ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ "Α"

Ε. Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τμήμα Μ-Ω) Ακαδ. έτος 007-08 5 Ιανουαρίου 008 Διάρκεια: :30 ώρες ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ "Α" ΘΕΜΑ : [ Αναλογία στο βαθμό 4 5% 0% ] () Τα μηχανικά χαρακτηριστικά των χονδρόκοκκων εδαφών εξαρτώνται από την κοκκομετρική διαβάθμιση (μέγεθος κόκκων και κατανομή του μεγέθους των κόκκων) και την σχετική πυκνότητα (D r ). Στα καλά διαβαθμισμένα εδάφη, οι μικρότεροι κόκκοι πληρούν τα κενά μεταξύ των μεγαλύτερων κόκκων και έτσι βελτιώνεται η αντοχή και μειώνεται η συμπιεστότητά τους. Αντιστοίχως, στα εδάφη με μεγάλη σχετική πυκνότητα, οι κόκκοι παρουσιάζουν καλή αλληλεμπλοκή και έτσι βελτιώνεται η αντοχή και μειώνεται η συμπιεστότητά τους. () Η παρουσία νερού στα αργιλικά εδάφη επηρεάζει το πάχος της «διπλής στρώσης» του νερού γύρω από τα αργιλικά πλακίδια (λόγω της πολικότητας των μορίων του νερού και των ηλεκτρικών φορτίων στις επιφάνειες των αργιλικών πλακιδίων). Αυξημένη ποσότητα νερού (δηλαδή αυξημένο ποσοστό υγρασίας) αυξάνει το πάχος των διπλών στρώσεων και μειώνει την επαφή μεταξύ των αργιλικών πλακιδίων, μειώνοντας την αντοχή της αργίλου. Στα αμμώδη εδάφη ΔΕΝ συμβαίνει κάτι ανάλογο επειδή δεν υπάρχουν «διπλές στρώσεις». (3) Κατά την ισότροπη συμπίεση όλες οι τάσεις είναι ίσες : Δσ Δσ y Δσ Δσ και αντιστοίχως όλες οι παραμορφώσεις είναι ίσες : y. Συνεπώς, από οποιαδήποτε των σχέσεων ελαστικότητας προκύπτει : [ Δσ ν ( Δσ + Δσ )] Δσ K ν y Το μέτρο ισότροπης συμπίεσης Κ είναι αρκετά μεγαλύτερο από το Ε. Πράγματι, για λόγο Poisson ν 0.33 Κ 3 Ε. Η μεγάλη τιμή του Κ σε σχέση με το Ε οφείλεται στο ότι κατά την μοναξονική θλίψη (οπότε Ε Δσ / ) η πλευρική παραμόρφωση του δοκιμίου είναι ανεμπόδιστη (αφού η πλευρική τάση είναι μηδέν) και έτσι το δοκίμιο «φουσκώνει» πλευρικά διευκολύνοντας έτσι και την εξέλιξη της αξονικής παραμόρφωσης. Αντιθέτως, κατά την ισότροπη συμπίεση, η πλευρική παραμόρφωση του δοκιμίου είναι συμπιεστική και συνεπώς παρεμποδίζει την ελεύθερη ανάπτυξη της αξονικής παραμόρφωσης, μειώνοντάς την (τυπικά, μέρος του έργου της αξονικής συμπίεσης καταναλώνεται στην υπερνίκηση της πλευρικής συμπίεσης, και συνεπώς η αξονική παραμόρφωση μικραίνει). Η μικρότερη τιμή του (αξονικά) οδηγεί σε αύξηση του λόγου Δσ /, δηλαδή σε αύξηση της τιμής του K. (4) Λόγω της ταχείας φόρτισης, το νερό των πόρων δεν προλαβαίνει να διαφύγει ώστε να συμπιεσθεί ο εδαφικός σκελετός. Έτσι, αρχικά ο εδαφικός σκελετός δεν συμπιέζεται, με αποτέλεσμα οι ενεργές τάσεις να παραμένουν σταθερές. Συνεπώς, το πρόσθετο εξωτερικό φορτίο (ολική τάση Δσ) θα πρέπει να παραληφθεί από τις πιέσεις πόρων Δu (αφού οι ενεργές τάσεις δεν μεταβάλλονται Δσ 0), οι οποίες και αυξάνουν και μάλιστα κατά μέγεθος ίσο με την πρόσθετη ολική τάση (ορισμός ενεργού τάσης) : Δu Δσ Δσ Δσ. ΘΕΜΑ : [ Αναλογία στο βαθμό 8 0% 80% ] () ρ M / V 0800 / 5550.9459 gr / cm 3 ρ.9459 Mg / m 3 w M w / M s (M M s ) / M s (0800 8640) / 8640 w 0.5 ρ ρ s (+ w) / (+e) e (ρ s / ρ ) (+ w) - (.75 /.9459 ) (+0.5) - e 0.7665 ρ s w S e ρ w S (ρ s / ρ w ) ( w / e ) (.75 /.0 ) (0.5 / 0.7665) S 0.8969 () Ειδικό βάρος πετρελαίου δεξαμενής : γ π ρ π g 0.9 0 9 kn/m 3 Πίεση στη βάση της δεξαμενής : p γ π (ύψος) 9 08 kpa Παραμόρφωση του εδάφους (μονοδιάστατη) : p / D 08 / 5000 0.06.6% Καθίζηση : s () Η 0.06 000 cm s.6 cm (3) Δe - () ( + e o ) - 0.06 ( + 0.7665 ) - 0.038 Τελικός δείκτης πόρων : e e o + Δe 0.7665 0.038 e 0.783

Κατά τη συμπίεση, το ποσοστό υγρασίας δεν μεταβάλλεται (μέχρι τον κορεσμό του υλικού). S (ρ s / ρ w ) ( w / e ) (.75 /.0 ) (0.5 / 0.783) S 0.9440 Συνεπώς, η άργιλος που αρχικά ήταν μερικώς κορεσμένη (S 0.8969) αφού βρισκόταν πάνω από τη στάθμη του υπογείου ορίζοντα, παραμένει μερικώς κορεσμένη (S0.9440) και μετά τη φόρτιση με τη δεξαμενή. Δηλαδή, κατά τη φόρτιση της αργίλου με τη δεξαμενή, συμπιέζονται τα κενά που περιέχουν αέρα ενώ τα κενά που περιέχουν νερό παραμένουν αναλλοίωτα. (4) Ειδικό βάρος του εδάφους : γ ρ g.9459 0 9.459 kn/m 3 Γεωστατική κατακόρυφη ολική (και ενεργός) τάση στο σημείο Μ (βάθος 5m) πριν την κατασκευή της δεξαμενής : σ vo σ vo γ d 9.459 5 97.3 kpa Η ολική τάση ισούται με την ενεργό τάση αφού η άργιλος βρίσκεται πάνω από τη στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα και αμελούνται οι τυχόν αρνητικές πιέσεις πόρων λόγω τριχοειδούς ανύψωσης. Πίεση στη βάση της πλήρους δεξαμενής : p 08 kpa (ερώτημα ). Κατακόρυφη ολική (και ενεργός) τάση στο σημείο Μ μετά την κατασκευή της δεξαμενής : σ v σ v σ vo + p 97.3 + 08 05.3 kpa Επειδή η τάση προστερεοποίησης είναι σ p 50 kpa, κατά την πλήρωση της δεξαμενής η άργιλος μεταπίπτει από την υπερστερεοποιημένη κατάσταση ( σ vo < σ p ) στην κανονικά στερεοποιημένη κατάσταση ( σ v > σ p ). Συνεπώς, η παραμόρφωση της αργίλου προκύπτει ως άθροισμα των δύο συμπιέσεων : Δe - C r log (σ p / σ vo ) - 0.05 log ( 50 / 97.3 ) - 0.05 0.88-0.0094 Δe - C c log (σ v / σ p ) - 0.0 log ( 05.3 / 50 ) - 0.0 0.36-0.07 Συνολικά: Δe Δe + Δe - 0.0094-0.07-0.0366 Παραμόρφωση του εδάφους (μονοδιάστατη) : - Δe / (+e o ) 0.0366 / ( + 0.7665) 0.007.07% Καθίζηση : s () Η 0.007 000 cm s 0.7 cm Η άμεση καθίζηση με την πλήρωση της δεξαμενής θα είναι πρακτικώς ίση με τη μακροχρόνια αφού η άργιλος ήταν αρχικώς μερικώς κορεσμένη (S 0.8969) ευρισκόμενη πάνω από τη στάθμη του υπογείου ορίζοντα, και παραμένει μερικώς κορεσμένη (S0.9440) και μετά τη φόρτιση με τη δεξαμενή. Δηλαδή, κατά τη φόρτιση της αργίλου με τη δεξαμενή, συμπιέζονται τα κενά που περιέχουν αέρα ενώ τα κενά που περιέχουν νερό παραμένουν αναλλοίωτα. Η συμπίεση των κενών με αέρα δεν απαιτεί αποβολή νερού από τους πόρους και συνεπώς γίνεται πρακτικώς άμεσα. (5) (α) Κύκλος Mohr στο σημείο Μ πριν την κατασκευή της δεξαμενής : σ σ vo 97.3 kpa και σ 3 Κ ο σ 0.6 97.3 58.4 kpa (β) Αμέσως μετά την πρώτη πλήρωση της δεξαμενής : Αφού η άργιλος παραμένει μερικώς κορεσμένη και αμελούνται οι αρνητικές πιέσεις πόρων, οι ενεργές τάσεις είναι ίσες με τις ολικές : σ σ v σ vo + p 97.3 + 08 05.3 kpa και : σ 3 Κ ο σ 0.6 05.3 3. kpa (γ) Πολύ χρόνο μετά την κατασκευή και λειτουργία της δεξαμενής : Ως ανωτέρω ερώτημα (β). (6) Η μέγιστη διατμητική τάση αντιστοιχεί στην κορυφή του κύκλου Mohr. Πριν την κατασκευή της δεξαμενής, η μέγιστη διατμητική τάση είναι : τ ma 0.5 (σ 3 ) 0.5 ( 97.3 + 58.4 ) 77.9 kpa και αντιστοιχεί σε επίπεδο που σχηματίζει γωνία 45 μοιρών με το οριζόντιο επίπεδο. (7) Οι αρχικές γεωστατικές τάσεις στο σημείο Α είναι ίσες με τις τάσεις στο σημείο Μ. Συνεπώς : σ ο σ vo 97.3 kpa, σ rο Κ ο σ vo 0.6 97.3 58.4 kpa και σ rο 0 Πρόσθετες πιέσεις κάτω από την περίμετρο της δεξαμενής (σημείο Α) λόγω της πίεσης της δεξαμενής : Δσ Δσ 0.50 p 0.50 08 54 kpa Δσ r Δσ r 0.5 p 0.5 08 7 kpa Δσ r 0.5 p 0.5 08 6. kpa

Σύνολο : σ 97.3 + 54 5.3 kpa σ r 58.4 + 7 85.4 kpa σ r 0 + 6. 6. kpa σ r 5.3 + 85.4 5.3 σ + r + + 6. σ 8.35 + 36.7 55.07 kpa r 5.3 + 85.4 5.3 σ 3 r + 6. σ 8.35-36.7 8.63 kpa Γωνία της σ ως προς την οριζόντια : σ r 6. tanθ 0.35 θ 3. μοίρες σ r 55.07 85.4 Γωνία της σ 3 ως προς την οριζόντια : 90 3. 76.9 μοίρες Το ανωτέρω αποτέλεσμα χρησιμοποιεί την επαλληλία της γεωστατικής φόρτισης με την φόρτιση λόγω της δεξαμενής και συνεπώς ισχύει με την παραδοχή γραμμικής συμπεριφοράς του εδάφους. 3

Ε. Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τμήμα Μ-Ω) Ακαδ. έτος 007-08 5 Ιανουαρίου 008 Διάρκεια: :30 ώρες ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ "Β" ΘΕΜΑ : [ Αναλογία στο βαθμό 4 5% 0% ] () Τα μηχανικά χαρακτηριστικά των λεπτόκοκκων εδαφών εξαρτώνται από τα όρια Atterberg (όρια υδαρότητας και πλαστικότητας) και την σχετική υδαρότητα. Τα όρια Atterberg εκφράζουν το ισοδύναμο «μέγεθος των κόκκων» του λεπτοκόκκου υλικού, δηλαδή το εάν πρόκειται για ιλύ ή για άργιλο. Όσο μεγαλύτερος είναι ο δείκτης πλαστικότητας, τόσο περισσότερο «αργιλική» είναι η συμπεριφορά του υλικού. Η σχετική υδαρότητα (LI) δείχνει την κατάσταση του υλικού σε σχέση με τα όρια υδαρότητας (όπου LI) και πλαστικότητας (όπου LI0) και ουσιαστικά είναι «αντίστοιχο» χαρακτηριστικό με την σχετική πυκνότητα των χονδρόκοκκων εδαφών. () Η σχετική πυκνότητα ορίζεται σε χονδρόκοκκα (αμμώδη) εδάφη από τη σχέση : ema e D r ema emin Στην πλέον χαλαρή κατάσταση (e e ma ) η σχετική πυκνότητα είναι μηδέν, ενώ στην πλέον πυκνή κατάσταση (e e min ) η σχετική πυκνότητα είναι ένα. Μικρή σχετική πυκνότητα υποδηλώνει μικρή αντοχή και μεγάλη συμπιεστότητα του αμμώδους εδάφους (χαλαρή δομή) ενώ μεγάλη σχετική πυκνότητα υποδηλώνει μεγάλη αντοχή και μικρή συμπιεστότητα του αμμώδους εδάφους (πυκνή δομή). (3) Για μονοδιάστατη συμπίεση κατά τον άξονα : Δσ Δσ, Δσ y Δσ Δσ h, και y 0. Συνεπώς, από τις σχέσεις ελαστικότητας προκύπτει : ν y [ Δσ y ν ( Δσ + Δσ )] 0 Δσ h Δσ ν [ Δσ ν ( Δσ y + Δσ )] ( Δσ ν Δσ h ) και αντικαθιστώντας το Δσ h από την πρώτη σχέση στη δεύτερη προκύπτει : ( + ν )( ν ) ( ) ( ) D Δσ ν Δ ε Δσ ν ( + ν )( ν ) Το μέτρο μονοδιάστατης συμπίεσης D είναι αρκετά μεγαλύτερο από το Ε. Πράγματι, για λόγο Poisson ν 0.33 D.5 Ε. Η μεγάλη τιμή του D σε σχέση με το Ε οφείλεται στο ότι κατά την μοναξονική θλίψη (οπότε Ε Δσ / ) η πλευρική παραμόρφωση του δοκιμίου είναι ανεμπόδιστη (αφού η πλευρική τάση είναι μηδέν) και έτσι το δοκίμιο «φουσκώνει» πλευρικά. Αντιθέτως, κατά την μονοδιάστατη συμπίεση η πλευρική παραμόρφωση του δοκιμίου είναι μηδέν και συνεπώς παρεμποδίζει την ελεύθερη ανάπτυξη της αξονικής παραμόρφωσης, μειώνοντάς την. Η μικρότερη τιμή του (αξονικά) οδηγεί σε αύξηση του λόγου Δσ /, δηλαδή σε αύξηση της τιμής του D. (4) Λόγω της ταχείας φόρτισης, το νερό των πόρων δεν προλαβαίνει να διαφύγει ώστε να συμπιεσθεί ο εδαφικός σκελετός. Έτσι, αρχικά ο εδαφικός σκελετός δεν συμπιέζεται, με αποτέλεσμα οι ενεργές τάσεις να παραμένουν σταθερές. Συνεπώς, το πρόσθετο εξωτερικό φορτίο (ολική τάση Δσ) θα πρέπει να παραληφθεί από τις πιέσεις πόρων Δu (αφού οι ενεργές τάσεις δεν μεταβάλλονται Δσ 0), οι οποίες και αυξάνουν και μάλιστα κατά μέγεθος ίσο με την πρόσθετη ολική τάση (ορισμός ενεργού τάσης) : Δu Δσ Δσ Δσ. ΘΕΜΑ : [ Αναλογία στο βαθμό 8 0% 80% ] () ρ M / V 5400 / 775.9459 gr / cm 3 ρ.9459 Mg / m 3 w M w / M s (M M s ) / M s (5400 430) / 430 w 0.5 ρ ρ s (+ w) / (+e) e (ρ s / ρ ) (+ w) - (.75 /.9459 ) (+0.5) - e 0.7665 ρ s w S e ρ w S (ρ s / ρ w ) ( w / e ) (.75 /.0 ) (0.5 / 0.7665) S 0.8969 4

() Ειδικό βάρος νερού δεξαμενής : γ W ρ W g.0 0 0 kn/m 3 Πίεση στη βάση της δεξαμενής : p γ w (ύψος) 0 0.8 08 kpa Παραμόρφωση του εδάφους (μονοδιάστατη) : p / D 08 / 0000 0.008.08% Καθίζηση : s () Η 0.008 000 cm s 0.8 cm (3) Δe - () ( + e o ) - 0.008 ( + 0.7665 ) - 0.09 Τελικός δείκτης πόρων : e e o + Δe 0.7665 0.09 e 0.747 Κατά τη συμπίεση, το ποσοστό υγρασίας δεν μεταβάλλεται (μέχρι τον κορεσμό του υλικού). S (ρ s / ρ w ) ( w / e ) (.75 /.0 ) (0.5 / 0.747) S 0.9 Συνεπώς, η άργιλος που αρχικά ήταν μερικώς κορεσμένη (S 0.8969) αφού βρισκόταν πάνω από τη στάθμη του υπογείου ορίζοντα, παραμένει μερικώς κορεσμένη (S0.9) και μετά τη φόρτιση με τη δεξαμενή. Δηλαδή, κατά τη φόρτιση της αργίλου με τη δεξαμενή, συμπιέζονται τα κενά που περιέχουν αέρα ενώ τα κενά που περιέχουν νερό παραμένουν αναλλοίωτα. (4) Ειδικό βάρος του εδάφους : γ ρ g.9459 0 9.459 kn/m 3 Γεωστατική κατακόρυφη ολική (και ενεργός) τάση στο σημείο Μ (βάθος 5m) πριν την κατασκευή της δεξαμενής : σ vo σ vo γ d 9.459 5 97.3 kpa Η ολική τάση ισούται με την ενεργό τάση αφού η άργιλος βρίσκεται πάνω από τη στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα και αμελούνται οι τυχόν αρνητικές πιέσεις πόρων λόγω τριχοειδούς ανύψωσης. Πίεση στη βάση της πλήρους δεξαμενής : p 08 kpa (ερώτημα ). Κατακόρυφη ολική (και ενεργός) τάση στο σημείο Μ μετά την κατασκευή της δεξαμενής : σ v σ v σ vo + p 97.3 + 08 05.3 kpa Επειδή η τάση προστερεοποίησης είναι σ p 50 kpa, κατά την πλήρωση της δεξαμενής η άργιλος μεταπίπτει από την υπερστερεοποιημένη κατάσταση ( σ vo < σ p ) στην κανονικά στερεοποιημένη κατάσταση ( σ v > σ p ). Συνεπώς, η παραμόρφωση της αργίλου προκύπτει ως άθροισμα των δύο συμπιέσεων : Δe - C r log (σ p / σ vo ) - 0.05 log ( 50 / 97.3 ) - 0.05 0.88-0.0047 Δe - C c log (σ v / σ p ) - 0.0 log ( 05.3 / 50 ) - 0.0 0.36-0.036 Συνολικά: Δe Δe + Δe - 0.0047-0.036-0.083 Παραμόρφωση του εδάφους (μονοδιάστατη) : - Δe / (+e o ) 0.083 / ( + 0.7665) 0.004.04% Καθίζηση : s () Η 0.004 000 cm s 0.4 cm Η άμεση καθίζηση με την πλήρωση της δεξαμενής θα είναι πρακτικώς ίση με τη μακροχρόνια αφού η άργιλος ήταν αρχικώς μερικώς κορεσμένη (S 0.8969) ευρισκόμενη πάνω από τη στάθμη του υπογείου ορίζοντα, και παραμένει μερικώς κορεσμένη (S0.9) και μετά τη φόρτιση με τη δεξαμενή. Δηλαδή, κατά τη φόρτιση της αργίλου με τη δεξαμενή, συμπιέζονται τα κενά που περιέχουν αέρα ενώ τα κενά που περιέχουν νερό παραμένουν αναλλοίωτα. Η συμπίεση των κενών με αέρα δεν απαιτεί αποβολή νερού από τους πόρους και συνεπώς γίνεται πρακτικώς άμεσα. (5) (α) Κύκλος Mohr στο σημείο Μ πριν την κατασκευή της δεξαμενής : σ σ vo 97.3 kpa και σ 3 Κ ο σ 0.6 97.3 58.4 kpa (β) Αμέσως μετά την πρώτη πλήρωση της δεξαμενής : Αφού η άργιλος παραμένει μερικώς κορεσμένη και αμελούνται οι αρνητικές πιέσεις πόρων, οι ενεργές τάσεις είναι ίσες με τις ολικές : σ σ v σ vo + p 97.3 + 08 05.3 kpa και : σ 3 Κ ο σ 0.6 05.3 3. kpa (γ) Πολύ χρόνο μετά την κατασκευή και λειτουργία της δεξαμενής : Ως ανωτέρω ερώτημα (β). (6) Η μέγιστη διατμητική τάση αντιστοιχεί στην κορυφή του κύκλου Mohr. Πριν την κατασκευή της δεξαμενής, η μέγιστη διατμητική τάση είναι : τ ma 0.5 (σ 3 ) 0.5 ( 97.3 + 58.4 ) 77.9 kpa και αντιστοιχεί σε επίπεδο που σχηματίζει γωνία 45 μοιρών με το οριζόντιο επίπεδο. (7) Οι αρχικές γεωστατικές τάσεις στο σημείο Α είναι ίσες με τις τάσεις στο σημείο Μ. Συνεπώς : σ ο σ vo 97.3 kpa, σ rο Κ ο σ vo 0.6 97.3 58.4 kpa και σ rο 0 5

Πρόσθετες πιέσεις κάτω από την περίμετρο της δεξαμενής (σημείο Α) λόγω της πίεσης της δεξαμενής : Δσ Δσ 0.50 p 0.50 08 54 kpa Δσ r Δσ r 0.5 p 0.5 08 7 kpa Δσ r 0.5 p 0.5 08 6. kpa Σύνολο : σ 97.3 + 54 5.3 kpa σ r 58.4 + 7 85.4 kpa σ r 0 + 6. 6. kpa r 5.3 + 85.4 5.3 σ + r + + 6. σ 8.35 + 36.7 55.07 kpa r 5.3 + 85.4 5.3 σ 3 r + 6. σ 8.35-36.7 8.63 kpa Γωνία της σ ως προς την οριζόντια : σ r 6. tanθ 0.35 θ 3. μοίρες σ r 55.07 85.4 Γωνία της σ 3 ως προς την οριζόντια : 90 3. 76.9 μοίρες Το ανωτέρω αποτέλεσμα χρησιμοποιεί την επαλληλία της γεωστατικής φόρτισης με την φόρτιση λόγω της δεξαμενής και συνεπώς ισχύει με την παραδοχή γραμμικής συμπεριφοράς του εδάφους. 6