Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

2 Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Όγδοη Σειρά Διαφανειών 1 Αριθμητική Ολοκλήρωση 2 Αριθμητική Ολοκλήρωση με παρεμβολή Κανόνας Ορθογωνίου Κανόνας Ορθογωνίου - Σφάλμα Κανόνας Ορθογωνίου - Παραδείγματα Κανόνας Τραπεζίου Κανόνας Τραπεζίου - Σφάλμα Κανόνας Τραπεζίου - Παραδείγματα Κανόνας Simpson Κανόνας Simpson - Σφάλμα Κανόνας Simpson - Παραδείγματα 3 Ειδικές περιπτώσεις Αριθμητικής Ολοκλήρωσης Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

3 Αριθμητική Ολοκλήρωση Ένα από τα βασικά προβλήματα στα μαθηματικά είναι ο υπολογισμός του ολοκληρώματος μίας συνάρτησης. Έστω το ορισμένο ολοκλήρωμα I = b a f(x)dx της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστημα [a, b]. Ο αναλυτικός υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος απαιτεί την ύπαρξη της Παράγουσας ή Αρχικής συνάρτησης F η οποία ικανοποιεί τη σχέση F (x) = f(x) έτσι ώστε I = b a f(x)dx = F(b) F(a) Για τις περισσότερες συναρτήσεις δεν υπάρχει η παράγουσα ή έχει δύσχρηστο τύπο. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης x Οκτώβριος / 68

4 Αριθμητική Ολοκλήρωση με παρεμβολή Η Αριθμητική Ολοκλήρωση με παρεμβολή υλοποιείται με τις παρακάτω μεθόδους. Κανόνας Ορθογωνίου (ανοιχτός τύπος) Παρεμβολή με σταθερό πολυώνυμο (Μηδενικού βαθμού) Κανόνας Τραπεζίου (κλειστός τύπος) Παρεμβολή με γραμμικό πολυώνυμο (Πρώτου βαθμού) Κανόνας Simpson (κλειστός τύπος) Παρεμβολή με τετραγωνικό πολυώνυμο (Δευτέρου βαθμού) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

5 Κανόνας Ορθογωνίου Για να υπολογίσουμε το I = b a f(x)dx χρησιμοποιούμε το κεντρικό σημείο ( a+b a+b, f( )) από το 2 2 οποίο φέρουμε ένα παράλληλο τμήμα στον x x από το a μέχρι το b δηλαδή, εφαρμόζουμε παρεμβολή με σταθερό πολυώνυμο. Το σχήμα που δημιουργείται είναι ένα ορθογώνιο. Θέτουμε x 0 = a + b με h = b a 2 και αντίστοιχα ( ) a + b f 0 = f(x 0 ) = f 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

6 Κανόνας Ορθογωνίου Το σταθερό πολυώνυμο με τις προς τα εμπρός διαφορές θα είναι p(x) = f 0 άρα I = b a f(x)dx x1 x 0 p(x)dx = h f 0 επομένως ο απλός τύπος του Ορθογωνίου δίνεται από I = h f 0 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

7 Κανόνας Ορθογωνίου Σχήμα: Υπολογισμός του ολοκληρώματος 4 0 f(x)dx Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

8 Κανόνας Ορθογωνίου Σχήμα: Υπολογισμός του 4 0 f(x)dx - Απλός Κανόνας Ορθογωνίου Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

9 Κανόνας Ορθογωνίου Είναι προφανές ότι, αν διαμερίσουμε το διάστημα [a, b] σε μικρότερα διαστήματα θα έχουμε καλύτερη προσέγγιση της καμπύλης της συνάρτησης f. Χωρίζουμε το διάστημα [a, b] σε n ίσα υποδιαστήματα, δηλαδή θα έχουμε n ισαπέχοντα κεντρικά σημεία με απόσταση h = b a n Τα σημεία x 0, x 1, x 2,..., x n 1 δίνονται από τον τύπο x i = x 0 + i h με i = 0, 1, 2,..., n 1 και x 0 = a + h 2 Αντιστοίχως, f i = f(x i ) με i = 0, 1, 2,..., n 1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

10 Κανόνας Ορθογωνίου Επομένως, η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος I = b a f(x)dx προσεγγίζεται από τον Σύνθετο Κανόνα του Ορθογωνίου σύμφωνα με τον τύπο I = h ( ) n 1 f 0 + f f n 1 = h όπου n το πλήθος των υποδιαστημάτων που θα εφαρμοστεί ο τύπος και h = b a n το βήμα των ισαπεχόντων σημείων. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68 i=0 f i

11 Κανόνας Ορθογωνίου Σχήμα: Υπολογισμός του ολοκληρώματος 4 0 f(x)dx Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

12 Κανόνας Ορθογωνίου Σχήμα: Κανόνας Ορθογωνίου για n = 1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

13 Κανόνας Ορθογωνίου Σχήμα: Κανόνας Ορθογωνίου για n = 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

14 Κανόνας Ορθογωνίου Σχήμα: Κανόνας Ορθογωνίου για n = 4 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

15 Κανόνας Ορθογωνίου Σχήμα: Κανόνας Ορθογωνίου για n = 8 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

16 Κανόνας Ορθογωνίου - Παραλλαγή Σχήμα: Κανόνας Ορθογωνίου για n = 4 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

17 Κανόνας Ορθογωνίου - Παραλλαγή Σχήμα: Κανόνας Ορθογωνίου για n = 4 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

18 Κανόνας Ορθογωνίου - Σφάλμα Το άνω σφάλμα του απλού τύπου του Ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο E = h2 2 M με M = max{f (x)} x [a,b] ενώ το άνω σφάλμα του σύνθετου τύπου του Ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο E = h2 2 n M = h(b a) 2 M με M = max{f (x)} x [a,b] Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

19 Κανόνας Ορθογωνίου - Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x και το ορισμένο ολοκλήρωμα I = 5 1 f(x)dx Να υπολογιστεί το I με τον απλό κανόνα Ορθογωνίου. Να υπολογιστεί το I με τον σύνθετο κανόνα Ορθογωνίου για n = 4. Να υπολογιστούν τα αντίστοιχα σφάλματα. Να υπολογιστεί ο αριθμός των διαστημάτων έτσι ώστε το αποτέλεσμα να έχει ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

20 Κανόνας Ορθογωνίου - Παράδειγμα 1 Για τον απλό κανόνα του Ορθογωνίου έχουμε και αντίστοιχα x 0 = a + b 2 = 3 με h = b a = 5 1 = 4 f 0 = f(x 0 ) = f(3) = 1 3 άρα I = h f 0 = = 4 3 = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

21 Κανόνας Ορθογωνίου - Παράδειγμα 1 Για τον σύνθετο κανόνα του Ορθογωνίου με n = 4 έχουμε h = b a n = = 1 και τα σημεία x 0 = a + h 2 = 3 2 με f 0 = f(x 0 ) = f(1) = 2 3 x 1 = x 0 + h = 5 2 με f 1 = f(x 1 ) = f(2) = 2 5 x 2 = x 0 + 2h = 7 2 με f 2 = f(x 2 ) = f(3) = 2 7 x 3 = x 0 + 3h = 9 2 με f 3 = f(x 3 ) = f(4) = 2 9 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

22 Κανόνας Ορθογωνίου - Παράδειγμα 1 άρα I = h ( ) n 1 f 0 + f f n 1 = h I = h ( ) f 0 + f 1 + f 2 + f 3 ( 2 = ) 9 = i=0 f i Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

23 Κανόνας Ορθογωνίου - Παράδειγμα 1 Για να υπολογίσουμε το άνω σφάλμα υπολογίζουμε πρώτα το M f (x) = 1 x 2 άρα M = max{f (x)} = 1 x [a,b] Για τον απλό τύπο του Ορθογωνίου το σφάλμα ισούται με E = h2 2 M = = 8 ενώ για το σύνθετο τύπο του Ορθογωνίου το σφάλμα ισούται με h(b a) 1(5 1) E = M = 1 = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

24 Κανόνας Ορθογωνίου - Παράδειγμα 1 Για να έχουμε στο αποτέλεσμα ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων θα πρέπει να βρούμε μια σχέση του n με το k. Θα πρέπει να ισχύει ή ισοδύναμα E < k h(b a) 2 M < 1 2 b a h= n 10 k = Επομένως, λύνουμε ως προς n (b a)2 2n M < k n > 10 k M (b a) 2 δηλαδή n > (5 1) 2 = n > Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

25 Κανόνας Ορθογωνίου - Παράδειγμα 2 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών της f x f(x) και το ορισμένο ολοκλήρωμα I = 3 1 f(x)dx Να υπολογιστεί το I με τον σύνθετο κανόνα Ορθογωνίου με το κατάλληλο n. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

26 Κανόνας Ορθογωνίου - Παράδειγμα 2 Επειδή έχουμε 5 ισαπέχοντα σημεία το πλήθος των διαστημάτων θα είναι n = 2. Το βήμα είναι h = 2. Θα έχουμε I = h ( ) n 1 f 0 + f f n 1 = h I = h ( f 0 + f 1 ) = 1 (1 + 1) = 2 i=0 f i Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

27 Κανόνας Τραπεζίου Για να υπολογίσουμε το I = b a f(x)dx ενώνουμε τα σημεία (a, f(a)) και (b, f(b)) με μια γραμμή, δηλαδή, εφαρμόζουμε γραμμική παρεμβολή. Το σχήμα που δημιουργείται είναι συνήθως ένα τραπέζιο. Θέτουμε και αντίστοιχα x 0 = a και x 1 = b με h = b a f 0 = f(x 0 ) = f(a) και f 1 = f(x 1 ) = f(b) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

28 Κανόνας Τραπεζίου Το γραμμικό πολυώνυμο με τις προς τα εμπρός διαφορές θα είναι p(x) = f 0 + (x x 0 ) f 0 h άρα I = b a f(x)dx x1 x 0 p(x)dx = h 2 (f 0 + f 1 ) επομένως ο απλός τύπος του Τραπεζίου δίνεται από I = h 2 (f 0 + f 1 ) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

29 Κανόνας Τραπεζίου Σχήμα: Υπολογισμός του ολοκληρώματος 4 0 f(x)dx Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

30 Κανόνας Τραπεζίου Σχήμα: Υπολογισμός του 4 0 f(x)dx - Απλός Κανόνας Τραπεζίου Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

31 Κανόνας Τραπεζίου Είναι προφανές ότι, αν διαμερίσουμε το διάστημα [a, b] σε μικρότερα διαστήματα θα έχουμε καλύτερη προσέγγιση της καμπύλης της συνάρτησης f. Χωρίζουμε το διάστημα [a, b] σε n ίσα υποδιαστήματα, δηλαδή θα έχουμε n + 1 ισαπέχοντα σημεία με απόσταση h = b a n Τα σημεία x 0, x 1, x 2,..., x n δίνονται από τον τύπο x i = x 0 + i h με i = 0, 1, 2,..., n και x 0 = a, x n = b Αντιστοίχως, f i = f(x i ) με i = 0, 1, 2,..., n Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

32 Κανόνας Τραπεζίου Επομένως, η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος I = b a f(x)dx προσεγγίζεται από τον Σύνθετο Κανόνα του Τραπεζίου σύμφωνα με τον τύπο ( ) I = h ( ) h n 1 f0 + 2 f f n 1 + f n = f f i + f n 2 2 όπου n το πλήθος των υποδιαστημάτων που θα εφαρμοστεί ο τύπος και h = b a n το βήμα των ισαπεχόντων σημείων. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68 i=1

33 Κανόνας Τραπεζίου Σχήμα: Υπολογισμός του ολοκληρώματος 4 0 f(x)dx Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

34 Κανόνας Τραπεζίου Σχήμα: Κανόνας Τραπεζίου για n = 1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

35 Κανόνας Τραπεζίου Σχήμα: Κανόνας Τραπεζίου για n = 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

36 Κανόνας Τραπεζίου Σχήμα: Κανόνας Τραπεζίου για n = 4 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

37 Κανόνας Τραπεζίου Σχήμα: Κανόνας Τραπεζίου για n = 8 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

38 Κανόνας Τραπεζίου - Σφάλμα Το άνω σφάλμα του απλού τύπου του Τραπεζίου δίνεται από τον τύπο E = h3 12 M με M = max{f (x)} x [a,b] ενώ το άνω σφάλμα του σύνθετου τύπου του Τραπεζίου δίνεται από τον τύπο E = h3 12 n M = h2 (b a) 12 M με M = max{f (x)} x [a,b] Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

39 Κανόνας Τραπεζίου - Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x και το ορισμένο ολοκλήρωμα I = 5 1 f(x)dx Να υπολογιστεί το I με τον απλό κανόνα Τραπεζίου. Να υπολογιστεί το I με τον σύνθετο κανόνα Τραπεζίου για n = 4. Να υπολογιστούν τα αντίστοιχα σφάλματα. Να υπολογιστεί ο αριθμός των διαστημάτων έτσι ώστε το αποτέλεσμα να έχει ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

40 Κανόνας Τραπεζίου - Παράδειγμα 1 Για τον απλό κανόνα του Τραπεζίου έχουμε x 0 = a = 1 και x 1 = b = 5 με h = b a = 5 1 = 4 και αντίστοιχα f 0 = f(x 0 ) = f(1) = 1 και f 1 = f(x 1 ) = f(5) = 1 5 άρα I = h 2 (f 0 + f 1 ) = 4 2 ( ) = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

41 Κανόνας Τραπεζίου - Παράδειγμα 1 Για τον σύνθετο κανόνα του Τραπεζίου με n = 4 έχουμε h = b a n = = 1 και τα σημεία x 0 = a = 1 με f 0 = f(x 0 ) = f(1) = 1 x 1 = x 0 + h = 2 με f 1 = f(x 1 ) = f(2) = 1 2 x 2 = x 0 + 2h = 3 με f 2 = f(x 2 ) = f(3) = 1 3 x 3 = x 0 + 3h = 4 με f 3 = f(x 3 ) = f(4) = 1 4 x 4 = x 0 + 4h = 5 = b με f 4 = f(x 4 ) = f(5) = 1 5 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

42 Κανόνας Τραπεζίου - Παράδειγμα 1 άρα ( ) I = h ( ) h n 1 f0 + 2 f f n 1 + f n = f f i + f n 2 2 = h ( ) f0 + 2 f f f 3 + f 4 2 = 1 ( ) 5 = i=1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

43 Κανόνας Τραπεζίου - Παράδειγμα 1 Για να υπολογίσουμε το άνω σφάλμα υπολογίζουμε πρώτα το M f (x) = 1 x 2, f (x) = 2 x 3 άρα M = max{f (x)} = 2 x [a,b] Για τον απλό τύπο του Τραπεζίου το σφάλμα ισούται με E = h3 12 M = = ενώ για το σύνθετο τύπο του Τραπεζίου το σφάλμα ισούται με E = h2 (b a) 12 M = 12 (5 1) 12 2 = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

44 Κανόνας Τραπεζίου - Παράδειγμα 1 Για να έχουμε στο αποτέλεσμα ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων θα πρέπει να βρούμε μια σχέση του n με το k. Θα πρέπει να ισχύει E < k ή ισοδύναμα h 2 (b a) M < Επομένως, λύνουμε ως προς n b a h= n 10 k = (b a)3 12n 2 M < k n 2 > k M (b a) 3 δηλαδή n 2 > (5 1) 3 = n > Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

45 Κανόνας Τραπεζίου - Παράδειγμα 2 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών της f x f(x) και το ορισμένο ολοκλήρωμα I = 3 1 f(x)dx Να υπολογιστεί το I με τον σύνθετο κανόνα Τραπεζίου με το κατάλληλο n. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

46 Κανόνας Τραπεζίου - Παράδειγμα 2 Επειδή έχουμε 5 ισαπέχοντα σημεία το πλήθος των διαστημάτων θα είναι n = 4. Το βήμα είναι h = 1. Θα έχουμε I = h 2 ( f0 + 2 f f n 1 + f n ) = h 2 = h ( ) f0 + 2 f f f 3 + f 4 2 = 1 ( ) = 17 2 = 8.5 ( ) n 1 f f i + f n i=1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

47 Κανόνας Simpson Για να υπολογίσουμε το I = b a f(x)dx χρησιμοποιούμε τα σημεία (a, f(a)) και (b, f(b)) και το κεντρικό σημείο ( a+b a+b, f( )) τα οποία τα ενώνουμε με μια 2 2 παραβολή, δηλαδή, εφαρμόζουμε τετραγωνική παρεμβολή (πολυώνυμο δευτέρου βαθμού). Θέτουμε x 0 = a, x 1 = a + b 2 και αντίστοιχα και x 2 = b με h = b a 2 f 0 = f(x 0 ) = f(a), f 1 = f(x 1 ) και f 2 = f(x 2 ) = f(b) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

48 Κανόνας Simpson Το πολυώνυμο δευτέρου βαθμού με τις προς τα εμπρός διαφορές θα είναι άρα p(x) = f 0 + (x x 0 ) f 0 h + (x x 0)(x x 1 ) 2 f 0 2h 2 I = b a f(x)dx x2 x 0 p(x)dx = h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) επομένως, ο απλός τύπος του Simpson γίνεται I = h 3 (f f 1 + f 2 ) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

49 Κανόνας Simpson Σχήμα: Υπολογισμός του ολοκληρώματος 4 0 f(x)dx Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

50 Κανόνας Simpson Σχήμα: Υπολογισμός του 4 0 f(x)dx - Απλός Κανόνας Simpson Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

51 Κανόνας Simpson Είναι προφανές ότι, αν διαμερίσουμε το διάστημα [a, b] σε μικρότερα διαστήματα θα έχουμε καλύτερη προσέγγιση της καμπύλης της συνάρτησης f. Χωρίζουμε το διάστημα [a, b] σε n ίσα υποδιαστήματα στα οποία ορίζουμε και τα αντίστοιχα κεντρικά σημεία, δηλαδή θα έχουμε 2n + 1 ισαπέχοντα σημεία με απόσταση h = b a 2n Τα σημεία x 0, x 1, x 2,..., x 2n δίνονται από τον τύπο x i = x 0 + i h με i = 0, 1, 2,..., 2n και x 0 = a, x 2n = b Αντιστοίχως, f i = f(x i ) με i = 0, 1, 2,..., 2n Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

52 Κανόνας Simpson Επομένως, η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος I = b a f(x)dx προσεγγίζεται από τον Σύνθετο Κανόνα του Simpson σύμφωνα με τον τύπο I = h ( ) f0 + 4 f f f 2n f 2n 1 + f 2n 3 ( ) = h n n 1 f f 2i f 2i + f 2n 3 i=1 όπου n το πλήθος των υποδιαστημάτων που θα εφαρμοστεί ο τύπος και h = b a το βήμα των 2n ισαπεχόντων σημείων. i=1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

53 Κανόνας Simpson Σχήμα: Υπολογισμός του ολοκληρώματος 4 0 f(x)dx Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

54 Κανόνας Simpson Σχήμα: Κανόνας Simpson για n = 1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

55 Κανόνας Simpson Σχήμα: Κανόνας Simpson για n = 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

56 Κανόνας Simpson Σχήμα: Κανόνας Simpson για n = 4 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

57 Κανόνας Simpson - Σφάλμα Το άνω σφάλμα του απλού τύπου του Simpson δίνεται από τον τύπο E = h5 90 M με M = max{f (4) (x)} x [a,b] ενώ το άνω σφάλμα του σύνθετου τύπου του Simpson δίνεται από τον τύπο E = h5 90 n M = h4 (b a) 180 M με M = max{f (x)} x [a,b] Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

58 Κανόνας Simpson - Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x και το ορισμένο ολοκλήρωμα I = 5 1 f(x)dx Να υπολογιστεί το I με τον απλό κανόνα Simpson. Να υπολογιστεί το I με τον σύνθετο κανόνα Simpson για n = 2. Να υπολογιστούν τα αντίστοιχα σφάλματα. Να υπολογιστεί ο αριθμός των διαστημάτων έτσι ώστε το αποτέλεσμα να έχει ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

59 Κανόνας Simpson - Παράδειγμα 1 Για τον απλό κανόνα του Simpson έχουμε x 0 = a = 1, x 1 = a + b 2 και αντίστοιχα = = 3 και x 2 = b = 5 με h = b a 2 f 0 = f(x 0 ) = f(1) = 1, f 1 = f(x 1 ) = f(3) = 1 3 και f 2 = f(x 2 ) = f(5) = 1 5 άρα I = h 3 (f f 1 + f 2 ) = 2 3 ( ) = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

60 Κανόνας Simpson - Παράδειγμα 1 Για τον σύνθετο κανόνα του Simpson με n = 2 έχουμε και τα σημεία h = b a 2n = = 1 x 0 = a = 1 με f 0 = f(x 0 ) = f(1) = 1 x 1 = x 0 + h = 2 με f 1 = f(x 1 ) = f(2) = 1 2 x 2 = x 0 + 2h = 3 με f 2 = f(x 2 ) = f(3) = 1 3 x 3 = x 0 + 3h = 4 με f 3 = f(x 3 ) = f(4) = 1 4 x 4 = x 0 + 4h = 5 = b με f 4 = f(x 4 ) = f(5) = 1 5 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

61 Κανόνας Simpson - Παράδειγμα 1 άρα I = h 3 ( f ) n n 1 f 2i f 2i + f 2n i=1 = h ( ) f0 + 4 f f f 2n f 2n 1 + f 2n 3 = h ( ) f0 + 4 f f f 3 + f 4 3 = 1 ( ) 5 = i=1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

62 Κανόνας Simpson - Παράδειγμα 1 Για να υπολογίσουμε το άνω σφάλμα υπολογίζουμε πρώτα το M άρα f (x) = 1 x 2, f (x) = 2 x 3, f (x) = 6 x 4, f (4) (x) = 24 x 5 M = max{f (4) (x)} = 24 x [a,b] Για τον απλό τύπο του Simpson το σφάλμα ισούται με E = h5 90 M = = ενώ για το σύνθετο τύπο του Simpson το σφάλμα ισούται με E = h4 (b a) 180 M = 14 (5 1) = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

63 Κανόνας Simpson - Παράδειγμα 1 Για να έχουμε στο αποτέλεσμα ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων θα πρέπει να βρούμε μια σχέση του n με το k. Θα πρέπει να ισχύει ή ισοδύναμα h 4 (b a) M < Επομένως, λύνουμε ως προς n δηλαδή E < k b a h= 2n 10 k = (b a) n 4 M < k n 4 > k M (b a) 5 n 4 > (5 1) 5 = n > Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

64 Κανόνας Simpson - Παράδειγμα 2 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών της f x f(x) και το ορισμένο ολοκλήρωμα I = 3 1 f(x)dx Να υπολογιστεί το I με τον σύνθετο κανόνα Simpson με το κατάλληλο n. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

65 Κανόνας Simpson - Παράδειγμα 2 Επειδή έχουμε 5 ισαπέχοντα σημεία το πλήθος των διαστημάτων θα είναι n = 2. Το βήμα είναι h = 2. Θα έχουμε ( ) I = h n n 1 f f 2i f 2i + f 2n 3 i=1 = h ( ) f0 + 4 f f f 2n f 2n 1 + f 2n 3 = h ( ) f0 + 4 f f f 3 + f 4 3 = 2 ( ) = 42 3 = 14 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68 i=1

66 Ειδικές περιπτώσεις Αριθμητικής Ολοκλήρωσης Ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος I = x dx = [ 2 x ] 1 0 = 2 Η παραπάνω συνάρτηση απειρίζεται στο αριστερό άκρο (0). Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κλειστούς τύπους. Οι ανοιχτοί τύποι συγκλίνουν αργά. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

67 Ειδικές περιπτώσεις Αριθμητικής Ολοκλήρωσης Ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος I = 0 e x dx = [ e x] 0 = 1 Στο παραπάνω ολοκλήρωμα το πάνω άκρο απειρίζεται. Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους διότι χρειαζόμαστε άπειρα σημεία. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

68 Ειδικές περιπτώσεις Αριθμητικής Ολοκλήρωσης Μπορούμε να κάνουμε μετασχηματισμό έτσι ώστε τα άκρα να είναι πεπερασμένα. y = 1 e x με x = ln(1 y) Τα άκρα θα γίνουν 0 0 και 1 και το διαφορικό dx = dy(1 y). Άρα I = 1 0 f( ln(1 y)) dy 1 y Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 68

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Σεπτέμβριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα. 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα. 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 1

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Παρεμβολή ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Παρεµβολή Παρεµβολή interpoltion είναι η διαδικασία µε την οποία βρίσκεται µία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση 6. Αριθμητική Ολοκλήρωση Ασκήσεις 6.1 Έστω f : [; b]! R μια συνάρτηση, της οποίας το ολοκλήρωμα του Riemnn στο διάστημα [; b] υπάρχει. Αν Qn T είναι ο σύνθετος τύπος ολοκλήρωσης του τραπεζίου με n ομοιόμορφα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 21Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 21Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 1 εκεµβρίου 15 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 5) Σεπτέμβριος 2015 1

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1)

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) 3.1. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) Αν ϑελήσουμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης αυτής μεταξύ δύο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 4) Σεπτέμβριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Simpson. Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ

Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Simpson. Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Smpso Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ Μια πρώτη προσέγγιση Ο χώρος χωρίζεται σε διαστήματα: {... } Prtto P O r ίz o u µe : { } { } m m : M m :

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος

Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι αριθμητικές μέθοδοι τον υπολογισμό των ορισμένων ολοκληρωμάτων. Παρουσιάζονται οι μέθοδοι του παραλληλογράμμου,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 2 x dx = 02 ( 2) 2

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 2 x dx = 02 ( 2) 2 Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. Υπολογίστε το x αν x < 0 4 fx) dx όταν fx) = αν 0 x 3/x αν < x 4 Λύση: Η f ταυτίζεται στο [, 0] με την συνεχή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα

6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Γενικά Ορισμοί Έστω ότι η f() είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [,]. Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε n υποδιαστήματα επιλέγοντας n+ σημεία τέτοια ώστε = < < < n-

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Simpson. Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ

Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Simpson. Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Smpso Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ Μια πρώτη προσέγγιση Ο χώρος χωρίζεται σε διαστήματα: {... } Prtto P Ορίζουµε : { } { } m m : M m : Ε λάχιστο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση ΓΕΛ. ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 202- Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση Το πρόβλημα μελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Συνεχίζουμε την λύση της άσκησης 6.3.. Μέχρι τώρα έχουμε αποδείξει ότι για κάθε διαμέριση του [, b] υπάρχει μια αντίστοιχη διαμέριση του [, B] ώστε να ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 6) Σεπτέμβριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο

Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο Ακριβής ορισμός του πλευρικού ορίου Έστω ότι το πεδίο ορισμού της f x περιέχει ένα διάστημα d, c στα αριστερά του c. Η f x έχει αριστερό όριο L στο c

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 11.1.2. (i) Είναι η συνάρτηση d : R R R με τύπο d(x, y) = (x y) 2 μετρική στο R; (ii) Ίδια ερώτηση για την d : R R R με τύπο d(x, y) = x y

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2013:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2013: ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου : ΘΕΜΑ (μονάδες.) Καμπύλη Bezier δημιουργείται από σημεία ελέγχου, που κατά σειρά είναι τα: (,), (K,) και (,). Η συντεταγμένη Κ του ενδιάμεσου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 7) Δεκέμβριος 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης while for do-while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Παράδειγμα #1 Εντολή while

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης while for do-while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Παράδειγμα #1 Εντολή while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης Στη C++ υπάρχουν 3 διαφορετικές εντολές επανάληψης: while for do-while 1 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολή while Παράδειγμα #1 Κατασκευάστε πρόγραμμα που για

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 7) Δεκέμβριος 2014 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1

Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1 Iterpolatio () Τρίτη, 3 Μαρτίου 05 9:46 πμ 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 3 05.03.03 Σελίδα 4 05.03.03 Σελίδα 5 05.03.03 Σελίδα 6 05.03.03 Σελίδα 7 05.03.03 Σελίδα 8 05.03.03 Σελίδα 9

Διαβάστε περισσότερα

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή 1 Πολυωνυµική Παρεµβολή εδοµένων n + 1 ανά δύο διαφορετικών σηµείων x o, x 1, x,..., x n και των αντίστοιχων συναρτησιακών τιµών y o = f(x o ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ),...,y n (x n ) επιθυµούµε να προσεγγίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας 1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Ολοκλήρωση. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

Βιομαθηματικά BIO-156. Ολοκλήρωση. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Διατυπώστε τον 1 ο κανόνα ολοκλήρωσης Smpson b f ( xdx ) ( 1 3 f f f ) a, αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 2)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 2) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 2) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 2) Σεπτέμβριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 02, 09 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Μη γραμμικές εξισώσεις 2. Η μέθοδος της διχοτόμησης 1 Μη γραμμικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Δίνοντας το ολοκλήρωμα στη Mathematica παίρνουμε την τιμή του: 0 40 100 140558 z 2z 15

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μ. Παπαδημητράκης. ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω [, b] ένα κλειστό διάστημα με < b. Διαμέριση του [, b] είναι ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο υποσύνολο του [, b] το οποίο περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή . Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 2018-19. Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έχουν οι παρακάτω συναρτήσεις μέγιστη ή ελάχιστη τιμή στο διάστημα (0, 1); Στο διάστημα (, + ); Στο διάστημα [0,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων Εισαγωγή Ορισμός 5.1 Γενικά, το πρόβλημα της αριθμητικής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Εντολές for, while, do-while Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Εντολές for, while, do-while Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI Εντολές for, while, do-while Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: ΧΑΤΖΗΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΝΤΩΝΗΣ Α.Μ. 09036 Εξάμηνο ΠΤΧ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΜΠΡΑΤΣΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Περιεχόμενα 3.1 Πολυωνυμική παρεμβολή...

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,

Διαβάστε περισσότερα