ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού μιας αβεβαιότητας. Το μόνο που χρειάζεται, είναι να ξέρεις να βρίσκεις μια Μερική Παράγωγο, που είναι, νομίζω, μια εύκολη δουλειά. Θεώρημα: Αν το μέτρο ενός μεγέθους q υπολογίζεται με βάση τη συνάρτηση q=f(x,y,,z), όπου τα μεγέθη x,y,,z έ- χουν μετρηθεί και τα Απόλυτα σφάλματά τους είναι δx,δy,,δz αντίστοιχα, τότε το Μέσο (απόλυτο) Σφάλμα δq δίνεται από τη σχέση: δq= q x x q... z z (ΠαρΑ.1) όπου q x είναι η μερική παράγωγος της q ως προς x κ.ο.κ. Για να ισχύει η (ΠαρΑ.1), πρέπει οι μετρήσεις των x,y,,z να περιέχουν τυχαία σφάλματα, δηλαδή τα συστηματικά να είναι αμελητέα ως προς τα δx,δy,,δz. Αυτή η υπόθεση είναι, βέβαια, δύσκολο να ελεγχθεί αν ισχύει. Επιπλέον, το ίδιο θεώρημα λέει ότι το Μέσο Σφάλμα ικανοποιεί την q q x... x q z z (ΠαρΑ.) Παράδειγμα 1 Αν q=x+y και x δx, y δy, τότε: q q =1, =1. Άρα, από την (ΠαρΑ.1) x y δq= 1 x 1 y q x y (ΠαρΑ.3) Σε αυτή την περίπτωση εμείς έχουμε ορίσει το Μέγιστο Σφάλμα: δq max =δx+δy (ΠαρΑ.4) Εύκολα βλέπεις ότι: δq max δq (Πυθαγόρας). Ερώτηση: Ποιο από τα δύο είναι καλύτερο; Απάντηση: Εξαρτάται! 1
Ξέρεις ότι το δq καθορίζει το εύρος της περιοχής που έχει πιθανότητα 68% να βρεθεί η επόμενη μέτρηση. Από σένα εξαρτάται αν θέλεις οι μετρήσεις με πιθανότητα 68% να είναι μέσα σε μεγάλη περιοχή την οποία καθορίζει το (δq max ) ή μέσα σε μικρότερη περιοχή την οποία καθορίζει το δqδq max. Συμπέρασμα: Το Μέσο Σφάλμα δq, που είναι μικρότερο από το Μέγιστο Σφάλμα, σου δίνει μια μικρότερη περιοχή αβεβαιότητας. Αυτό μπορεί να είναι καλύτερο ή όχι, ανάλογα με τη σιγουριά που θέλεις να έχεις. Παρατήρηση: Συνήθως, στα πρώτα εργαστήρια όλοι χρησιμοποιούμε το Μέγιστο Σφάλμα, επειδή οι μερικές παράγωγοι δεν είναι ακόμα γνωστές. Με λίγο περισσότερη εμπιστοσύνη στις γνώσεις μας και στις μερικές παραγώγους, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιούμε το Μέσο Σφάλμα και να είμαστε, έτσι, σε ένα υψηλό επίπεδο. Παράδειγμα 4 L Από τον τύπο του εκκρεμούς g, όπου L δl=(800 1) 10-3 m, έχουμε T δτ=(1,7 0,10) s. T g Μέγιστο σφάλμα: g L T δg max =0,3 m/s. L T Μέσο σφάλμα: g g L L g T T g 4 όπου L T και g =4π L (Τ - g 8 L ), 3 T T T και δl=1 10-3 m, δτ=0,10 s. 4 16 4 T 4 64 L 6 T δg= L T δg=0,30 m/s. Άρα, δg max δg.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Ακρίβεια Επαναληψιμότητα μετρήσεων 1. Θα λέμε ότι Ν μετρήσεις ενός μεγέθους παρουσιάζουν μεγάλη ακρίβεια (accuracy), αν η μέση τιμή των μετρήσεων είναι κοντά στην αληθινή τιμή του μεγέθους. Θα πρέπει τα τυχαία σφάλματα να είναι μικρά, και τα συστηματικά να είναι αμελητέα.. Θα λέμε ότι οι Ν μετρήσεις ενός μεγέθους παρουσιάζουν μεγάλη επαναληψιμότητα (precision), αν όλες είναι κοντά στη μέση τιμή τους, με άλλα λόγια διαφέρουν λίγο η μία από την άλλη (άσχετα ως προς την αληθινή τιμή). Μπορεί να έχουν μικρά, τυχαία σφάλματα. Υπάρχουν, όμως, σοβαρά συστηματικά σφάλματα. Παρατήρηση: Έβαλα το παράρτημα αυτό, για να κάνω μια νύξη. Στην πραγματικότητα είναι δύσκολο να ερμηνεύεις σωστά τα πειραματικά δεδομένα. Μπορεί προς στιγμήν να μοιάζουν σωστά. π.χ.: Ν=1000 μετρήσεις που όλες είναι περίπου ίδιες μεταξύ τους. Αναρωτιέσαι: Μήπως βρήκα, δηλαδή, πόσο είναι το μέγεθος που ερευνώ; Αυτές οι περίπου ίδιες μεταξύ τους μετρήσεις παρουσιάζουν μεγάλη επαναληψιμότητα. Ναι! Μπορεί, όμως, να είναι πολύ μακριά από την πραγματική τιμή του μεγέθους, δηλαδή να παρουσιάζουν μικρή ακρίβεια. Κάποια Συστηματικά Σφάλματα σε εξαπάτησαν. (Προς στιγμήν, ελπίζω!) Παράδειγμα: Στο ευγενές άθλημα της τοξοβολίας ρίχνεις 5 βέλη το ένα δίπλα στο άλλο, στον εξωτερικό κύκλο όμως! Οι μετρήσεις σου παρουσιάζουν μεγάλη επαναληψιμότητα (precision) και μικρή ακρίβεια (accuracy), ως προς το κέντρο του κύκλου. Παραδείγματα στόχων: Στόχος Α Στόχος Β. Στόχος Γ Στόχος Δ Εικόνα ΠαρΒ.1 Στόχοι τοξοβολίας. Στόχος Α: Μικρή ακρίβεια και επαναληψιμότητα. 3
Στόχος Β: Μικρή ακρίβεια και υψηλή επαναληψιμότητα. Στόχος Γ: Καλή ακρίβεια, μικρή επαναληψιμότητα. Στόχος Δ: Μεγάλη ακρίβεια, μεγάλη επαναληψιμότητα. Οι Μετρήσεις του στόχου Β θα μπορούσαν να σε εξαπατήσουν και να νομίζεις ότι πέτυχες το ζητούμενο! 4
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Όργανα άσκησης ΠαρΓ.1 Παχύμετρο ή διαστημόμετρο ΠαρΓ.1.1 Περιγραφή Το παχύμετρο του εργαστηρίου έχει μικρότερη υποδιαίρεση (ακρίβεια) 0,05 mm και μπορεί να μετρήσει διάστημα μέχρι 150 mm. Αποτελείται από δύο τμήματα: στο ένα υπάρχει η κύρια κλίμακα, ενώ στο άλλο η κλίμακα του βερνιέρου. Ο βερνιέρος γλιστρώντας μπορεί να μετακινηθεί πάνω στην κύρια κλίμακα. Αν βιδώσεις την ασφάλεια, μπορείς να εμποδίσεις αυτή τη μετακίνηση. Στην Εικόνα ΠαρΓ.1 φαίνονται τα διάφορα μέρη του. Εικόνα ΠαρΓ.1 Μέρη παχύμετρου. ΠαρΓ.1. Μετρήσεις Με το παχύμετρο μπορείς να μετρήσεις μήκος, εσωτερική διάμετρο σπειρώματος, εσωτερική διάμετρο σωλήνα και βάθος. ΠαρΓ.1..1 Μέτρηση μήκους Τοποθετείς το αντικείμενο μεταξύ των σιαγώνων για μήκος (Εικόνα ΠαρΓ.). Βιδώνεις την ασφάλεια, για να μην έχεις μετακίνηση των σιαγώνων. Διαβάζεις τη μέτρηση στην κύρια κλίμακα με τη βοήθεια του βερνιέρου. Εικόνα ΠαρΓ. Μέτρηση μήκους με παχύμετρο. 5
ΠαρΓ.1.. Μέτρηση εσωτερικής διαμέτρου σπειρώματος Τοποθετείς το σπείρωμα μεταξύ των σιαγώνων για σπείρωμα (Εικόνα ΠαρΓ.3). Βιδώνεις την ασφάλεια, για να μην έχεις μετακίνηση των σιαγώνων. Διαβάζεις τη μέτρηση στην κύρια κλίμακα με τη βοήθεια του βερνιέρου. Εικόνα ΠαρΓ.3 Μέτρηση σπειρώματος με παχύμετρο. ΠαρΓ.1..3 Μέτρηση εσωτερικής διαμέτρου σωλήνα Τοποθετείς τις σιαγώνες για εσωτερική διάμετρο στο εσωτερικό του σωλήνα (Εικόνα ΠαρΓ.4). Βιδώνεις την ασφάλεια, για να μην έχεις μετακίνηση των σιαγώνων. Διαβάζεις τη μέτρηση στην κύρια κλίμακα με τη βοήθεια του βερνιέρου. Εικόνα ΠαρΓ.4 Μέτρηση εσωτερικής διαμέτρου με παχύμετρο. ΠαρΓ.1..4 Μέτρηση βάθους τρύπας Τοποθετείς το στέλεχος του παχύμετρου έτσι, ώστε η άκρη του να ακουμπά στον πάτο της τρύπας και το άκρο του παχύμετρου να ακουμπά στην κορυφή της τρύπας (Εικόνα ΠαρΓ.5). Βιδώνεις την ασφάλεια, για να μην έχεις μετακίνηση των σιαγώνων. Διαβάζεις τη μέτρηση στην κύρια κλίμακα με τη βοήθεια του βερνιέρου. 6
Εικόνα ΠαρΓ.5 Μέτρηση βάθους με παχύμετρο. ΠαρΓ.1.3 Πώς μετρώ με το παχύμετρο Κάθε υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας είναι 1 mm, ενώ κάθε υποδιαίρεση του βερνιέρου είναι 0,05 mm. 1. Το μηδέν του βερνιέρου μού δείχνει πάνω στην κύρια κλίμακα το ακέραιο κομμάτι της μέτρησης σε mm.. Η υποδιαίρεση του βερνιέρου που βρίσκεται στην ίδια ευθεία με κάποια υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας, μού δίνει το δεκαδικό κομμάτι της μέτρησης. (Πολλαπλασιάζω τις υποδιαιρέσεις του βερνιέρου με 0,05 mm, που είναι η κάθε υποδιαίρεση.) 3. Προσθέτω τα δύο κομμάτια, ακέραιο και δεκαδικό. Παράδειγμα: Στην Εικόνα ΠαρΓ.6 το μηδέν του βερνιέρου δείχνει 69 mm (και κάτι ακόμα). Η 3 η υποδιαίρεση του βερνιέρου βρίσκεται στην ίδια ευθεία με υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας. Άρα, το δεκαδικό κομμάτι είναι 3x0,05 mm=0,15 mm. Προσθέτοντας, έχω 69,15 mm. Εικόνα ΠαρΓ.6 Παράδειγμα μέτρησης με παχύμετρο. ΠαρΓ.1.4 Γραφή αποτελέσματος Όπως ξέρουμε, όταν μετράω ένα μέγεθος μία φορά, γράφω το αποτέλεσμα με σφάλμα ως εξής: η μία μέτρηση ± η μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου. Στο παραπάνω παράδειγμα η μέτρηση είναι 69,15 mm. Η μικρότερη υποδιαίρεση του παχύμετρου είναι 0,05 mm. Άρα, θα γράψω το αποτέλεσμα ως εξής: (69,15±0,05) mm Παχύμετρο ή διαστημόμετρο Βίντεο 7
Το βίντεο περιγράφει το διαστημόμετρο και πώς κάνω μετρήσεις με αυτό. Βίντεο ΠαρΓ.1 Διαστημόμετρο. ΠαρΓ. Μικρόμετρο ΠαρΓ..1 Περιγραφή Το μικρόμετρο του εργαστηρίου έχει μικρότερη υποδιαίρεση (ακρίβεια) 0,01 mm και μπορεί να μετρήσει διάστημα μέχρι 5 mm. Αποτελείται από δύο τμήματα: στο ένα υπάρχει η κύρια κλίμακα, ενώ στο άλλο η κλίμακα του τυμπάνου. Το τύμπανο περιστρεφόμενο μπορεί να μετακινηθεί πάνω στην κύρια κλίμακα. Αν στρέψεις την ασφάλεια, μπορείς να εμποδίσεις αυτή τη μετακίνηση. Για να κάνεις σωστή μέτρηση, θα πρέπει να περιστρέφεις το τύμπανο από την καστάνια. Στην εικόνα ΠαρΓ.7 φαίνονται τα διάφορα μέρη του. Εικόνα ΠαρΓ.7 Μέρη μικρόμετρου. ΠαρΓ.. Πώς μετρώ με το μικρόμετρο Κάθε υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας είναι 0,5 mm, ενώ κάθε υποδιαίρεση του τυμπάνου είναι 0,01 mm. 1. Τοποθετώ το αντικείμενο μεταξύ των σιαγώνων και κλίνω τις σιαγόνες περιστρέφοντας την καστάνια. Όταν οι σιαγώνες ακουμπήσουν στο αντικείμενο, θα ακουστεί χαρακτηριστικός ήχος. Τότε παίρνω τη μέτρηση.. Διαβάζω την ένδειξη που φαίνεται στην κύρια κλίμακα.( Μπορεί να είναι ολόκληρα ή μισά χιλιοστά, π.χ. 1 mm ή 1,5 mm.) 3. Διαβάζω την ένδειξη στο τύμπανο, την οποία μου δείχνει η οριζόντια γραμμή της κύριας κλίμακας. (Είναι εκατοστά του mm.) 4. Προσθέτω τις δύο ενδείξεις. Παράδειγμα: Στην Εικόνα ΠαρΓ.8 η ένδειξη στη κύρια κλίμακα είναι 10, άρα, 10 mm. Η ένδειξη στο τύμπανο είναι 46, άρα, 0,46 mm. Προσθέτοντας, έχω 10,46 mm. 8
ΕικόναΠαρΓ.8 Παράδειγμα μέτρησης με μικρόμετρο. ΠαρΓ..3 Γραφή αποτελέσματος Όπως ξέρουμε, όταν μετράω ένα μέγεθος μία φορά, γράφω το αποτέλεσμα με σφάλμα ως εξής: η μία μέτρηση ± η μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου. Στο παραπάνω παράδειγμα η μέτρηση είναι 10,46 mm. Η μικρότερη υποδιαίρεση του μικρομέτρου είναι 0,01 mm. Άρα, θα γράψω το αποτέλεσμα ως εξής: (10,46±0,01) mm. Μικρόμετρο Το βίντεο περιγράφει το μικρόμετρο και πώς κάνω μετρήσεις με αυτό. Βίντεο ΠαρΓ. Μικρόμετρο. Βίντεο ΠαρΓ.3 Ζυγαριά ΠαρΓ.3.1 Περιγραφή Έχει μικρότερη υποδιαίρεση 0,01 g και μπορεί να μετρήσει μέχρι 000 g. Στην Εικόνα ΠαρΓ.9 φαίνονται τα βασικά μέρη της. 9
ΕικόναΠαρΓ.9 Μέρη της ζυγαριάς. ΠαρΓ.3. Πώς ζυγίζω 1. Ελέγχω αν η φυσαλίδα της αεροστάθμης είναι μέσα στον κύκλο, που σημαίνει ότι η ζυγαριά είναι οριζόντια. Διαφορετικά, τη ρυθμίζω βιδώνοντας ή ξεβιδώνοντας τα ποδαράκια της..ανοίγω τη ζυγαριά πατώντας το διακόπτη ON-OFF. 3. Μηδενίζω τη ζυγαριά, πατώντας το κουμπί TARE. 4. Τοποθετώ το αντικείμενο στην πλάκα της ζυγαριάς. 5. Διαβάζω την τιμή και τη μονάδα μέτρησης στην οθόνη. Ζυγαριά Το βίντεο περιγράφει τη ζυγαριά και πώς κάνω μετρήσεις με αυτήν. Βίντεο ΠαρΓ.3 Ζυγαριά. Βίντεο 10