Κεφάλαιο Το υδροστατικό διάγραμμα Σύνοψη Η θεωρία των μικρών μεταβολών που περιγράφεται στο Κεφάλαιο 1 βρίσκει άμεση εφαρμογή σε πολλές περιπτώσεις φόρτωσης συμβατικών πλοίων, όταν μελετώνται αντίστοιχα προβλήματα. Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα της εκτίμησης του εκτοπίσματος ενός πλοίου από τα βυθίσματά του ή της μελέτη της αρχικής του ευστάθειας. Οι σχετικοί υπολογισμοί απαιτούν τη γνώση γεωμετρικών στοιχείων της γάστρας και της ίσαλου επιφάνειας τα οποία παρέχονται άμεσα από το υδροστατικό διάγραμμα. Το υδροστατικό είναι το πρώτο από τα βασικά διαγράμματα που αποτελούν την «ταυτότητα» ενός πλοίου με συγκεκριμένο σχέδιο γραμμών, καθώς ε- ξαρτάται αποκλειστικά από την εξωτερική γεωμετρία του. Όπως ήδη αναφέραμε, σε συνδυασμό με την κατάσταση φόρτωσης, χρησιμοποιείται σε κάθε περίπτωση μικρών μεταβολών και γι' αυτόν το λόγο, άλλωστε, εισάγεται στο παρόν κεφάλαιο. Ο υπολογισμός του υδροστατικού διαγράμματος ενός πλοίου απαιτεί συγκεκριμένες γεωμετρικές ολοκληρώσεις. Επειδή, γενικά, η επιφάνεια του πλοίου δεν περιγράφεται αναλυτικά, ο απλούστερος τρόπος υπολογισμού των γεωμετρικών ολοκληρωμάτων βασίζεται στην εφαρμογή μεθόδων αριθμητικής ολοκλήρωσης. Στη ναυπηγική χρησιμοποιείται ευρύτατα ο δεύτερος κανόνας ολοκλήρωσης του Simpson, που δίνει α- ποτελέσματα με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Όπως περιγράφεται στο παρόν κεφάλαιο, η εφαρμογή του απαιτεί συγκεκριμένο τρόπο διακριτοποίησης της επιφάνειας του πλοίου, η οποία δίνει τη δυνατότητα συστηματικής και γρήγορης επεξεργασίας. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαια 1 και 2 στο παρόν, αριθμητική ανάλυση, εισαγωγή στη ναυπηγική τεχνολογία..1 Οι καμπύλες του υδροστατικού διαγράμματος Το υδροστατικό διάγραμμα (Hydrostatic Diagram) ενός πλοίου αποτελείται από ένα σύνολο καμπυλών, που παρέχουν τα απαραίτητα στοιχεία, για τον υπολογισμό ισορροπίας του στις διάφορες καταστάσεις φόρτωσης. Το βασικό δεδομένο που εισάγεται σε όλους τους σχετικούς υπολογισμούς είναι το βύθισμα του πλοίου (Draft, Draught), συναρτήσει του οποίου βρίσκονται από το σύνολο των υδροστατικών καμπυλών (Hydrostatic Curves) όλα τα απαραίτητα γεωμετρικά στοιχεία που αφορούν την πλεύση του. Το υδροστατικό διάγραμμα: (α) εξαρτάται αποκλειστικά από τη γεωμετρία του πλοίου και είναι ανεξάρτητο από την κατανομή των βαρών του, και (β) κατασκευάζεται για μια συγκεκριμένη διαγωγή. Η συνήθης κατάσταση για την οποία υπολογίζεται είναι η ισοβύθιστη, ενώ σε ειδικές περιπτώσεις οι ίσαλοι που εξετάζονται έχουν δεδομένη διαγωγή. Ένα τυπικό υδροστατικό διάγραμμα παρουσιάζεται στο Σχήμα.1. Ο κατακόρυφος άξονας αντιστοιχεί στο βυθίσματα του πλοίου και ο οριζόντιος στο υδροστατικά στοιχεία του για τα διάφορα βυθίσματα (Λουκάκης και Πέρρας, 1982 Biran, 200 Rawson and Tupper, 2001). Για κάθε τέτοιο στοιχείο, χρησιμοποιείται διαφορετική κλίμακα. Οι υδροστατικές καμπύλες σχεδιάζονται για τα εξής μεγέθη: τον όγκο εκτοπίσματος και το εκτόπισμα του πλοίου Δ σε θαλασσινό και γλυκό νερό. τη διαμήκη (CB) και την κατακόρυφη (KB) θέση του κέντρου άντωσης. τη μεταβολή εκτοπίσματος ανά μονάδα μεταβολής βυθίσματος (TP1). τη διαμήκη θέση του κέντρου πλευστότητας της ισάλου (C). την εγκάρσια και τη διαμήκη μετακεντρική ακτίνα (BM T, BM ), τις δεύτερες ροπές αδράνειας της ισάλου περί το κέντρο πλευστότητας, την κατακόρυφη απόσταση εγκάρσιου μετάκεντρου (KM). τη ροπή διαγωγής ανά μονάδα μεταβολής βυθισμάτων (MT1). την αλλαγή εκτοπίσματος ανά μονάδα διαγωγής (CDM1). - 74 -
τους αδιάστατους συντελεστές: συντελεστή γάστρας (c B ), πρισματικό συντελεστής (c P ), συντελεστή μέσης τομής (c M ), συντελεστή ίσαλου επιφάνειας (c W ), κατακόρυφο πρισματικό συντελεστής (c WP ). το εμβαδόν βρεχόμενης επιφάνειας (S). Οι διαστάσεις των διαφόρων μεγεθών ποικίλλουν ανάλογα με το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιείται (π.χ. μετρικό ή βρετανικό) και με την ευαισθησία του μεγέθους που εξετάζεται. Ακολουθεί η μαθηματική περιγραφή των στοιχείων του υδροστατικού διαγράμματος..1.1 Καμπύλες σχετικές με τον όγκο της γάστρας Εκτόπισμα πλοίου σε θαλασσινό και γλυκό νερό: Για τον υπολογισμό του εκτοπίσματος (Displacement), απαιτείται ο αντίστοιχος όγκος της γάστρας: T 0 = A d = A dz W (.1) όπου A είναι το εμβαδόν της εγκάρσιας τομής και A W το εμβαδόν της ισάλου. Τότε, το εκτόπισμα ισούται με: = γ (.2) Ο όγκος της γάστρας είναι είτε ο θεωρητικός (molded), που προέκυψε από τις γραμμές του πλοίου, είτε ο πραγματικός, αφού προστεθεί στον προηγούμενο ο όγκος των ελασμάτων και των παρελκομένων. Οι συντεταγμένες του κέντρου άντωσης: Η διαμήκης θέση του κέντρου άντωσης Β (ongitudinal Center of Buoyancy/CB) και η απόστασή του από το βασικό επίπεδο αναφοράς ΚΒ (Vertical Center of Buoyancy/VCB) δίνονται από τις σχέσεις: CB = KB = M M yz v d (.) (.4) Η M yz είναι η ροπή ως προς το εγκάρσιο σωματοπαγές επίπεδο αναφοράς και η M VX η ροπή επιφάνειας μιας εγκάρσιας τομής (έως το βύθισμα Τ) ως προς το βασικό επίπεδο. Το πρόσημο του CB είναι, συνήθως, συμβατό με το σύστημα αξόνων που χρησιμοποιείται. Συνηθίζεται όμως να θεωρείται θετικό, όταν το Β βρίσκεται πρύμνηθεν του μέσου νομέα. - 75 -
Σχήμα.1 Υδροστατικό διάγραμμα. - 76 -
.1.2 Τα γεωμετρικά στοιχεία της ίσαλου πλεύσης στο βύθισμα Τ H επιφάνεια της ισάλου (Waterplane Area/WPA): A W ( ) = 2 b d (.5) όπου b() ή b είναι το ημιπλάτος στην αντίστοιχη θέση για συμμετρική ίσαλο. Σύμφωνα με τις σχέσεις (.1) και (.2), είναι: d = γ AW = TP1 dz (.6) Το μέγεθος TP1 στη σχέση (.6) αναφέρεται ως «τόνοι ανά μοναδιαία μεταβολή βυθίσματος» (tons per unit change of draft) και χρησιμοποιείται για τον γρήγορο υπολογισμό της παράλληλης βύθισης, όσον αφορά μικρές μεταβολές του βάρους του πλοίου. Για παράδειγμα, αν προστεθεί ένα φορτίο P σε πλοίο εκτοπίσματος Δ 0, που έχει αρχικό βύθισμα Τ 0, τότε το νέο βύθισμά του θα είναι: T = T0 + P / TP1 (.6α) Η διαμήκης θέση του κέντρου πλευστότητας C (ongitudinal Center of loatation/c): = 2 b d A W (.7) Για το πρόσημο του C, ισχύουν οι συμβάσεις του CB. Η δεύτερη ροπή της ισάλου ως προς τον εγκάρσιο και το διαμήκη άξονα διά του κέντρου πλευστότητας C: I 2 = b d (.8) I 2 b d A 2 2 yy = W (.9) όπου το ολοκλήρωμα της σχέσης (.9) αναφέρεται ως προς το εγκάρσιο επίπεδο του σωματοπαγούς συστήματος. - 77 -
.1. Παράγωγα μεγέθη που χρησιμοποιούνται στους υδροστατικούς υπολογισμούς Αλλαγή εκτοπίσματος ανά μονάδα διαγωγής (Change of Displacement per Unit Trim/CDT1): CDT1 = TP1 (.10) Το μέγεθος αυτό εισάγεται στον υπολογισμό του εκτοπίσματος, όταν το πλοίο έχει διαγωγή t = T T A και το υδροστατικό διάγραμμα έχει υπολογιστεί για μηδενική διαγωγή. Υπολογίζουμε το μέσο βύθισμα T M = 0,5(T + T A ) και από το υδροστατικό διάγραμμα διαβάζουμε την τιμή Δ(Τ Μ ). Το πραγματικό εκτόπισμα προσεγγίζεται από τη σχέση: = (T ) + CDT1 t M (.10α) Μετακεντρικές ακτίνες (Metacentric Radii): yy I I BM T =, BM = (.11) Κατακόρυφη θέση μετάκεντρου: KM = KB + BM T (.12) Ροπή διαγωγής ανά μονάδα μεταβολής βυθισμάτων (Moment to Change Unit Trim/MT1): I yy γ MT1 = (.1) Το μέγεθος ΜΤ1 ή MCT1 χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της διαγωγής, όταν υπάρχει διαφορά μεταξύ της θέσης του κέντρου βάρους CG και του κέντρου άντωσης CB του πλοίου και δημιουργείται διαμήκης ροπή M. Η διαγωγή (Trim) υπολογίζεται από τη σχέση: M ( CG CB ) t = = MT1 MT1 (.1α).1.4 Οι αδιάστατοι συντελεστές Συντελεστής γάστρας (Block Coefficient): c B = BT (.14) όπου (, B, T) είναι το μήκος (συνήθως μεταξύ καθέτων), το πλάτος και το βύθισμα σχεδίασης του πλοίου. Ο συντελεστής γάστρας ορίζει ουσιαστικά πόσο πλήρης είναι η γάστρα ενός πλοίου σε σχέση με το ορθογώνιο - 78 -
παραλληλόγραμμο που την περιβάλλει, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα.2. Όσο περισσότερο τείνει η μορφή ενός πλοίου προς αυτό το ορθογώνιο, τόσο υψηλότερος γίνεται και ο συντελεστής γάστρας. Έτσι, τα δεξαμενόπλοια και τα σύγχρονα πλοία φορτίων χύδην, με μεγάλα εκτοπίσματα, έχουν συντελεστές γάστρας, άνω του 0,8-0,85. Σχήμα.2 Τα μεγέθη που ορίζουν το συντελεστή γάστρας. Συντελεστής μέσης τομής (Midship Coefficient): Ο συντελεστής μέσης τομής εκφράζει την επιφανειακή πληρότητα στη μέση τομή του πλοίου. Δίνεται από τη σχέση: c M AM = BT (.15) όπου Α Μ είναι το εμβαδόν της μέσης τομής του πλοίου και ΒΤ το ορθογώνιο που την περιβάλλει, όπως ορίζεται στο Σχήμα.. Πρισματικός συντελεστής (Prismatic Coefficient): Ο πρισματικός συντελεστής δηλώνει την πληρότητα της γάστρας σε σχέση με μια πρισματική επιφάνεια που την περιβάλλει και έχει εγκάρσια τομή ίση με το εμβαδόν της μέσης τομής και μήκος ίσο με το μήκος του πλοίου (συνήθως μεταξύ καθέτων), όπως φαίνεται στο Σχήμα.4. Δίνεται από τη σχέση: c P c = = = A BT c c M M M B (.16) - 79 -
Σχήμα. Ορισμός συντελεστή μέσης τομής. Α Μ = εμβαδόν μέσης τομής, Β = πλάτος, Τ = βύθισμα. Σχήμα.4 Ορισμός του πρισματικού συντελεστή. Το περιβάλλον πρίσμα έχει εγκάρσια τομή τη μέση τομή του πλοίου. Υψηλές τιμές του πρισματικού συντελεστή δεν συνεπάγονται, αναγκαστικά, μεγάλες τιμές του συντελεστή γάστρας και δηλώνουν απλώς ότι υπάρχει μια ομοιόμορφη κατανομή των εγκάρσιων τομών σε μεγάλο μήκος του πλοίου. Ο πρισματικός συντελεστής σχετίζεται με την υδροδυναμική συμπεριφορά των πλοίων και έχει άμεση σχέση με την ανάπτυξη της αντίστασής τους, δηλαδή με την οικονομική τους απόδοση. - 80 -
Συντελεστής ίσαλου επιφάνειας (Waterplane Coefficient): Ο συντελεστής ίσαλου επιφάνειας εκφράζει την επιφανειακή πληρότητα στην ίσαλο σχεδίασης του πλοίου, ως προς το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που ορίζεται από το μήκος και το πλάτος του, σύμφωνα με το Σχήμα.5. Δίνεται από τη σχέση: c WP AW = B (.17) Σχήμα.5 Τα γεωμετρικά στοιχεία που ορίζουν το συντελεστή ίσαλου επιφάνειας. Κατακόρυφος πρισματικός συντελεστής (Vertical Prismatic Coefficient): Ο κατακόρυφος πρισματικός συντελεστής εκφράζει την πληρότητα του πρίσματος με βάση την ίσαλο επιφάνεια και ύψος το βύθισμα του πλοίου. Δίνεται από τη σχέση: c VWP c = = T A c W B WP (.18) Στον Πίνακα.1, δίνονται οι τιμές των βασικών αδιάστατων συντελεστών για ορισμένους αντιπροσωπευτικούς τύπους πλοίων, οι οποίοι είναι: μεταφοράς εμπορευματοκιβωτίων (container), μεταφοράς παραγώγων πετρελαίου (crude oil carrier), μεταφοράς φορτίων χύδην (bulk-carrier), επιβατηγά-οχηματαγωγά (Ro-Ro passenger), γενικού φορτίου (general cargo), οχηματαγωγό ανοικτού τύπου (open ferry) και αλιευτικό ανοικτής θαλάσσης (fishing vessel). BP (m B(m) T(m) c B c P c M c WP ) 6.00 TEU Container Carrier 292,00 40,00 12,00 0,609 0,60 0,968 0,799 4.250 TEU Container Carrier 244,80 2,25 11,00 0,625 0,641 0,976 0,800 15.1000 DWT Crude Oil Carrier 264,00 50,00 16,00 0,815 0,817 0,998 0,901 105.000 DWT Crude Oil Carrier 25,00 42,00 14,80 0,824 0,826 0,997 0,917 0.000 DWT Bulk Carrier 170,00 28,00 9,50 0,802 0,806 0,995 0,885 4.000 DWT Bulk Carrier 172,00 0,00 9,40 0,809 0,81 0,996 0,911 5.800 DWT Double Skin Bulk Carrier 182,00 2,26 12,00 0,841 0,844 0,996 0,927 Ro-Ro Passenger-1 12,6 21,00 5,,00 0,606 0,617 0,984 0,879 Ro-Ro Passenger-2 176,00 25,00 6,55 0,585 0,665 0,880 0,867 Ro-Ro Passenger- 111,80 18,90 5,10 0,59 0,619 0,958 0,864 General Cargo 110, 17,00 7,17 0,749 0,756 0,992 0,85 Open erry 69,82 1,60,50 0,66 0,75 0,902 0,856 ishing Vessel 24,78 6,60 2,50 0,470 0,559 0,841 0,748-81 -
Πίνακας.1 Αδιάστατοι συντελεστές για χαρακτηριστικούς τύπους πλοίων..1.5 Βρεχόμενη επιφάνεια Η βρεχόμενη επιφάνεια (Wetted Surface/WS) σχεδιάζεται στο υδροστατικό διάγραμμα ως συνάρτηση του βυθίσματος. Υπεισέρχεται κυρίως στον υπολογισμό του όγκου της γάστρας εκτός των ελασμάτων του περιβλήματος, καθώς και στους υδροδυναμικούς υπολογισμούς. Προσεγγιστικά, υπολογίζεται από τη σχέση: ( ) S = 2 s d (.19) όπου με s() συμβολίζεται το επικαμπύλιο μήκος του περιγράμματος του νομέα μέχρι το αντίστοιχο βύθισμα. Πρέπει να σημειώσουμε ότι η (.19) δεν είναι μαθηματικά ακριβής και, όταν απαιτείται υψηλή ακρίβεια, χρησιμοποιούνται ειδικά λογισμικά, που αναπαριστούν την πραγματική επιφάνεια του πλοίου..2 Αριθμητικές ολοκληρώσεις Υπάρχουν σύγχρονοι κώδικες Η/Υ που δίνουν τη δυνατότητα μαθηματικής αναπαράστασης της γεωμετρίας του πλοίου με εξελιγμένες μεθόδους, με τις οποίες υπολογίζονται αυτόματα όλα τα απαραίτητα υδροστατικά στοιχεία. Σε πολλές όμως πρακτικές εφαρμογές, προκειμένου να έχουμε γρήγορες και αξιόπιστες λύσεις χρησιμοποιούμε απλές μεθόδους αριθμητικής ανάλυσης. Οι αντίστοιχες αριθμητικές ολοκληρώσεις που αφορούν το υδροστατικό διάγραμμα βασίζονται στον πρώτο κανόνα αριθμητικής ολοκλήρωσης του Simpson (Simpsons s rule, π.χ. Scheid, 1988). Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται ευρύτατα στη ναυπηγική, για τον υπολογισμό γεωμετρικών στοιχείων, δυνάμεων και ροπών. Σε κάθε περίπτωση, οι προς ολοκλήρωση συναρτήσεις ομαδοποιούνται, ώστε τα αντίστοιχα ολοκληρώματα να θεωρούνται μονοδιάστατα. Αυτό σημαίνει ότι ολοκληρώματα της μορφής: ( ) ( ) ( ) I = f f... f d 1 2 N (.20) θεωρούνται: ( ) I = d (.21) όπου () = f 1 () f 2 (). f N (). Αν θεωρήσουμε τη γραφική παράσταση της καμπύλης () στο Σχήμα (.6), τότε, για το διάστημα ολοκλήρωσης που ορίζεται από τα σημεία [ 1, N ], το ολοκλήρωμα (.21) είναι ίσο με το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη (). Το εμβαδόν αυτό μπορεί να αντιστοιχεί σε επιφάνειες, πρώτες και δεύτερες ροπές επιφανειών, όγκους και πρώτες ροπές όγκων. Οποιαδήποτε και αν είναι η συνάρτηση (), θεωρείται ότι έχει γνωστές τεταγμένες σε Ν ισαπέχοντα σημεία, όπου το Ν είναι περιττός αριθμός. Τότε, σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα του Simpson, το εμβαδόν προσεγγίζεται από τη σχέση: I A = δ + + + +... + + + + [ 1 4 2 4 4 2 4 1 ] 1 2 4 N N 2 N 1 N (.22) όπου δ είναι η ισαπόσταση των σημείων και οι συντελεστές [1, 4,,..., 2, 4, 1] ονομάζονται συντελεστές Simpson. - 82 -
Σχήμα.6 Προσέγγιση εμβαδού με αριθμητική ολοκλήρωση κατά Simpson. Πολλές φορές, λόγω της μορφής της συνάρτησης (), απαιτείται πυκνότερη διακριτοποίηση σε συγκεκριμένες περιοχές. Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, όταν στα άκρα του διαστήματος που ταυτίζεται με το μήκος του πλοίου, οι γραμμές του παρουσιάζουν σημαντικές μεταβολές. Θα μελετήσουμε δύο τέτοιες περιπτώσεις. Η πρώτη αναφέρεται σε πύκνωση στα δύο άκρα του διαστήματος. Η απλούστερη εφαρμογή εισάγει ένα επιπλέον σημείο στο μέσο του διαστήματος [ 1, 2 ] και ένα ακόμα σημείο στο μέσο του [ N-1, N ]. Τότε, σύμφωνα με το Σχήμα.: Το καθένα από τα επιμέρους εμβαδά A,A,A 1 2 ( δ ) 2 A1 = 11 4 2 ( 1 1 + + 2 ) A= A1+ A2 + A υπολογίζεται ως εξής: (.2) A = δ + +... + + [ 1 4 4 1 ] 2 2 N 2 N 1 ( δ ) 2 A = 1 N 1 4 ( ( 1 1 + + N )) 2 N Και αθροίζοντας, έχουμε: ( 1 ) 1+ 2 ( 1 + ) ( ) 2 + 4 +... 2 2 2 + 4 ( ) 2 ( ( )) ( ) + 2 + N 2 δ A = 1 N 2 N 1 1 N 2-8 -
(.24) Από τη σχέση (.24), συνάγεται ότι η διαδικασία ολοκλήρωσης παραμένει ίδια, αλλά οι συντελεστές Simpson είναι τώρα: 1, 2,, 4, 2, 4,..., 4, 2, 4,, 2, 1 2 2 2 2 (.25) Σχήμα.7 Ολοκλήρωμα κατά Simpson με πύκνωση στα δύο άκρα του διαστήματος. Στη δεύτερη περίπτωση, θεωρούμε ότι χρειάζεται πυκνότερη διακριτοποίηση στο πρώτο τμήμα του πεδίου ορισμού, όπως απεικονίζεται Σχήμα.8. Ισχύει και πάλι η σχέση (.2) Α = Α 1 +Α 2 +Α, όπου: ( δ ) 2 A1 = 11 4 2 ( 1 1 + + 2 ) ( δ ) 2 A 2 = 1 2 4 1 ( 2 ( 1 + + + 2) ) A = δ + 4 +... + N 1+ [ 1 4 4 1 ] και αθροίζοντας, έχουμε : N ( ) ( ) ( ( )) ( 2 1 2+ 1 2) δ A = 1 1 + 2 + 1 2 2 + 2 + 2 + 4 4... + 4N 1 + 1 Δηλαδή, οι συντελεστές Simpson τροποποιούνται ως εξής: 1, 2, 1, 2, /2, 4,..., 4, 2, 4, 1 2 N (.26) (.27) - 84 -
και πολλαπλασιάζονται εν σειρά με τις διαδοχικές τιμές της (). Εννοείται ότι, τα υποχωρία που δημιουργούνται σε κάθε περίπτωση, πρέπει να περιέχουν περιττό αριθμό σημείων. Σχήμα.8 Ολοκλήρωμα κατά Simpson με πύκνωση στο ένα άκρο του διαστήματος.. Αριθμητικός υπολογισμός υδροστατικών μεγεθών Όπως έχει αναφερθεί, τα υδροστατικά στοιχεία ενός πλοίου παρουσιάζονται ως συναρτήσεις του βυθίσματός του. Στη συνέχεια, θα περιγραφεί η μέθοδος υπολογισμού τους με την εφαρμογή της αριθμητικής ολοκλήρωσης κατά Simpson. Οι υπολογισμοί γίνονται για ένα τυχαίο βύθισμα και, όπως είναι προφανές, για την παραγωγή του πλήρους υδροστατικού διαγράμματος απαιτείται να εφαρμοστεί η ίδια μέθοδος για έναν αριθμό βυθισμάτων του πλοίου που καλύπτουν το εύρος των πιθανών καταστάσεων πλεύσης του. Χωρίς να αίρεται η γενικότητα, εξετάζεται η περίπτωση ενός συμμετρικού πλοίου. Για την ορθή προσήμανση των ροπών, απαιτείται η επιλογή ενός συστήματος συντεταγμένων και, συνήθως, χρησιμοποιείται αυτό του Σχήματος (.9), όπου το επίπεδο (y) συμπίπτει με το βασικό επίπεδο αναφοράς και το επίπεδο (yz) με τον μέσο νομέα. Σχήμα.9 Το σύστημα συντεταγμένων με 10 ισαπέχοντες νομείς. - 85 -
..1 Υπολογισμός όγκου και κέντρου όγκου γάστρας Αν με A() συμβολίζεται το εμβαδόν μιας εγκάρσιας τομής μέχρι κάποιο βύθισμα T κατά μήκος του πλοίου, τότε ο όγκος της γάστρας υπολογίζεται ως εξής: = ddydz = ( ) A d (.28) όπου με συμβολίζεται το διάστημα ολοκλήρωσης (π.χ. BP ). Η σχέση (.28) είναι ολοκληρώσιμη κατά Simpson, αν είναι γνωστές οι τιμές A() σε συγκεκριμένους ισαπέχοντες νομείς. Για τον υπολογισμό των A(), απαιτείται το σχέδιο των εγκάρσιων τομών του πλοίου, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα.10. Σχήμα.10 Σχέδιο εγκάρσιων τομών πλοίου. Έστω ότι απαιτείται ο υπολογισμός του A() μέχρι το βύθισμα T στον νομέα, που συμβολίζουμε με A. Στο σχέδιο του περιγράμματος του νομέα του Σχήματος.11, επιλέγουμε N περιττά σημεία, που ισαπέχουν κατά το ύψος δ z. Σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα του Simpson, θα είναι: 2δ z A = 2 b z dz 1b + 4b + 2 b +... + 2b + 4b + 1b ( ) [ ] 1 2 N 2 N 1 N T (.29) - 86 -
όπου: T δ z = N 1 και [ b,b,b,...,b,b,b ] 1 2 N 2 N 1 N είναι τα ημιπλάτη ή οι τετμημένες του περιγράμματος του νομέα μέχρι το α- ντίστοιχο ύψος z. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε 11 ισαπέχοντες νομείς [0, 1,, 10], τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τα αντίστοιχα εμβαδά για κάθε νομέα από τη σχέση (.29) και να ολοκληρώσουμε αριθμητικά τη σχέση (.28) ως εξής: όπου δ = 10 είναι η ισαπόσταση των νομέων. δ 1A0 + 4A1+ 2A2 + 4A+ 2A4 + 4A5 2A6 4A7 2A8 4A9 1A + + + + + 10 (.0) Σχήμα.11 Αριθμητικός υπολογισμός στοιχείων εγκάρσιας τομής. Η θέση του κέντρου όγκου Β της γάστρας μέχρι το βύθισμα Τ προσδιορίζεται με βάση την απόστασή του από το βασικό επίπεδο αναφοράς ΚΒ ή VCB και την απόστασή του από τον μέσο νομέα (amidships) Β ή CB. Η απόστασή του από το διάμηκες επίπεδο συμμετρίας (Transverse Centre of Buoyancy/TCB) είναι, προφανώς, μηδενική. Οι μοχλοβραχίονες των ροπών ως προς επίπεδα υπολογίζονται από το λόγο των αντίστοιχων ροπών προς τον συνολικό όγκο. Δδηλαδή: KB = B M y M = yz (.1α) (.1β) Η ροπή M y συμβολίζεται και ως M V (Vertical), ενώ η M yz συμβολίζεται και ως M (ongitudinal). Από τον ορισμό της M V ως προς το επίπεδο (y), είναι: - 87 -
MV KB = = zddydz (.2) Το ολοκλήρωμα στη σχέση (.2) εκφράζει τη ροπή του στοιχειώδους όγκου ddydz ως προς το βασικό ε- πίπεδο αναφοράς. Για διαφορικές μεταβολές d, η εγκάρσια διατομή A παραμένει «σταθερή» (Σχήμα.8). Οπότε, το ολοκλήρωμα της σχέσης (.2) γράφεται: T MV = d zdydz = 2 d zb( z) dz A 0 (.) όπου, προφανώς, το διπλό ολοκλήρωμα με πεδίο ορισμού το A X μετατρέπεται σε απλό στο διάστημα [0-T] και το b(z) είναι το ημιπλάτος στην κατηγμένη z. Σχήμα.12 Στοιχειώδης εγκάρσια τομή. Αν ορίσουμε στη θέση το ολοκλήρωμα: τότε, προφανώς, η σχέση (.) γράφεται: T 2 0 ( ) MV = zb z dz KB = M V d (.4) (.5) - 88 -
με ολοκληρώσιμη κατά Simpson τη συνάρτηση M VX, που υπολογίζεται από τη σχέση (.4). Αλλά και η (.4) προσεγγίζεται αριθμητικά, αν θεωρήσουμε την προς ολοκλήρωση συνάρτηση: ( ) = ( ) z zb z Θεωρώντας, για παράδειγμα, το νομέα του Σχήματος.7, έχουμε: (.6) δ MV = 2 z 1( z1b1) + 4( z2b2) + 2( zb ) +... + 4( zn 1bN 1) + 1( znbn ) (.7) Συνήθως οι υπολογισμοί για το υδροστατικό διάγραμμα πινακοποιούνται σε συνοπτική μορφή. Σε αυτές τις περιπτώσεις, είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε ότι οι αποστάσεις [ z 1, z 2,..., z N 1, z N] είναι πολλαπλάσια του ισοδιαστήματος δz. Οπότε, η σχέση (.7) γράφεται: 2 δ M = 2 z 10 b + 41 b +... + 4 N 2 b + 1 N 1 b ( 1) ( 2) (( ) 1) (( ) ) V N N (.8) Το άθροισμα της αγκύλης της σχέσης (.8) μπορεί να θεωρηθεί το άθροισμα των όρων που προκύπτουν από τα γινόμενα των τριών στηλών του Πίνακα.2 και συμβολίζεται με f(m VX ). Κατά τον ίδιο τρόπο, υπολογίζεται και το εμβαδόν του νομέα, μέσω της συνάρτησης f(a). Νομέας Συν. Simpson Μοχλοβραχίονας b( z ) (1) (2) () (4) = (1) () (5) = (1) (2) () 1 1 0 2 4 1... 2 2.............................. 2 N- Ν 1 4 Ν-2 Ν 1 Ν-1 f(a)= f(m V )= Πίνακας.2 Υπολογισμός συναρτήσεων εμβαδού και ροπής εγκάρσιας τομής. Αν ολοκληρωθούν οι αντίστοιχοι υπολογισμοί για τους 11 θεωρητικούς νομείς του πλοίου, τότε το ολοκλήρωμα (.) προσεγγίζεται κατά Simpson ως εξής: M δ δ V = M0 + M1 + M 2 +... + M8 + M9 + M10 = f M [ 1 4 2 2 4 1 ] ( ) V (.9) όπου ο όρος f(m V ) μπορεί να υπολογισθεί από τον Πίνακα.. Στον ίδιο πίνακα, υπολογίζεται και η συνάρτηση που εκφράζει τους όρους του αναπτύγματος εντός των αγκυλών της σχέσης (.0), για τον υπολογισμό του όγκου εκτοπίσματος. - 89 -
Νομέας Συντελεστής Simpson Εμβαδόν A Ροπή M VX (1) (2) () = (1) (2) (4) (5) = (1) (4) 0 1 M V0 1 4 M V1........................... 9 4 M V9 10 1 M V10 f ( V ) = f ( M ) = Πίνακας. Υπολογισμός συναρτήσεων εκτοπίσματος και ροπής ως προς βασικό επίπεδο αναφοράς. Συνδυάζοντας τώρα τις εκφράσεις (.0) και (.9), προκύπτει ότι: V KB = ( ) f ( ) f M V (.40) Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για τη διαμήκη θέση του κέντρου άντωσης [σχέση (.1β)], έχουμε: = = = = B ddydz d dydz Ad M A Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης () = A στη σχέση (.41) προσεγγίζεται ως: (.41) δ I = Ad 1 A + 4 A +... + 4 A + 1 A ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 9 9 10 10 (.42) Στο σύστημα συντεταγμένων που έχει επιλεγεί οι αποστάσεις [ 0,z 1,..., 9, 10 ] είναι προσημασμένες ως προς τον μέσο νομέα με θετική φορά προς την πλώρη. Αν τις αντικαταστήσουμε με τα πολλαπλάσιά τους ως προς δ, τότε θα έχουμε: 2 I = δ 1 5 A + 4 4 A +... + 4 4 A + 1 5 A (( ) 0 ) (( ) 1) (( ) 9 ) (( ) 10 ) (.4) Για τον υπολογισμό της αντίστοιχης συνάρτησης f(m ) της σχέσης (.4), μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο Πίνακας.4. Συνδυάζοντας τώρα τις εκφράσεις (.0) και (.4), προκύπτει ότι: f B = δ f ( M ) ( ) (.44) - 90 -
Νομέας Συντελεστής Μοχλοβραχίονας Εμβαδόν εγκάρσιων τομών A Simpson (1) (2) () (4) = (1) (2) () 0 1 5 A 0 1 4 4 A 1 2 2 A 2 4 2 A 4 2 1 A 4 5 4 0 A 5 6 2 1 A 6 7 4 2 A 7 8 2 A 8 9 4 4 A 9 10 1 5 A 10 f ( M ) = Πίνακας.4 Υπολογισμός συνάρτησης ροπής όγκου ως προς τον μέσο νομέα...2 Υπολογισμός γεωμετρικών στοιχείων ίσαλων επιφανειών Η δεύτερη σημαντική ομάδα του υδροστατικού διαγράμματος αναφέρεται στα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της ισάλου, που αντιστοιχεί στο υπό μελέτη βύθισμα. Τα στοιχεία αυτά χρησιμοποιούνται ως επί το πλείστον για τον υπολογισμό καταστάσεων που εμπίπτουν στην περιοχή των μικρών μεταβολών και είναι: το εμβαδόν της ισάλου A W, το κέντρο επιφάνειάς της και οι δεύτερες ροπές ως προς τους άξονες 0 και 0y, I και I yy. Θεωρούμε τη συμμετρική ίσαλο του Σχήματος.9, της οποίας, έστω ότι τα ημιπλάτη b είναι γνωστά σε 11 νομείς. Σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα του Simpson, τα χαρακτηριστικά της ισάλου υπολογίζονται ως εξής: Εμβαδόν ισάλου: Πρώτη ροπή ισάλου ως προς y: δ AW = 2 b d = 2 1b + 4b + 2b +... + 4b + 1b ( ) [ ] 2 0 1 2 9 10 M yy = 2 b d = 2 δ 1 5 b + 4 4 b +... + 44 b + 15 b ( ) (( ) 0 ) (( ) 1) ( 9 ) ( 10 ) (.45) (.46) όπου έχουν χρησιμοποιηθεί, κατά τα γνωστά, οι πολλαπλασιαστές των μοχλοβραχιόνων. Διαμήκης θέση του κέντρου πλευστότητας: W ( Myy ) M yy f = C = = δ A f A ( ) W (.47) όπου οι συναρτήσεις f(m yy ) και f(a W ) είναι και πάλι οι όροι εντός των αγκυλών στα αναπτύγματα Simpson. - 91 -
Εγκάρσια ροπή αδράνειας: I = ddy = d dy = 2 b d yy b 2 2 2 A b W 2 2 2 2 ( 0 0 ) 4( 1 1) 4( 9 9 ) 1( 10 10 ) (( ) ) ( ) δ 2 1 b + b +... + b + b = ( ) (( ) ) (( ) ) δ = 2 1-5 b + -4 b +... + 4 b + 5 b 2 2 2 2 0 4 1 4 9 1 10 (.48) Διαμήκης ροπή αδράνειας: b 2 2 2 2δ = = = 0 1 9 10 + + + + A b W ( ) 4( ) 4( ) 1( ) I y ddy d y dy b d 1 b b... b b (.49) Σχήμα.1 Υπολογισμός γεωμετρικών στοιχείων συμμετρικής ισάλου. Επιφάνεια A X Κατακόρυφη ροπή M VX W ½ b(z) Συντελεστές Simpson Συναρτήσεις ημιτεταγμένων Βραχίονες Συναρτήσεις κατακόρυφων ροπών [1] [2] [] [4] = [2] [] [5] [6] = [4] [5] ΣΤΑΘΜΟΣ Νο Ισαπόσταση ισάλων h = m Επιφάνεια εγκάρσιας τομής έως..w Α X m 2 = 2/ h f(a) =. Κατακόρυφη ροπή εγκάρσιας τομής έως..w f(a) = f(m) = M VX = 2/ h 2 f(m) =.. m Πίνακας.5 Υπολογισμός γεωμετρικών στοιχείων εγκάρσιας τομής. - 92 -
Α X Σταθμός Συντελεστές Simpson Συναρτήσεις επιφανειών [1] [2] [] [4] = [2] [] Βραχίονες (προσημασμένοι) Συναρτήσεις διαμήκων ροπών [5] [6] = [4] [5] M VX Συναρτήσεις κατακόρυφων ροπών [7] [8] = [] [7] ισάλου [9] [10] = [] [9] ½ τεταγμένων Συναρτήσεις ημιτεταγμένων Συναρτήσεις 1ων ροπών ισάλου [11] = [5] [10] Συναρτήσεις 2ων ροπών ισάλου [12] = [5] [11] Κύβοι ημιτεταγμένων ισάλου Συναρτήσεις κύβων ημιτεταγμένων [1] [14] = [9] = [] [1] f(v) = f(m ) = f(m V ) = f(a W ) = f(m W ) = f(i M ) = f(i T ) = Κύριες διαστάσεις Μεγέθη σχετικά με τον όγκο Μεγέθη σχετικά με την ίσαλο Μεγέθη σχετικά με την ίσαλο και τον όγκο = m = 1/ s f(v) = m A W = 2/ s f(a W ) = m 2 MT1 = γi / BP = t B = m = s f(m W )/ f(a W ) = m T = m W = m Δ = γ t I M = 2/ s f(i M ) = m 4 BM T = I T / = m B W = m B = s f(m )/f(v) m I = I M A W 2 = BM = I / = m T W = m m 4 Ισαπόσταση νομέων ΚΒ = f(m V )/f(v) m I T = 2/ 9 s f(i T ) = m 4 s = m TPC = γa W /100 t/cm Αδιάστατοι συντελεστές C B = / ( BP B W T W ) = C M = A m / (B W T W ) = C P = C B / C M = C WP = A W / ( BP B W ) = - 9 -
Πίνακας.6 Υδροστατικό διάγραμμα. ½ αναπτύγματος Συντελεστές Συναρτήσεις ½ αναπτύγματος Συντε- Συναρτήσεις ½ αναπτύγματος Συντε- Συναρτήσεις Σταθμός νομέων μεταξύ αναπτύγματος νομέων μεταξύ λεστές αναπτύγματος νομέων μεταξύ λεστές αναπτύγματος W και W Simpson νομέων W και W Simpson νομέων W και W Simpson νομέων [1] [2] [] [4] = [2] [] [2] [] [4] = [2] [] [2] [] [4] = [2] [] Αριθμός ισαπεχόντων νομέων Ν = Μέσο μήκος m = m Μέση ισαπόσταση νομέων s 1 = m /N = m f(l) = f(l) = f(l) = Αριθμός ισαπεχόντων νομέων Ν = Μέσο μήκος m = m Μέση ισαπόσταση νομέων s 1 = m /N = m Αριθμός ισαπεχόντων νομέων Ν = Μέσο μήκος m = m Μέση ισαπόσταση νομέων s 1 = m /N = m Βρεχόμενη επιφάνεια μεταξύ W και W S A = 2/ s 1 f(l )= m 2 Βρεχόμενη επιφάνεια μεταξύ W S A = 2/ s 1 f(l) = m 2 και W Βρεχόμενη επιφάνεια μεταξύ W S A = 2/ s 1 f(l) = m 2 και W ΣΥΝΟΛΑ ΕΩΣ.. W: S = m 2 ΣΥΝΟΛΑ ΕΩΣ.. W: S = m 2 ΣΥΝΟΛΑ ΕΩΣ.. W: S = m 2 Πίνακας.7 Υπολογισμός βρεχόμενης επιφάνειας. - 94 -
Βιβλιογραφικές αναφορές Biran, A. (200), Ship Hydrostatics and Stability, Oford: Butterworth Heinemann. Rawson, K. J. and Tupper, E. C. (2001), Basic Ship Theory, Vols. 1-2, Oford: Butterworth Heinemann (original work published 1968). Scheid,. (1988), Theory and Problems of Numerical Analysis, New York: McGraw-Hill Book Company. Λουκάκης, Θ. Α. και Πέρρας, Π. Τ. (1982), Υδροστατική και ευστάθεια πλοίου, Σελλούντος, Αθήνα. Προτεινόμενη βιβλιογραφία Bater, B. (1967), Naval Architecture. Eamples and Theory, ondon: Charles Griffin & Co. TD. Comstock, J. P. (ed.) (1968), Principles of Naval Architecture, New York: The Society of Naval Architects and Marine Engineers (SNAME). Tupper, E. C. (2004), Introduction to Naval Architecture, Oford: Butterworth Heinemann (original work published 1975). Τζαμπίρας, Γ. (2010), Υδροστατική και ευστάθεια πλοίου Ι (ευστάθεια άθικτου πλοίου), Σημειώσεις, τόμ. 1-2, Θωμαΐδειο Ίδρυμα ΕΜΠ, Αθήνα. Λυμένα παραδείγματα Παράδειγμα.1 Τα υδροστατικά στοιχεία ενός επιβατηγού πλοίου μήκους 174 m μεταξύ καθέτων δίνονται στον Πίνακα Π.1, για συγκεκριμένο αριθμό βυθισμάτων. Τα δεδομένα του πίνακα αντιστοιχούν στο βύθισμα T (Draft), στο ε- κτόπισμα Δ (Displt), στη διαμήκη θέση του κέντρου άντωσης από την πρυμναία κάθετο (CB), στη διαμήκη θέση του κέντρου πλευστότητας από την πρυμναία κάθετο (C), στους τόνους ανά εκατοστό βύθισης (TP1), στη ροπή μεταβολής της διαγωγής ανά εκατοστό (MCT1) και στην κατακόρυφη θέση του μετάκεντρου (KM). Σε συγκεκριμένη φόρτωση του πλοίου, μετρώνται: το πρωραίο βύθισμα T = 5,5 m και το πρυμναίο T A = 6 m. Στη συνέχεια, βάρος 50t τοποθετείται πάνω στο πλοίο και οι συντεταγμένες του κέντρου του ως προς το σωματοπαγές σύστημα αναφοράς είναι P = 10 m προς την πλώρη, y P = 5 m προς τα θετικά του άξονα y και z P = 10 m από το βασικό επίπεδο αναφοράς. Το αρχικό κέντρο βάρους του πλοίου (KG 0 ) απέχει 8 m από το βασικό επίπεδο. Ζητείται το αρχικό εκτόπισμα του πλοίου και τα βυθίσματά του μετά την τοποθέτηση του βάρους. Draft Displt CB C TPI MCT KM T (m) (t) (m) (m) (t/cm) (tm/cm) (m) 1,05 875,860 89,14 89,246 12,960 78,700 17,66 2,10 2.519,60 88,824 87,99 17,990 120,120 14,785,15 4.607,20 88,047 86,214 21,650 156,10 1,89 4,20 7.051,760 87,047 84,095 24,870 195,780 12,618 5,25 9.825,880 85,860 81,414 27,980 242,520 12,271 6,0 12.956,970 84,217 76,860 1,790 22,560 12,02 7,5 16.468,900 82,46 75,88 4,90 95,80 12,427 9,0 2.747,020 80,525 77,901 9,780 52,00 12,69-95 -
Πίνακας Π.1. Υδροστατικά στοιχεία. Λύση Η λύση του προβλήματος βασίζεται στη θεωρία των μικρών μεταβολών και στα δεδομένα του υδροστατικού διαγράμματος. Η αρχική γωνία διαμήκους διαγωγής και το μέσο βύθισμα υπολογίζονται από τις σχέσεις: T TA t 0 55, 6 0 tan ϑ 0 = = = = 2, 87 10 ϑ 0 = 0, 164, t 0 = 0, 5 174 T = 05, (T + T ) = 05, ( 55, + 6) = 575m, M A Στη συνέχεια, με γραμμική παρεμβολή ως προς το Τ Μ μεταξύ των βυθισμάτων 5,25 m και 6, m, ορίζουμε το συντελεστή παρεμβολής f και υπολογίζουμε τα απαιτούμενα υδροστατικά στοιχεία: 5, 75 5, 25 f = = 0, 476 6, 5, 25 = f 12. 956, 97 + ( 1 f) 9. 825, 88 = 1116, 280 t C = f 76, 86 + ( 1 f ) 81, 414 = 79, 240 = ( / 2 C ) = 7, 76 m TP1 = f 1, 79 + ( 1 f ) 27, 98 = 29, 79 Το είναι η προσημασμένη απόσταση του κέντρου πλευστότητας από τον μέσο νομέα στο καθιερωμένο σωματοπαγές σύστημα. Το μέγεθος CDT1 στη σχέση (.10) υπολογίζεται ως εξής: ( ) CDT1 = (100 TP1) = 2.979 ( 7,76/174) = 1,28 Οπότε, το νέο εκτόπισμα υπολογίζεται από τη σχέση (.10α) = (T ) + CDT1 t = 11. 16, 280 + ( 1, 28 ) ( 5, 5 6, ) = 11. 82, 71 t M Στο νέο αυτό εκτόπισμα, αντιστοιχούν νέα υδροστατικά στοιχεία τα οποία υπολογίζουμε με παρεμβολή ως προς το Δ. Οι νέες τιμές είναι: 11. 82, 71 9. 825, 88 f = = 0, 497 12. 956, 97 9. 825, 88 C = f 76, 86 + ( 1 f ) 81, 414 = 79, 500 = ( / 2 C ) = 7, 50 m TP1 = f 1, 79 + ( 1 f ) 27, 98 = 29, 87 MCT1 = f 22, 56 + ( 1 f ) 242, 52 = 282, 00 0 και το νέο εκτόπισμα προκύπτει ως: = (T ) + CDT1 t = 11. 16, 280 + 2987 ( 7, 5 / 174 ) ( 5, 5 6, ) = 11. 80, 65 t M Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει ουσιαστική μεταβολή στην τιμή του νέου εκτοπίσματος. Οπότε, η διαδικασία έχει συγκλίνει ουσιαστικά από το πρώτο αποτέλεσμα. - 96 -
Για το δεύτερο ερώτημα, το νέο εκτόπισμα και η νέα τιμή της απόστασης του κέντρου βάρους από το βασικό επίπεδο είναι: = + P = 11. 80, 65 + 50 = 11. 40, 65 t 1 11. 80, 65 8 + 50 10 1KG = KG0 + P zp KG = = 8, 009 m 11. 40, 65 Από τον Πίνακα Π.1, υπολογίζουμε πάλι με γραμμική παρεμβολή τα υδροστατικά στοιχεία για το εκτόπισμα Δ 1 : 11. 40, 65 9. 825, 88 f = = 0, 51 12. 956, 97 9. 825, 88 T= f 6, + ( 1 f) 5, 25 = 5, 788 m ( = T ) 1 M1 C = f 76, 86 + ( 1 f ) 81, 414 = 79, 078 = ( / 2 C ) = 7, 992 m MCT1 = f 22, 56 + ( 1 f ) 242, 52 = 28, 580 KM = f 12, 02 + ( 1 f ) 12, 271 = 12, 286 m Η γωνία εγκάρσιας κλίσης υπολογίζεται από τη σχέση (2.65), για «μικρές» γωνίες κλίσης: tan P y P y GM ( KM KG ) P P ϕ= = = 1 T 1 50 5 = 5, 11 10 ϕ= 0, 29 1140, 65 ( 12, 286 8, 009 ) 0 Εφόσον πρόκειται για συμβατική μορφή πλοίου ( >> B), χρησιμοποιούμε, καταρχάς, τις προσεγγίσεις: T TA GM BM GM tanϑ γ I yy = MTC1 t GM γ I = MTC1 yy Στη συνέχεια, η γωνία διαμήκους κλίσης και η διαγωγή του πλοίου υπολογίζονται μέσω της απλοποιημένης σχέσης (2.56): tan P ( ) + MCT1 t 50 ( 10 + 7, 992 ) + 282, 00 100 ( 0. 5) MCT1 28, 580 100 174 = 2, 67 10 0 ϑ= 0, 51, t = tan ϑ= 0, 466 m P 0 0 ϑ= = = και τα δύο βυθίσματα του πλοίου από τις προφανείς σχέσεις: T = T + t / 2 = 5, 788 0, 466 / 2 = 5, 555 m 1 T = T t/ 2 = 5, 788 + 0, 466 / 2 = 6, 021 m A 1-97 -
Παράδειγμα.2 Φορτηγό πλοίο μήκους 100 m πλέει σε βύθισμα πρωραίο Τ =,5 m και πρυμναίο Τ Α = 4,00 m. Στον Πίνακα Π.2, δίνονται τα εξής στοιχεία για πέντε ισαπέχοντες νομείς: εμβαδόν εγκάρσιας τομής έως την ίσαλο και ημιπλάτος ισάλου. Noμέας 1(AP) 2 4 5(P) A(m 2 ) 20 70 80 60 0 B/2 (m) 4 9 10 9 0 Πίνακας Π.2 Εμβαδά εγκάρσιων τομών και ημιπλάτη. Ζητούνται α) Πού πρέπει να τοποθετηθεί βάρος 500 t, ώστε το πλοίο να γίνει ισοβύθιστο; β) Ποιο θα είναι τότε το βύθισμα του πλοίου Τ 0 ; Λύση Το πρόβλημα λύνεται με τη θεωρία των μικρών μεταβολών. Τα ημιπλάτη στην προβολή της επιφάνειας πλεύσης πάνω στο βασικό επίπεδο αναφοράς παραμένουν ίσα με αυτά του Πίνακα Π.2, εφόσον η γωνία ε- γκάρσιας κλίσης είναι μηδενική. Οι υπολογισμοί των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της προβολής της ισάλου και των στοιχείων της γάστρας γίνονται, κατά Simpson: Ισαπόσταση νομέων δ = 100/4 = 25 m Εμβαδόν προβολής ίσαλου επιφάνειας (σχέση.45) Α W = 25/ [1 4 + 4 9 + 2 10 + 4 9 +1 0] = 1.600 m 2 Πρώτη ροπή επιφάνειας ως προς τον μέσο νομέα (σχέση.46) M = 2 25/ [1 4 ( 50) + 4 9 ( 25) + 2 10 (0) + 4 9 (25) + 1 0 ( 50)] =., m 2 Διαμήκης θέση κέντρου πλευστότητας = M /A W = 2,08 m Εγκάρσια ροπή αδράνειας (σχέση.48) I yy = 2 25/ [1 ( 50) 2 4 + 4 ( 25) 2 9 + 2 0 10 + 4 (25) 2 9 + 1 (50) 2 0] = 916.666,6 m 4 Εγκάρσια ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο πλευστότητας I yy = I yy A W 2 = 909.722,2 m 2 Διαμήκης ροπή αδράνειας (σχέση.49) I = 2/ 25/ [1 4 + 4 9 + 2 10 + 4 9 + 1 0] = 4.866,6 m 4 Όγκος εκτοπίσματος (σχέση.0) = 25/ [1 20 + 4 70 + 2 80 + 4 60 + 1 0] = 5.8, m - 98 -
Εκτόπισμα (γ = 1,025 t/m ) = γ = 5.979,166 t Ροπή όγκου ως προς τον μέσο νομέα (σχέση.41) M = 25/ [1 ( 50) 20 + 4 ( 25) 70 + 2 0 80 + 4 (25) 60 + 1 (50) 0] =., m 4 Διαμήκης θέση του κέντρου όγκου B = M / = 5,714 m Στη συνέχεια, θεωρούμε το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή το πλοίο πλέει ισοβύθιστο στο ζητούμενο βύθισμα Τ 0 και αφαιρείται από τη θέση P το φορτίο P = 500 t, έτσι ώστε να προκύψει η αρχική ίσαλος πλεύσης. Τότε, σύμφωνα με τη θεωρία των μικρών μεταβολών για συμβατικά πλοία, η γωνία διαμήκους κλίσης θ υπολογίζεται από τη σχέση: P (P ) tanϑ= γi yy Αλλά, η αρχική διαγωγή είναι γνωστή από τα βυθίσματα. Επομένως: T T A, 95 4 tanϑ= = = 5 10 100 Αντικαθιστούμε όλες τις γνωστές τιμές στην προηγούμενη σχέση: ( 500 ) ( P + 2, 08) 0, 005 = P = 7, 241 m 1, 025 909. 722, 2 Άρα, το κέντρο βάρους του φορτίου πρέπει να βρίσκεται σε απόσταση 7,241 m από τον μέσο νομέα προς την πλώρη (απάντηση πρώτου ερωτήματος). Ξεκινώντας από την ίδια υποθετική κατάσταση Τ 0, το βύθισμα στην πλώρη υπολογίζεται ως: T = T +δ T + ( / )tan ϑ 0 2 όπου η παράλληλη βύθιση: P 500 δ T = = = 0, 05 m γ A 1. 025 1600 W και λύνοντας ως προς Τ 0 την προηγούμενη εξίσωση βρίσκουμε: T0 = T δt ( / 2 )tan ϑ=, 95 + 0, 05 + ( 50 + 2, 08) 0, 005 = 4, 515 m. - 99 -