Η Κλασµατική ιάσταση ως Μέτρο της Τραχύτητας Ασυνεχειών Βράχου Fractal Dimension as a Qualitative Descriptor of Rock Joint Roughness

Η Κλασµατική ιάσταση ως Μέτρο της Τραχύτητας Ασυνεχειών Βράχου Fractal Dimension as a Qualitative Descriptor of Rock Joint Roughness ΣΤΡΑΤΑΚΟΣ Ι., Αγρ. & Τοπογράφος Μηχανικός, Υ.. ΕΜΠ ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ Μ.Γ., ρ Μηχ., Π. Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Συγκρίνονται τα ποιοτικά χαρακτηριστικά επιλεγµένων κλασµατικών µεθόδων και της µεθοδολογίας που έχει καθιερωθεί κατά I.S.R.M. για τον προσδιορισµό της τραχύτητας ασυνέχειας βράχου. Η χρήση των πρότυπων προφίλ της I.S.R.M. γίνεται µέσα από ειδικά ανεπτυγµένο λογισµικό που απαλείφει τον υποκειµενικό παράγοντα της ανθρώπινης παρατήρησης. Οι δύο µεθοδολογίες εφαρµόζονται σε φυσικά προφίλ βράχου που έχουν αποτυπωθεί µε ειδική συσκευή υψηλής ακρίβειας. Τα αποτελέσµατα δείχνουν την υπεροχή της Κλασµατικής Μεθοδολογίας έναντι της µεθόδου των πρότυπων προφίλ σε ζητήµατα κλίµακας, ιεράρχησης της τραχύτητας και αναγνώρισης της ανισοτροπίας της επιφάνειας. ABSTRACT : Qualitative characteristics obtained from selected fractal methods are compared to the methodology instituted by the I.S.R.M. for the estimation of joint roughness. The usage of the I.S.R.M. standard profiles is performed through sophisticated software that eliminates human subjectiveness factor. Both methodologies are applied on natural rock profiles that have been digitized with a high precision, three-dimension digitizing device. The results carried out, show the superiority of fractal methods over the standard profiles methodology in issues such as scale dependence, roughness classification and surface roughness anisotropy. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η δυνατότητα εκτίµησης της τραχύτητας µιας επιφάνειας ή γραµµής µε µεθόδους της Κλασµατικής Γεωµετρίας έχει αποτελέσει πρόσφατα αντικείµενο ευρείας µελέτης (Tse και Cruden 1991, Stratakos 2001, Babadagli et al. 2003). Σκοπός αυτής της εργασίας είναι η διερεύνηση του κατά πόσο είναι εφικτή η κατάταξη επιφανειών βράχου και προφίλ ασυνεχειών ως προς την τραχύτητά τους µέσω της Κλασµατικής ιάστασης. Για την πραγµατοποίηση της έρευνας αυτής συλλέχθησαν πρωτογενή δεδοµένα µέσω ψηφιοποίησης εκτεταµένων επιφανειών βράχου χρησιµοποιώντας ένα υψηλής ακριβείας ψηφιοποιητή ροµποτικό βραχίονα. Το ποσοτικό µέτρο που προσδιορίζεται και αντιπροσωπεύει την τραχύτητα της επιφάνειας του βράχου είναι ο συντελεστής τραχύτητας ασυνεχειών (Barton, 1973), (Joint Roughness Coefficient) ο οποίος στην παρούσα έρευνα προσδιορίζεται µε δυο ανεξάρτητες µεθοδολογίες τις οποίες και συγκρίνουµε. Κατά την πρώτη µεθοδολογία κάνουµε χρήση των δέκα προφίλ των Bandis και Choubey (1973) που συνιστά ως πρότυπα η I.S.R.M. και τα συγκρίνουµε µε προφίλ που έχουν εξαχθεί από τις ψηφιοποιηθείσες περιοχές. Η σύγκριση γίνεται µέσα από ειδικά αναπτυγµένο λογισµικό το οποίο πραγµατοποιεί σύγκριση των δυο προφίλ για διαφορετικές θέσεις αναφοράς και αποδίδει το επίπεδο ταύτισης για κάθε περίπτωση. Κατά την δεύτερη µεθοδολογία κάνουµε χρήση ειδικών υπολογιστικών αλγορίθµων που προκύπτουν από την εφαρµογή της θεωρίας της Κλασµατικής Γεωµετρίας και εξάγουµε την τιµή της κλασµατικής διάστασης των επιλεγµένων προφίλ, µέγεθος που έχει συνδεθεί άµεσα µε το χαρακτηρισµό της τραχύτητας επιφανειών βράχου. Ο υπολογισµός της διάστασης γίνεται µε δυο επιλεγµένες µεθόδους, του ιαστηµόµετρου και του συντελεστή Hurst. Η σύνδεση της 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 1

κλασµατικής διάστασης γίνεται µε το στατιστικό µοντέλο του Lee et al. που λαµβάνει υπ όψη την κλασµατική διάσταση του ιαστηµόµετρου. Από την σύγκριση των δυο διαφορετικών προσεγγίσεων διαπιστώνουµε ότι, η µέθοδος των προτύπων προφίλ της I.S.R.M. παρουσιάζει σηµαντικά µειονεκτήµατα έναντι της κλασµατικής µεθοδολογίας, κυρίως λόγω των φαινοµένων κλίµακας που εµφανίζονται στις επιφάνειες βράχου. Επιπρόσθετα, µε χρήση των προτύπων προφίλ δεν είναι δυνατός ο προσδιορισµός διαφορετικού για αντίθετες κατευθύνσεις επί του ιδίου προφίλ κάτι που είναι δυνατό µε τη εφαρµογή ορισµένων κλασµατικών µεθόδων. 2. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΠΡΟΦΙΛ 2.1 Οι αρχές χρήσης των πρότυπων προφίλ. Ο υπολογισµός του γίνεται µε οπτική σύγκριση των δέκα προφίλ της ISRM και του εξεταζόµενου ίχνους. Αυτή η µεθοδολογία είναι απλή στην εφαρµογή της, σε αντίθεση µε τις δοκιµές διάτµησης ή τις δοκιµές κλίσης και αποδίδει άµεσα αριθµητικά αποτελέσµατα. Ωστόσο, είναι εξαιρετικά υποκειµενική γιατί στηρίζεται σε οπτικές παρατηρήσεις, στις οποίες η ανθρώπινη κρίση και εµπειρία είναι καθοριστικές για την εξαγωγή του τελικού αποτελέσµατος (Venkatachalam, 1985) Επιπλέον, δεν µπορεί να εκτιµηθεί η ακρίβεια της τελικής τιµής του και οι στατιστικές ανοχές των µεγεθών που εξαρτώνται από αυτή. 2.2 Περιγραφή της προτεινόµενης µεθόδου. Για την επίλυση των εγγενών περιορισµών που παρουσιάζει η µέθοδος, παρουσιάζουµε ένα νέο τρόπο προσέγγισης του υπολογισµού που κάνει αυτόµατα, µε το µικρότερο υποκειµενισµό, την ταύτιση του δείγµατος και του αντίστοιχου πρότυπου προφίλ. Η διαδικασία αποτελείται από δύο στάδια, το στάδιο της ταύτισης των δύο προφίλ και το στάδιο της προσαρµογής της κλίµακας, τα οποία για πιο εύκολη εφαρµογή γίνονται µε τη χρήση ειδικού λογισµικού. Κατά το πρώτο στάδιο, γίνεται σύγκριση του δείγµατος διαδοχικά και µε τα δέκα πρότυπα προφίλ. Η σύγκριση πραγµατοποιείται µε το υπολογισµό της τιµής της συνάρτησης συνέλιξης του κάθε πρότυπου προφίλ µε το δείγµα. Η καλύτερη ταύτιση συµβαίνει όταν έχουµε την µεγιστοποίηση του εύρους της συνάρτησης συνέλιξης. Ειδικότερα, η συνέλιξη των δύο συναρτήσεων f, g είναι: t ( ) g( t τ ) f * g f τ dτ (1) 0 όπου f και g είναι στην προκειµένη περίπτωση το πρότυπο προφίλ αναφοράς και το προφίλ δείγµατος αντίστοιχα. Η συνάρτηση της συνέλιξης παρέχει δύο πολύ σηµαντικές πληροφορίες που είναι το ύψος ταύτισης του πρότυπου προφίλ καθώς ολισθαίνει στο προφίλ δείγµατος (για κάποια θέση t=τ) και την θέση µέγιστης ταύτισης (t=t o ). Με αυτό το τρόπο µπορεί να υπολογιστεί ποιο πρότυπο προφίλ ταυτίζεται περισσότερο στο ίχνος του δείγµατος και σε ποια θέση ακριβώς. Η σύγκριση γίνεται και µε τα δέκα πρότυπα προφίλ και για διάφορες τιµές κλίµακας. Οι τιµές της µέγιστης ταύτισης, της θέσης στην οποία αυτή εµφανίζεται καθώς και η τιµή κλίµακας για την οποία έχουµε την ταύτιση καταγράφονται και χρησιµοποιούνται στο δεύτερο στάδιο της διαδικασίας. Κατά το δεύτερο στάδιο, έχοντας ως δεδοµένα τις µέγιστες τιµές ταύτισης για κάθε πρότυπο προφίλ, επιλέγουµε τις δύο µεγαλύτερες, µε την προϋπόθεση ότι αφορούν ίδια κλίµακα, και τις χρησιµοποιούµε ως αριθµητικά βάρη επί των των αντίστοιχων προφίλ για τον ακριβή προσδιορισµό της τιµής του του δείγµατος. Είναι: s p1 CL p1 + p2 CL p2 = (2) CL + CL p1 p2 όπου s, είναι το ζητούµενο, p1 και p2 είναι αντίστοιχα τα των δύο πλησιέστερων σε ταύτιση µε το δείγµα πρότυπων προφίλ, ενώ CL είναι το επίπεδο ταύτισης µεταξύ δύο προφίλ που λαµβάνεται απευθείας από την συνάρτηση συνέλιξης. Ύστερα από τον υπολογισµό του του δείγµατος, γίνεται αναγωγή στην κλίµακα του µήκους του, χρησιµοποιώντας την ακόλουθη σχέση (Bandis, 1990): s 0.02 0 L = 0 (3) L0 όπου, s είναι η τελική τιµή του ζητούµενου, 0 είναι η τιµή που αναφέρεται στο µήκος L 0 =10cm (µήκος των πρότυπων 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 2

προφίλ), ενώ L είναι η τιµή µήκους του δείγµατος που αντιστοιχεί στη κλίµακα που επιτεύχθηκαν οι µεγαλύτερες τιµές ταύτισης. Το λογισµικό που αναπτύχθηκε, αναλαµβάνει να κάνει όλους τους προηγού- µενους υπολογισµούς και να αποδώσει την τελική τιµή του του δείγµατος χωρίς την επιρροή της υποκειµενικότητας του ανθρώπινου παράγοντα αλλά και µε µεγαλύτερη ακρίβεια και αξιοπιστία. Όπως θα φανεί όµως από την ακόλουθη εφαρµογή, ο υπολογισµός του που βασίζεται στα πρότυπα προφίλ, είτε εφαρµόζεται από µελετητή, είτε µέσω λογισµικού, παρουσιάζει σοβαρά µειονεκτήµατα σε σχέση µε ζητήµατα µεταβολής της κλίµακας. Η χρήση λογισµικού µπορεί να εξασφαλίζει την αντικειµενικότητα αλλά δεν αντιµετωπίζει όλα τα εγγενή µειονεκτήµατα της µεθόδου. 2.3 Συλλογή πρωτογενών δεδοµένων. Την διαδικασία εκτίµησης του που αναλύθηκε παραπάνω, την εφαρµόσαµε σε πραγµατικά προφίλ βράχου τα οποία ψηφιοποιήσαµε µε ένα ειδικό τρισδιάστατο ψηφιοποιητή Microscribe 3DX υψηλής ακρίβειας (Immersion, 2000). Η επιφάνεια που αποτυπώθηκε είχε ορθογωνική µορφή, 25cm x 18cm και ο συνολικός αριθµός σηµείων που καταγράφηκαν ήταν 15013. Η πυκνότητα σηµείων είναι 1 σηµείο ανά 3 τετραγωνικά χιλιοστά, που είναι µια πυκνότητα ικανή να περιγράψει σαφώς τη τραχύτητα της επιφάνειας στη συγκεκριµένη κλίµακα, όταν µάλιστα οι υψοµετρικές διαφορές που παρατηρήθηκαν στην επιφάνεια ήταν της τάξης των 4 cm. Η θέση εφαρµογής εντοπίζεται σε ένα ασβεστολιθικό πρανές της Περιφερειακής Λεωφόρου Υµηττού, στο συνδετήριο τµήµα της µε την Αττική Οδό. Η βραχοµάζα στο συγκεκριµένο σηµείο διατέµνεται από δύο κύρια συστήµατα ασυνεχειών. Επιλέχθηκε το σύστηµα εκείνο το οποίο έχει εύρος κλίσης 70 ο 80 ο. Η ασυνέχεια έχει διεύθυνση παράλληλη µε το πρανές και έκταση περίπου δυο τετραγωνικών µέτρων. Ως προς την κατάστασή της εµφανίζεται υγιής. Από αυτό το τµήµα επιλέχθηκε η αποτύπωση των 25cm x 18cm της παρούσας εργασίας. Η χρήση του συγκεκριµένου ψηφιοποιητή σε µια τέτοια εργασία είναι ιδιαίτερα πρωτότυπη έναντι άλλων µεθόδων, καθώς είναι η πρώτη φορά που µια συσκευή αυτού του τύπου χρησιµοποιείται σε εργασία πεδίου ενώ ταυτόχρονα η εκτεταµένη κάλυψη επιφάνειας σε συνδυασµό µε τις υψηλής ακρίβειας µετρήσεις το καθιστούν µια ανταγωνιστική λύση ακόµα και απέναντι στα πολύ ακριβά Laser Scanner που έχουν πολύ καλή ακρίβεια, µε µειονέκτηµα όµως την περιορισµένη περιοχή σάρωσης (µερικά τετραγωνικά εκατοστά). Με τη βοήθεια ειδικού λογισµικού, ανακατασκευάστηκε ψηφιακά η επιφάνεια και δηµιουργήθηκε ένα ακτινικό δίκτυο 32 κάθετων στην επιφάνεια τοµών, ίσου µήκους. Το µήκος των προφίλ είναι L=16cm ενώ το πλήθος των σηµείων ανά προφίλ είναι N=2023. Τα προφίλ αυτά τα χρησιµοποιήσαµε τόσο για την εφαρµογή της βελτιωµένης µεθόδου των προτύπων προφίλ, όσο και στην εφαρµογή των κλασµατικών µεθόδων 2.4 Εφαρµογή της προτεινόµενης µεθόδου. Την µέθοδο αξιοποίησης των πρότυπων προφίλ µέσω λογισµικού που περιγράψαµε προηγουµένως την εφαρµόσαµε στα προφίλ που εξήχθησαν από την ψηφιοποίηση µιας επιφάνειας φυσικής ασυνέχειας βράχου. Στη συνέχεια, παρουσιάζουµε ενδεικτικά τον τρόπο εφαρµογής για ένα προφίλ. Σχήµα 1. Γραφική παράσταση της συνέλιξης των πρότυπων προφίλ µε το ίχνος του δείγµατος. Figure 1. Convolution between sample profile and the ten standard profiles. Αρχικά, εφαρµόζεται ο αλγόριθµος συνέλιξης του προφίλ µε καθένα από τα προφίλ της ISRM. Τα συγκεκριµένα προφίλ έχουν ψηφιοποιηθεί και καταχωρηθεί στο πρόγραµµα µε πυκνότητα σηµείων ίση µε 1024 σηµεία ανά προφίλ, δηλαδή 10 περίπου 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 3

σηµεία ανά χιλιοστό. Από τη διαδικασία αυτή προκύπτουν δέκα γραφικές παραστάσεις, οι οποίες παρουσιάζονται συγκεντρωµένες στο Σχήµα 1. Παρατηρώντας το σχήµα αυτό, διαπιστώνουµε την ύπαρξη ταύτισης τόσο του προφίλ Νο 6 όσο και του Νο 8 µε το δείγµα. Το 6 ο προφίλ παρουσιάζει µέγιστη τιµής ταύτισης CL=29.59 στη θέση L=4.87cm ενώ το 8 ο έχει CL=27.08 στη θέση L=9.28cm. Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στην Εξίσωση (2) και λαµβάνοντας ως P6 =11 και P8 =15 έχουµε Sample =12.92. Από την Εξίσωση (3) κάνοντας αναγωγή στο µήκος του προφίλ λαµβάνουµε τελικά Sample =11.44. Το αποτέλεσµα που προέκυψε είναι σε αναµενόµενα πλαίσια, ειδικά αν γίνει οπτική σύγκριση του δείγµατος µε το 6 ο προφίλ της ISRM. Από την εφαρµογή της µεθόδου σε όλο το πλήθος των 32 προφίλ που προέκυψαν από την ψηφιοποίηση της επιφάνειας, διαπιστώσαµε ότι η εφαρµογή της µεθόδου είναι εξαιρετικά απλή και δίνει αξιόπιστα αποτελέσµατα. Υπάρχουν όµως, κάποια σηµεία τα οποία χρήζουν ιδιαίτερης επισήµανσης, εφόσον κρίνουν σε µεγάλο βαθµό την αξιοπιστία της µεθόδου. Αρχικά, παρατηρώντας τις γραφικές παραστάσεις της συνέλιξης των πρότυπων προφίλ µε το δείγµα, διαπιστώνουµε ότι τα δύο προφίλ που παρουσιάζουν την µεγαλύτερη ταύτιση είναι το 6 ο και το 8 ο, ενώ το 7 ο δεν παρουσιάζει τον ίδιο βαθµό ταύτισης. Το χαρακτηριστικό αυτό οφείλεται κυρίως στο ότι τα πρότυπα προφίλ αποτελούν µοναδικές γεωµετρικές οντότητες το κάθε ένα και η σύγκριση που λαβαίνει χώρα, δεν αφορά άµεσα σύγκριση χαρακτηριστικών τραχύτητας αλλά τοπολογική σύµπτωση γεωµετρικών χαρακτηριστικών. Υπό αυτή την έννοια, και λαµβάνοντας υπόψη ότι µπορεί να υπάρξει άπειρο πλήθος προφίλ µε ίδιο αλλά διαφορετική µορφή, µπορούµε να θεωρήσουµε το σχετικά παράδοξο αυτό χαρακτηριστικό ως αναµενόµενο. Εξάλλου, εξετάζοντας το αριθµητικό αποτέλεσµα βρήκαµε για το δείγµα πριν την αναγωγή της κλίµακας: Sample =12.92 P7. Έτσι, ακόµα και όταν τελικά δεν λαµβάνουµε µόνο ένα προφίλ που να ξεχωρίζει για το ποσοστό ταύτισής του, αλλά δύο προφίλ και µάλιστα χωρίς την αναµενόµενη ακολουθία µεταξύ τους, το αποτέλεσµα δεν είναι απαραίτητα εσφαλµένο. Ένα άλλο ζήτηµα που επηρεάζει την αξιοπιστία της διαδικασίας είναι ο υπολογισµός τιµών σε διαφορετικές θέσεις του ίδιου προφίλ. Παρατηρώντας και πάλι το Σχήµα 1, βλέπουµε ότι η υπεροχή του 6 ου προφίλ δεν έχει ισχύ σε όλο το µήκος του δείγµατος αλλά περιορίζεται στην αρχή και στο τέλος του. Στο υπόλοιπο µήκος επικρατεί το 8 ο προφίλ. Έτσι, στην περίπτωση που υπολογιστεί το ενός δείγµατος µε βάση κάποιο µήκος αναφοράς, δεν σηµαίνει πως η ισχύς της ταύτισης επεκτείνεται αυτόµατα σε όλο το δείγµα. Σε µια τέτοια περίπτωση θα πρέπει ή να αυξηθεί το µήκος µέτρησης ή να εξαχθεί µέσος όρος για διαφορετικές περιοχές του δείγµατος. Κατά την µελέτη των 32 προφίλ που εξετάσαµε, βρήκαµε ότι η µεταβολή του λόγω αυτής της αιτίας µπορεί να ξεπεράσει σε µερικές περιπτώσεις ακόµα και τις πέντε µονάδες στο ίδιο προφίλ. Κατά συνέπεια, ο εκ των υστέρων έλεγχος του διαγράµµατος συνελίξεων για την περιοχή ισχύος της εκάστοτε ταύτισης είναι απαραίτητος για τον ορθό υπολογισµό του τελικού του δείγµατος. Ο τρίτος και εξίσου σηµαντικός παράγοντας που διαµορφώνει το πλαίσιο αξιοπιστίας της µεθόδου είναι η κλίµακα. Για να γίνει κατανοητό το σηµείο αυτό, ας υποθέσουµε ότι έχουµε να εκτιµήσουµε το δυο προφίλ 1 και 2, όµοιων γεωµετρικά µε λόγο οµοιότητας 1:10. Το ένα προφίλ δηλαδή, προκύπτει ως η µεγέθυνση του άλλου κατά δέκα φορές. Ας υποθέσουµε ότι το 1 έχει οριζόντιο µήκος 10cm και κατά συνέπεια θα είναι L 2 =1m. Η εφαρµογή της µεθόδου θα δώσει για το 1 ένα 1. Επειδή το 1 έχει µήκος 10cm δεν απαιτείται διόρθωση λόγω µήκους (εφαρµογή της Εξίσωσης 3). Κατά την εφαρµογή της µεθόδου στο 2, το πρότυπο προφίλ µε την µεγαλύτερη ταύτιση θα αλλάξει, λόγω της διαφορετικής κλίµακας λεπτοµερειών. Η τελική αναγωγή από τη Σχέση (3) θα διορθώσει αυτή τη µεταβολή και θα δώσει το πραγµατικό 2 του προφίλ. Είναι αναµενόµενο ότι οι δύο τιµές θα πρέπει να ικανοποιούν την προηγούµενη εξίσωση για τα αντίστοιχα µήκη προφίλ. Αυτό όµως δεν συµβαίνει εφόσον παρατηρούνται αποκλίσεις που εξαρτώνται από την κλίµακα. Για την µελέτη της επιρροής της κλίµακας δηµιουργήσαµε τέσσερις σειρές προφίλ που προέκυψαν µε αλλαγή κλίµακας από τα 32 ψηφιοποιηµένα προφίλ βράχου. Οι συντελεστές κλίµακας ήταν Χ1.5, Χ2, Χ4 και Χ10. Υπολογίσαµε το πριν και µετά την αλλαγή κλίµακας, κάνοντας τις κατάλληλες αναγωγές όπως περιγράφηκε πριν και εξάγουµε τις διαφορές των αποτελεσµάτων. Λόγω του όγκου των αποτελεσµάτων στον Πίνακα (1) 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 4

παραθέτουµε µόνο τις µέγιστες διαφορές που εντοπίστηκαν για κάθε συντελεστή κλίµακας. Φαίνεται ότι το σφάλµα που εισάγεται έχει τυχαία κατανοµή αλλά µειώνεται γενικά καθώς το µήκος του προφίλ αυξάνεται. Αυτό συµβαίνει γιατί το σφάλµα συµπιέζεται µε την αύξηση της κλίµακας λόγω της αναγωγής του µήκους. Έτσι, οι µέγιστες αποκλίσεις παρατηρούνται στο συντελεστή κλίµακας Χ1.5 µε διαφορά ίση µε 3 µονάδες, ενώ για το συντελεστή Χ10, η διαφορά είχε πέσει σε λιγότερο από µισή µονάδα. Πίνακας 1. Αποκλίσεις στην εκτιµώµενη τιµή λόγω µεταβολής κλίµακας. Table 1. estimation errors versus scale change. Συντελεστής Κλίµακας Μέγιστη Μεταβολή x1.5 2.98 x2 0.84 x4 0.52 x10 0.47 Η ύπαρξη των προηγούµενων διαφορών επιβεβαιώνει τη διαπίστωση ότι η χρήση των πρότυπων προφίλ υπόκειται σε περιορισµούς, ειδικά όταν πρόκειται για τον προσδιορισµό του για προφίλ διαφορετικού µήκους ή διαφορετικής κλίµακας γενικότερα, ανεξάρτητα από το αν η εφαρµογή γίνεται από κάποιο ερευνητή ή µέσα από κάποιο λογισµικό. Τους εγγενείς περιορισµούς που εµφανίζει η µεθοδολογία των πρότυπων προφίλ έρχεται να αντιµετωπίσει επιτυχώς η εφαρµογή των αρχών και των τεχνικών της Κλασµατικής Γεωµετρίας. 3. Η ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΩΣ ΜΕΤΡΟ ΤΡΑΧΥΤΗΤΑΣ 3.1 Αρχές Κλασµατικής Γεωµετρίας. Εκτενείς έρευνες έχουν καταδείξει ότι τόσο οι επιφάνειες που συναντώνται σε ασυνέχειες βράχων, όσο και οι κάθετες τοµές επί αυτών έχουν χαρακτηριστικά κλασµατικού συνόλου (Feder 1989, Xie 1993). Αρκετές από αυτές τις εργασίες έχουν χρησιµοποιήσει τις µεθόδους της Κλασµατικής Γεωµετρίας ως ένα εναλλακτικό εργαλείο για το χαρακτηρισµό της τραχύτητας επιφανειών βράχου. Σύµφωνα µε τις αρχές της Κλασµατικής Γεωµετρίας, σε ένα κλασµατικό σύνολο, για παράδειγµα ένα προφίλ βράχου, η ένταση των µορφολογικών χαρακτηριστικών του, είναι ανάλογη της κλίµακας υψωµένης σε ένα εκθέτη (Russ, 1994). Είναι δηλαδή: S( w) = A w L( D) (4) όπου S(w) είναι η τιµή έντασης κάποιου µορφολογικού χαρακτηριστικού του κλασµατικού συνόλου για µια δεδοµένη τιµή κλίµακας w, A είναι ο συντελεστής αναλογίας, w η εκάστοτε τιµή κλίµακας και L(D) µία συνάρτηση, συνήθως γραµµική, της Κλασµατικής ιάστασης D. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης αυτής σε διπλό λογαριθµικό διάγραµµα δίνει µία ευθεία µε κλίση ίση µε L(D) και σταθερά log(a). Η συνάρτηση L(D) εξαρτάται από τη µέθοδο που χρησιµοποιείται. Για την µέθοδο του ιαστηµόµετρου είναι L(D)=1-D, ενώ για τη µέθοδο του συντελεστή Hurst είναι L(D)=2-D. Στην παρούσα εργασία επιλεχθήκαν οι συγκεκριµένες δυο µέθοδοι γιατί παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Για την µέθοδο του ιαστηµόµετρου υπάρχει διατυπωµένο στατιστικό µοντέλο που συνδέει την κλασµατική διάσταση µε το ενώ η µέθοδος που βασίζεται στο συντελεστή Hurst διαθέτει το προτέρηµα της αναγνώρισης των διαφορών τραχύτητας επί αντίθετων κατευθύνσεων. Εφόσον υπολογιστεί η Κλασµατική ιάσταση, ο συντελεστής µπορεί να υπολογιστεί µε το στατιστικό µοντέλο των Lee et al. Το µοντέλο αυτό είναι (Lee et al., 1990): D 1 D 1 = 0.87804 + 37.844 16.9304 (5) 0.015 0.015 όπου και D, ο Συντελεστής Τραχύτητας Ασυνέχειας και η Κλασµατική ιάσταση υπολογισµένη µε τη µέθοδο του ιαστηµόµετρου αντίστοιχα. Η σχέση αυτή έχει προκύψει µε πραγµατοποίηση πειραµάτων διάτµησης και σύγκρισης των εξαγόµενων τιµών µε την αντίστοιχη Κλασµατική ιάσταση και έχει συντελεστή συσχέτισης ίσο µε 0.95. Ο υπολογισµός της διάστασης ενός προφίλ µε βάση την µέθοδο του ιαστηµόµετρου στηρίζεται στην γραφική παράσταση του συνολικού µήκους του προφίλ ως προς το µήκος βήµατος του διαστηµόµετρου. Η Κλασµατική ιάσταση εξάγεται τότε από την κλίση της γραφικής παράστασης των τιµών που προκύπτουν σε διπλό λογαριθµικό 2 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 5

διάγραµµα κάνοντας χρήση της Εξίσωσης (4) µε L(D)=1-D. Η χρήση της µεθόδου του ιαστηµόµετρου είναι µονόδροµος, καθώς είναι η µόνη µε διατυπωµένο µοντέλο συσχέτισης της Κλασµατικής ιάστασης µε το, παρά το γεγονός ότι αφορά αυτό-όµοια προφίλ (Sakellariou et al., 1991, Schmittbuhl et al., 1995, Xie et al., 1997) και ότι υπάρχουν διαθέσιµες άλλες, πιο πλεονεκτικές µέθοδοι (Yang et al, 1997). Μια άλλη µέθοδος ιδιάζουσας σηµασίας για το χαρακτηρισµό της τραχύτητας προφίλ είναι η µέθοδος Hurst, η οποία στηρίζεται στη σχέση (Russ, 1994): y ( x + x) y( x) = y ( x + r x) y( x) H r (7) όπου H, ο συντελεστής Hurst (για προφίλ είναι D=2-H ) και r ένας θετικός πραγµατικός αριθµός. Συνήθως ο υπολογισµός της ιάστασης µε τη µέθοδο αυτή γίνεται µε µια επαναληπτική διαδικασία δοκιµών για διάφορες τιµές r και x η οποία δίνει προσεγγιστικές τιµές για το Η. Σε κάθε επανάληψη το Η και κατά συνέπεια το D προσδιορίζονται µε όλο και καλλίτερη ακρίβεια (Yang et al. 1997, 2001). Στην έρευνα που πραγµατοποιήσαµε βελτιώσαµε την εφαρµογή της µεθόδου σε σηµαντικό βαθµό, τόσο από άποψη πρακτικής και ταχύτητας όσο και από την άποψη της ακρίβειας. Ειδικότερα, αναπτύξαµε έναν αλγόριθµο ο οποίος προσδιορίζει το Η σε ένα βήµα, χωρίς όµως να µειώνεται η ακρίβεια και η αξιοπιστία της µεθόδου. Η περιγραφή της µεθόδου αυτής όπως εφαρµόζεται µε τον τρόπο που προτείνουµε πρόκειται να αποτελέσει σύντοµα αντικείµενο δηµοσίευσης σε αντίστοιχο επιστηµονικό περιοδικό. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της µεθόδου είναι το ότι µπορεί να ανιχνεύσει διαφορές στην τραχύτητα που ενδεχοµένως να παρουσιάζονται στις δύο αντίθετες κατευθύνσεις του προφίλ. Αυτό οφείλεται στον τρόπο δειγµατοληψίας συντεταγµένων της µεθόδου που λαµβάνει σε κάθε υπολογισµό σηµεία που απέχουν αντίστοιχα, x και r x από το αρχικό. Έτσι, η ακολουθία σηµείων που λαµβάνεται είναι µοναδική ακόµα και για τις δυο διαφορετικές κατευθύνσεις του ίδιου προφίλ. Η ιδιότητα αυτή καθιστά την µέθοδο πολύτιµη στο ζήτηµα της αναγνώρισης της ανισοτροπίας της επιφάνειας. 3.2 Εφαρµογή της Κλασµατικής µεθοδολογίας. Τις δύο µεθόδους που περιγράψαµε τις εφαρµόσαµε στο σύνολο των 32 προφίλ που δηµιουργήσαµε από της επιφάνεια βράχου που ψηφιοποιήσαµε. Από την εφαρµογή του ιαστηµόµετρου λάβαµε 32 τιµές ιάστασης τις οποίες χρησιµοποιήσαµε για τον υπολογισµό του βάση µοντέλου των Lee et al., ενώ από την µέθοδο Hurst λάβαµε 32+32 τιµές ιάστασης για τις δυο κατευθύνσεις των προφίλ αντίστοιχα. Από τις τελευταίες υπολογίσαµε τη διαφορά ανά κατεύθυνση για τις 32 διευθύνσεις. Εξετάζοντας τα αποτελέσµατα του που προκύπτει από την Κλασµατική ιάσταση του ιαστηµόµετρου παρατηρούµε ότι οι τιµές βρίσκονται πολύ κοντά στα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την µέθοδο µε τα πρότυπα προφίλ που αναπτύχθηκε προηγουµένως. Στο Σχήµα 2 φαίνονται οι τιµές που έδωσαν οι δύο µέθοδοι για τα 32 προφίλ. Παρατηρούµε ότι οι δύο µέθοδοι συµφωνούν γενικά µεταξύ τους και οι υφιστάµενες διαφορές είναι µέσα στα πλαίσια εγγενούς ακρίβειας των µεθόδων. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 values from Divider and ISRM methods DTRPL74S0 DTRPL74S2 DTRPL74S4 DTRPL74S6 DTRPL74S8 DTRPL74S10 DTRPL74S12 DTRPL74S14 DTRPL74S16 DTRPL74S18 DTRPL74S20 DTRPL74S22 DTRPL74S24 DTRPL74S26 DTRPL74S28 DTRPL74S30 Profile ISRM Divider Σχήµα 2. Οι τιµές που έδωσαν οι µέθοδοι του ιαστηµόµετρου και της προτεινόµενης βελτιωµένης µεθόδου των προφίλ της I.S.R.M. Figure 2. The results obtained from the Divider and the proposed implementation of the standard I.S.R.M. profiles. Αναφορικά µε τα αποτελέσµατα του συντελεστή Hurst, παρατηρούµε εκ πρώτης όψεως µια ασυµφωνία των αποτελεσµάτων µεταξύ των δύο κλασµατικών µεθόδων. Η ασυµφωνία αυτή οφείλεται αποκλειστικά στο χαρακτηριστικό της αποδιδόµενης τιµής D της µεθόδου του ιαστηµόµετρου να εξαρτάται µερικώς από την τιµή του Συντελεστή 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 6

Αναλογίας. Το ιδιαίτερο αυτό χαρακτηριστικό έχει γίνει αντικείµενο της πρόσφατης µελέτης µας και αναµένεται να παρουσιαστεί εκτενώς σε σχετική δηµοσίευση. Η εξάρτηση της Κλασµατικής ιάστασης του ιαστηµόµετρου από το Συντελεστή Αναλογίας οφείλεται στο ότι η µέθοδος αυτή λειτουργεί µε την παραδοχή ότι τα προφίλ βράχου είναι αυτόόµοια σύνολα, όπου ο ρυθµός µεταβολής των µορφολογικών χαρακτηριστικών είναι ίδιος τόσο κατά την οριζόντια όσο και στην κατακόρυφη διεύθυνση. Η ισχύς όµως αυτής της παραδοχής δεν είναι χαρακτηριστική ιδιότητα των προφίλ βράχου, µε συνέπεια τα αποτελέσµατα που δίνει να είναι µεν αντιπροσωπευτικά της τραχύτητας του προφίλ αλλά να διαφέρουν από αυτά των άλλων µεθόδων (Barton et al, 1995, Yang et al, 1999, Wilson 2000). Αναφορικά µε τη µέθοδο Hurst, διαπιστώνουµε ότι κατέγραψε διαφορές στη Κλασµατική ιάσταση λόγω αλλαγής διεύθυνσης αλλά και αλλαγής κατεύθυνσης. Από τη µέση τιµή των διαφορών στη διάσταση λόγω αντίθετης κατεύθυνσης µπορούµε να εκτιµήσουµε τη διαφορά του για τις δύο κατευθύνσεις χρησιµοποιώντας τη Εξίσωση (5). Η µέση απόκλιση διάστασης λόγω διαφορετικής κατεύθυνσης είναι D=0.17 ενώ το εύρος µεταβολής του ανά κατεύθυνση είναι =2.23. Η µέγιστη διαφορά που καταγράφηκε για αντίθετες κατευθύνσεις έφτασε το ύψος των 6.03 µονάδων ( L =12.48 και R =6.45). Τελικά, σε σχέση µε το πολύ σηµαντικό ζήτηµα της εξάρτησης του από την κλίµακα, υπολογίζοντας την Κλασµατική ιάσταση των προφίλ για τους ίδιους συντελεστές οριζόντιου µήκους που χρησιµοποιήσαµε και στην περίπτωση των πρότυπων προφίλ, διαπιστώνουµε ότι η Κλασµατική ιάσταση παραµένει αµετάβλητη. Έτσι, η τελική τιµή του του προφίλ εξαρτάται µόνο από την αναγωγή του πραγµατικού µήκους, που προκύπτει από την Εξίσωση (3). Το γεγονός αυτό αποτελεί σηµαντικό πλεονέκτηµα της κλασµατικής θεώρησης της τραχύτητας των φυσικών επιφανειών βράχου. Θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η Εξίσωση (3) δεν είναι παρά µια διαφορετική έκφραση του νόµου κλίµακας που περιγράφεται από την Εξίσωση (4). Οι οµοιότητες στην µαθηµατική διατύπωση των δύο µοντέλων κλίµακας αλλά και η ανεξαρτησία της Κλασµατικής ιάστασης από µετασχηµατισµούς κλίµακας, εξηγούν το γιατί µπορούν να θεωρηθούν τα αποτελέσµατα της Κλασµατικής µεθοδολογίας πιο αξιόπιστα από αυτά της χρήσης των προτύπων προφίλ, ακόµα και όταν η τελευταία αυτοµατοποιείται µέσω υπολογιστών. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την παρούσα εργασία προκύπτουν σηµαντικά συµπεράσµατα σε σχέση µε τις δύο µεθοδολογίες που αναλύθηκαν. Η προτεινόµενη τεχνική ταύτισης του δείγµατος µε τα πρότυπα προφίλ κάνοντας χρήση αλγόριθµου συνέλιξης, βελτιώνει σε σηµαντικό βαθµό την αντικειµενικότητα, την αξιοπιστία και την ακρίβεια των αποτελεσµάτων. Η πρωτότυπη χρήση του ροµποτικού ψηφιοποιητή για την αποτύπωση τραχέων επιφανειών βράχου διαπιστώσαµε ότι είναι απλή, ακριβής και αξιόπιστη. Παρά την σηµαντική βελτίωση της µεθοδολογίας προσδιορισµού της τραχύτητας µε βάση τα πρότυπα προφίλ, τα αποτελέσµατα επηρεάζονται µερικώς από την κλίµακα ενώ µπορεί να µεταβάλλονται κατά µήκος του προφίλ. Οι επιπτώσεις που µπορεί να έχουν αθροιστικά τα δύο αυτά χαρακτηριστικά είναι δυνατό να οδηγήσουν στην εσφαλµένη κατάταξη της τραχύτητας µιας ασυνέχειας και συνιστούν σοβαρά µειονεκτήµατα για την µέθοδο αυτή. Η µέθοδος υπολογισµού του που βασίζεται στη χρήση της Κλασµατικής ιάστασης πλεονεκτεί σε σύγκριση µε την προηγούµενη µέθοδο καθώς αποδίδει αποτελέσµατα που η ακρίβεια τους δεν εξαρτάται από την κλίµακα και είναι χαρακτηριστικά για όλο το µήκος του προφίλ. Έτσι, η Κλασµατική ιάσταση µπορεί να αξιοποιηθεί ως ένα αντιπροσωπευτικό µέτρο της τραχύτητας επιφανειών βράχου. Τέλος, στο ζήτηµα της αναγνώρισης της ανισοτροπίας διαπιστώνουµε το µοναδικό χαρακτηριστικό της µεθόδου Hurst να αντιλαµβάνεται την διαφορά της τραχύτητας σε αντίθετες κατευθύνσεις επί του ιδίου προφίλ. Με αυτό το τρόπο είναι δυνατή η εκτίµηση της κατεύθυνσης στην οποία έχουµε το ελάχιστο και το µέγιστο συντελεστή τραχύτητας ασυνέχειας καθώς και να προσδιοριστούν τα µεγέθη τους. Από όλα τα παραπάνω γίνεται εµφανής η υπεροχή της Κλασµατικής Γεωµετρίας στην εκτίµηση της τραχύτητας ασυνεχειών βράχου. Οι αρχές που προσφέρει περιγράφουν πιο 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 7

αξιόπιστα και αποδοτικά τα φυσικά µεγέθη που περιλαµβάνονται και οι τεχνικές εφαρµογής της είναι απλές και αποδίδουν ένα ευρύ φάσµα πληροφοριών. Συνεπώς, η Κλασµατική Γεωµετρία δεν µπορεί παρά να αποτελεί ένα αξιόλογο εργαλείο και µια τεχνολογία αιχµής για τον Γεωλόγο και το Γεωτεχνικό µηχανικό. Ευχαριστίες: Η πραγµατοποίηση αυτής της εργασίας υποστηρίχτηκε µε υποτροφία από το πρόγραµµα Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ: «Ηράκλειτος Υποτροφίες Έρευνας Στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο -Βασική Έρευνα». Το Πρόγραµµα συγχρηµατοδοτείται από το Ευρωπαϊκό Κοινοτικό Ταµείο (75%) και από Εθνικούς Πόρους (25%). 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Babadagli T. and Develi K., (2003), Fractal characteristics of rocks fractured under tension, Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Volume 39, Issue 1, pp. 73-88. Barton C., Pointe P., (1995), Fractals in earth sciences, Plenum Press. Barton, N. R. (1973), "Review of a new sear strength criterion for rock joints.", Engineering Geology, Vol 7, pp287-332. Barton N., Choubey V., (1974), Shear strength of rock joints in theory and practice, Rock Mech, V10, N1 2, pp1 54. Bandis, S. C. (1990), "Mechanical properties of rock joints", Balkema, Rotterdam, pp.125-10. Feder J., (1989), Fractals, Plenum Press, 3rd print. Lee, Y. H., Carr, J. R., Bars, D. J. & Haas, C. J., (1990), The fractal dimension as a measure of the roughness of rock discontinuity profiles, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Abstr. 27, pp. 453-464 Immersion, (2000), Microscribe 3DX Technical Review, Immersion Int. Russ J., Fractal Surfaces, Plenum Press, 1994. Sakellariou M., Nakos B., Mitsakaki C., (1991), On the fractal character of rock surfaces, Technical note, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. Vol. 28, No. 6, pp.527-533. Schmittbuhl J., Schmitt F., Scholz C., (1995) Scaling invariance of crack surfaces, Int. J. Geophysical Research, Vol. 100, No. B4, pp. 5953-5973. Stratakos I., (2001), Development of Methodology for the Quantitative Estimation of Rock Surface Roughness Using Fractal Geometry (In Greek), Diploma Thesis, Rural and Surveying Eng. School, National Technical University of Athens. Tse R., Cruden D. M., (1991), Estimating Joint Roughness Coefficients. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. 28, pp. 527-533. Venkatachalam G., (1985), Modeling of Rock Joints. Proc. Int. Symp. On Fundamentals of Rock Joints, Bjorkliden,, pp. 453-459. Wilson T., (2000), Some distinctions between self-similar and self-affine estimates of fractal dimension with case history, Mathematical Geology, Vol. 32, No. 3. Xie Heping, Wang Jin-An and Xie Wei-Hong, (1997), Fractal effects of surface roughness on the mechanical behavior of rock joints, Chaos, Solitons & Fractals, Volume 8, Issue 2, pp. 221-252. Xie, H., (1993), Fractals in rock mechanics, Balkema A. A., Roterdam. Yang Z., Chen G., (1999), On the application of the self-similarity concept to the scale effect of joint roughness, Technical note, Rock Mech. Rock Engng Vol. 32, No 3, pp. 221-229. Yang Z., Di C., Lo S., (2001), Two-dimensional Hurst Index of joint surfaces, Rock Mech. Rock Engng Vol. 34, No 4, pp. 323-345. Yang Z., Lo S., (1997), An index for describing the anisotropy of joint surfaces, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech, Vol. 34, No. 6, pp. 1031-1044. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 8