Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)

Transcript

1 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Περιεχόμενα Γενικά περί στατιστικών ελέγχων Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας (F-test, χ -test) Έλεγχος της γενικής υπόθεσης έλεγχος χονδροειδών σφαλμάτων (σάρωση δεδομένων, τ-test) έλεγχος ένταξης δικτύου

3 Στατιστικοί έλεγχοι Για τη μελέτη αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται από συνορθώσεις δικτύων, απαιτείται συχνά η εκτέλεση αυστηρών στατιστικών ελέγχων. Σε αυτές τις περιπτώσεις ελέγχεται, με έναν επιλεγμένο συντελεστή εμπιστοσύνης (1-α)%, η στατιστική ισχύς μιας μηδενικής υπόθεσης Η ο που αφορά είτε ένα μέρος είτε το σύνολο των αποτελεσμάτων από κάποια λύση συνόρθωσης.

4 Στατιστικοί έλεγχοι Για την εκτέλεση στατιστικών ελέγχων σε λύσεις συνόρθωσης δικτύων είναι απαραίτητη η γνώση των συναρτήσεων κατανομής πιθανότητας που ακολουθούν τα αποτελέσματα της λύσης. (*) όλοι οι γνωστοί στατιστικοί έλεγχοι βασίζονται στην παραδοχή ότι τα (άγνωστα) τυχαία σφάλματα των παρατηρήσεων ακολουθούν την κανονική κατανομή! (*) κάτω από την παραπάνω παραδοχή, τα αποτελέσματα της λύσης συνόρθωσης (π.χ. εκτιμήσεις συντεταγμένων, συνορθωμένα σφάλματα, -psteriri μεταβλητότητα αναφοράς, άλλα πιο σύνθετα μεγέθη) θα ακολουθούν γνωστές και σχετικά απλές συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας (Gussin, chi-squred χ, Fisher, Student).

5 Παράδειγμα στατιστικού ελέγχου Ev { ˆ } i η i th παρατήρηση είναι επηρεασμένη μόνο από τυχαία σφάλματα. Ev { ˆ } i η i th παρατήρηση είναι επηρεασμένη από μη-τυχαία σφάλματα.

6 Εφαρμογές που σχετίζονται με την εκτέλεση στατιστικών ελέγχων Σε εφαρμογές δικτύων απαιτείται συχνά ο έλεγχος της ορθότητας διαφόρων υποθέσεων σχετικά με την εξωτερική πληροφορία που χρησιμοποιείται στη συνόρθωση, π.χ. έλεγχος ένταξης δικτύων (έλεγχος γνωστών συντεταγμένων) έλεγχος σταθερότητας σημείων ενός δικτύου με βάση την επεξεργασία διαχρονικών μετρήσεων έλεγχος γεωμετρικών συνθηκών μεταξύ σημείων του δικτύου έλεγχος σημαντικότητας πρόσθετων παραμέτρων έλεγχος κατασκευαστικής ακρίβειας οργάνου

7 Παράδειγμα στατιστικού ελέγχου δx c οι συγκεκριμένες δεσμεύσεις μεταξύ των αγνώστων παραμέτρων ισχύουν. δx c οι συγκεκριμένες δεσμεύσεις μεταξύ των αγνώστων παραμέτρων δεν ισχύουν.

8 Να θυμάστε ότι Τα αποτελέσματα των στατιστικών ελέγχων δεν είναι κατ ανάγκη πάντα...σωστά! Τα αποτελέσματα των στατιστικών ελέγχων δεν συνιστούν απόλυτες απαντήσεις! Τα αποτελέσματα των στατιστικών ελέγχων συνιστούν απλές στατιστικές ενδείξεις με συγκεκριμένο συντελεστή εμπιστοσύνης!

9 Πραγματικότητα Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Απόφαση με βάση το αποτέλεσμα του στατιστικού ελέγχου Η ο δεκτή Η ο απορρίπτεται Η ο σωστή Σωστή απόφαση (1-α)% Σφάλμα τύπου Ι α% Η ο λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β% Σωστή απόφαση (1-β)% Τα επίπεδα σημαντικότητας α και β δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους!

10 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων σφάλμα τύπου ΙΙ (1-α)% α% Ηο δεκτή β% (1-β)% Ηο απορρίπτεται

11 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλέπε Δερμάνης Α. (1986) Συνορθώσεις παρατηρήσεων και θεωρία εκτίμησης (Τόμος 1). Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη (κεφ. 6) Δερμάνης Α. (1987) Συνορθώσεις παρατηρήσεων και θεωρία εκτίμησης (Τόμος ). Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη (κεφ. 14) Δερμάνης Α. & Φωτίου Α. (199) Μέθοδοι και εφαρμογές συνόρθωσης παρατηρήσεων. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη (κεφ., σελ )

12 Βασικά εργαλεία στη στατιστική ανάλυση λύσεων δικτύου - Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας Ελέγχεται η συνολική αξιοπιστία του μοντέλου που χρησιμοποιήθηκε στη συνόρθωση του δικτύου. - Έλεγχος της γενικής υπόθεσης Μπορούν να ελεγχθούν συγκεκριμένες δεσμεύσεις ή υποθέσεις σχετικά με τη λύση συνόρθωσης δικτύου. (π.χ. έλεγχος χονδροειδών σφαλμάτων, έλεγχος πλεοναζουσών δεσμεύσεων, έλεγχος γεωμετρικών συνθηκών, έλεγχος πρόσθετων παραμέτρων, κ.ά)

13 Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας

14 Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας Έλεγχος της μεταβλητότητας αναφοράς (F-test, χ -test) Ελέγχεται η ορθότητα του συνολικού μοντέλου που χρησιμοποιήθηκε για την συνόρθωση του δικτύου. E{ ˆ E{ ˆ } } ˆ vˆ T Pvˆ α-priri γνωστή τιμή

15 Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας Η συνόρθωση ενός δικτύου βασίζεται σε ένα σύνολο επιμέρους μηδενικών υποθέσεων που αποτελούν, από κοινού, τη μηδενική υπόθεση (Η ο ) που ελέγχεται κατά τον ολικό έλεγχο αξιοπιστίας οι αρχικές μη-γραμμικές εξισώσεις του μαθηματικού μοντέλου έχουν επιλεγεί σωστά. οι προσεγγιστικές συντεταγμένες είναι κοντά στις αληθινές τιμές και τα σφάλματα γραμμικοποίησης είναι αμελητέα. οι αναγωγές και διορθώσεις των παρατηρήσεων έχουν γίνει σωστά. τα σφάλματα των παρατηρήσεων έχουν τυχαίο χαρακτήρα. το στοχαστικό μοντέλο που περιγράφει τα τυχαία σφάλματα των μετρήσεων είναι γνωστό, και η επιλογή του πίνακα βάρους γίνεται σύμφωνα με αυτό το μοντέλο.

16 Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας E{ ˆ E{ ˆ } } ˆ vˆ T Pvˆ α-priri γνωστή τιμή Συνήθως η α-priri τιμή της μεταβλητότητας αναφοράς λαμβάνεται ίση με τη μονάδα. 1 αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας βάρους P περιέχει όλη τη διαθέσιμη πληροφορία για την ακρίβεια των μετρήσεων

17 } { ˆ E } { ˆ E v P v ˆ ˆ ˆ T α-priri γνωστή τιμή F ˆ Υπολογισμός της ποσότητας Επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας (π.χ. α =.5) Έλεγχος της δίπλευρης ανισότητας /, / 1, F F F Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας

18 1 F n F, m 1, m n

19 Ολικός έλεγχος αξιοπιστίας ˆ F Pss Fil F /,.5 Fil F 1 /,

20 Εναλλακτική μορφή (χ test) E{ ˆ E{ ˆ } } Υπολογισμός της ποσότητας ˆ ˆ F vˆ T Pvˆ α-priri γνωστή τιμή Επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας (π.χ. α =.5) Έλεγχος της δίπλευρης ανισότητας (1 / ) F ( / )

21

22 F F 1,, 1 F, ) ( / 1, /, 1 F F /, ) / ( F Χρήσιμες σχέσεις

23 Εκτέλεση ολικού ελέγχου E{ ˆ } } E{ ˆ ˆ vˆ T Pvˆ α-priri γνωστή τιμή Αντί του δίπλευρου ελέγχου, μπορεί να εφαρμοστεί και ο (αυστηρότερος) μονόπλευρος έλεγχος της μεταβλητότητας αναφοράς, που γίνεται δεκτός όταν F F, ή F ( ) (*) Στην περίπτωση αυτή, η απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης οφείλεται συνήθως στην ύπαρξη χονδροειδών ή συστηματικών σφαλμάτων στις παρατηρήσεις.

24 Εκτέλεση ολικού ελέγχου E{ ˆ } } E{ ˆ ˆ vˆ T Pvˆ α-priri γνωστή τιμή Αντί του δίπλευρου ελέγχου, μπορεί να εφαρμοστεί και ο (αυστηρότερος) μονόπλευρος έλεγχος της μεταβλητότητας αναφοράς, που γίνεται δεκτός όταν F 1, F ή (1 ) F (*) Στην περίπτωση αυτή, η απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης οφείλεται συνήθως στη μη-σωστή επιλογή του πίνακα βάρους των παρατηρήσεων.

25 Έλεγχος ακρίβειας οργάνου Αν όλες οι παρατηρήσεις στο δίκτυο είναι του ίδιου τύπου και έχουν εκτελεστεί με το ίδιο όργανο, τότε ο ολικός έλεγχος αποτελεί και ένα χρήσιμο εργαλείο για το στατιστικό έλεγχο της κατασκευαστικής ακρίβειας του συγκεκριμένου οργάνου. Σε δίκτυα με ετερογενείς παρατηρήσεις έλεγχος συνιστωσών μεταβλητότητας αναφοράς. E{ ˆ } ˆ vˆ T Pvˆ E{ ˆ } Σχετίζεται με την κατασκευαστική ακρίβεια του οργάνου

26 Παράδειγμα Η ακρίβεια των παρατηρήσεων υψομετρικών διαφορών σε ένα χωροσταθμικό δίκτυο λαμβάνεται συνήθως ως εξής ( ) ik L ik όπου ακρίβεια μέτρησης του χωροβάτη σε διπλή χωροσταθμική όδευση μήκους 1km. Lik μήκος χωροσταθμικής όδευσης σε km.

27 Παράδειγμα Σχηματισμός του πίνακα βάρους (επιλογή 1) P 1/ L ik Σε αυτή την περίπτωση ο ολικός έλεγχος πρέπει να εκτελεστεί χρησιμοποιώντας ως -priri μεταβλητότητα αναφοράς τη γνωστή κατασκευαστική ακρίβεια του χωροβάτη ανά km χωροσταθμικής όδευσης, π.χ. σ 4 mm / km

28 Παράδειγμα Σχηματισμός του πίνακα βάρους (επιλογή 1) P 1/ L ik Σε αυτή την περίπτωση η εκτίμηση της κατασκευαστικής ακρίβειας του οργάνου θα είναι ίση με ˆσ

29 Παράδειγμα Σχηματισμός του πίνακα βάρους (επιλογή ) P 1/( σ L ik ) Σε αυτή την περίπτωση ο ολικός έλεγχος μπορεί να εκτελεστεί χρησιμοποιώντας ως -priri μεταβλητότητα αναφοράς την τιμή 1. Η τελική εκτίμηση της κατασκευαστικής ακρίβειας του οργάνου θα είναι ίση με σˆ σ

30 Έλεγχος της γενικής υπόθεσης

31 Έλεγχος της γενικής υπόθεσης Με βάση τα αποτελέσματα της συνόρθωσης ελέγχεται αν κάποια μεγέθη του δικτύου (π.χ. οι συντ/νες ορισμένων σημείων) έχουν ταυτόχρονα κάποιες δεδομένες αριθμητικές τιμές ή ικανοποιούν κάποιες συγκεκριμένες συνθήκες. Χρησιμοποιείται σε πλήθος εφαρμογών δικτύων (π.χ. έλεγχοι ένταξης, έλεγχοι γεωμετρικών συνθηκών, έλεγχοι συστηματικών επιδράσεων στις μετρήσεις, κ.ά.). δx δx z z Γραμμικοποίηση q h( x) δx Οι σχέσεις αυτές αντιστοιχούν σε αυστηρά ουσιαστικές δεσμεύσεις και δεν πρέπει να συγχέονται με τις αρχικές ελάχιστες δεσμεύσεις για τον ορισμό του ΣΑ στο δίκτυο! z

32 Έλεγχος της γενικής υπόθεσης δx δx z z b Aδx v Συνόρθωση χωρίς τις ελεγχόμενες δεσμεύσεις Συνόρθωση με τις ελεγχόμενες δεσμεύσεις ˆσ σ ˆ( ) Υπολογίζεται η ποσότητα F ( k) σ ˆ( kσˆ ) σˆ Επιλέγεται το επίπεδο σημαντικότητας α Ελέγχεται η ανισότητα F F, k k είναι ο αριθμός των ελεγχόμενων δεσμεύσεων

33 Εναλλακτική μορφή του ελέγχου δx δx z z b Aδx v Συνόρθωση χωρίς τις ελεγχόμενες δεσμεύσεις δxˆ C δx ˆ eˆ δxˆ z της μηδενικής υπόθεσης Η ο Υπολογίζονται τα σφάλματα κλεισίματος Υπολογίζεται ο πίνακας S C δxˆ T Επιλέγεται το επίπεδο σημαντικότητας α Ελέγχεται η ανισότητα ˆ T 1 e S eˆ k F k, k είναι ο αριθμός των ελεγχόμενων δεσμεύσεων

34 Παράδειγμα Έλεγχος σημαντικότητας των παραμέτρων περιγραφής διαφόρων συστηματικών επιδράσεων σε μετρήσεις γεωδαιτικών και τοπογραφικών δικτύων. b Aδx Zψ v Συνόρθωση του διευρυμένου μοντέλου ψ δxˆ ˆψ C δx ˆ C ˆψ ψ ψˆ T 1 C ψˆ k ψ ˆ F k, k είναι ο αριθμός των πρόσθετων παραμέτρων ψ

35 Παράδειγμα Έλεγχος ένταξης δικτύων (στατιστικός έλεγχος γνωστών συντεταγμένων) δx b A A A v δx δx3 δx z δx z T 1 δxˆ ˆ ( δxˆ z ) ( C ) ( δx z ) F k k, Σημεία που συμμετέχουν στις ελάχιστες δεσμεύσεις για τον ορισμό του ΣΑ του δικτύου

36 Παράδειγμα Εποπτικός έλεγχος γνωστών συντεταγμένων Θέση σημείου όπως προκύπτει από τη λύση ελαχίστων δεσμεύσεων Έλλειψη εμπιστοσύνης (1-α)% από τη συνόρθωση με ελάχιστες δεσμεύσεις Θέση σημείου όπως προκύπτει από τη λύση πλεοναζουσών δεσμεύσεων Αποδοχή Απόρριψη

37 Σάρωση δεδομένων (dt snping)

38 Σάρωση δεδομένων Ελέγχεται η ύπαρξη χονδροειδών σφαλμάτων στις παρατηρήσεις του δικτύου (dt snping, τ-test). Είναι ειδική περίπτωση του ελέγχου της γενικής υπόθεσης Eξετάζεται η αναγκαιότητα διεύρυνσης του μαθηματικού μοντέλου λόγω της ύπαρξης μη-τυχαίας επίδρασης σε κάποια συγκεκριμένη παρατήρηση. ψ ψ b Aδx v b Aδx e i v ψ χονδροειδές σφάλμα στην i th παρατήρηση e i 1

39 Σάρωση δεδομένων ψ ψ b Aδx v βάρους P που χρησιμοποιήθηκε στη συνόρθωση είναι διαγώνιος * Θεωρείται ότι ο πίνακας b Aδx e i v Για κάθε παρατήρηση, εκτελούμε την εξής διαδικασία (με βάση τη λύση συνόρθωσης δικτύου με ελάχιστες δεσμεύσεις!) Υπολογισμός της ποσότητας Εσωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα r i vˆ i ˆ v i vˆ C ˆσ vˆ Q v ˆ Υπολογισμός της ποσότητας Εξωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα t i r i 1 r i

40 Σάρωση δεδομένων ψ ψ b Aδx v b Aδx e i v * Θεωρείται ότι ο πίνακας βάρους P που χρησιμοποιήθηκε στη συνόρθωση είναι διαγώνιος Για κάθε παρατήρηση, εκτελούμε την εξής διαδικασία (με βάση τη λύση συνόρθωσης δικτύου με ελάχιστες δεσμεύσεις!) Επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας α (συνήθως λαμβάνεται ίσο με.1) Η υπόθεση Η ο γίνεται αποδεκτή όταν / t i t 1

41 Σάρωση δεδομένων ψ b Aδx v ψ b Aδx e i v Η προηγούμενη διαδικασία εφαρμόζεται για κάθε παρατήρηση που συμμετέχει στη συνόρθωση του δικτύου. Αν η Η ο απορρίπτεται για περισσότερες από μία παρατηρήσεις, τότε αφαιρούμε την παρατήρηση με το μεγαλύτερο t i και συνορθώνουμε πάλι το δίκτυο ώσπου η σάρωση δεδομένων να μην εμφανίζει προβληματικές παρατηρήσεις. Η σάρωση δεδομένων πρέπει να εφαρμόζεται πάντα κατά τη συνόρθωση ενός δικτύου (ακόμα και στην περίπτωση όπου ο αρχικός ολικός έλεγχος αξιοπιστίας είναι επιτυχής).

42 Μερικές πρακτικές συμβουλές Ο καλύτερος τρόπος για να εξασφαλίσουμε μια αξιόπιστη λύση δικτύου είναι να είμαστε πολύ προσεκτικοί στην εκτέλεση, την καταγραφή και στην (προ- & μετ-) επεξεργασία των μετρήσεων! Να θυμάστε ότι η εφαρμογή στατιστικών ελέγχων μπορεί να κάνει αποδεκτή μια λύση δικτύου που είναι εξόφθαλμα λανθασμένη! - αυτό είναι δυνατό να συμβεί σε δίκτυα με πολλές προβληματικές μετρήσεις & λίγους βαθμούς ελευθερίας. - η εμπειρία του χρήστη παίζει πάντα μεγάλο ρόλο για την τελική αξιολόγηση της αξιοπιστίας μιας λύσης δικτύου.

43 Για πρακτικά αριθμητικά παραδείγματα σχετικά με την ανάλυση αξιοπιστίας λύσεων συνόρθωσης τοπογραφικών δικτύων, βλέπε τη σχετική παρουσίαση στην ιστοσελίδα του μαθήματος