Μια διπλή τροχαλία. «χωμένη» στο έδαφος και στο τέλος ολισθαίνει. Η διπλή τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες και αντίστοιχα, όπου = 0,5 m και έχει συνολική μάζα M = 1 kg. Στο αυλάκι του μεγάλου δίσκου της διπλής τροχαλίας είναι δεμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σώμα μάζας m = kg. Το νήμα είναι αρχικά τεντωμένο και το σώμα μάζας m είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο τραπέζι μήκους d = 7 m. Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται στο κέντρο μάζας της διπλής τροχαλίας δύναμη F = 40 N με αποτέλεσμα να αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο έχοντας συνεχώς σε επαφή με το έδαφος τον δίσκο ακτίνας. Αν η ροπή αδράνειας της διπλής τροχαλίας είναι ίση με I = M, να βρείτε: α. Την επιτάχυνση του σώματος μάζας m. (Μονάδες 7) β. Το μήκος του σχοινιού που τυλίγεται στο αυλάκι της διπλής τροχαλίας κατά τη διάρκεια του ου δευτερολέπτου της κίνησής της. (Μονάδες 5) Αν τη χρονική στιγμή t1 το σώμα μάζας m πέφτει κάτω από το τραπέζι, να υπολογίσετε: γ. Το λόγο m τη χρονική στιγμή t1, όπου Κτρ η κινητική ενέργεια της διπλής τροχαλίας τότε και Κm η κινητική ενέργεια του σώματος Σ. (Μονάδες 4) δ. Το έργο της τάσης του νήματος που ασκείται στη διπλή τροχαλία στο χρονικό διάστημα από 0 ως t1. (Μονάδες 4) Επαναφέρουμε τα δύο σώματα στην αρχική τους κατάσταση και βάζουμε λιπαντικό στο οριζόντιο δάπεδο με αποτέλεσμα να μηδενιστούν οι τριβές. Τη
χρονική στιγμή t = 0 ασκούμε και πάλι στο κέντρο μάζας της διπλής τροχαλίας δύναμη F = 7,5 N. ε. Ποια θα είναι η στροφορμή της διπλής τροχαλίας δύο δευτερόλεπτα μετά την άσκηση της δύναμης F ; (Μονάδες 5) Δίνεται g = 10 m/s. Λύση α. Στη διπλή τροχαλία εκτός από τη δύναμη F στον άξονα της κίνησης ασκούνται η τάση του νήματος T και η στατική τριβή T. (Ο σχεδιασμός της στατικής τριβής γίνεται με κριτήριο την εξασφάλιση της επιταχυνόμενης στροφικής κίνησης της τροχαλίας αφού η τροχαλία κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει). Στο σώμα Σ ασκείται μόνο η τάση του νήματος T. Οι δυνάμεις αυτές φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Για τις επιταχύνσεις ισχύουν: Επειδή η διπλή τροχαλία κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, το σημείο Α έχει ταχύτητα μηδέν, οπότε:
υα = 0 cm cm Η επιτάχυνση του σώματος Σ είναι ίση με την επιτάχυνση του σημείου Β, δηλαδή: 3 cm Εφαρμόζουμε τους νόμους για κάθε σώμα. Για την διπλή τροχαλία: ΣF = Mαcm F T Tστ = Μαcm (1) cm T M T M cm() Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1) και () προκύπτει: F 3T = Mαcm (3) Για το σώμα Σ: F m m3 cm(4) Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (4) με το τρία και προσθέτοντας κατά μέλη με τη σχέση (3) προκύπτει: cm F F Mcm 9mcm cm m / s M 9m Επομένως η επιτάχυνση του σώματος Σ είναι ίση με: ασ = 3acm ασ = 6 m/s β. Το μήκος του νήματος που τυλίγεται από το αυλάκι της τροχαλίας είναι ίσο με L = Δθ (5) όπου Δθ η γωνία στροφής της διπλής τροχαλίας κατά τη διάρκεια του ου δευτερολέπτου της κίνησής της. Η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας είναι: cm cm 4 r / s Για τη γωνία στροφής της τροχαλίας ισχύει: Δθ = θ θ1, όπου: 1 1 1 1 1 t1 41 rad rad και t 4 rad 8 rad Επομένως Δθ = 6 rad και αντικαθιστώντας στη σχέση (5) θα είναι L = 6 m γ. Στο χρονικό διάστημα από 0 ως t1 το σώμα Σ διανύει απόσταση d = 7 m. Επομένως: 1 d d t1 t1 t1 3 s Η ταχύτητα του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t1 = 3 s είναι υ1 = ασ t1 = 18 m/s και η 1 1 κινητική του ενέργεια ΚΣ = m1 18 J K 34 J Η διπλή τροχαλία εκτελεί και περιστροφική κίνηση και μεταφορική κίνηση. Τη χρονική στιγμή t1 = 3 s η ταχύτητα του κέντρου μάζας της είναι υcm = αcm t1 = 6 m/s και η κινητική της ενέργεια 1 1 1 1 Κτρ = cm I cm cm K 36 J
m Επομένως ο ζητούμενος λόγος είναι 9. δ. Από την εφαρμογή των νόμων για την τάση του νήματος προκύπτει Τ = 1 Ν. Το έργο της τάσης του νήματος στην τροχαλία είναι: W (W ) (W ) x () (6) T Για το χρονικό διάστημα από 0 ως t1 = 3 s, για τη μετατόπιση του κέντρου μάζας της διπλής τροχαλίας καθώς και για τη γωνία στροφής θα ισχύουν: 1 1 xcm cmt1 3 m 9 m και 1 1 t1 43 rad 18 rad Αντικαθιστώντας στην σχέση (6) το έργο της τάσης του νήματος θα είναι ίσο με: W (W ) (W ) 1 9 1118 J WT = -34 J T Σχόλιο: Το ζητούμενο έργο θα μπορούσε να προσδιοριστεί και με εφαρμογή του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας μόνο στη διπλή τροχαλία. Πράγματι:....: W W W W cm F T T 0 F x W 0 36 J 409 J W W 34 J cm T T T ε. Βάζοντας λιπαντικό εξαφανίζεται η στατική τριβή, όποτε στη διπλή τροχαλία εκτός από τη δύναμη F στον άξονα της κίνησης ασκείται μόνο η τάση του νήματος T (η οποία έχει προφανώς διαφορετική τιμή από 1 Ν που είχαμε βρει στο α ερώτημα). Στο σώμα Σ ασκείται μόνο η τάση του νήματος T. Οι δυνάμεις αυτές φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Η διπλή τροχαλία θα εκτελεί πλέον μεταφορική κίνηση προς τα αριστερά και δεξιόστροφη (λόγω της ροπής της τάσης του νήματος) περιστροφική κίνηση. Προφανώς δεν υπάρχει πλέον κύλιση χωρίς ολίσθηση για τη διπλή τροχαλία αφού το σημείο επαφής της με το έδαφος δεν μπορεί να έχει ταχύτητα μηδέν.
Για τις επιταχύνσεις που συνδέουν τα δύο σώματα ισχύει: Η επιτάχυνση του σώματος Σ είναι ίση με την επιτάχυνση του σημείου Β, δηλαδή: cm cm (1) Εφαρμόζουμε τους νόμους για κάθε σώμα. Για την διπλή τροχαλία: ΣF = Mαcm F T = Μαcm () T M M (3) Για το σώμα Σ: F m m (4) Λύνοντας τις σχέσεις (), (3), (4) ως προς τις επιταχύνσεις και αντικαθιστώντας στη σχέση (1) προκύπτει: F T 4 5 m M Επομένως η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας θα είναι ίση με αγων = 0 rad/s. Για τη ζητούμενη στροφορμή της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t = s θα ισχύει: L = Iω = (M ) (αγωνt) L = 10 kg m /s Επιμέλεια Νεκτάριος Πρωτοπαπάς nprotopapas@avgouleaschool.gr