ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη12)

Transcript

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη) Για διακριτή τυχαία μεταβλητή ισχύει μία συνάρτηση πιθανότητας ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: (α) ( ) 0, για κάθε i,, i (β) ( i ) i S Παράδειγμα Ο αριθμός των αυτοκινήτων που πουλάει μία έκθεση σε μία εβδομάδα είναι τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο: c,,,,4, 5 και c(0 ), 6,7,8,9 (α) Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c (β) Ποια είναι η πιθανότητα να πουληθούν σε μία εβδομάδα (i) λιγότερα από 4 αυτοκίνητα; (ii) περισσότερα από 5 αυτοκίνητα γνωρίζοντας ότι έχουν πουληθεί τουλάχιστον ; 9 Λύση (α) Θα ισχύει ότι ή ισοδύναμα c c (β) Για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων έχουμε: 6 (i) P ( 4) ( ) 0 5, ) 5) (6) (7) (8) (9) 5 (ii) P ( 5 ) ) ) () () 46

2 Για συνεχή τυχαία μεταβλητή ισχύει Μία συνάρτηση πυκνότητας χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες δύο ιδιότητες (α) 0, (β) ( t) dt Παράδειγμα Το σφάλμα που γίνεται κατά τη μέτρηση με τη χρήση ενός συγκεκριμένου οργάνου είναι μία συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας c(4 ), και 0, διαφορετικά, όπου c είναι μία πραγματική σταθερά (α) Να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς c (β) Να υπολογιστεί η συνάρτηση κατανομής σφάλμα μιας μέτρησης να είναι κατά απόλυτη τιμή μικρότερο του Λύση (α) Θα πρέπει 0 c και ) d F της τυχαίας μεταβλητής (γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα το ( c(4 ) d c c (β) Η συνάρτηση κατανομής της δίνεται από τον τύπο F( ) 0, ( t) dt (4 t, ) dt, t 6 Είναι (4 t ) dt t Άρα, 0, 6 F,, (γ) P ( ) ) F() F( ) 6875% 6 47

3 Παραδείγματα κατανομών διακριτών τυχαίων μεταβλητών (α) Διωνυμική τυχαία μεταβλητή Παράδειγμα Πόσα παιδιά πρέπει να αποκτήσει μία οικογένεια ώστε να έχει με πιθανότητα μεγαλύτερη ή ίση του 09 τουλάχιστον ένα αγόρι και τουλάχιστον ένα κορίτσι; Υποθέτουμε ότι σε κάθε γέννηση είναι εξίσου πιθανό να γεννηθεί αγόρι ή κορίτσι Λύση Έστω ο ζητούμενος αριθμός παιδιών που πρέπει να αποκτήσει η οικογένεια Έστω η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά τον αριθμό των αγοριών που έχει αποκτήσει η οικογένεια στο σύνολο των παιδιών και Y η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά τον αριθμό των κοριτσιών που έχει αποκτήσει η οικογένεια στο σύνολο των παιδιών Ισχύει ότι ~ Bi, και Y ~ Bi, Επιπλέον Y Είναι, Y ), ) ) 0) ) 0 l 0 Πρέπει 09 4 l Επομένως, η οικογένεια θα πρέπει να έχει τουλάχιστον πέντε παιδιά (β) Τυχαία μεταβλητή Poisso Παράδειγμα 4 Μία πόλη έχει χίλια σπίτια Κατά τη διάρκεια ενός χρόνου η πιθανότητα να παραβιαστεί οποιοδήποτε από αυτά είναι 000 Να υπολογιστεί η πιθανότητα κατά τη διάρκεια ενός έτους να γίνουν τουλάχιστον δύο διαρρήξεις Λύση Έστω η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά τον αριθμό των διαρρήξεων κατά τη διάρκεια ενός έτους Ισχύει ότι ~ B(000, 000) Σύμφωνα με το Θεώρημα, έχουμε P ( ) ) 0) ) e e e 48

4 Παραδείγματα συνεχών τυχαίων μεταβλητών (α) Ομοιόμορφη συνεχής τυχαία μεταβλητή Παράδειγμα 5 Έστω ότι η ώρα άφιξης ενός τρένου σε ένα σταθμό είναι μία ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή με παραμέτρους τις πρωινές ώρες 8:45 και 9:5, δηλαδή ~ U(8: 45, 9 :5) Αν φτάσετε στο σταθμό ακριβώς στις 9:00, ποια είναι η πιθανότητα (α) να χάσετε το τρένο; (β) να περιμένετε ακριβώς πέντε λεπτά; (γ) να περιμένετε το πολύ πέντε λεπτά; (δ) να περιμένετε τουλάχιστον πέντε λεπτά; 9 8 : 45 Λύση (α) P ( 9 : 00) 9 : 00) F (9) 05 9 :5 8 : 45 (β) P ( 9 : 05) 0 (γ) P ( 9 : 00 9 : 05) F (9 : 05) F (9 : 00) 6 (δ) P ( 9 : 05) 9 : 05) F (9 : 05) β) Εκθετική τυχαία μεταβλητή Λέμε ότι η είναι μία εκθετική τυχαία μεταβλητή με παράμετρο 0 αν η συνάρτηση πυκνότητας της e, 0 δίνεται από τον τύπο 0, 0 Η είναι πράγματι μία συνάρτηση πυκνότητας διότι d 0 e d ( e )' d Η συνάρτηση κατανομής F της δίνεται από τον τύπο 0 e, 0 F ( t) dt Επιπλέον, e, 0 0, 0 Παράδειγμα 6 Έστω ότι η διάρκεια μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης ακολουθεί την Εκθετική κατανομή με παράμετρο (α) Αν κάποιος φτάσει σε ένα τηλεφωνικό θάλαμο ακριβώς πριν απο εμάς, ποια είναι η 5 πιθανότητα να χρειαστεί να περιμένουμε περισσότερο από 5 λεπτά; (β) Αν τη στιγμή που φτάνουμε στον τηλεφωνικό θάλαμο, το άτομο που είναι μέσα, μιλάει ήδη για 5 λεπτά, ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να περιμένουμε περισσότερο από 5 λεπτά; 5 Λύση Η συνάρτηση κατανομής της δίνεται από τον τύπο F ( t) 0, t 0 και F( t) e, t 0 t (α) Έχουμε P ( 5) 5) F(5) ( e ) e 68% (β) Με χρήση της ιδιότητας της έλλειψης μνήμης της Εκθετικής κατανομής, έχουμε: P ( 5 5 5) 5) F(5) e 68% 49

5 (ε) Κανονική τυχαία μεταβλητή Παράδειγμα 7 Η εσωτερική διάμετρος (σε ίντσες) των σωλήνων από χαλκό που παράγει ένα εργοστάσιο ακολουθεί την κανονική κατανομή N (0, ) Σωλήνες με εσωτερική διάμετρο εκτός των ορίων 0 0 ίντσες ανακυκλώνονται (α) Αν 0 να βρεθεί η πιθανότητα να ανακυκλωθούν ακριβώς τρεις σωλήνες σε ένα δείγμα πέντε σωλήνων που επιλέγεται τυχαία από την παραγωγή του εργοστασίου (β) Πόση θα πρέπει να γίνει η παράμετρος έτσι ώστε η πιθανότητα ανακύκλωσης ενός σωλήνα να είναι 006; Λύση Έστω η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά την εσωτερική διάμετρο των σωλήνων Τότε ~ N(0, ) Η πιθανότητα ανακύκλωσης των σωλήνων είναι p 0 ή 99) 99 0) P (α) Η πιθανότητα ανακύκλωσης είναι () [ 084] 074 p Έστω Y η τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά τον αριθμό των σωλήνων από το δείγμα των πέντε σωλήνων που ανακυκλώνονται Ισχύει ότι 5 Y ~ Bi ( 5, p 074) Τότε P ( Y ) (074) ( 074) 049 (β) Θα πρέπει p Άρα,