ΕΝΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΛΛΟΓΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΥΡΗΝΕΣ

ΕΝΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΛΛΟΓΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΥΡΗΝΕΣ Πολλά πυρηνικά φαινόµενα δεν µπορούν να εξηγηθούν µε το µοντέλο της υγρής σταγόνας, ούτε το µοντέλο των ανεξαρτήτων σωµατίων. Η εξήγησή τους απαιτεί την συλλογική κίνηση ενός πλήθους νουκλεονίων των οποίων η ανεξάρτητη κίνηση εντοπίζεται σε ένα παραµορφωµένο δυναµικό. Ενδείξεις για συλλογικά φαινόµενα σε πυρήνες προέρχονται από διάφορες ιδιότητες, όπως Οι µεγάλες τιµές του λόγου B(E2) /B(E2) sp για την διέγερση της πρώτης καταστάσης µε J π = 2 + σε άρτιους-άρτιους πυρήνες, µεταξύ κλειστών φλοιών. ΣΧΗΜΑ 1. Λόγος των ανηγµένων ρυθµών µετάπτωσης B(E2)/Β(Ε2) sp απο την βασική 0 + στην πρώτη διεγερµένη στάθµη 2 + αρτίων-αρτίων πυρήνων συναρτήσει του µαζικού αριθµού Α. Οι εµπειρικές τιµές του Β(Ε2) προέρχονται απο τους πίνακες των Stelson και Grodzins [Ste65]. Οι τιµές Β(Ε2) sp αναφέρονται στην εκτίµηση για µετάπτωση απλού πρωτονίου απο την κατάσταση µε =0 στην =2 [Boh75]. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 1

Η πειραµατική τετραπολική ροπή πυρήνων µεταξύ κλειστών φλοιών είναι αρκετές τάξεις µεγέθους µεγαλύτερη από τις Q sn και Q sp. Στην γραφική παράσταση του εποµένου Σχήµατος, οι συνεχείς καµπύλες περιγράφουν την συστηµατική συµπεριφορά των πειραµατικών µετρήσεων της τετραπολικής ροπής πυρήνων ως συνάρτηση του Ζ ή Ν. ΣΧΗΜΑ 2. Ηλεκτρική τετραπολική ροπή πυρήνων ως συνάρτηση του Ζ ή Ν. Στην επόµενη ενότητα θα εξετάσουµε την περιγραφή του παραµορφωµένου σχήµατος ενός πυρήνα και πως η παραδοχή µόνιµης παραµόφωσης εξηγεί τις µεγάλες τιµές της ηλεκτρικής τετραπολικής ροπής µεταξύ κλειστών φλοιών. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 2

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟΥ ΠΥΡΗΝΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ Η πυκνότητα ενός σφαιρικού πυρήνα περιγράφεται µε την σχέση ρ 0 ρ(r) = 1+ exp r R 0 a (1) και χαρακτηρίζεται µε την εξίσωση επιφάνειας r = R 0, όπου R 0 = r 0 A 1/ 3. Σε ένα παραµορφωµένο πυρήνα, η πυκνότητα θα περιγράφεται µε µία σχέση της µορφής ( ) = ρ r,θ,ϕ ρ 0 1+ exp r R 0 a και η εξίσωση επιφάνειας είναι r = R( θ,ϕ). Η R( θ,ϕ) µπορεί να εκφραστεί υπο µορφή σειράς συναρτήσει των σφαιρικών αρµονικών, οι οποίες αποτελούν ένα πλήρες ορθοκανονικό σύστηµα συναρτήσεων ( ) = a m,m R θ,ϕ Y m θ,ϕ (2) ( ) (3) Οι συντελεστές του αναπτύγµατος προσδιορίζονται από την συνθήκη ορθοκανονικότητας των Y m : * Y m ( θ,ϕ)y m ( θ,ϕ)dω = δ, δ m, m Είναι a m = R(θ,ϕ)Y * m (θ,ϕ)dω Θεωρούµε τετραπολικές ( = 2) παραµορφώσεις. Το ανάπτυγµα (1) γίνεται R(θ,ϕ) = R 0 1+ 2 m= 2 a 2m Y 2m (θ,ϕ) (4) Η Εξ. (2) περιγράφει την επιφάνεια σφαιροειδούς, το οποίο δεν έχει απαραίτητα συµµετρία περιστροφής ως προς τον άξονα z. Αποδεικνύεται ότι a 21 = a 2 1 = 0, και a 22 = a 2 2 Αρα, οι 5 παράµετροι a 2m δεν είναι ανεξάρτητοι, αλλά ανάγονται σε 2, την a 20 και την a 22. Εποµένως, αρκούν 2 παράµετροι για τον καθορισµό του σχήµατος. Η σχέση (4) ανάγεται στην ( ) = R 0 1+ a 20 Y 20 + a 22 ( Y 22 + Y 2 2 ) R θ,ϕ [ ] (5) Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 3

ΟΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ BOHR Αντί για τις a 20 και a 2 2, ο A. Bohr εισήγαγε δύο (ισοδύναµες) παραµέτρους β και γ που ορίζονται µε τις σχέσεις a 20 = β cosγ a 22 = a 2 2 = 1 2 β sinγ 2 2 2 2 Ισχύει ότι a 2m = a 20 + 2 a 22 = β 2 m= 2 Οι σφαιρικές αρµονικές Y 2m δίδονται από τις σχέσεις Y 20 ( θ,ϕ) = 5 4π 1 2 3cos2 θ 1 ( ) Y 2,±1 ( θ,ϕ) = 15 cosθ sinθ e±iϕ 8π Y 2,±2 ( θ,ϕ) = 15 32π sin2 θ e ±i2ϕ Με αντικατάσταση των Y 2m και a 20, a 22 στην Εξ. (5), βρίσκουµε ότι η R( θ,ϕ) παίρνει την µορφή ( ) = R 0 1+ β R θ,ϕ [ ( ) + 3γ sin 2 θ cos2ϕ] 5 16π cosγ 3cos2 θ 1 (6) Οι παράµετροι Bohr β και γ έχουν µία περισσότερο άµεση γεωµετρική ερµηνεία απ' ότι οι παράµετροι a 20 και a 22. Η παράµετρος β εκφράζει ένα µέτρο της διόγκωσης ή συµπίεσης του σχήµατος ως προς τον άξονα z. Η παράµετρος γ παριστάνει τον βαθµό ασυµµετρίας των αξόνων του παραµορφωµένου σχήµατος. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 4

Παράδειγµα Στην ειδική περίπτωση, όπου γ=0, η Εξ. (6) γράφεται R(θ,ϕ) = R 0 1+ β 5 4π 1 ( 2 3cos2 θ 1) (7) ή R(θ,ϕ) = R 0 { 1+ βy 20 (cosθ)} ( 7 ) Παρατηρήσατε ότι η Εξ. (7) δεν έχει εξάρτηση από την γωνιακή µεταβλητή φ, οπότε περιγράφει σχήµα που παρουσιάζει συµµετρία περιστροφής ως προς τον άξονα z. Εάν a, b και c=b είναι τα µήκη των ηµιαξόνων του σφαιροειδούς ως προς τους άξονες x, y και z (βλέπε σχήµα), τότε a = R(0,0) = R 0 1+ 5 4π β b = R( π 2,0) = R 1 5 0 4π β c = R( π 2,π 2 ) = R 1 5 0 4π β Παρατηρήσατε ότι εάν β=0, τότε a=b=c, δηλαδή, προκύπτει σφαιρικό σχήµα. Εάν β>0, τότε a>b=c και το σχήµα είναι διογκωµένο ως προς τον άξονα z. Εάν β<0, τότε a<b=c και το σχήµα είναι συµπιεσµένο ως προς τον άξονα z. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 5

ΟΙ ΤΕΤΡΑΠΟΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΠΥΡΗΝΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΦΛΟΙΩΝ Οι µεγάλες τιµές της τετραπολικής ροπής Q πυρήνων µεταξύ κλειστών φλοιών µπορεί να εξηγηθούν µε την παραδοχή µίας µόνιµης παραµόρφωσης. Εχουµε δείξει (άσκηση) ότι η κλασική τετραπολική ροπή ενός οµογενώς φορτισµένου µε φορτίο Ze ελλειψοειδούς εκ περιστροφής µε µεγάλο ηµιάξονα a και µικρό b, ως προς τον έξονα z, δίδεται από την σχέση Q = 2 5 Ze ( a2 b 2 ) Για µικρές παραµορφώσεις, µπορούµε να ταυτίσουµε το ελλειψοειδές µε ένα σφαιροειδές. Τότε a + b = 2R 0 και a b = 2R 0 5 4π β Αρα, Q 0 = 2 5 Ze( a + b) ( a b) = 4 5π ZeR 2 0β (Παρατηρήσατε, και πάλι, ότι για β=0 έχουµε Q 0 =0, για β>0 το Q 0 >0 και για β<0 το Q 0 <0.) Η τετραπολική ροπή ενός πυρήνα µε spin J ορίζεται από την σχέση και Αποδεικνύεται ότι Εποµένως, Q = J, M = J Q 0 J,M = J Q = J 2J 1 J +1 2J + 3 Q 0 Q = J 2J 1 J +1 2J + 3 Q coll ZeR 0 2 = J 2J 1 J +1 2J + 3 4 5π ZeR 2 0β 4 5π β Εάν το spin του πυρήνα οφείλεται σε ασύζευκτο πρωτόνιο, το µοντέλο των ανεξαρτήτων σωµατίων προβλέπει Q sp ZeR = 3 2J 1 2 0 10Z J +1 Αρα, Q coll Q sp = 10Z 3 J 2J + 3 4 5π β = 3.36 J 2J + 3 Zβ Για παράδειγµα, εάν υποθέσουµε β=0.2 για το 165 67 Ho 98, όπου J = 7, βρίσκουµε ότι 2 Q coll Q sp 16, δηλαδή, η τετραπολική ροπή που βασίζεται στην παραδοχή παραµορφωµένου πυρηνικού σχήµατος είναι περίπου 16 φορές µεγαλύτερη από εκείνη που προβλέπει το µοντέλο των ανεξαρτήτων σωµατίων για σφαιρικά συµµετρικό πυρηνικό δυναµικό. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 6

ΣΥΛΛΟΓΙΚΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΦΑΣΜΑΤΑ Όπως είδαµε, η παραδοχή µόνιµης παραµόρφωσης εξηγεί την µεγάλη τιµή της ηλεκτρικής τετραπολικής ροπής πυρήνων µεταξύ κλειστών φλοιών. Θα εξετάσουµε τώρα άλλες συνέπειες της παραµόρφωσης, όπως είναι το ενεργειακό φάσµα περιστροφής ή δόνησης ενός παραµορφωµένου πυρήνα. Ενεργειακά φάσµατα δόνησης και περιστροφής παρουσιάζονται σε άρτιους-άρτιους (α-α) πυρήνες, όπου δεν υπάρχει ασύζευκτο νουκλεόνιο. Χωρίς εξαίρεση, οι βασικές στάθµες όλων των α-α πυρήνων έχουν J π = 0 +. Οι πρώτες διεγερµένες στάθµες, µε µερικές εξαιρέσεις, έχουν J π = 2 +. Το Σχήµα 1 δείχνει τις ενέργειες διέγερσης των καταστάσεων 2 + σε α-α πυρήνες συναρτήσει του Α. Σχήµα 1 Ενέργειες διέγερσης των καταστάσεων σε α-α πυρήνες συναρτήσει του µαζικού αριθµού Α. Τα ανοικτά σύµβολα αντιστοιχούν σε πυρήνες µε µαγικό Ν ή Ζ. Σε περιοχές µεταξύ κλειστών φλοιών, όπου οι ηλεκτρικές τετραπολικές ροπές είναι µεγάλες, οι ενέργειες των καταστάσεων 2 + είναι πολύ χαµηλές και µεταβάλλονται οµαλά µε το Ν ή Ζ. Λαµβάνοντας υπόψιν την πολυπλοκότητα των καταστάσεων απλού σωµατίου, φαίνεται απίθανο να σχετίζονται οι καταστάσεις 2 + µε τέτοιες κινήσεις. Φαίνεται περισσότερο πιθανό να προέρχονται απο συλλογική συµπεριφορά. Επιπλέον, εάν παρατηρήσουµε τις διεγερµένες ενεργειακές στάθµες των α-α πυρήνων µεταξύ κλειστών φλοιών βλέπουµε µία χαρακτηριστική συµπεριφορά. Ενα τέτοιο παράδειγµα, απο την περιοχή των σπανίων γαιών (Α~160), φαίνεται στο Σχήµα 2 που δείχνει το ενεργειακό φάσµα του πυρήνα 180 72 Hf 108. Οι αποστάσεις των ενεργειακών σταθµών φαίνονται να είναι ανάλογες του I 2. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 7

Σχήµα 2. Πειραµατικές και προβλεπόµενες ενεργειακές στάθµες του πυρήνα 180 72 Hf 108. Το ενεργειακό φάσµα ενός κβαντικού περιστροφέα είναι E I = 2 2I I( I +1) όπου I είναι η ροπή αδρανείας του σώµατος ως προς τον άξονα περιστροφής. Η τιµή του 2 2I µπορεί να προσδιοριστεί απο την ενέργεια της στάθµης 2 + που είναι 93keV. Εχουµε 2 2I = 93keV 2 2 +1 ( ) =15.5keV Με την τιµή αυτή, µπορούµε να προβλέψουµε τις ενέργειες των ανωτέρων σταθµών: Στάθµη 2 + : Στάθµη 6 + : Στάθµη 8 + : E 4 =15.5 20 kev = 310keV E 6 =15.5 42keV = 651keV E 8 =15.2 72keV =1116 kev Βλέπουµε µία πολύ καλή συµφωνία µε τις πειραµατικές τιµές. Η παραπάνω οµάδα ενεργειακών καταστάσεων, λέµε ότι ανήκει σε µία ενεργειακή ζώνη. Ενας πυρήνας που παρουσιάζει συλλογική συµπεριφορά, µπορεί να έχει περισσότερες απο µία ενεργειακές ζώνες, οι οποίες µπορεί να θεωρηθούν ότι βασίζονται σε καταστάσεις διαφορετικής εσωτερικής δοµής. Η περιστροφή κάθε τέτοιας διαµόρφωσης δηµιουργεί και απο µία τέτοια πλευρική ενεργειακή ζώνη µε παρόµοια εξάρτηση απο την στροφορµή. Ενα τέτοιο παράδειγµα δίδεται στο Σχήµα 3, για τον πυρήνα 168 Hf. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 8

Σχήµα 3. Ενεργειακό φάσµα του πυρήνα 168 Hf. Εκτός απο την ενεργειακή ζώνη της βασικής στάθµης, διακρίνονται τρείς πλευρικές ενεργειακές ζώνες που βασίζονται σε καταστάσεις µε διαφορετική εσωτερική δοµή. Οι ενεργειακές στάθµες πυρήνων κοντά σε κλειστούς φλοιούς παρουσιάζουν διαφορετική µορφή. Η ενέργεια της πρώτης διεγερµένης στάθµης µε J π = 2 + είναι υψηλώτερη απ ότι προβλέπεται για ένα περιστροφέα. Η δεύτερη διεγερµένη στάθµη παρουσιάζεται σε ενέργεια περίπου διπλάσια απο την πρώτη 2 +, και έχει J π = 0 +,2 + ή 4 +. Τυπικό παράδειγµα είναι το ενεργειακό διάγραµµα του πυρήνα 106 Pd (βλέπε Σχήµα 4) που παρουσιάζει τρείς τέτοιες καταστάσεις κοντά η µία στην άλλη. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 9

Σχήµα 4. Ενεργειακό φάσµα δόνησης του πυρήνα 106 Pd. Και πάλι, πρόκειται για φαινόµενο απλούστερο απ ότι θα περίµενε κανείς απο συµπεριφορά απλού σωµατίου και µπορεί να αποδωθεί σε συλλογική συµπεριφορά. Η περίπου ισότητα των ενεργειακών σταθµών µας θυµίζει αρµονικές δονήσεις ως προς ένα σφαιρικό σχήµα ισορροπίας. Τα τετραπολικά φονόνια ω µεταφέρουν στροφορµή 2 +. Η βασική στάθµη µπορεί να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε σφαιρικό σχήµα που δεν περιέχει φονόνια. Η πρώτη διεγερµένη στάθµη περιλαµβάνει ένα φονόνιο 2 +. Η δεύτερη διεγερµένη στάθµη περιλαµβάνει δύο φονόνια, που δηµιουργούν µε σύζευξη µία εκφυλισµένη τριπλή κατάσταση µε J π = 0 +,2 +,4 +, και ούτω καθεξείς. Συνοψίζοντας, οι α-α πυρήνες παρουσιάζουν την εξείς συµπεριφορά. Μεταξύ κλειστών φλοιών, δηµιουργούνται ισχυρές µόνιµες παραµορφώσεις που παράγουν φάσµατα περιστροφής. Κοντά σε κλειστούς φλοιούς, το σχήµα είναι σφαιρικό και τα επιφανειακά φονόνια παράγουν χαρακτηριστικά φάσµατα δόνησης. Τέλος, στους κλειστούς φλοιούς όπου οι διεγερµένες καταστάσεις δηµιουργούνται µε διεγέρσεις απλού νουκλεονίου και δεν παρουσιάζουν κάποια κανονικότητα. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 10

Περιγραφή των φασµάτων δόνησης Τετραπολικές δονήσεις της επιφάνειας του πυρήνα µπορεί να περιγραφούν µε το ανάπτυγµα 2 R(θ,ϕ) = R 0 1+ a 2m Y 2m (θ,ϕ) αρκεί να θεωρήσουµε ότι οι συντελεστές a 2m είναι αρµονικές συναρτήσεις του χρόνου: a 2m = a 2m (t). Αποδεικνύεται ότι για δονήσεις µικρού πλάτους, η Hamiltonian παίρνει την µορφή m= 2 H = T + V = 1 2 B a m + 1 2 C a m 2 2 m m δηλαδή, έχουµε την Hamiltonian ενός συστήµατος ανεξαρτήτων αρµονικών ταλαντωτών. Το B είναι µία αδρανειακή παράµετρος και το C µία παράµετρος που χαρακτηρίζει την δύναµη επαναφοράς. Και οι δύο εξαρτώνται απο λεπτοµέρειες της δοµής του πυρήνα. Εάν θεωρήσουµε ότι η πυρηνική ύλη είναι ασυµπίεστη, οµογενώς φορτισµένη, και η ροή της πυρηνικής ύλης είναι αστρόβιλη κατα την δόνηση, οι παράµετροι B και C προσδιορίζονται απο τον ηµιεµπειρικό τύπο της ενέργειας σύνδεσης. Αποδεικνύεται ότι B = 1 2 ρr 5 0 = 3 8π AMR 2 0 και C = 4 a S 4π 3 Z 2 e 2 10π όπου ρ είναι η πυκνότητα της πυρηνικής ύλης, Α είναι ο µαζικός αριθµός, Μ είναι η µάζα του νουκλεονίου, Ζ ο ατοµικός αριθµός και a S ο συντελεστής της επιφανειακής ενέργειας. Παρατηρήσατε ότι η δύναµη επαναφοράς καθορίζεται απο την αντίθετη επίδραση του όρου επιφανειακής ενέργειας και ενός όρου που προέρχεται απο την ηλεκτροστατική ενέργεια. Σχήµα 5. Ενεργειακό φάσµα δόνησης. R 0 Απο την µορφή της Hamiltonian προκύπτει η συχνότητα των δονήσεων ω = ( C B) 1/ 2. Μπορούµε να πούµε ότι η επιφάνεια περιέχει 0, 1, 2, φονόνια επιφανειακής ενέργειας µε ενέργεια ω το κάθε ένα απο αυτά. Το Σχήµα 5 δείχνει το ενεργειακό φάσµα και τις καταστάσεις J π που προκύπτουν. Κάθε φονόνιο µεταφέρει στροφορµή 2 + και είναι µποζόνιο, δηλαδή, υπακούει στην στατιστική Bose-Einstein. Ν.Γ. Νικολής, Σηµειώσεις Πυρηνικής Φυσικής (2015). 11