού Στα 100 είναι 25, στα 80 είναι x. Πίνακας 2: Οι διάφορες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές Στους πίνακες 3 και 4 που ακολουθούν, παρουσιάζονται τα ποσοστά των μαθητών που επέλεξαν κάθε στρατηγική σε κάθε άσκηση χωριστά. Ε ΤΑΞΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ¾ - ½ 0,3 x 0,3 Συγκρίνω 4/7 και 4/5 Εκτέλεση του γραπτού αλγόριθμου 79 (64,8%) 39 (32%) 35 (28,7%) Νοερή ή σχηματική αναπαράσταση 21 (17,2%) 37 (30,3%) Πέρασμα από μία μορφή του ρητού σε άλλη 46 (37,7%) 27 (22,1%) 30 (24,6%) Ίδιος αριθμητής, σύγκριση παρονομαστή 36 (29,5%) Σημείο αναφοράς η μονάδα 13 (10,7%) Πίνακας 3: Ποσοστά των μαθητών της Ε Τάξης που επέλεξαν την κάθε στρατηγική
9 ΣΤ ΤΑΞΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ Το ½ του ¼ 20:0,5 Το 25% του 80 Εκτέλεση του γραπτού αλγόριθμου 15 (10,4%) 34 (23,6%) 57 (39,6%) Νοερή ή σχηματική αναπαράσταση 16 (11,1%) Πέρασμα από μία μορφή του ρητού σε άλλη 16 (11,1%) 9 (6,2%) 60 (41,7%) Σημείο αναφοράς η μονάδα 16 (11,1%) Αναφορά στο μισό 12 (8,3%) 11 (7,6%) 19 (13,2%) Πολλαπλασιάζω με το 10 διαιρέτη και διαιρετέο 23 (16%) Απλή μέθοδος των τριών 15 (10,4%) Πίνακας 4: Ποσοστά των μαθητών της ΣΤ Τάξης που επέλεξαν την κάθε στρατηγική Όπως μπορεί να παρατηρήσει κανείς, στις τέσσερις από τις έξι ασκήσεις, η στρατηγική που συγκεντρώνει τα μεγαλύτερα ποσοστά είναι εκείνη της εκτέλεσης του γραπτού αλγόριθμου. Μια άλλη στρατηγική που εμφανίζεται συχνά, σε όλες τις ασκήσεις της Ε τάξης και στην άσκηση του ποσοστού της Στ τάξης, είναι το πέρασμα από μία μορφή ρητού αριθμού σε μια άλλη. Δηλαδή, για να συγκρίνουν τα κλάσματα οι μαθητές, τα μετατρέπουν σε δεκαδικούς και για να υπολογίσουν το ποσοστό το μετατρέπουν σε κλάσμα ( ) ή σε δεκαδικό (0,25). Η στρατηγική της προσφυγής στη σχηματική αναπαράσταση εμφανίζεται σε λίγες ασκήσεις και κυρίως στη σύγκριση των. Τέλος, η στρατηγική της χρήσης της μονάδας ή του μισού ως σημεία αναφοράς εμφανίζεται σε πολύ μικρά ποσοστά. Συμπεραίνει, λοιπόν, κανείς από τα παραπάνω ότι οι μαθητές γνωρίζουν πολύ λίγες νοερές στρατηγικές, όπως αυτή του περάσματος από τη μια μορφή του ρητού σε άλλη και τη σχηματική αναπαράσταση, τις οποίες χρησιμοποιούν σε μικρό ποσοστό. III. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι διαφορές στα ποσοστά επιτυχίας των μαθητών στις διάφορες ασκήσεις που δόθηκαν και η ανάλυση των λαθών οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι αντιλήψεις: «ο πολλαπλασιασμός μεγαλώνει» και «η διαίρεση μικραίνει», που προέρχονται από την ενασχόληση με τους ακεραίους, είναι η κύρια αιτία για το χαμηλό ποσοστό επιτυχίας στις πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς 0,3x0,3 και 20:0,5 και τον υπολογισμό του ½ του ¼ στα κλάσματα. Το συμπέρασμα αυτό επιβεβαιώνεται και από τις άλλες έρευνες που υποστηρίζουν ότι η μάθηση των ακεραίων αριθμών εμποδίζει τη μάθηση των ρητών (π.χ., Geary, 2006; Leslie, Gelman & Gallistel, 2008; Wynn, 2002).
10 Επιβεβαιώνεται επίσης από τις αναπτυξιακές θεωρίες (Geary, 2006) και τις θεωρίες εννοιολογικής αλλαγής (Ni & Zhou, 2005; Vosniadou, Vamvakoussi, & Skopeiliti, 2008). Σε παρόμοια συμπεράσματα, ως προς τη δυσκολία των πράξεων κατάληξαν και οι έρευνες στην Αυστραλία των Callingham & Watson (2008, 2004) οι οποίοι προσδιόρισαν έξι επίπεδα συμπεριφοράς με ρητούς αριθμούς. Την πράξη ¾ - ½ την κατέταξαν στο δεύτερο επίπεδο δυσκολίας, την πράξη το 25% του 80 στο τρίτο επίπεδο δυσκολίας και τις πράξεις 0,3x0,3 και 20:0,5 τις κατέταξαν στο έκτο και μεγαλύτερο επίπεδο δυσκολίας. Επίσης, σε έρευνα των Clarke και Roche (2009) σε μαθητές Στ τάξης του Δημοτικού στη Βικτώρια της Αυστραλίας, στην σύγκριση των 4/7και 4/5, βρίσκουν ποσοστό επιτυχίας με νοερές στρατηγικές 37,2% ενώ στην εν λόγω έρευνα οι μαθητές της Ε τάξης πετυχαίνουν με ποσοστό 73%. Η σύγκριση με τα αποτελέσματα των ερευνών της Αυστραλίας δείχνει ότι οι επιδόσεις των Ελλήνων μαθητών στις πράξεις με νοερούς υπολογισμούς στους ρητούς αριθμούς δεν υπολείπονται από εκείνες των Αυστραλών και μάλιστα σε μερικές περιπτώσεις υπερτερούν. Παρατηρήθηκε, επίσης, ότι στις ασκήσεις που προτάθηκαν και περιείχαν αριθμούς τέτοιους που επιδέχονταν κατανόηση και χρήση εννοιολογικών στρατηγικών, ένας αριθμός μαθητών μπορούσε να χρησιμοποιήσει μόνο τους γραπτούς αλγορίθμους. Γενικά, οι μαθητές, στο σύνολό τους, διέθεταν περιορισμένο αριθμό στρατηγικών στο ρεπερτόριό τους. Ο περιορισμένος αυτός αριθμός στρατηγικών δείχνει χαμηλό βαθμό ευελιξίας στις πράξεις με ρητούς αριθμούς. Διαπιστώθηκε, επίσης, ότι οι μαθητές που απάντησαν σωστά στις πράξεις, χρησιμοποιώντας μία μόνο στρατηγική, στην πλειοψηφία τους επέλεξαν τις διαδικαστικές στρατηγικές στις πράξεις ¾ - ½ και 0,3x0,3. Αντίθετα, στις πράξεις της σύγκρισης των 4/7και 4/5, της εύρεσης του ½ του ¼, της διαίρεσης 20:0,5 και της εύρεσης του ποσοστού, η πλειοψηφία των μαθητών χρησιμοποίησε εννοιολογικές στρατηγικές. Δηλαδή, θα μπορούσε να διατυπωθεί ο ισχυρισμός ότι, αν και η διδασκαλία των πράξεων με ρητούς αριθμούς στην Ελλάδα δεν συμπεριλαμβάνει τη συστηματική διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και των εννοιολογικών διαδικασιών, παρόλα αυτά οι μαθητές χρησιμοποιούν αρκετά τις εννοιολογικές στρατηγικές. Επομένως, πιθανόν μια συστηματική διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και των εννοιολογικών στρατηγικών στις πράξεις με ρητούς αριθμούς θα ενίσχυε την ευελιξία των μαθητών και θα επέφερε μεγαλύτερη κατανόηση. IV. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Το δείγμα της συγκεκριμένης έρευνας αποτελούν μαθητές οι οποίοι έλαβαν μέρος, οικειοθελώς, σε έναν μαθηματικό διαγωνισμό. Αυτό σημαίνει ότι, ίσως, οι μαθητές αυτοί να συνιστούν ένα δείγμα που έχει καλλίτερες επιδόσεις από το συνήθη μαθητικό πληθυσμό αλλά και από το συνολικό πληθυσμό των σχολείων από τα οποία
11 προέρχονται. Επομένως, τα αποτελέσματα ενδέχεται να μην γενικεύονται στο γενικό πληθυσμό. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Callingham, R.A., & Watson, J.M. (2004). A developmental scale of mental computation with part-whole numbers. Mathematics Education Research Journal, 16(2), 69-86. Callingham, R., & Watson, J. (2008). Research in Mental Computation: Multiple Perspectives. Post Pressed. ISBN:978-1-921214-36-3. Caney, A., & Watson, J. M. (2003, December). Mental computation for part-whole number operations. Paper presented at the joint conferences of the Australian Association for Research in Education and the New Zealand Association for Research in Education, Auckland. Retrieved September 3, 20011, from http://www.aare.edu.au/03pap/alpha.htm Clarke, D. M., & Roche Α. (2009). Students fraction comparison strategies as a window into robust understanding and possible pointers for instruction. Educational Studies in Mathematics, 72 (1) (June 12): 127-138. Geary, D. C. (2006). Development of mathematical understanding. In W. Damon, et al. (Eds.), Handbook of child psychology: Cognition, perception, and language (Vol. 2, pp. 777-810). Hoboken, NH: Wiley. Λεμονίδης, Χ. (2013). Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής. Νοεροί υπολογισμοί. Λογαρέζω με το τσιμίδι μ. Εκδόσεις Ζυγός. Θεσσαλονίκη. Leslie, A. M., Gelman, R., & Gallistel, C. R. (2008). The generative basis of natural number concepts. Trends in Cognitive Sciences, 12(6), 213-218. Ni, Y., & Zhou, Y-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27 52. Post, T., Cramer, K., Behr, M., Lesh, R., & Harel, G. (1993). Curriculum implications of Research on the Learning, Teaching, and Assessing of Rational Vosniadou, S., Vamvakoussi, X., & Skopeliti, I. (2008). The framework theory approach to conceptual change. In S. Vosniadou (Ed.), International handbook of research on conceptual change (pp. 3 34). Mahwah, NJ: Erlbaum. Yang. D., C., Reys, R., & Reys, B. (2007). Number sense strategies used by preservice teachers in Taiwan. International Journal of Science and Mathematics Education, 7, 383-403. Wynn, K. (2002). Do infants have numerical expectations or just perceptual preferences? Developmental Science, 2, 207-209.