ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΤΗΣ ΕΝΤΑΞΗΣ: ΕΝΑ ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑ ΟΛΟΥΣ» ΣΧΕΣΗ ΠΡΩΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΕΞΙΟΤΗΤΕΣ ΣΕ ΠΑΙΔΙΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ ΘΕΟΔΩΡΑ Α.Ε.Μ. : 117 Τριμελής Επιτροπή: 1. Γιώργος Μπάρμπας (επιβλέπων) 2. Tζουριάδου Μαρία 3. Βουγιούκας Κωνσταντίνος ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014

Περιεχόμενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ... 4 Σχηματισμός εννοιών... 5 Λογικομαθηματική γνώση... 6 Χωροχρονικές έννοιες... 7 Προσέγγιση των ποιοτικών σχέσεων... 7 Η έννοια της ταξινόμησης... 7 Έννοια του αριθμού... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ... 11 ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΥΡΗΜΑΤΑ... 15 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ... 18 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΠΡΩΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ ΤΗΣ ΟΥΤΡΕΧΤΗΣ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ... 21 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 23

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Για πολλούς αιώνες η μαθηματική γνώση έδειχνε να απευθύνεται μόνο σε όσους ενδιαφέρονταν για μία επιστημονική ενασχόληση, που στηρίζεται στη μαθηματική επιστήμη. Για το λόγο αυτό παρέμενε περιορισμένη σε μία ελίτ ανθρώπων που την κατανοούσαν, τη χρησιμοποιούσαν και την ανέπτυσσαν (Devis & Hersh, 1980). Το δεύτερο μισό του 20 ου αιώνα, ο κοινωνικός χαρακτήρας, που απέκτησε η εκπαίδευση, πρόβαλλε το αίτημα Μαθηματικά για όλους και την ανάγκη για επιστημονική ενασχόληση με τη διδασκαλία των μαθηματικών. Είναι γνωστό ότι τα προγράμματα σπουδών στοχεύουν στην απόκτηση πολλών μαθηματικών εννοιών. Μέσα από την τυπική εκπαίδευση επιχειρείται η απόκτηση σημαντικών μαθηματικών δεξιοτήτων και οι γνώσεις των Μαθηματικών συχνά στηρίζουν εξεταστικές διαδικασίες και αποδεικνύουν ικανότητες. Ωστόσο είναι λιγότερο γνωστό πόσες από αυτές τις γνώσεις και τις δεξιότητες μαθαίνει, κατανοεί και χρησιμοποιεί ο μέσος άνθρωπος. Έρευνες που πραγματοποιήθηκαν στην Ελλάδα και παγκόσμια έδειξαν ότι περίπου τα 2/3 των μαθητών, τουλάχιστον με τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας, δεν καταφέρνουν να προσεγγίσουν βασικές μαθηματικές έννοιες και δυσκολεύονται να αντιμετωπίσουν στοιχειώδη μαθηματικά προβλήματα (Καλδρυμίδου et al., 2000). Το πρόβλημα παίρνει ακόμη μεγαλύτερη διάσταση, δεδομένου ότι τα Μαθηματικά, μαζί με τη Γλώσσα, είναι οι 2 βασικοί τομείς, οι οποίοι διατρέχουν όλα τα αναλυτικά προγράμματα, σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης, προωθούν ή αποκλείουν την απόκτηση δεξιοτήτων άλλων τομέων, σχετίζονται με διαδικασίες όπως η επίλυση προβλημάτων, η συλλογιστική ικανότητα κ.α., οι οποίες μπορούν να παίξουν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο, όχι μόνο στην ακαδημαϊκή επίδοση των μαθητών, αλλά και στην καθημερινότητα και την προσωπική τους ζωή. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο, το γεγονός ότι η εκπαίδευση φαίνεται αδύναμη να επιτύχει ουσιαστικά την προσέγγιση βασικών μαθηματικών ιδεών και δεξιοτήτων, έχει δημιουργήσει προβληματισμούς σχετικά με τη διδακτική των μαθηματικών, με το ποιες μαθηματικές έννοιες και δεξιότητες, πρέπει να κατακτηθούν σε κάθε ηλικία, με βάση τα αναπτυξιακά χαρακτηριστικά ή το αναλυτικό πρόγραμμα. Με την παρούσα εργασία επιχειρείται η διερεύνηση της σχέσης μαθηματικής επάρκειας με την επίδοση παιδιών προσχολικής ηλικίας, σε μαθηματικές δεξιότητες, που αναδεικνύονται από το αναλυτικό πρόγραμμα.

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Είναι ευρύτερα αποδεκτό ότι τα Μαθηματικά έχουν στη ζωή μας μία σοβαρή χρηστική διάσταση. Συνδέονται με ένα πλήθος δεξιοτήτων, που παίζει ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στην ικανότητα του ατόμου να λειτουργεί αποτελεσματικά στην προσωπική και επαγγελματική του ζωή, να σκέφτεται λογικά, να επιλύει προβλήματα, να αντιλαμβάνεται σχέσεις ανάμεσα σε πράγματα και καταστάσεις κ.α. Παράλληλα, η μαθηματική εκπαίδευση δύναται να καλλιεργήσει τη συλλογιστική ικανότητα, η οποία επιτρέπει στο άτομο να οργανώσει ή να επεξεργαστεί όσα αφορούν τον εαυτό του ή το ευρύτερο περιβάλλον του. Εκτός από όλα τα παραπάνω, τα Μαθηματικά αποτελούν μέρος της πολιτιστικής μας κληρονομιάς, είναι ένα από τα μεγαλύτερα πνευματικά δημιουργήματα του ανθρώπου, το οποίο έχουν όλοι το δικαίωμα να το γνωρίσουν ουσιαστικά, κατανοώντας την αφαιρετική του δύναμη, την αισθητική του ακόμη και τη ψυχαγωγική του διάσταση (Τζεκάκη, 2007). Σε αυτή την προοπτική αξιοποίησης των Μαθηματικών, ξεκινά η προσέγγισή τους από την προσχολική ακόμη ηλικία. Τη στιγμή που το παιδί για πρώτη φορά οικειοποιείται μια καινούργια γι αυτό σημασία ή ορολογία που είναι φορέας μιας επιστημονικής έννοιας, ο σχηματισμός της δεν έχει ολοκληρωθεί, αλλά μόλις αρχίζει (Vygotsky,1934). Στην προσχολική ηλικία οι έννοιες που αναπτύσσουν τα παιδιά αντιστοιχούν σε ένα πρωτογενές επίπεδο κατανόησης, χρήσης και εφαρμογής των μαθηματικών εννοιών, κατά το οποίο οι έννοιες φαίνονται να εμπλέκονται στη δράση του υποκειμένου, αλλά το ίδιο δεν τις γνωρίζει, ούτε τις κατονομάζει ακόμα (Chevallard,1986). H διδασκαλία μαθηματικών εννοιών στο Νηπιαγωγείο βοηθά τα παιδιά να αναπτύξουν έννοιες και διαδικασίες μέσω των οποίων θα αντικειμενοποιηθεί η εμπειρία τους και θα τους δοθεί η ευκαιρία να γνωρίσουν, να αντιμετωπίσουν, να ερμηνεύσουν, να κατανοήσουν και να ελέγξουν τον κόσμο που τα περιβάλλει (Τζεκάκη, 2002). Τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών εννοιών δίνουν τα κριτήρια και το επίπεδο κατάκτησής τους από το παιδί. Οι ιδιαιτερότητές τους, οι συνθήκες ανάπτυξής τους, το εννοιολογικό πλαίσιο αναφοράς, οριοθετούν την έκταση και το βάθος στο οποίο μπορεί να επεκταθεί μια ενδεχόμενη μάθηση. Όπως αναφέρει ο Piaget «Είναι μεγάλο λάθος να θεωρούμε ότι το παιδί κατακτά τη γνώση των αριθμών και άλλες μαθηματικές έννοιες μόνο από τη διδασκαλία. Αντίθετα, κατά ένα μεγάλο βαθμό τις αναπτύσσει μόνο του, ανεξάρτητα και αυθόρμητα». Όταν οι ενήλικοι προσπαθούν να επιβάλλουν μαθηματικές έννοιες σε ένα παιδί πρόωρα, η μάθησή του είναι καθαρά λεκτική. Η αληθινή κατανόηση αυτών των εννοιών συμβαδίζει με τη νοητική του ανάπτυξη (Hughes,1999). Τα στάδια νοητικής ανάπτυξης στη θεωρία του Piaget, στις σημερινές κοινωνικές συνθήκες έχουν περιορισμένη εφαρμογή, γιατί τα στάδια δε διαχωρίζονται από ακριβή όρια, αν και οι μεταβατικές καταστάσεις ανάμεσά τους γίνονται βαθμιαία. Οι τρόποι σκέψης επίσης ενός παιδιού ποικίλουν μέσα στις διάφορες καταστάσεις εμπειρίας. Επιπλέον, όταν έχουμε να κάνουμε με μεγάλες ομάδες παιδιών, θα υπάρχουν παιδιά διαφόρων σταδίων μέσα στην ίδια ομάδα. Σε μια τάξη νηπίων μερικά θα παρουσιάζουν προεννοιακή σκέψη, άλλα ενορατικές παραστάσεις και μερικά θα ενεργούν με συγκεκριμένες ενέργειες (Ρίτσμοντ, 1970).

Σύμφωνα με τη θεωρία του Vygotsky ο προσδιορισμός του βαθμού νοητικής ανάπτυξης του παιδιού γίνεται όχι μόνο με τη βοήθεια του νοητικού επιπέδου στο οποίο βρίσκεται αλλά και με βάση τη «ζώνη της επικείμενης ανάπτυξής του». Το παιδί επομένως δεν πρέπει να διδάσκεται στο σχολείο μόνο αυτό που μπορεί να κάνει αυτοδύναμο αλλά αυτό που του είναι προσιτό με τη συνεργασία του δασκάλου και υπό την καθοδήγησή του. Το βασικό θέμα στη διδασκαλία είναι ακριβώς αυτό το καινούργιο που μαθαίνει το παιδί. Η ζώνη της επικείμενης ανάπτυξης, η οποία καθορίζει την περιοχή των προσιτών για το παιδί μεταβάσεων, είναι ακριβώς το καθοριστικό στοιχείο της διδασκαλίας. Ο Bruner διατύπωσε περισσότερο τις επιστημονικές του θέσεις ως «μια θεωρία διδασκαλίας» και όχι ως μια «θεωρία μάθησης». Όπως επισημαίνει «μια θεωρία διδασκαλίας εμπεριέχει και τις θεωρίες μάθησης και εξέλιξης καθώς επίσης και τη φύση του ιδιαίτερου αντικειμένου που θα διδαχθεί» (Κολιάδης,1997). Ο Bruner δέχεται ότι η γνωστική ανάπτυξη του ατόμου ακολουθεί μια σειρά από επάλληλα εξελικτικά στάδια. Κάθε επόμενο στάδιο αποτελεί έναν πολυπλοκότερο τρόπο εσωτερικής αναπαράστασης της εξωτερικής πραγματικότητας και περιγράφει τρεις τρόπους αναπαράστασης της γνώσης: Πραξιακή αναπαράσταση: το παιδί μαθαίνει μέσα από τη δράση, τη μίμηση και το χειρισμό των αντικειμένων (αισθησιοκινητικό στάδιο στον Piaget). Εικονιστική αναπαράσταση:είναι η αναπαράσταση του εξωτερικού κόσμου μέσω εσωτερικών πνευματικών εικόνων. Δεν υπάρχει όμως πλήρης διαχωρισμός ανάμεσα στο εξωτερικό αντικείμενο και στο αντίστοιχο εσωτερικό σύμβολο. Γι αυτό θα πρέπει να χρησιμοποιείται μεγάλη ποικιλία από εποπτικά μέσα κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας (προεννοιολογικό στάδιο και στάδιο των συγκεκριμένων λογικών πράξεων του Piaget). Συμβολική αναπαράσταση: το παιδί αναπαριστά την εξωτερική πραγματικότητα με αφηρημένα σύμβολα τα οποία μπορεί να χειρίζεται εσωτερικά, όπως λέξεις, μαθηματικά σύμβολα, σήματα κ.λ.π. (στάδιο των συγκεκριμένων λογικών πράξεων και στάδιο της αφαιρετικής σκέψης του Piaget). Σύμφωνα με τη θεωρία κατασκευής της γνώσης η μάθηση των μαθηματικών ερμηνεύεται είτε ως μια διαδικασία ατομικής οικοδόμησης (κονστρουκτιβισμός), είτε ως μια διαδικασία κοινωνικοποίησης στις μαθηματικές σημασίες και τεχνικές της ευρύτερης κοινωνίας (κοινωνικο-πολιτισμικός κονστρουκτιβισμός),( Κασιμάτη,2001). Σύμφωνα με τους κονστρουκτιβιστές (συνέχεια του Piaget) η μαθηματική μάθηση είναι μια διαδικασία εννοιολογικής αναδιοργάνωσης. Για τους κοινωνικοπολιτισμικούς (συνέχεια του Vygotsky) η μάθηση είναι μια διαδικασία κοινωνικο-πολιτισμικής μεταφοράς. Ο Cobb (1994) υπογραμμίζει ανάμεσα στις δύο προσεγγίσεις, οριακές ερμηνευτικές διαστάσεις, αφού η σχέση μεταξύ της αμοιβαίας οικοδόμησης της κοινωνικής γνώσης και της ιδιαίτερης εμπειρίας της κοινωνικής ζωής είναι διαλεκτική. Σχηματισμός εννοιών Ο σχηματισμός εννοιών διέρχεται διάφορα στάδια, ανάλογα με το στάδιο ανάπτυξης που βρίσκεται το παιδί. Η γενετική θεωρία του Piaget, αντιστοιχίζει το παιδί της προσχολικής ηλικίας στην προσυλλογιστική περίοδο ανάπτυξης, η οποία διαδέχεται την αισθησιοκινητική περίοδο και χωρίζεται α) στην προεννοιολογική περίοδο (3ο και 4ο έτος) και β) στη διαισθητική περίοδο (5ο και 6ο έτος). Η διαισθητική περίοδος θεωρείται ως μεταβατική από την προεννοιολογική περίοδο, στην περίοδο των συγκεκριμένων λογικών ενεργειών. Κατά την προεννοιολογική περίοδο το νήπιο χρησιμοποιεί προέννοιες, που μπορούν να ορισθούν ως έλλειψη σχέσης εγκλεισμού των στοιχείων ενός συνόλου και άμεση ταύτιση των επί μέρους στοιχείων μεταξύ τους, χωρίς τη μεσολάβηση του συνόλου.

Η προέννοια είναι το ενδιάμεσο ανάμεσα στο εικονοποιημένο σύμβολο και την έννοια αυτή καθ αυτή (Ρίτσμοντ, 1970). Η σημαντική κατάκτηση της διαισθητικής περιόδου είναι ότι παράλληλα με την έντονη παρουσία της συμβολικής λειτουργίας, το παιδί αρχίζει να σχηματίζει έννοιες. Εμφανίζονται τρεις βασικές λειτουργίες κατά τη διαισθητική περίοδο α) η ικανότητα του παιδιού να σχηματίζει λογικές κατηγορίες β) η ικανότητα να διακρίνει σχέσεις και γ) η ικανότητα να χειρίζεται αριθμητικές έννοιες. Σύμφωνα με την αναπτυξιακή θεωρία του Vygotsky η εξελικτική πορεία των εννοιών περνά από τρεις βαθμίδες. Στην πρώτη βαθμίδα της συγκριτικής σκέψης, που εμφανίζεται στα παιδιά της προσχολικής ηλικίας, η σημασία των λέξεων είναι συγκεχυμένη, απροσδιόριστη και αδιαμόρφωτη, γιατί τα αντικείμενα στα οποία αντιστοιχούν οι έννοιες συνδέονται μεταξύ τους, στην αισθητήρια αντίληψή τους, κατά τρόπο συγκριτιστικό, χωρίς δηλαδή επαρκή εσωτερική συγγένεια και σχέση ανάμεσά τους. Στη δεύτερη βαθμίδα της συμπλεκτικής σκέψης, το παιδί αρχίζει να συνενώνει ομοειδή αντικείμενα σε μια ομάδα, συγκροτώντας τα σε συμπλέγματα σύμφωνα με τους νόμους των αντικειμενικών σχέσεων, που έχει ήδη ανακαλύψει μέσα στα πράγματα. Στην τρίτη βαθμίδα της εννοιολογικής σκέψης κάνει την εμφάνισή της η γνήσια έννοια, η οποία δεν προϋποθέτει μόνο τη συνένωση και γενίκευση των ξεχωριστών συγκεκριμένων εμπειρικών στοιχείων, αλλά και την απόσπαση, την αφαίρεση και την απομόνωση των επιμέρους στοιχείων, δηλαδή την ικανότητα της θεώρησης των στοιχείων έξω από τη συγκεκριμένη σύνδεση, με την οποία μας είναι δοσμένα στην εμπειρία. Βέβαια, παρά την ικανότητα του παιδιού στο στάδιο αυτό του σχηματισμού των γνήσιων εννοιών, υπάρχει ακόμη απόκλιση ανάμεσα στο σχηματισμό της έννοιας και στο λεκτικό ορισμό της, καθόσον ο δρόμος από το αφηρημένο στο συγκεκριμένο αποδεικνύεται εξίσου δύσκολος με την άνοδο από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο. Λογικομαθηματική γνώση O Piaget διακρίνει τρία είδη γνώσεων: Την κοινωνική, τη φυσική και τη λογικομαθηματική. Η κοινωνική γνώση μεταδίδεται από τον ενήλικα. Η φυσική γνώση προέρχεται από τις φυσικές ιδιότητες των αντικειμένων. Το παιδί για να ανακαλύψει τις φυσικές ιδιότητες των αντικειμένων πρέπει να ενεργήσει πάνω σ αυτά και να ανακαλύψει τις αντιδράσεις τους στις ενέργειές του. Σημαντικό μέρος της διαδικασίας συγκράτησης της φυσικής γνώσης είναι η απλή αφαίρεση (η αφαίρεση των ιδιοτήτων, που παρατηρούνται μέσα στα πράγματα ή γενικά στην εξωτερική πραγματικότητα). Η φυσική γνώση συγκροτείται μέσα σε ένα λογικομαθηματικό πλαίσιο. Η λογικομαθηματική γνώση δημιουργείται με τη σκεπτόμενη αφαίρεση και έχει ως πηγή το ίδιο το υποκείμενο. Στη σκεπτόμενη αφαίρεση το παιδί δημιουργεί και εισάγει σχέσεις ανάμεσα στα πράγματα. Τα χαρακτηριστικά της λογικομαθηματικής γνώσης είναι τα ακόλουθα: (Kamii C.-Devries R., 1979). 1. Δε διδάσκεται γιατί δομείται από τις σχέσεις που το παιδί βρίσκει ανάμεσα στα αντικείμενα. Κάθε μεταγενέστερη σχέση που δημιουργεί είναι μια σχέση ανάμεσα στις σχέσεις που είχε δημιουργήσει. 2. Όταν την αφήσουν να αναπτυχθεί μόνη ή ενθαρρύνουν το παιδί να είναι περίεργο και άγρυπνο σε σχέση με το περιβάλλον του, θα αναπτυχθεί προς περισσότερο λογικομαθηματική σχέση. 3. Όταν συγκροτηθεί μία φορά, ποτέ δε λησμονείται.

Χωροχρονικές έννοιες Οι δεξιότητες στο χώρο στρέφονται προς δύο κυρίως κατευθύνσεις. Η πρώτη ασχολείται με το χώρο και συνδέεται με την εξελικτική Ψυχολογία, σύμφωνα με την οποία οι πρώτοι μετασχηματισμοί του παιδιού είναι αυτοί που διατηρούν τις τοπολογικές ιδιότητες των αντικειμένων και μόνο αργότερα το παιδί είναι ικανό να μεταφέρει στο δικό του αναπαραστασιακό χώρο τις ευκλείδειες ιδιότητες των αντικειμένων. Η δεύτερη ασχολείται με τη Γεωμετρία και έχει ως αντικείμενο δεξιότητες και διαδικασίες, όπως αυτές του προσανατολισμού. Προσανατολισμός για το παιδί στο χώρο σημαίνει ότι κατευθύνεται αρχικά με ένα σύστημα αναφοράς επικεντρωμένο στο σώμα του και αργότερα μεταφέρει το σύστημα αναφοράς έξω από το σώμα του. Το παιδί βλέπει τον εαυτό του (το Εγώ του) και τα πράγματα του εξωτερικού κόσμου σε αλληλεξάρτηση μέσα στο χώρο και αυτοδιευθύνεται-αυτοκατευθύνεται μέσα στο χώρο. 1. αξιολογεί τις κινήσεις του από χωροχρονική άποψη 2. τοποθετείται μέσα στο χώρο 3. ενεργεί και περνάει σε δραστηριότητες (Κοντοδήμας,1986). Σύμφωνα με το Metleau-Ponty με το σώμα μου συνειδητοποιώ τα εξωτερικά αντικείμενα, τα χειρίζομαι, τα εποπτεύω και τα περιβάλλω. Το παιδί ανακαλύπτοντας το χώρο (ετερογνωσία), αυτοανακαλύπτεται (αυτογνωσία). Οι πρώτες χωρικές σχέσεις που παρατηρεί το παιδί και διατηρεί και στο σχέδιό του είναι οι τοπολογικές ιδιότητες για την παιδική αναπαράσταση του χώρου και οι σχέσεις όπως εσωτερικό, εξωτερικό, σύνορο κ.α (Πατρώνης, 2001). Οι τοπολογικές σχέσεις αφορούν αμοιβαίες σχέσεις αντικειμένων, χωρίς κάποιο να παίζει έναν ιδιαίτερο ρόλο ένα από τα δύο αντικείμενα. Στις τοπολογικές σχέσεις αντιστοιχούν καταστάσεις στις οποίες δεν παρεμβαίνει η γενική μορφή των αντικειμένων ή τα μεγέθη αλλά ο εγκλεισμός, ο διαχωρισμός, η γειτνίαση, η συνέχεια, η διαδοχή ή η επαφή περιγραμμάτων και σημείων. Προσέγγιση των ποιοτικών σχέσεων Το παιδί οδηγείται από την αντίληψη του χώρου και του χρόνου προς τις συγκρίσεις και τις ομαδοποιήσεις των στοιχείων με στόχο την επεξεργασία αρχικά ποιοτικών και αργότερα ποσοτικών συγκρίσεων και σχέσεων Η προσέγγιση των ποιοτικών σχέσεων έχει ως στόχο να βοηθήσει τα παιδιά να γίνουν ικανά να επεξεργάζονται και να νοηματοδοτούν τις πληροφορίες που προσλαμβάνουν μέσω των αισθήσεων. Ο σχηματισμός της ενορατικής αναπαράστασης των αντικειμένων και των καταστάσεων στις οποίες βρίσκονται τα παιδιά και η λεκτική διατύπωσή τους, απαιτούν διαδικασίες ομαδοποίησης, ταξινόμησης, αφαίρεσης χαρακτηριστικών, γενίκευσης και συμβολισμού. Η έννοια της ταξινόμησης Η ταξινόμηση είναι μια βασική λογικομαθηματική έννοια. Στο προεννοιολογικό στάδιο όταν μιλάμε για ταξινόμηση αναφερόμαστε στο μηχανισμό με τον οποίο το παιδί σημειώνει ομοιότητες και διαφορές ανάμεσα στα πράγματα και ξεχωρίζει τα όμοια. Είναι η διαδικασία μέσα από την οποία η σκέψη των παιδιών απομονώνει ορισμένα γνωρίσματα που είναι κοινά σε κάποια αντικείμενα και συνθέτει ένα σχέδιο δράσης. Το παιδί στις επιλογές ταξινόμησης αντικειμένων παρουσιάζει ελλείψεις. O σχηματισμός

εννοιών δομεί την ικανότητα του παιδιού να ομαδοποιεί και να ταξινομεί τα διάφορα αντικείμενα, γεγονότα ή καταστάσεις σε ομάδες με βάση κάποιο κοινό τους γνώρισμα. Ο Piaget πιστεύει ότι τα παιδιά μπορούν να παρατηρούν διαφορές και ομοιότητες και να ομαδοποιούν αντικείμενα καθώς και να μπορούν να τα ταξινομούν, δεν μπορούν όμως να μάθουν να ταξινομούν, να βάζουν κατά σειρά ή να χρησιμοποιούν έννοιες σχετικά με τους αριθμούς. Οποιοδήποτε κριτήριο «εφευρίσκει» το παιδί για το σχηματισμό ομάδας θεωρείται σωστό, εφόσον το χρησιμοποιεί με συνέπεια. Ο στόχος στην ταξινόμηση δεν είναι να καταλάβει το παιδί τον τρόπο με τον οποίο επιθυμεί ο παιδαγωγός να ταξινομούνται τα πράγματα. Το παιδί πρέπει να συναισθάνεται το σκοπό για τον οποίο σχηματίζει και ανασχηματίζει διάφορες ομάδες. Να κάνει επεξεργασία ιεραρχήσεων και υποκατηγοριών. Αυτό που προέχει είναι να μάθουν τα παιδιά τη διαδικασία της δημιουργίας και της υποβολής μιας λογικής δομής στην ασάφεια που χαρακτηρίζει τον πραγματικό κόσμο. Η ταξινόμηση γίνεται συνήθως με βάση μια σκοπιμότητα χρήσης ή οργάνωσης των αντικειμένων που μας περιβάλλουν. Ενοποιεί τα αντικείμενα αυτά με βάση τα κοινά τους γνωρίσματα, τα εγκλείει, τα συνθέτει, τα ταξινομεί και τα ονοματίζει. Οι γνωστικές διεργασίες που απαιτούνται για την εκτέλεση πράξεων ταξινόμησης, βασίζονται γενικά στην ικανότητα διαφοροποίησης (δηλαδή αναγνώρισης διαφορών μεταξύ στοιχείων), καθώς και ένταξης (δηλαδή σύνθεσης διαφορετικών στοιχείων σε ένα ενιαίο σύνολο). Έννοια του αριθμού Δύο από τα έργα που χρησιμοποίησε ο Piaget, για να μελετήσει τη μετάβαση από την προεννοιολογική στη συγκεκριμένη σκέψη έχει σαφώς σχέση με την έννοια του αριθμού. Αυτά τα δύο προβλήματα της «συμπερίληψης σε ομάδα» και της «διατήρησης» είναι κεντρικής σημασίας για τις απόψεις του Piaget, πάνω στην πρώτη μαθηματική εκπαίδευση. Το πρόβλημα της «συμπερίληψης σε ομάδα» σχεδιάστηκε για να είναι δοκιμασία για την ικανότητα των παιδιών να συγκρίνουν ένα σύνολο με ένα υποσύνολό του ή ένα όλο με ένα μέρος του όλου. Το παιδί μπορεί να εστιάσει την προσοχή του είτε στο σύνολο είτε στο υποσύνολο, αλλά δεν μπορεί ποτέ να λάβει υπόψη του και τα δύο συγχρόνως. Το δεύτερο έργο που είναι κρίσιμο στη θεώρηση του Piaget, για την πρώιμη μαθηματική σκέψη αφορά τη «διατήρηση των αριθμών». Ο Piaget, ισχυρίζεται ότι τα παιδιά κάτω των επτά χρόνων δε διατηρούν συνήθως τον αριθμό. Απαντούν, πιστεύοντας ότι η αλλαγή του μήκους της σειράς αλλάζει τον πληθικό αριθμό. Σύμφωνα με τον Piaget η διατήρηση και η συμπερίληψη σε ομάδα δεν είναι πρωταρχικά μαθηματικές αλλά λογικές ιδέες. Οι μαθηματικές έννοιες αναπτύσσονται μέσα από την επίλυση προβλημάτων. H Donaldson επικρίνει τις έννοιες «συμπερίληψη» και «διατήρηση». Στη συμπερίληψη το παιδί εστιάζει την προσοχή του στις διαφορές ανάμεσα στις υποομάδες, ενώ του ζητείται η διάκριση ανάμεσα στην υποομάδα και τη συνολική ομάδα. Στη δε διατήρηση, οι ενέργειες του ενηλίκου υπονοούν μια συγκεκριμένη ερμηνεία, ενώ η ερώτηση προς τα παιδιά απαιτεί διαφορετική ερμηνεία. H Donaldson ισχυρίζεται ότι τα παιδιά θα συναντήσουν μεγάλη δυσκολία στη μάθηση των μαθηματικών, αν η γλώσσα των ενηλίκων δεν τους είναι αντιληπτή (μη ενσωματωμένη σκέψη). Στην ικανότητα του παιδιού για αρίθμηση στηρίζεται η ανάπτυξη των πρώτων αριθμητικών εννοιών υποστηρίζουν σύγχρονοι ερευνητές (Bideaud, Meljack& Fisher,1992,Steffe, von Glaserfeld, Richards &Cobb,1983,Steffe & Cobb,1988). Μέσα

από τη δημιουργία ενός μοντέλου περιγράφεται εξελικτικά η κατασκευή του αριθμού από το παιδί (Καφούση,2000). Η αρίθμηση ορίζεται ως η απαγγελία μιας σειράς αριθμολέξεων, έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να συνδέεται με μια αριθμήσιμη μονάδα. Σύμφωνα με τη διάκριση αυτή, αρχικά, τα παιδιά έχουν την ικανότητα να αριθμούν μόνο αντικείμενα που γίνονται ορατά από τις αισθήσεις τους. Αργότερα, τα παιδιά μπορούν να θεωρούν ως αριθμήσιμες μονάδες και αντικείμενα που δεν είναι διαθέσιμα στο αντιληπτικό τους πεδίο. Η ικανότητά τους αυτή τους επιτρέπει, να βρουν με τη βοήθεια της αρίθμησης πόσα είναι όλα τα αντικείμενα μιας συλλογής που ένα μέρος της δεν είναι ορατό. Συνήθως, στην περίπτωση αυτή τα παιδιά σχηματίζουν στο μυαλό τους εικόνες των συλλογών των αντικειμένων που αριθμούν. Οι φυσικές κινήσεις που χρησιμοποιούνται αυθόρμητα από τα παιδιά όταν αριθμούν (π.χ κινήσεις δακτύλων) αποτελούν ένα πιο εξελιγμένο είδος μονάδων αρίθμησης (Fuson,1982,van den Brink,1981). Ως συνέπεια πολλών ερευνών, στο χώρο της ψυχολογίας, αλλά και αναγνώρισης του μαθηματικού περιεχομένου στους αριθμούς, μεγάλο πλήθος παιδαγωγικών εφαρμογών, σε παιδιά προσχολικής ηλικίας, επικεντρώνεται στην πρώτη αρίθμηση και τη δημιουργία νοήματος για τον αριθμό. Στα πρώτα σχολικά χρόνια δίνεται έμφαση στην επεξεργασία αριθμητικών εννοιών και σχέσεων, ενώ μικρότερης σημασίας εμφανίζεται η ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών. Περιορισμένος είναι ο αριθμός ερευνών και εφαρμογών στου υπόλοιπους κλάδους των Μαθηματικών. Ο Piaget πρώτος μιλά για την ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού, η οποία σύμφωνα με τη θεωρία του, λαμβάνει χώρα στην ηλικία των 6-7 ετών, όταν το παιδί είναι σε θέση να διακρίνει και να χρησιμοποιεί αποτελεσματικά απόλυτους και τακτικούς αριθμούς. Ο Piaget τονίζει τη σπουδαιότητα των λογικών διαδικασιών για την ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού από το παιδί, γι αυτό και θεωρεί προϋπόθεση το παιδί να έχει εξοικειωθεί με τις 4 βασικές ικανότητες της σύγκρισης, της ταξινόμησης, της αντιστοίχισης και της διάταξης. Από τις βασικές θέσεις της θεωρίας που προκύπτει ότι ο Piaget κάνει μια διαφοροποίηση ανάμεσα στην λογικο-μαθηματική και στη φυσική γνώση. Η πρώτη παράγεται ύστερα από εσωτερικές νοητικές διεργασίες, την επαγωγή, την παραγωγή, τη συσχέτιση, τη σύγκριση κλπ. και επαληθεύεται επίσης με λογικές διαδικασίες. Η φυσική γνώση αποκτάται με βάση την επαφή του ατόμου με τα φυσικά αντικείμενα και φαινόμενα του περιβάλλοντός του και επαληθεύεται εμπειρικώς. Η έννοια του αριθμού υπάγεται στην πρώτη μορφή γνώσης και προϋποθέτει την κατάκτηση από την πλευρά του παιδιού βασικών λογικών διεργασιών, όπως της διατήρησης, του εγκλεισμού των τάξεων και της σειροθέτησης. Σύγχρονα ερευνητικά δεδομένα αμφισβητούν τις θέσεις του Piaget, ως προς τα ηλικιακά όρια και ως προς τις δεξιότητες, που προαπαιτούνται για τη διαμόρφωση της έννοιας του αριθμού. Τα παιδιά από πολύ νωρίς αναπτύσσουν τη δεξιότητα της καταμέτρησης (counting) μη συνεχών ποσοτήτων, την οποία πολλές φορές χρησιμοποιούν και για τις ανάγκες της σύγκρισης δύο συνόλων αντί της «ένα-προς-ένα» αντιστοίχισης (Fuson, 1988, Gelman & Gallistel, 1978). Νεότεροι ερευνητές τονίζουν τη σημασία τριών βασικών δεξιοτήτων για την ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού από το παιδί, α) της άμεσης εκτίμησης, β) της καταμέτρησης και γ) της αποτίμησης. Δέχονται μάλιστα ότι οι διαδικασίες αυτές αναπτύσσονται ιεραρχικώς με βάση μια σταθερή διαδοχική σειρά. Η άμεση εκτίμηση είναι η αυθόρμητη αναγνώριση του πληθαρίθμου ενός συνόλου, η οποία συνοδεύεται πάντα από μια πραγματική ή εικονική αναπαράσταση. Μέχρι τρία ή το πολύ τέσσερα

αντικείμενα γίνονται αντιληπτά ως ένας πληθάριθμος, χωρίς να χρειάζεται καταμέτρηση (Ρ. Liebeck, 1990). Ακολουθεί η καταμέτρηση, η οποία προϋποθέτει από τη μια μεριά την προφορική αρίθμηση και από την άλλη την αντιστοίχιση και τη διατήρηση. Τελευταία κατακτάται η αποτίμηση, η οποία προκύπτει ως αποτέλεσμα των εμπειριών τις οποίες αποκτά το άτομο με δάση τις δύο άλλες δεξιότητες. Επίσης σήμερα είναι γενικώς αποδεκτή η άποψη ότι η ανάπτυξη των αριθμητικών εννοιών του παιδιού στηρίζεται κυρίως στην αρίθμηση, δηλαδή στην απαγγελία μιας σειράς αριθμολέξεων, έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να συνδέεται με μια αριθμήσιμη μονάδα. Έτσι η αρίθμηση περιλαμβάνει τρία συστατικά στοιχεία: 1. την ικανότητα απαγγελίας της ακολουθίας των αριθμολέξεων στη σωστή, συμβατική τους σειρά, 2. την ικανότητα κατασκευής ενός πλήθους μονάδων που θεωρούνται αριθμήσιμες και 3. την ικανότητα συντονισμού των δύο παραπάνω δραστηριοτήτων, έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να αντιστοιχίζεται σε μια αριθμήσιμη μονάδα (Σ. Καφούση & Ε. Ντζιαχρήστος, 1997, 3). Τέλος μία άλλη θεωρητική άποψη διαμορφώνεται από τους R. Gelman & C. - R. Gallistel (1978), οι οποίοι θεωρούν την καταμέτρηση ως την πλέον βασική δεξιότητα η οποία οδηγεί στην κατάκτηση της έννοιας του αριθμού από το παιδί. Με αυτήν ελέγχονται επακριβώς οι πληθάριθμοι των συνόλων και ως εκ τούτου είναι η πρώτη δεξιότητα με βάση την οποία το παιδί έρχεται σε επαφή με τον τομέα των αριθμών. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η άποψη των ερευνητών ότι η δεξιότητα της καταμέτρησης αναπτύσσεται ήδη κατά την προσχολική ηλικία. Στα πλαίσια της άποψης αυτής αποκτούν ιδιαίτερη σημασία οι γνώσεις τις οποίες φέρνει το παιδί στο σχολείο από το νηπιαγωγείο ή από το σπίτι. Ευρήματα από διάφορες έρευνες αναδεικνύουν κοινά χαρακτηριστικά ως προς τις φάσεις ανάπτυξης της διαδικασίας της καταμέτρησης και τις ηλικίες, που εμφανίζονται αυτά. Οι φάσεις είναι οι εξής: 1. Ακουστική Καταμέτρηση: Τα παιδιά πραγματοποιούν απλή απαγγελία αριθμητικών λέξεων, σε ηλικία περίπου 3 ετών 2. Μη συγχρονισμένη Καταμέτρηση: Τα παιδιά δυσκολεύονται να μετρήσουν συγχρονισμένα. Ενώ απαγγέλουν αριθμητικές λέξεις καθώς μετρούν, ξεχνούν να μετρήσουν ένα αντικείμενο ή μετρούν κάποιο περισσότερες φορές. Στον 4 ο περίπου χρόνο αρχίζουν να μετρούν συγχρονισμένα. 3. Δομημένη Καταμέτρηση Τα παιδιά σε ηλικία περίπου 4 ½ ετών αρχίζουν να οργανώνουν το υλικό, που έχουν να μετρήσουν. Μπορεί να βγάζουν αντικείμενα που μέτρησαν, να τα τοποθετούν σειρά και να τα ακουμπούν ένα ένα μέχρι το τελευταίο κ.α. 4. Αποτελεσματική Καταμέτρηση Σε ηλικία 5 ετών περίπου τα παιδιά καταφέρνουν να αντιστοιχίσουν ένα προς ένα τα αντικείμενα με τους αριθμούς. Σε αυτή τη φάση γνωρίζουν ότι πρέπει όταν μετρούν να ξεκινήσουν από το ένα, να μετρήσουν όλα τα αντικείμενα και ο τελευταίος αριθμός, που θα πουν, δηλώνει την ποσότητα. 5. Συντομευμένη καταμέτρηση Τα παιδιά σε ηλικία 5 ½ με 6 ετών περίπου, είναι σε θέση να αναγνωρίζουν κάποιες αριθμητικές δομές για παράδειγμα αυτή του ζαριού και να την χρησιμοποιούν

προκειμένου να μετρήσουν γρηγορότερα. Αναγνωρίζοντας την πληθικότητα των αντικειμένων που είναι τοποθετημένα σε μία δομή πχ. 4, μετρούν από κει και πέρα τα υπόλοιπα αντικείμενα (δηλ. 5,6, ). Ορισμένοι ερευνητές (Nunes & Bryant, 1996, Van de Rijt, et al., 2003) θεωρούν ότι οι παραπάνω θεωρητικές προσεγγίσεις μπορεί να λειτουργήσουν συμπληρωματικά για την ερμηνεία της ανάπτυξης των αριθμητικών εννοιών και σχέσεων. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ερευνητική Υπόθεση: Η πρώιμη μαθηματική επάρκεια επηρεάζει την επίδοση των παιδιών προσχολικής ηλικίας σε μαθηματικά έργα του αναλυτικού προγράμματος. Στόχος: Στην παρούσα εργασία, εξετάζεται το κριτήριο Επίδοσης Μαθηματικής Επάρκειας, το οποίο αναφέρεται στην ηλικιακή ομάδα παιδιών από 5.0 ετών ως 6.05 ετών. Το κριτήριο Επίδοσης Μαθηματικής Επάρκειας είναι ένα κριτήριο, το οποίο κατασκευάστηκε με σκοπό να αποτελέσει ένα εύχρηστο εργαλείο, με το οποίο ο εκπαιδευτικός της τάξης, θα μπορεί να ελέγξει εάν ένας μαθητής έχει αποκτήσει το απαιτούμενο επίπεδο επάρκειας, σε ότι αφορά τις μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες, προκειμένου να προχωρήσει στην επόμενη τάξη (Α Δημοτικού). Είδος έρευνας: Για τη διερεύνηση της παραπάνω ερευνητικής υπόθεσης πραγματοποιήθηκε ποσοτική έρευνα σε νήπια. Η έρευνα πραγματοποιήθηκε προς το τέλος της σχολικής χρονιάς, την Άνοιξη. Δείγμα: Για τη συλλογή των δεδομένων πραγματοποιήθηκε η μέθοδος τυχαίας δειγματοληψίας. Επιλέχθηκαν δύο νηπιαγωγεία του νομού Θεσσαλονίκης από δύο αστικές περιοχές (Θέρμη και Εύοσμος). Σε κάθε νηπιαγωγείο επιλέχθηκαν τυχαία τα τμήματα (όπου υπήρχαν περισσότερα του ενός) και μέσα σε κάθε τάξη, με τυχαία δειγματοληψία, επιλέχθηκαν οι μαθητές με μοναδικά κριτήρια: 1. να είναι νήπια (να έχουν συμπληρώσει το 5 ο έτος δεν συμπεριλήφθηκαν προνήπια) 2. να μην είναι παιδιά με νοητική ανεπάρκεια Στο δείγμα φροντίσαμε η κατανομή ως προς το φύλο (αγόρια κορίτσια) να είναι σε αναλογία. Η σύνθεση του δείγματος παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα. Frequenc y φύλο Percent Valid Percent Cumulative Percent

Valid αγόρι 18 51,4 51,4 51,4 κορίτσι 17 48,6 48,6 100,0 Total 35 100,0 100,0 Ως προς την ηλικία των παιδιών, πραγματοποιήθηκε τυχαία δειγματοληψία, αντίστοιχη της κατανομής της ηλικιακής σύνθεσης των συγκεκριμένων πληθυσμών, από τους οποίους επιλέχθηκε το δείγμα. Η σύνθεση του δείγματος, ως προς την ηλικία διαμορφώθηκε ως εξής Ηλικιακές ομάδες ποσοστά 5.06 5.11 11 31,4 6.00 6.05 24 68,6 σύνολο 35 100,0 Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται η σύνθεση του δείγματος, ως προς την ηλικία, σε μήνες ηλικία (μήνες) Frequenc y Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid 66 3 8,6 8,6 8,6 67 2 5,7 5,7 14,3 69 2 5,7 5,7 20,0 70 3 8,6 8,6 28,6 71 1 2,9 2,9 31,4 72 5 14,3 14,3 45,7 73 5 14,3 14,3 60,0 74 7 20,0 20,0 80,0 75 2 5,7 5,7 85,7 76 5 14,3 14,3 100,0 Total 35 100,0 100,0 Εργαλεία: Τα εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν προκειμένου να διερευνηθεί η παραπάνω ερευνητική υπόθεση ήταν το Κριτήριο Πρώιμης Μαθηματικής Επάρκειας της Ουτρέχτης και το Κριτήριο Επίδοσης Μαθηματικής Επάρκειας. Το Κριτήριο Πρώιμης Μαθηματικής Επάρκειας της Ουτρέχτης (Utrecht Early Mathematical Competence Test) σχεδιάστηκε από μια ομάδα επιστημόνων του Τμήματος Ειδικής Αγωγής του Πανεπιστημίου της Ουτρέχτης στην Ολλανδία, με στόχο να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της πρώιμης μαθηματικής επάρκειας

παιδιών προσχολικής και πρώτης σχολικής ηλικίας (4.06 7.05). Το κριτήριο σταθμίστηκε στην Ολλανδία το 1993. Το κριτήριο Πρώιμης Μαθηματικής Επάρκειας της Ουτρέχτης, αποτελεί μία ενιαία δοκιμασία, που εμπεριέχει 8 ενότητες έργων ερωτημάτων και είναι οι εξής: Σύγκριση Ταξινόμηση Αντιστοίχιση Σειριοθέτηση Χρήση λέξεων αρίθμησης Δομημένη καταμέτρηση Αποτελεσματική καταμέτρηση Γενική γνώση αριθμών Το κριτήριο Επίδοσης Μαθηματικής Επάρκειας είναι ένα κριτήριο, που κατασκευάστηκε από μεταπτυχιακούς φοιτητές του τμήματος Επιστημών Προσχολικής Αγωγής και Εκπαίδευσης. Αποτελείται από 6 ενότητες έργων ερωτημάτων, οι οποίες είναι οι εξής: Δομημένη Καταμέτρηση Αναγνώριση αριθμητικού συμβόλου αντιστοίχιση με ποσότητα Σύγκριση Ταξινόμηση Διάταξη Αντιστοίχιση Εγκυρότητα Αξιοπιστία Εργαλείων: Είναι ιδιαίτερα σημαντικό να αναφερθούμε στην εγκυρότητα και την αξιοπιστία των κριτηρίων, που χρησιμοποιήθηκαν στην έρευνά μας. Η εγκυρότητα αποτελεί βασικό ψυχομετρικό χαρακτηριστικό ενός κριτηρίου, και βασίζεται στην εύλογη αρχή ότι το κριτήριο θα πρέπει να πληροί μία σειρά από ιδιότητες, ώστε τελικά να μετρά τη θεωρητική κατασκευή την οποία προορίζεται να μετρήσει (Bryant, 2000). Η αξιοπιστία ενός εργαλείου, όπως μιας κλίμακας ενός ψυχομετρικού κριτηρίου, προορισμένου να μετρήσει κάποιο είδος συμπεριφοράς, αφορά τη συσχέτιση της κλίμακας με μια υποθετική κλίμακα η οποία μετρά την ίδια συμπεριφορά αλλά με τρόπο απόλυτα αληθή (Nunnally & Bernstein, 1994; Strub, 2000). Την περίοδο 1997 1999 στο πλαίσιο κοινής έρευνας σε έξι ευρωπαϊκές χώρες -μεταξύ των οποίων και η Ελλάδα - ελέγχθηκε η αξιοπιστία και η εγκυρότητά του κριτηρίου Πρώιμης Μαθηματικής Επάρκειας της Ουτρέχτης. Το 2008 πραγματοποιήθηκε η στάθμιση του κριτηρίου αυτού στην Ελλάδα στο πλαίσιο του έργου ΕΠΕΑΕΚ «Ψυχομετρική - Διαφορική Αξιολόγηση Παιδιών και Εφήβων με Μαθησιακές Δυσκολίες». Έτσι το συγκεκριμένο κριτήριο είναι έγκυρο και αξιόπιστο για τα ελληνικά δεδομένα. Από την άλλη πλευρά, το κριτήριο Επίδοσης μαθηματικής επάρκειας είναι ένα εργαλείο το οποίο κατασκευάστηκε για να μετρήσει την επίδοση των μαθητών, στις μαθηματικές δεξιότητες, με βάση το αναλυτικό πρόγραμμα. Η εγκυρότητά του περιεχομένου του προκύπτει από τη θεωρητική ανάλυση, που περιέχεται παραπάνω και στην οποία βασίζεται η κατασκευή του καθώς και από το γεγονός ότι τα έργα ερωτήματά του επιλέχθηκαν από το αναλυτικό πρόγραμμα, που ισχύει για το νηπιαγωγείο. Σε ότι αφορά την αξιοπιστία του κριτηρίου Επίδοσης, επειδή η υποθετική

κλίμακα δεν είναι διαθέσιμη στη συγκριμένη περίπτωση, επιχειρήσαμε να κάνουμε εκτίμηση της αξιοπιστίας, εκτίμηση δηλαδή της ποσότητας του σφάλματος, που έχουν οι μετρήσεις μας. Αυτή η εκτίμηση πραγματοποιήθηκε με τον υπολογισμό της τιμής του συντελεστή εσωτερικής συνέπειας alpha του Cronbach. Τιμές αξιοπιστίας μεγαλύτερες του 0,7 θεωρούνται αποδεκτές (Νunnally & Bernstein, 1994). Αρχικά, το κριτήριο Επίδοσης, που κατασκευάσαμε, αποτελούνταν από 18 έργα ερωτήματα και χορηγήθηκε πιλοτικά σε 10 νήπια, τα οποία αποκλείστηκαν από το δείγμα τα έρευνας. Συμπεριλαμβάνοντας και τα 18 έργα, η τιμή εσωτερικής συνέπειας alpha του Cronbach υπολογίστηκε 0,564 και η αξιοπιστία του κριτηρίου μας ήταν χαμηλή Reliability Statistics Cronbach's Alpha N of Items,564 18. Αυτό συνέβη γιατί στα έργα 1, 2, 3, και 9 υπήρχαν υψηλά ποσοστά επιτυχίας (σχεδόν 100%) και στο έργο 12 υπήρχαν υψηλά ποσοστά αποτυχίας, που πιθανώς οφείλονταν σε δική μας ασάφεια, κατά την κατασκευή του συγκεκριμένου έργου. Τα έργα 1, 2 και 3 ήταν έργα δομημένης καταμέτρησης (8, 10 και 14 αντικειμένωνσχεδίων), το έργο 9 ήταν έργο σύγκρισης με ένα αντιληπτικό κριτήριο (μέγεθος- Κύκλωσε το μεγαλύτερο σπίτι) και το έργο 12 ήταν έργο ταξινόμησης με ένα εννοιολογικό κριτήριο (Βάλε σε κύκλο τα ζώα της αυλής). Στο έργο 12 παρατηρήθηκαν αρκετά όμοια λάθη στο ένα νηπιαγωγείο, όπου τα παιδιά κύκλωσαν μαζί με τα ζώα της αυλής και το φίδι, γεγονός που πιθανώς να σχετίζεται με τις εμπειρίες τους (περιοχή κατοικίας Θέρμη). Αποκλείοντας τα παραπάνω έργα, αυξήσαμε την αξιοπιστία του κριτηρίου, και συμπεριλαμβάνοντας τα υπόλοιπα 13 έργα, η τιμή εσωτερικής συνέπειας alpha του Cronbach υπολογίστηκε 0,659, τιμή αξιοπιστίας αποδεκτή. Reliability Statistics Cronbach's Alpha N of Items,659 13 Χορήγηση των κριτηρίων: Η χορήγηση του κριτηρίου Πρώιμης Μαθηματικής Επάρκειας της Ουτρέχτης πραγματοποιήθηκε ατομικά, ενώ η χορήγηση του κριτηρίου Επίδοσης έγινε στα πλαίσια μικρών ομάδων, διασφαλίζοντας ότι καθένα από τα μέλη της ομάδας θα απαντά στο δικό του έργο, χωρίς να επηρεάζει ή να επηρεάζεται από άλλο μέλος της ομάδας.

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΥΡΗΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ ΤΗΣ ΟΥΤΡΕΧΤΗΣ Σε αυτό το μέρος της εργασίας παρουσιάζονται τα ευρήματα που προέκυψαν από την επεξεργασία των δεδομένων, που συλλέχθηκαν, με τη χορήγηση του κριτηρίου Πρώιμης Μαθηματικής Επάρκειας. Τα ευρήματα αυτά σχετίζονται με τα επίπεδα επάρκειας στα οποία κυμαίνεται ο πληθυσμός του συγκεκριμένου δείγματος, αλλά και την επίδοσή του στις επιμέρους ενότητες του κριτηρίου. Επίπεδο Επάρκειας Συχνότητα Ποσοστό Επίπεδο Α 2 5,7 Επίπεδο Β 12 34,3 Επίπεδο Γ 12 34,3 Επίπεδο Δ 7 20,0 Επίπεδο Ε 2 5,7 Σύνολο 35 100,0 Από τον παραπάνω πίνακα, παρατηρούμε ότι τα περισσότερα παιδιά του δείγματος (68,6%) παρουσιάζουν επίπεδο επάρκειας Β και Γ. Ένα μικρό ποσοστό παιδιών (5,7%) βρίσκεται στο Επίπεδο Α και ένα αντίστοιχο ποσοστό στο Επίπεδο Ε. Το υπόλοιπο 20% των παιδιών του δείγματος εμφανίζει Επίπεδο επάρκειας Δ. Παρακάτω παρουσιάζεται η επίδοση των παιδιών στις επιμέρους ενότητες του κριτηρίου, σε 8 πίνακες. Οι πίνακες αυτοί αντιστοιχούν στις 8 επιμέρους ενότητες του κριτηρίου και αποτυπώνουν τον αριθμό των σωστών απαντήσεων ανά ενότητα (συχνότητα και ποσοστό). Σύγκριση Σωστές απαντήσεις Συχνότητα Ποσοστό 3 3 8,6 4 4 11,4 5 28 80,0 Σύνολο 35 100,0 Ταξινόμηση Σωστές απαντήσεις Συχνότητα Ποσοστό 1 1 2,9 2 3 8,6 3 21 60,0 4 10 28,6 Σύνολο 35 100,0

Αντιστοίχιση Σωστές απαντήσεις Συχνότητα Ποσοστό 2 2 5,7 3 12 34,3 4 14 40,0 5 7 20,0 Σύνολο 35 100,0 Σειριοθέτηση Σωστές απαντήσεις Συχνότητα Ποσοστό 1 5 14,3 2 16 45,7 3 5 14,3 4 8 22,9 5 1 2,9 Σύνολο 35 100,0 Χρήση λέξεων αρίθμησης Σωστές απαντήσεις Συχνότητα Ποσοστό 2 14 40,0 3 17 48,6 4 4 11,4 Σύνολο 35 100,0 Δομημένη Καταμέτρηση Σωστές απαντήσεις Συχνότητα Ποσοστό 2 4 11,4 3 14 40,0 4 16 45,7 5 1 2,9 Σύνολο 35 100,0 Αποτελεσματική Καταμέτρηση Σωστές απαντήσεις Συχνότητα Ποσοστό 0 2 5,7 1 19 54,3 2 13 37,1 3 1 2,9 Σύνολο 35 100,0 Γενική γνώση αριθμών Σωστές απαντήσεις Συχνότητα Ποσοστό 1 1 2,9 2 6 17,1 3 19 54,3 4 8 22,9 5 1 2,9 Σύνολο 35 100,0

Από τους παραπάνω πίνακες παρατηρούμε ότι μεγάλο μέρος του πληθυσμού (80%) τα πήγε αρκετά καλά στην ενότητα της Σύγκρισης, καθώς συγκέντρωσε 5 σωστές απαντήσεις. Ενώ σχεδόν τα μισά παιδιά (54,3%) φάνηκε να δυσκολεύτηκαν περισσότερο στην ενότητα Αποτελεσματική Καταμέτρηση, όπου συγκέντρωσαν μόνο 1 σωστή απάντηση. Στις υπόλοιπες ενότητες, τα περισσότερα παιδιά κυμαίνονται σε 2, 3 και 4 σωστές απαντήσεις.

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, το κριτήριο Επίδοσης αποτελούνταν αρχικά από 18 έργα, από τα οποία εξαιρέθηκαν, κατά τα χορήγηση, 4 έργα (το 1,2,3,9,και 12). Έτσι παρέμειναν 13 έργα. Οι ενότητες του κριτηρίου Επίδοσης διαμορφώθηκαν ως εξής: 1. Αναγνώριση αριθμητικού συμβόλου- αντιστοίχιση ποσότητας (έργα 4,5,6) 2. Σύγκριση (έργα 7,8,10) 3. Ταξινόμηση (έργα 11,13, 14) 4. Διάταξη (έργα 15,16,17) 5. Αντιστοίχιση (έργο 18) Κάθε ενότητα του κριτηρίου έχει 3 έργα-ερωτήματα, εκτός από την ενότητα της Αντιστοίχισης, η οποία είχε μόνο ένα έργο, γι αυτό και στην παρουσίαση των ευρημάτων δεν θα συμπεριλάβουμε τη συγκεκριμένη ενότητα. Στους πίνακες που ακολουθούν παρουσιάζεται η επίδοση των παιδιών στις επιμέρους ενότητες του κριτηρίου Επίδοσης. Αναγνώριση αριθμητικού συμβόλου αντιστοίχιση με ποσότητα Σωστό Λάθος Μ. Ο. έργο 4 30 5 0,86 έργο 5 27 8 0,77 έργο 6 25 10 0,71 Σύνολο Επίδοσης Συχνότητα 0 2 1 4 2 9 3 20 Σύνολο 35 Μ. Ο. 2,34 Σύγκριση Σωστό Λάθος Μ. Ο. έργο 7 33 2 0,94 έργο 8 34 1 0,97 έργο 10 32 3 0,91 Σύνολο Επίδοσης Συχνότητα 0 2 1 4 2 9 3 20 Σύνολο 35

Μ. Ο. 2,82 Ταξινόμηση Σωστό Λάθος Μ. Ο. έργο 11 20 15 0,57 έργο 13 31 4 0,89 έργο 14 27 7 0,80 Σύνολο Επίδοσης Συχνότητα 0 2 1 4 2 9 3 20 Σύνολο 35 Μ. Ο. 2,26 Διάταξη Σωστό Λάθος Μ. Ο. έργο 15 26 9 0,74 έργο 16 16 19 0,46 έργο 17 20 15 0,47 Σύνολο Επίδοσης Συχνότητα 0 2 1 4 2 9 3 20 Σύνολο 35 Μ. Ο. 1,67 Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται ο έλεγχος των διαφορών μεταξύ των M.O. των επιμέρους ενοτήτων και του γενικού Μ.Ο., του κριτηρίου Επίδοσης. Όπου R1: M.O. Αναγνώριση αριθμητικού συμβόλου- αντιστοίχιση ποσότητας R2: M.O. Σύγκριση R3: M.O. Ταξινόμηση R4: M.O. Διάταξη R1(σύμβολοποσότητα) R2 (σύγκριση) R3 (Ταξινόμηση) R4 (Διάταξη) R2 (σύγκριση) z= -2,93 p= 0,03 R3 (ταξινόμηση) z= -0,44 p= 0,66 z= -3,63 p= 0,00 R4 (διάταξη) z= -2,87 p= 0,01 z= -4,62 p= 0,00 z= -2,87 p= 0,00 Γ.Μ.Ο z= - 0,30 z= -4,53 z= - 1,05 z= -4,30

p= 0,77 p= 0,00 p= 0,293 p=0,00 Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται ο μέσος όρος τιμών στις επιμέρους ενότητες του κριτηρίου: μέσος όρος τιμών R1 78,10 R2 94,29 R3 75,24 R4 59,05 RS 78,02 Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η γενική επίδοση των παιδιών φαίνεται να σχετίζεται με την επίδοσή τους στα έργα της 1 ης ενότητας (αναγνώριση αριθμητικού συμβόλου και αντιστοίχιση με ποσότητα) και της 3 ης ενότητας (ταξινόμηση). Παράλληλα, φαίνεται ότι τα παιδιά του συγκεκριμένου δείγματος αποδίδουν αρκετά υψηλότερα, από τη γενική τους επίδοση, σε έργα σύγκρισης (2 η ενότητα), ενώ τα πηγαίνουν λιγότερο καλά σε έργα διάταξης (4 η ενότητα).

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΠΡΩΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ ΤΗΣ ΟΥΤΡΕΧΤΗΣ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ Στο παρόν μέρος της εργασίας, επιχειρείται η σύγκριση του κριτηρίου Επίδοσης με το κριτήριο Πρώιμης Μαθηματικής Επάρκειας. Επίπεδα Πρώιμης Μαθηματικής Επάρκειας (Ουτρέχτη) Πλήθος Μαθητών Επίδοση (ποσοστό) Ελάχιστο Μέγιστο Μ.Ο. Α 2 100 100 100,0 Β 12 69,23 100 87,18 Γ 12 61,54 100 77,56 Δ 7 30,77 84,62 64,84 Ε 2 30,77 69,23 50,0 Κάνοντας στατιστική επεξεργασία ONE WAY ANOVA, με τον στατιστικό δείκτη Scheffe, μεταξύ των Επιπέδων Επάρκειας της Ουτρέχτης και του Μ.Ο. γενικού συνόλου (ποσοστό), του κριτηρίου Επίδοσης, παρατηρούμε ότι υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές ανάμεσα στις ομάδες Επιπέδων Α και Β με τις ομάδες Δ και Ε. Πιο συγκεκριμένα: p Επίπεδο Α Επίπεδο Δ 0,05 Επίπεδο Ε 0,02 Επίπεδο Β Επίπεδο Δ 0,03 Επίπεδο Ε 0,02 Έπειτα πραγματοποιήσαμε στατιστική επεξεργασία Bivariate Correlation, χρησιμοποιώντας το δείκτη Spearman, προκειμένου να ελέγξουμε τη συσχέτιση μεταξύ του Γ.Μ.Ο.(γενικός μέσος όρος) της Επίδοσης με το Σύνολο των Αρχικών Βαθμών της Ουτρέχτης, το Βαθμό Επάρκειας και τα Επίπεδα Επάρκειας, όπου παρατηρήθηκε ότι υπάρχει χαμηλή συσχέτιση. Σύνολο Αρχικών Βαθμών Ουτρέχτη Γ. Μ. Ο. r= 0,78 p= 0,00 Βαθμός Επάρκειας Ουτρέχτη r= 0,79 p= 0,00 Επίπεδα Επάρκειας Ουτρέχτη r= 0,68 p= 0,00 Τέλος, κάνοντας στατιστική επεξεργασία Wilcoxon test, μεταξύ των μέσων όρων (Μ.Ο.) των κοινών ενοτήτων που υπάρχουν στα δύο τεστ, παρατηρήθηκαν τα εξής: Μ.Ο σύγκριση Μ.Ο. ταξινόμηση Μ.Ο. Σειριοθέτηση

Ουτρεχτη- Μ.Ο. σύγκριση Επίδοση Ουτρέχτη Μ.Ο. ταξινόμηση Επίδοση Ουτρέχτη- Μ.Ο. διάταξη Επίδοση z - 0,51-2,75-2,88 p 0,61 0,01 0,00 Στον επόμενο πίνακα παρουσιάζεται ο μέσος όρος τιμών στις αντίστοιχες ενότητες του κριτηρίου της Ουτρέχτης και του τεστ Επίδοσης. Ουτρέχτη (Μ.Ο.) Τεστ Επίδοσης (Μ.Ο.) Σύγκριση 94,29 94,29 Ταξινόμηση 62,86 75,24 Διάταξη 74,85 59,05 Από όλα τα παραπάνω καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι φαίνεται να υπάρχει σχέση μεταξύ της πρώιμης μαθηματικής επάρκειας και της επίδοσης σε παιδιά προσχολικής εκπαίδευσης.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Πατρώνης, Τ.(2001).Θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες και παιδική σκέψη. Αθήνα:Δίπτυχο. Fuson, K.C. (1988) Children s counting and concepts of number. New York: Springer- Verlag. Gelman, R., & Gallistel, C.r. (1978). The child s understanding of number. Cambridge: Harvard University Press Piaget, J. (1952). The child s conception of number (vol. 2). London: Routledge Γωνίδα, Ε., και Ιωσηφίδου, Β. (2008). Ψυχομετρικό Κριτήριο Γνωστικής Επάρκειας για Παιδιά και Εφήβους. Θεσσαλονίκη. Τζουριάδου, Μ., Αναγνωστοπούλου Ε., Τουτουντζή Ε., Ψωινού, Μ. (2008). Detroit Test Μαθησιακής Επάρκειας για παιδιά και εφήβους. Θεσσαλονίκη. Τζουριάδου, Μ., Συγκολλίτου, Ε., Αναγνωστοπούλου Ε., Βακόλα, Ι. (2008). Ψυχομετρικό Κριτήριο Γλωσσικής Επάρκειας για παιδιά και εφήβους, ΛαΤω. Θεσσαλονίκη. Τζεκάκη Μ., Μαθηματικές δραστηριότητες για την προσχολική ηλικία (1996) Θεσσαλονίκη Τζεκάκη Μ., Μικρά παιδιά, μεγάλα μαθηματικά νοήματα. Προσχολική και Πρώτη σχολική ηλικία. (2007). Θεσσαλονίκη Δαφέρμου, Χ., Κουλούρη, Π., Μπασαγιάννη, Ε. (2006). Oδηγός νηπιαγωγού. Εκπαιδευτικοί σχεδιασμοί. Δημιουργικά περιβάλλοντα μάθησης. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. Piaget, J. (2000). Περί Παιδαγωγικής. Σαμαρτζή, Σ. (επιμ.). Αθήνα:Ελληνικά Γράμματα. Vygotsky,L.S.(1934). Σκέψη και Γλώσσα. Αθήνα :Γνώση,1988. Vygotsky, L.S. (1997). Νους στην Κοινωνία. Αθήνα : Gutenberg. Κασιμάτη, Κατερίνα (2001). Θεωρία κατασκευής της γνώσης (constructivism) Κολέζα,Ε. (2000). Γνωσιολογική και διδακτική προσέγγιση των στοιχειωδών μαθηματικών εννοιών. Αθήνα: Leader Bocks. Τουμάσης, Μ.,(1999).Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών. Αθήνα:Gutenberg Cole Μ. & Cole S, «Η Ανάπτυξη των παιδιών», Τυπωθήτω, Αθήνα 2002