Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Διγραμμικές και Τετραγωνικές μορφές Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.

Kefˆlaio 5 Digrammikèc kai Tetragwnikèc morfèc 5. Digrammikèc morfèc Sto teleutaðo autì kefˆlaio ja melet soume mia eidik kathgorða grammik n sunart sewn dôo metablht n. Orismìc 5.. 'Estw V dianusmatikìc q roc epð tou s matoc F. Mia sunˆrthsh H : V V F onomˆzetai digrammik morf bilinear form eˆn eðnai grammik wc proc kˆje metablht ìtan h ˆllh metablht diathreðtai stajer. IsqÔei dhlad : a Hλx + x 2 y = λhx y + Hx 2 y x x 2 y V λ F b Hx λy + y 2 = λhx y + Hx y 2 x y y 2 V λ F. SumbolÐzoume me BV to sônolo ìlwn twn digrammik n morf n epð tou V. Parˆdeigma 5.. To eswterikì ginìmeno se ènan pragmatikì dianusmatikì q ro eðnai mia digrammik morf. Parˆdeigma 5.2. H sunˆrthsh H : R 2 R 2 R me a H a 2 b b 2 = 3a b + 4a b 2 + 7a 2 b a 2 b 2 eðnai mia digrammik morf. 3 4 An jèsoume A = x = 7 H = x t A y. a a 2 y = b b 2 tìte h H grˆfetai wc 3

4 Digrammikèc kai Tetragwnikèc morfèc To ˆjroisma kai to bajmwtì ginìmeno digrammik n morf n sto sônolo BV orðzetai wc ex c: H + H 2 x y = H x y + H 2 x y λh x y = λh x y H H 2 BV λ F. Me tic prˆxeic autèc to sônolo BV eðnai dianusmatikìc q roc epð tou F. Sth sunèqeia ja doôme thn anaparˆstash miac digrammik c morf c mèsw pðnaka. 'Estw B = {v v 2... v n } mia diatetagmènh bˆsh tou dianusmatikoô q rou V kai H BV. JewroÔme ton n n pðnaka A me stoiqeða A ij = Hv i v j i j = 2... n. Orismìc 5.2. O parapˆnw pðnakac onomˆzetai o pðnakac thc digrammik c morf c H wc proc th diatetagmènh bˆsh B kai sumbolðzetai me [H] B. Parˆdeigma 5.3. 'Estw H : R 2 R 2 R h digrammik morf a H a 2 b b 2 = det a b a 2 b 2 = a b 2 a 2 b kai èstw B = {e e 2 } h kanonik diatetagmènh bˆsh tou R 2. O pðnakac A thc H wc proc th bˆsh B èqei stoiqeða A ij = He i e j. EÐnai A = det = 0 A 2 = det 0 = A 2 = det = A 22 = det = 0 0 ˆra A =. 0 ParathreÐste ìti ìpwc eðdame Hx y = x t A y gia kˆje x y R 2. 5.2 Summetrikèc digrammikèc morfèc Orismìc 5.3. Mia digrammik morf H epð enìc dianusmatikoô q rou V onomˆzetai summetrik eˆn Hx y = Hy x gia kˆje x y V.

5.3. TETRAGWNIKŸES MORFŸES 5 Prìtash 5.. An V eðnai ènac dianusmatikìc q roc peperasmènhc diˆstashc kai H BV tìte ta ex c eðnai isodônama: H eðnai summetrik. 2 Gia kˆje bˆsh B tou V o pðnakac [H] B eðnai summetrikìc. 3 Upˆrqei bˆsh B tou V tètoia ste o pðnakac [H] B na eðnai summetrikìc. Pìrisma 5.. 'Estw V dianusmatikìc q roc peperasmènhc diˆstashc kai H BV > Eˆn h H eðnai diagwniopoi simh dhlad upˆrqei bˆsh B tou V tètoia ste o pðnakac [H] B na eðnai diag nioc tìte h H eðnai summetrik. To antðstrofo den isqôei genikˆ. To prìblhma èggutai sto s ma F. Je rhma 5.. 'Estw V dianusmatikìc q roc peperasmènhc diˆstashc epð enìc s matoc F qarakthristik c diˆforhc tou 2 p.q. F = R C. Tìte kˆje summetrik digrammik morf epð tou V eðnai diagwniopoi simh. 5.3 Tetragwnikèc morfèc Orismìc 5.4. 'Estw V dianusmatikìc q roc epð enìc s matoc F. Mia sunˆrthsh K : V F onomˆzetai tetragwnik morf eˆn upˆrqei mia summetrik digrammik morf H BV tètoia ste Kx = Hx x gia kˆje x V. Eˆn h qarakthristik tou s matoc F eðnai diˆforh tou 2 tìte upˆrqei mia - antistoiqða metaxô summetrik n digrammik n morf n kai tetragwnik n morf n. Prˆgmati an Kx = Hx x gia kˆpoia summetrik digrammik morf tìte h H dðnetai wc Hx y = [Kx + y Kx Ky] 2 gia kˆje x y V. Parˆdeigma 5.4. Omogen polu numa deutèrou bajmoô poll n metablht n. JewroÔme metablhtèc t... t n F ìpou F = R C kai arijmoôc a ij i j n. OrÐzoume to polu numo ft... t n = i j a ij t i t j. 'Estw K : F n F h tetragwnik morf Kc c 2... c n = fc c 2... c n. Η χαρακτηριστική ενός σώματος F είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος n για τον οποίο ισχύει n = 0 όπου είναι η μονάδα του F.

6 Digrammikèc kai Tetragwnikèc morfèc An B eðnai h kanonik bˆsh tou F n tìte h summetrik digrammik morf pou antistoiqeð sthn tetragwnik morf K eðnai h H me pðnaka [H] B = A ìpou { a ij i = j A ij = A ji = a 2 ij i j Ac doôme mia perðptwsh tri n metablht n. 'Estw ft t 3 = 3 2 + 8t 6 t 3 epð tou R. 'Estw A = 3 4 0 4 3 0 3 0. Jètontac Hx y = x t A y x y R blèpoume ìti ft t 3 = t t 3 A t t 3 t t 3 R 3. IsqÔei to ex c je rhma diagwniopoðhshc summetrik n digrammik n morf n. Je rhma 5.2. 'Estw V pragmatikìc dianusmatikìc q roc me eswterikì ginìmeno peperasmènhc diˆstashc kai èstw H mia summetrik digrammik morf epð tou V. Tìte upˆrqe orjokanonik bˆsh B tou V tètoia ste o pðnakac [H] B na eðnai diag nioc. Pìrisma 5.2. 'Estw K mia tetragwnik morf epð enìc pragmatikoô dianusmatikoô q rou V me eswterikì ginìmeno peperasmènhc diˆstashc. Tìte upˆrqei orjokanonik bˆsh B = {x x 2... x n } tou V kai arijmoð λ λ 2... λ n ìqi aparaðthta diaforetikoð tètoioi ste an V x = n s i x i i= s i R tìte n Kx = λ i s 2 i. Epiplèon an H eðnai h summetrik digrammik morf pou kajorðzetai apì thn K tìte wc B mporeð na epilegeð opoiad pote orjokanonik bˆsh tou V ste o pðnakac [H] B na eðnai diag nioc. i=

5.4. ASKŸHSEIS 7 Parˆdeigma 5.5. JewroÔme to omogenèc polu numo bajmoô 2 epð tou R ft = 5 + 2 2 + 4t. Ja broôme mia bˆsh B = {x x 2 } tou R 2 kai arijmoôc λ λ 2 R tètoiouc ste an t R 2 kai t = s x + s 2 x 2 tìte ft = λ s 2 + λ 2 s 2 2. 'Estw H h summetrik digrammik morf pou antistoiqeð sthn tetragwnik morf ft. An Γ eðnai h kanonik bˆsh tou R 2 5 2 tìte [H] Γ = = A. Ja broôme orjog nio pðnaka Q tètoion ste o Q t A Q na eðnai 2 2 diag nioc. Pr ta ja broôme mia orjokanonik bˆsh apì idiodianôsmata tou A. To qarakthristikì polu numo tou A eðnai ft = t 6t me idiotimèc λ = 6 λ 2 = pollaplìthtac. BrÐskoume ìti to x = 2 5 x 2 = 5 eðnai idiodianôsmata m kouc. 2 Epeid ta x x 2 eðnai kˆjeta h B = {x x 2 } eðnai mia orjokanonik bˆsh tou R 2. Jètoume Q = 2 5. O pðnakac Q eðnai orjog nioc kai Q t 6 0 A Q = 2 kai epiplèon eðnai o pðnakac allag c bˆshc sunep c [H] B = Q t [H] Γ Q = Q t 6 0 A Q =. Sunep c sômfwna me to parapˆnw pìrisma gia kˆje x = s x + s 2 x 2 R 2 eðnai Kx = 6s 2 + s 2 2. Sumperasmatikˆ to polu numo ft wc proc thn kanonik bˆsh Γ metasqhmatðzetai sto Kx = Ks s 2 wc proc th nèa bˆsh B = {x x 2 }. 'Askhsh 5.. jewroôme thn epifˆneia S tou R 3 pou orðzetai apì thn exðswsh 3 + 8t + 5 2 2 t 3 + 2 3 + 7t 2 t 3 + 0 = 0. H èkfrash aut eðnai wc proc thn kanonik bˆsh Γ tou R 3. Na brejeð mia nèa orjokanonik bˆsh B tou R 3 tètoia ste h epifˆneia na perigrafeð apì aploôsterh exðswsh. 5.4 Ask seic 'Askhsh 5.2. Pistopoi ste ìti oi parakˆtw apeikonðseic eðnai digrammikèc morfèc. Sth sunèqeia upologðste ton antðstoiqo pðnaka thc H wc proc th dojeðsa bˆsh.

8 Digrammikèc kai Tetragwnikèc morfèc a H = a a 2 b b 2 = a b 2a b 2 + a 2 b a 3 b 3 me bˆsh B = 0 a 3 0 b 3 0 0. b'estw V = M 2 2 R me bˆsh { 0 B = 0 } kai orðzoume H : V V R me HA B = tra trb. 'Askhsh 5.3. Gia tic akìloujec teragwnikèc morfèc K epð tou pragmatikoô q rou me eswterikì ginìmeno V breðte mia summetrik digrammik morf H tètoia ste Kx = Hx x gia kˆje x V. Sth sunèqeia breðte mia orjokanonik bˆsh B tou V tètoia ste o pðnakac [H] B na eðnai diag nioc. a K : R 2 R me K b K : R 3 R me K t t t 3 = 2 + 4t + 2. = 3 + 3 2 + 3 3 2t t 3.

BibliografÐa [] S. Axler: Linear Algebra Done Right 2nd Edition Springer 997. [2] S. H. Friedberg - A. J. Insel - L. E. Spence: Linear Algebra 4th Edition Prentice Hall 2003. [3] Y. Katznelson - Y. R Katznelson: A Terse Introduction to Linear Algebra American Mathematical Society 2008. [4] S. Lipschutz - M. Lipson: Linear Algebra 3rd Edition Schaum s Outlines 2003. [5] H. E. Rose: Linear Algebra: A Pure Mathematical Approach Birkhauser 2002. [6] F. Zhang: Linear Algebra. Challenging Problems for Students 2nd Edition The Johns Hopkings University Press 2009. 9