ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΤΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ Παναγιώτης Κόκκοτας, Καθηγητής της Διδακτικής των Φυσικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Αθηνών. ΣΥΓΓΡΑΦΙΚΗ ΟΜΑΔΑ Ιωάννης Βλάχος, Διδάκτορας, Σχολικός Σύμβουλος του κλάδου ΠΕ4. Ιωάννης Γραμματικάκης, Επίκουρος Καθηγητής Φυσικής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Βασίλης Καραπαναγιώτης, Φυσικός, Καθηγητής Πειραματικού Σχολείου Πανεπιστημίου Αθηνών. Παναγιώτης Κόκκοτας, Καθηγητής της Διδακτικής των Φυσικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Αθηνών. Περικλής Περιστερόπουλος, Φυσικός, Υποψήφιος Διδάκτορας, Καθηγητής στο 3ο Λύκειο Βύρωνα. Γιώργος Τιμοθέου, Φυσικός, Λυκειάρχης στο ο Λύκειο Αγ. Παρασκευής. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΡΙΣΗΣ Νικόλαος Φλυτζάνης (Πρόεδρος), Καθηγητής Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης. Εμμανουήλ Καλοψικάκης, Φυσικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος. Χρήστος Ξενάκης, Δρ. Φυσικός, Σχολικός Σύμβουλος Φθιώτιδος. Δήμος Πάλλας, Φυσικός, Υποδιευθυντής 1ου Λυκείου Λαμίας. Κωνσταντίνος Στεφανίδης, Δρ. Φυσικός, Σχολικός Σύμβουλος Πειραιά.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣ Σωτηρία Θεοδωρίδου, Φυσικός, Καθηγήτρια στο Ενιαίο Λύκειο Λαυρίου. ΕΚΔΟΤΙΚΟΣ ΟΙΚΟΣ Εκδοτικές Τομές Ορόσημο Α.Ε. ATÉLIER: ART CHOICE Σχεδιασμός/Ηλεκτρονική σελιδοποίηση/φιλμς Διεύθυνση δημιουργικού: Δημήτρης Κορωνάκος Υπεύθυνη Atélier: Κασσάνδρα Παξιμάδη Φωτοστοιχειοθεσία: Ιωάννα Φατούρου Επεξεργασία εικόνων: Άννα Νικηταρά Σχεδιασμός εικόνων: Ελένη Μπέλμπα Σύμβουλος τεχν. υποστήριξης: Αλέκος Αναγνωστόπουλος ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μπουργανό για τη συμβολή του στην εύρεση των Ηλεκτρονικών Διευθύνσεων. Οι συγγραφείς

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΗΣ Η επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπαίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι διορθώσεις πραγματοποιήθηκαν κατόπιν έγκρισης του Δ.Σ. του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής Η αξιολόγηση, η κρίση των προσαρμογών και η επιστημονική επιμέλεια του προσαρμοσμένου βιβλίου πραγματοποιείται από τη Μονάδα Ειδικής Αγωγής του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής. Η προσαρμογή του βιβλίου για μαθητές με μειωμένη όραση από το ΙΤΥΕ ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ πραγματοποιείται με βάση τις προδιαγραφές που έχουν αναπτυχθεί από ειδικούς εμπειρογνώμονες για το ΙΕΠ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΡΑΣΗ ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Φ Υ Σ Ι Κ Η ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΒΛΑΧΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Γ. ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Α. ΚΑΡΑΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Β. ΚΟΚΚΟΤΑΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ EM. ΠΕΡΙΣΤΕΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Β. ΤΙΜΟΘΕΟΥ Η συγγραφή και η επιστημονική επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

Σημείωμα για τις Λύσεις Ασκήσεων Φυσικής Α ΓΕΛ Οι λύσεις των ασκήσεων των ενοτήτων: Ευθύγραμμη κίνηση, Δυναμική σε μια διάσταση, Δυναμική στο επίπεδο, Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας, Διατήρηση της ολικής ενέργειας και Υποβάθμιση της ενέργειας προέρχονται από το βιβλίο «Φυσική Γενικής Παιδείας, Λύσεις Ασκήσεων Αʹ Τάξης Γενικού Λυκείου», ΟΕΔΒ 010, που έχει γραφεί από τους: I. Βλάχο, I. Γραμματικάκη, Β. Καραπαναγιώτη, Π. Κόκκοτα, Π. Περιστερόπουλο και Γ. Τιμοθέου. 5 / 5

Κεφάλαιο 1.1 1. Επειδή η κίνηση του αυτοκινήτου είναι ομαλή, ισχύει: ή ή υ = 30 m / s. Για τα αντίστοιχα διαγράμματα έχουμε: υ ( m / s) 30 0 s ( m ) 10 4 t (s) 60 0 4 t (s) 7 / 7

Ευθύγραμμη κίνηση. Το τρένο βρίσκεται πάνω στη γέφυρα για χρόνο t, ο οποίος είναι: ή ή t = 1.980 + 0 10 s ή t = 00s 3. A. To ζητούμενο διάστημα υπολογίζεται από το άθροισμα των αντίστοιχων εμβαδών: S = E 1 + E ή S = 10 10m + 0 0m Β. ή S = 500m. s t ή 50 4 ή Γ. s (m) 500 100 0 10 0 40 t (s) 8 / 7-8

Ευθύγραμμη κίνηση 4. Α. A υ 1 Σ υ Β x t = 0 t t = 0 x Αυτοκίνητο (A): υ 1 = t ή x = υ 1 t (1) Αυτοκίνητο (Β): υ = s x t ή s x = υ t () Προσθέτω κατά μέλη τις (1) και () και βρίσκω: ή s = (υ 1 + υ ) t ή s 1.000 = = υ+υ 1 10+ 15 ή t = 40s Η συνάντηση των δύο αυτοκινήτων γίνεται στο σημείο Σ 1 που απέχει από το Α απόσταση x για την οποία ισχύει: x = υ 1 t ή x = 10 40m ή x = 400m. 9 / 8

Ευθύγραμμη κίνηση Β. Τα ζητούμενα διαγράμματα είναι: υ ( m / s) 10 (Α) Αυτοκίνητο (Α) 0 10 0 30 40 t (s) 15 (Β) Αυτοκίνητο (Β) s (m) 600 (Β) 400 00 (Α) 100 0 10 0 30 40 t (s) 5. Α. Αν ο ζητούμενος χρόνος είναι t, ο μοτοσυκλετιστής και το περιπολικό διανύουν μέχρι τη συνάντησή τους διάστημα: S π = υ μ t και S π = υ μ t αντίστοιχα. 10 / 8-9

Ευθύγραμμη κίνηση Με την αφαίρεση των σχέσεων αυτών κατά μέλη έχω: S π S μ = ( υ π υ μ ) t ή d = (υ π υ μ ) t ή ή t = 50 s Β. Το ζητούμενο διάστημα είναι: S π = υ π t = 30 50 m ή S π = 1.500 m. 6. Από τη σύγκριση της σχέσης x = 10 t με την εξίσωση της κίνησης x = υ t της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης, συμπεραίνουμε ότι ο ποδηλάτης κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με ταχύτητα υ = 10 m / s. Έτσι το ζητούμενο διάγραμμα είναι: υ ( m / s) 10 Ε 0 11 / 9 5 t ( s ) Το ζητούμενο διάστημα είναι ίσο με: s = υt = 10 5 m ή s = 50 m, δηλαδή ίσο με το αντίστοιχο εμβαδόν Ε.

Ευθύγραμμη κίνηση 7. Α. Η αρχική ταχύτητα είναι υ 0 = 0 και έτσι ισχύει: υ = αt ή υ = 15 m / s ή υ = 30 m / s. Β. Η απόσταση που διανύει ο μοτοσυκλετιστής είναι: ή s = 5 m. 8. A. Το ζητούμενο διάστημα είναι ίσο με το αντίστοιχο εμβαδόν. 1 Δηλαδή: s = E = 10 0m ή s = 100 m. Β. Από το διάγραμμα συμπεραίνουμε ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη, χωρίς αρχική ταχύτητα, με επιτάχυνση α Δυ = = Δt 0 10 / ή α = m / s. Έτσι το ζητούμενο διάστημα s είναι: 1 ή s = 3m. 9. A. To ζητούμενο διάστημα είναι ίσο με το εμβαδόν του τραπεζίου. Δηλαδή: ή s = 400m. Β. Η μέση ταχύτητα υ είναι: υ s 400 = = m/ s ή υ t 30 1 / 9-10 40 = m/ s. 3

Ευθύγραμμη κίνηση 10. Από τη σύγκριση της σχέσης υ = 8 + t με την εξίσωση υ = υ 0 + α t, συμπεραίνουμε ότι η κίνηση του αυτοκινήτου είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ 0 = 8m / s και επιτάχυνση α = m / s. Έτσι για το ζητούμενο διάστημα έχουμε: 1 1 s = s4 s = υ04 t + αt4 υ0 t αt 1 ή s = υ ( t t)+ α( t 4 t ) 0 4 ή ή s = 8 m 11. υ ( m / s) 50 (α) 30 (β) 0 6 13 / 10 10 t t (s) A. Η κοινή ταχύτητα προσδιορίζεται ως το σημείο τομής των δύο γραφικών παραστάσεων υ = υ(t) για τα δύο κινητά. Έτσι βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t = 6s η κοινή ταχύτητα των δύο κινητών είναι υ = 30 m / s.

Ευθύγραμμη κίνηση Β. Το διάστημα που διένυσε το κινητό (α) σε 10s δίνεται και από το εμβαδόν του αντίστοιχου τριγώνου. Δηλαδή: ή s 1 = 50 m. Αντίστοιχα το διάστημα που διένυσε το κινητό (β) σε 10s δίνεται και από το εμβαδόν του αντίστοιχου παραλληλό γραμμου. Δηλαδή: s = 10 30 m ή s = 300 m. Άρα το κινητό (β) προηγείται του κινητού (α) τη χρονι κή στιγμή t = 10s κατά s = 300m 50m ή s = 50m. Γ. Έστω t η χρονική στιγμή κατά την οποία συναντώνται τα δύο κινητά. Προφανώς τότε θα έχουν διανύσει ίσα διαστήματα, δηλαδή θα γίνει: t+ ( t 10) 50 = 30 t ή 10t 50 = 6t ή t = 1,5s. 1. Η κίνηση του αυτοκινήτου από το Α έως το Β είναι ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ Α. Έτσι θα ισχύει: υ Β = υ Α + α t ή 30 = υ Α + 10 α 14 / 10-11 (α) και ΑΒ = υα t 1 + α t ή 00 = υ 10 + 1 Α α 100 (β) Οι εξισώσεις (α) και (β) αποτελούν σύστημα δύο εξισώ σεων από την επίλυση του οποίου βρίσκονται η επιτά χυνση α και η ταχύτητα υ Α.

Ευθύγραμμη κίνηση Η (α) μπορεί να γραφεί: υ Α = 30 10α (γ) και με αντικατάσταση στη (β) έχουμε: 00 = (30 10α) 10 + 50α ή α = m / s. Αντικαθιστώντας την επιτάχυνση α στη σχέση (γ) βρίσκουμε: υ Α = (30 10 ) m / s ή υ Α = 10 m / s. 13. Το κινητό θα κινηθεί επί 0,7s με την ταχύτητα υ 0 που εκινείτο στην αρχή, διανύοντας διάστημα s 1 = υ 0 t 1 = 0 0,7 m ή s 1 = 14 m. Έτσι μέχρι το εμπόδιο υπάρχει διάστημα s = (50 14) m ή s = 36 m. Το διάστημα που θα διανύσει το αυτοκίνητο μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του μπορεί να είναι: υ s 0 0 max = = m ή s α 10 max = 0 m. Επειδή s max < s θα αποφευχθεί η σύγκρουση του αυτοκινήτου με το εμπόδιο. 14. Για να περάσει ολόκληρο το τρένο πάνω από τη γέφυρα πρέπει να κινηθεί κατά ( l + sm. ) Το διάστημα αυτό το τρένο θα το διανύσει επιταχυνόμενο με επιτάχυνση α = m / s, έχοντας αρχική ταχύτητα υ 0 = 0 m / s. 1 Έτσι θα ισχύει: ( l + s) = υ0t + αt ή 70 + 55 = 0t+ 1 t. Από την επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης βρίσκουμε t 1 = 5 s που απορρίπτεται και t = 5 s που είναι η δεκτή λύση. 15 / 11-1

Ευθύγραμμη κίνηση 15. Α. Όταν τα κινητά συναντηθούν θα έχουν διανύσει ίσα διαστήματα. Δηλαδή: x 1 = x ή 10t = 4t ή 4t = 10 ή t =,5 s. Β. Από τις εξισώσεις κίνησης συμπεραίνουμε ότι το πρώτο όχημα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα υ 1 = 10 m / s, ενώ το δέντρο ομαλά επιταχυνόμενη με υ 0 = 0 και α = 8 m / s. Έτσι τα ζητούμενα διαγράμματα είναι: υ ( m / s) 0 υ = l (t) 10 υ 1 = l (t) 0 x (m) 1,5 t (s) 5 x 1 = l (t) 16 x = l (t) 4 0 1,5 t (s) 16 / 1

Ευθύγραμμη κίνηση 16. Α. Στη διάρκεια των 11s ο δρομέας διανύει διάστημα Sολ 1 + + + 3 9 5 9 9 6 3 m ή S ολ = 81m. Έτσι η μέση ταχύτητά του είναι: Sολ 81 υ = = m/ s ή = 7,36 m / s. t 11 Β. Για τα πρώτα 3s ο δρομέας επιταχύνεται με επιτάχυνση ή α 1 = 3 m / s, ενώ τα τελευταία 3s επιβραδύνεται με επιβράδυνση ή α = 1 m / s. 17. Α. Από τις εξισώσεις της επιβραδυνόμενης κίνησης έχουμε: υ = υ 0 αt ή υ 0 υ0 α = t ή 5 = 10 t ή t =,5 s και ή s = 10 5, 1, 5 m ή s = 18,75 m. 17 / 1-13

Ευθύγραμμη κίνηση Β. Από τη σχέση υ = υ 0 αt θέτοντας υ = 0 βρίσκουμε για το ζητούμενο χρόνο: υ0 10 0 = υ 0 αt ή t = = s ή t = 5 s. α Για το ζητούμενο διάστημα (μέγιστο) έχουμε: υ0 10 = = ή s α max = 5 m. 18. Α. Αν μέχρι τη συνάντηση το αυτοκίνητο κινήθηκε κατά ts, ο μοτοσυκλετιστής χρειάστηκε για να το φτάσει χρόνο (t 4) s διανύοντας προφανώς το ίδιο διάστημα. Έτσι έχουμε: 1 και sµ = α ( t 4). Αλλά s α = s μ, δηλαδή: 1 1 α1t = α t 4 ( ) ή 1,6 t =,5 (t + 16 8t) από την επίλυση της οποίας βρίσκουμε για το ζητούμενο χρόνο t = 0 s και πτεται ως μικρότερος του 4s. που απορρί- Επίσης s = s μ = s α = 1 1,6 0 m ή s = 30m. 18 / 13

Ευθύγραμμη κίνηση Β. Για τις ταχύτητες του αυτοκινήτου και του μοτοσυκλετιστή έχουμε: υ α = α 1 t = 1,6 0 m / s ή υ α = 3 m / s και υ μ = α (t 4) =,5 (0 4) m / s ή υ μ = 40 m / s. Για τη ζητούμενη μέση ταχύτητα υ του αυτοκινήτου έχουμε: s 30 υ= = m/ s ή t 0 Γ. Τα διαγράμματα υ = f(t) και s = f(t) είναι: υ ( m / s) 3 10 0 s (m) 30 0 t (s) 0 0 t (s) 19 / 13

Ευθύγραμμη κίνηση 19. Α. Στο χρονικό διάστημα: 0 t 5 s η κίνηση που εκτελεί το κινητό είναι ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ 0 = 10 m / s. Στο χρονικό διάστημα: 5 s < t 15 s η κίνηση είναι ομαλή με σταθερή ταχύτητα υ = 0 m / s. Στο χρονικό διάστημα: 15 s < t 0 s η κίνηση που εκτελεί το κινητό είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη με επιβράδυνση υ α1 = Δ Δt = μέχρι μηδενισμού της ταχύτητάς του. Κατόπιν το κινητό αλλάζει φορά κίνησης και επιταχύνεται με την ίδια επιτάχυνση Δυ α = = 4 Δt Β. Η επιτάχυνση του κινητού στο χρονικό διάστημα 0 t 5s είναι: υ υ = =. 0 / 14

Ευθύγραμμη κίνηση Γ. Το διάστημα που διανύει το κινητό προσδιορίζεται από το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση και τον άξονα των χρόνων. 10 + 0 s = 5+ 10 0 + 1 + m= ( + + + ) m = 0 5 1 5 0 75 00 50 50 375 Η μετακίνηση του κινητού είναι: Δx = (75 + 00 + 50 50)m ή Δx = 5m. Προσέξτε τη διαφορά μεταξύ του διαστήματος και της μετακίνησης. Δ. Η μέση ταχύτητα του κινητού είναι: s υ= = t 375 5 m/ s ή 1 / 14

Κεφάλαιο 1. 1. Στην πρώτη περίπτωση οι δυνάμεις έχουν την ίδια κατεύθυνση και έτσι η συνισταμένη τους είναι: F = F 1 + F = (80 + 60) N ή F = 140 N ίδιας κατεύθυνσης. Στη δεύτερη περίπτωση οι δυνάμεις έχουν αντίθετη κατεύθυνση και έτσι η συνισταμένη τους έχει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης και τιμή: F = F 1 F = (80 60) N ή F = 0 N.. Και στις τρεις περιπτώσεις η συνισταμένη F έχει φορά προς τα δεξιά και η τιμή της είναι: F = (0 + 10)Ν 5 Ν ή F = 5 N F = 0Ν (10 + 5) Ν ή F = 5 Ν F = (0 + 10 + 5) Ν ή F = 35 Ν 3. Α. Για τις συγγραμμικές και ομόρροπες δυνάμεις γνωρίζουμε ότι η συνισταμένη τους είναι συγγραμμική και ομόρροπη με τις συνιστώσες και έχει τιμή που δίνεται από τη σχέση F = F 1 + F. F = 4F + F ή F = N και F 1 = 4F ή F 1 = 8N. Η ζητούμενη ανάλυση φαίνεται στην εικόνα α. F F 1 F Εικόνα α 3 / 15

Δυναμική σε μια διάσταση Β. Για τις συγγραμμικές και αντίρροπες δυνάμεις γνωρίζουμε ότι η συνισταμένη τους είναι συγγραμμική και ομόρροπη με τη συνιστώσα δύναμη μεγαλύτερης τιμής και δίνεται από τη σχέση F = F 1 F. Έτσι F = 3F F ή F = 5 N και F 1 = 3F ή F 1 = 15 N. Η ζητούμενη ανάλυση φαίνεται στην εικόνα β. F F 1 F Εικόνα β 4. Α. Από το νόμο του Hooke έχουμε: F = KΔx. Αντικαθιστώντας το γνωστό ζευγάρι τιμών Δx = 0cm και F = 80 N έχουμε: 80Ν = Κ 0 cm ή K = 80 0 N cm ή K N =4. cm Άρα, αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση Β = ΚΔx ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής: Επιμήκυνση (cm) 5 8 10 15 0 Βάρος (Ν) 0 3 40 60 80 4 / 15-16

Δυναμική σε μια διάσταση Β. Από τον πίνακα κατασκευάζουμε το διάγραμμα ως εξής: B (N) 80 60 40 φ 0 Κ Λ 0 5 8 10 15 0 Δx (cm) Γ. Η κλίση της γραφικής παράστασης ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας φ και ισχύει: ϕϕ= =, δηλαδή δίνει τη σταθερά του ελατηρίου Κ. 5. Επειδή το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα, δηλαδή α = 0, όπως προκύπτει από το νόμο του Νεύτωνα ΣF = mα, πρέπει να είναι ΣF = 0. Αυτό σημαίνει ότι στο σώμα ασκείται δύναμη F 3 ίδιας κατεύθυνσης με τη μικρότερη δύναμη F, έτσι ώστε να ισχύει: F 1 F F 3 = 0 ή F 3 = F 1 F = ( 7) N ή F 3 = 15 N. 5 / 16

Δυναμική σε μια διάσταση 6. Επειδή το πιθηκάκι ισορροπεί, θα πρέπει να δέχεται από το κλαδί δύναμη F, ώστε η συνισταμένη της F και το βάρος Β να είναι ίση με μηδέν. Δηλαδή: F B = 0 ή F = B ή F = 00Ν αντίρροπη του βάρους του. 7. Η συνισταμένη δύναμη ΣF έχει και στις τέσσερις περιπτώσεις την ίδια τιμή ΣF = 0N με φορά προς τ αριστερά, εκτός της περίπτωσης Β που η φορά είναι προς τα δεξιά. Έτσι στις περιπτώσεις Α, Γ και Δ έχουμε την ίδια επιτάχυνση που είναι αντίθετη της επιτάχυνσης του σώματος στην περίπτωση Β. υ 8. Από τη σχέση α = Δ βρίσκουμε την επιβράδυνση α που είναι: Δt Έτσι η ζητούμενη δύναμη είναι: F = mα = 10,5 N ή F = 5 Ν. 9. Από τη σύγκριση της σχέσης υ = 4t με τη σχέση υ = αt προκύπτει πως το σώμα εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση α = 4 m / s. Έτσι η συνισταμένη δύναμη για το σώμα είναι: ΣF = mα = 1 4Ν ή ΣF = 4 Ν. 10. Από τον ορισμό της επιτάχυνσης έχουμε: Δυ 14 10 α = = m/ s ή α = m / s. Δt Έτσι από τον νόμο του Νεύτωνα έχουμε: F = mα = 10 N ή F = 0 N. 6 / 16-17

Δυναμική σε μια διάσταση 11. Α. Για την επιτάχυνση κάθε σώματος έχουμε: F α 1 1 = = m1 F α = = m 4 1 m/ s ή α 1 = 4 m / s και 15 3 m/ s ή α = 5 m / s. Β. Αν τα δύο σώματα απέχουν κατά 18m μετά από χρόνο t στον οποίο έχουν διανύσει αντίστοιχο διάστημα S 1 και S θα πρέπει να ισχύει: S S 1 = (18 10) m ή S S 1 = 8 m. Έτσι έχουμε: 1 1 αt α1t = 8 ή 1 5 1 t 4 t = 8 ή,5t t = 8 ή t = 16 ή t = 4s. 1. Α. Αρχικά το σώμα επιταχύνεται με επιτάχυνση F α 1 0 1 = = m/ s m 0 ή α 1 = 1 m / s για χρόνο έστω t 1, στον οποίο αποκτά ταχύτητα υ 0 διανύοντας διάστημα s 1. Προφανώς για την κίνηση αυτή ισχύει: 1 ή s1= t1 (α) και υ 0 = α 1 t 1 ή υ 0 = t 1 (β) 7 / 17

Δυναμική σε μια διάσταση Κατόπιν το σώμα επιβραδύνεται με επιβράδυνση ή α = 0,5 m / s Τελικά το σώμα κινείται ακόμη μέχρι να σταμαυ0 t τήσει στιγμιαία για χρόνο t 1 = = (γ) α α Στο χρόνο αυτό διανύει διάστημα t s 0 1 = υ = (δ) α α Αλλά s1+ s = s ολ ή 1 t t 1 + 1 =sολ α ή 1 t1 + t1 = 40 ή t 1 = 4s. Άρα η δύναμη F άρχισε να ενεργεί μετά από διαδρομή ή Β. Η συνολική διάρκεια κίνησης του σώματος είναι: ή t ολ = 0 s. 8 / 18

Δυναμική σε μια διάσταση 13. Α. Από την εξίσωση της κίνησης για την ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση έχουμε: s 48 ή α= = m/ s ή α = 3 m / s. t 16 Β. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση ΣF = mα όπου ΣF = F 1 + F F 3 έχουμε: F 1 + F F 3 = mα ή 6 + F 3 = 1 3 ή F 3 = 5N. 14. Στην πρώτη περίπτωση η ΣF = F 1 F = 40N 0N ή ΣF = 0N. Άρα η ΣF = mα δίνει για τη μάζα m = 0 03, kg. Έτσι στη δεύτερη περίπτωση η επιτάχυνση του σώματος είναι: ΣF Σ F = mα ή α = = m ή α =. 40 0 03, m/ s Την τιμή αυτή την αναμένουμε, αφού διπλάσια δύναμη στο ίδιο σώμα προκαλεί διπλάσια επιτάχυνση. 9 / 18

Δυναμική σε μια διάσταση 15. Από την εξίσωση του διαστήματος για την ελεύθερη πτώση έχουμε: h= 1 gt ή t h h = ή t = g g και με αντικατάσταση βρίσκουμε t = s. 16. Αν το πρώτο σώμα φτάνει στον πυθμένα σε χρόνο t, ισχύει: h= 1 gt h ή t = και με αντικατάσταση t = 6 s. g Το δεύτερο σώμα έχει κινηθεί για χρόνο t που είναι: t = t Δt ή t = (6 1)s = 5s. Στο χρόνο αυτό έχει διανύσει διάστημα h = 1 1 gt = 10 5 m ή h = 15 m. Κατά συνέπεια η ζητούμενη απόσταση Δh είναι: Δh = h h = (180 15) m ή Δh = 55 m. 17. A. Η επιτάχυνση που αποκτά το αυτοκίνητο θα είναι: F F = mα ή α= = 104 m/ s = 5m/ s.. m 4000. Όμως το διάστημα μέχρι να σταματήσει είναι: s = υ 0 ή υ0 = αs ή α και με αντικατάσταση υ 0 = 0 m / s. 30 / 19

Δυναμική σε μια διάσταση Β. Η χρονική διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης είναι: υ (m / s) 0 ή t ολ = 4s. Γ. Τέλος το ζητούμενο διάγραμμα είναι: 0 31 / 19-0 4 t (s) 18. Α. Έστω ότι το πρώτο σώμα φτάνει στο έδαφος σε χρόνο t. Ισχύει ότι: h= 1 h gt ή t = και με αντικατάσταση t = 3 s. g Επειδή το δεύτερο σώμα ρίχνεται μετά από ένα δευτερόλεπτο και φτάνει στο έδαφος ταυτόχρονα με το πρώτο, πρέπει να κινείται για χρόνο t = t Δt ή t = (3 1) s ή t = s. Έτσι για το δεύτερο σώμα έχουμε: h 1 gt ή υ 0 = ή t 45 5 υ 0 = m/ s ή υ 0 = 1,5 m / s.

Δυναμική σε μια διάσταση Β. Τα ζητούμενα διαγράμματα είναι: 30 0 υ (m / s) 3 t (s) 45 0 s (m / s) t (s) 3 / 0

Κεφάλαιο 1.3 1. Με βάση τα δεδομένα το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων θα είναι τετράγωνο. Έτσι έχουμε: F = F1 + F = F1 ή F1 = F και με αντικατάσταση ή F F 1 F 33 / 1

Δυναμική στο επίπεδο. Η συνισταμένη των δυνάμεων F 1 και F είναι: F = F1 + F και με αντικατάσταση =. Για να ισορροπεί το σωμάτιο πρέπει να του ασκείται δύναμη F 3 αντίθετη της F. Δηλαδή. F 1 F F 3 F 3. Η συνισταμένη F των δύο δυνάμεων F 1, F δίνεται από τη σχέση: α F 1 F θ F 34 / 1

Δυναμική στο επίπεδο F = F1 + F και με αντικατάσταση F = 10Ν. Άρα η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα είναι: α= F m ή ή α = 10 m / s Η επιτάχυνση α έχει την κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης F, δηλαδή σχηματίζει με τη δύναμη F γωνία για την οποία ισχύει: F εϕθ= 1 = F 6 8 ή εϕθ= 3 4. 4. Α. Από την εξίσωση της ελεύθερης πτώσης έχουμε: h = g Σ t ή g Σ = και με αντικατάσταση g Σ = m / s ή g Σ = 1,6 m / s. Β. α) Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να φθάσει στο έδαφος σύμφωνα με την αρχή επαλληλίας των κινήσεων, είναι πάλι 3s. β) Για την οριζόντια κίνηση έχουμε: x = υt ή x = 1 3 m ή x = 36 m. 35 / 1 -

Δυναμική στο επίπεδο 5. Α. Οι ζητούμενες εξισώσεις για τις δύο κινήσεις της βόμβας στους άξονες x και y είναι αντίστοιχα: x = υt (α) και (γ) υ x = υ 0 (β) υ y = gt (δ) Β. Από τη (γ) έχουμε: y = 1 y gt ή g = t ή ή g = 10 m / s. Γ. Επειδή η ταχύτητα υ x της βόμβας είναι ίση με την ταχύτητα (υ 0 ) του αεροπλάνου, βόμβα και αεροπλάνο διανύουν κάθε στιγμή την ίδια απόσταση x. Έτσι τη στιγμή που η βόμβα φτάνει στο έδαφος, το αεροπλάνο βρίσκεται ακριβώς πάνω από το σημείο πρόκρουσης, έχοντας μετατοπιστεί από το σημείο που άφησε τη βόμβα κατά x = υ 0 t = 150 10m ή x = 1.500m. 6. Α. Στα σώματα ασκούνται τα βάρη τους και οι τάσεις T 1 = T = T, όπως φαίνεται στο σχήμα. Εφαρμόζω για κάθε σώμα το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής: B 1 T = m 1 α (1) και T B = m α (). 36 /

Δυναμική στο επίπεδο Β. Προσθέτοντας τις σχέσεις (1) και () κατά μέλη έχουμε: B 1 T + T B = m 1 α + m α ή B 1 B = (m 1 + m ) α ή m 1 g m g m 1 + m ή α= 30 10 m 4 s ή α=5 m s. Γ. Αντικαθιστούμε την τιμή της επιτάχυνσης σε μια από τις αρχικές σχέσεις, π.χ. στην (1) και έχουμε: Τ = Β 1 m 1 α ή Τ = (3 10 3 5) Ν ή Τ = 15 Ν. Τ Τ m 1 m B 1 B 37 /

Δυναμική στο επίπεδο 7. Α. Οι δυνάμεις στο σώμα είναι το βάρος του Β και η δύναμη F κ λόγω της άμεσης επαφής του με το κεκλιμένο επίπεδο. Αναλύουμε το βάρος Β στις συνιστώσες Β x και B y, οπότε ο θεμελιώδης νόμος γράφεται: ΣF = mα ή Β x = mα (1). Β. Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) βρίσκουμε: mgημφ = mα ή α = gημφ ή α= g. F κ φ Β x Β ψ Β φ 38 / 3

Δυναμική στο επίπεδο 8. Α. Στον πιλότο ασκείται το βάρος του mg και η δύναμη Ν από το κάθισμα. Στο ελικόπτερο ασκείται το βάρος του Mg, η ανυψωτική δύναμη F και η εσωτερική δύναμη Ν που ασκεί ο πιλότος λόγω άμεσης επαφής. Β. Από το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για το σύστημα έχουμε: F Mg mg = (Μ + m)α ή F = [(1.90 + 80) + 1.90 10 + 80 10] Ν ή F = 4.000Ν. Γ. Ο ίδιος νόμος για τον πιλότο δίνει: N mg = mα ή Ν = mα + mg ή Ν = (80 + 80 10) Ν ή Ν = 960Ν. F N N Mg mg 39 / 3

Δυναμική στο επίπεδο 9. Α. Η κίνηση του σώματος είναι ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα και κατά συνέπεια ισχύει: s = 1 α t και υ = αt. Από τις εξισώσεις αυτές αντικαθιστώντας το χρόνο t από τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη έχουμε: s= 1 α υ α ή s= υ α ή α = υ s ή ή α = 5 m / s. Β. Από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα βρίσκουμε ότι: ΣF = mα ή ΣF = 5 5 Ν ή ΣF = 5 Ν. Επειδή ΣF > F σημαίνει ότι υπάρχει τριβή Τ έτσι ώστε: ΣF = F Τ ή Τ = F ΣF = (30 5) Ν ή Τ = 5 Ν. Γ. Για το συντελεστή τριβής ολίσθησης βρίσκουμε: T = μf κ = μmg ή µ= T mg ή µ= 5 5 10 ή μ = 0,1. 40 / 3

Δυναμική στο επίπεδο 10. Α. Δεχόμαστε ότι κατά την επιβράδυνσή του ο οδηγός δέχεται μόνο τη δύναμη F από τη ζώνη, και ότι αυτή είναι σταθερή. Από την εξίσωση που δίνει το μέγιστο διάστημα στην επιβραδυνόμενη κίνηση έχουμε: s max = υ α ή α = ή ή α =.50 m / s. Β. Η δύναμη από τη ζώνη ασφαλείας που προκαλεί την παραπάνω επιβράδυνση είναι: F = mα = 60.50 Ν ή F = 135.000 N. 11. Α. Επειδή η ταχύτητα της ντουλάπας είναι σταθερή ισχύει α = 0, δηλαδή ΣF = 0 ή F T = 0 ή T = F ή T = 10 Ν. Αλλά T = μf κ ή µ= 10 50 ή μ = 0,48. Β. Η ελάττωση του βάρους της ντουλάπας ελαττώνει την τριβή σε μια νέα τιμή Τ = μβ = 0,48 160 Ν ή Τ = 76,8 Ν. Για να έχουμε πάλι σταθερή ταχύτητα η οριζόντια δύναμη F θα πρέπει να είναι: F = Τ ή F = 76,8 N. 41 / 4

Δυναμική στο επίπεδο 1. Α. Οι δυνάμεις σε κάθε σώμα φαίνονται στην εικόνα. Β. Για κάθε σώμα ο θεμελιώδης νόμος γράφεται: Τ Τ = m α () (1) και Γ. Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και () έχουμε B 1 T = (m 1 + m )α και επειδή Τ = μf κ = μm g προκύπτει: m 1 g μm g = (m 1 + m ) α ή ή α =,5 m / s. α Τ F κ m Τ α Τ Β m 1 Β 1 4 / 4

Δυναμική στο επίπεδο 13. Α. Οι δυνάμεις φαίνονται στην εικόνα. Β. Για την τριβή έχουμε: Τ = μf κ και επειδή F κ = B ψ = mgσυνφ, η τριβή είναι: Τ = μ mgσυνφ ή T 3 = 6 110 3 N ή Τ =,5 Ν. Γ. Από το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής έχουμε: ΣF = mα ή Β x Τ = mα ή mgημφ Τ = mα ή ή α =,5 m / s. Έτσι το ζητούμενο διάστημα είναι: ή s = 1,5 m. F κ Τ Β x h Β ψ φ Β φ 43 / 4-5

Δυναμική στο επίπεδο 14. Η γραμμική ταχύτητα για κάθε σημείο του πλέγματος του τροχού είναι ίση με τη μεταφορική ταχύτητα του αυτοκινήτου. Δηλαδή υ = 35 m / s. Για την κεντρομόλο επιτάχυνση έχουμε:, όπου R δ = = 08, m ή R = 0,4 m. Έτσι ή α κ = 3.06,5 m / s. 15. Από τη σχέση υ = ωr, αν θέσουμε ω π = Τ βρίσκουμε για τη ζητούμενη ταχύτητα: ή υ = 463 m / s. Για την κεντρομόλο επιτάχυνση έχουμε: υ ακ = = 463 ή α R 6380. 103 κ = 0,034 m / s. 16. Για την ταχύτητα έχουμε: ή υ = 368 10 3 m / s. 44 / 5

Δυναμική στο επίπεδο Η ζητούμενη κεντρομόλος επιτάχυνση είναι: ή α κ = 19,6 10 6 m / s 17. Η συχνότητα περιστροφής του κάδου είναι: f = 780 60 Hz ή f = 13 Hz. Έτσι βρίσκουμε: υ = ωr = π f R ή ή υ = 6,9 m / s και ή α κ =.193 m / s. 18. Η τιμή της τριβής, δηλαδή η κεντρομόλος δύναμη, δεν μπορεί να υπερβαίνει το 5% του βάρους του αυτοκινήτου. Δηλαδή: F κ(max) = 0,5 Β ή F κ(max) = 0,5 mg. Όμως Fκ (max) = mυ max ή ή R και με αντικατάσταση υ max = 13 m / s. 45 / 5-6

Δυναμική στο επίπεδο 19. Για την περίοδο του ωροδείκτη και του λεπτοδείκτη βρίσκουμε: Τ Ω = 1h = 1 3.600s ή Τ Ω = 43.00s κα ι Τ Λ = 1h = 1 3.600 ή Τ Λ = 3.600s. Έστω ότι οι δείκτες σχηματίζουν για πρώτη φορά γωνία μετά από χρόνο t. Ο λεπτοδείκτης έχει διαγράψει γωνία (1) Αντίστοιχα ο ωροδείκτης θα έχει διαγράψει γωνία π ϕ = ω t = t Ω (). Ω Τ Ω Όμως φ Λ φ Ω = π, οπότε αντικαθιστούμε τις (1) και () και έχουμε ή t 1 1 1 = ή ΤΛ ΤΩ 3 1 1 1 t 3600. 43. 00 = ή t = 10,9 min. 3 46 / 6

Δυναμική στο επίπεδο 0. Το βλήμα κινούμενο ομαλά χρειάζεται χρόνο t για να φθάσει στο δίσκο, ο οποίος είναι: t d = = υ 400 s ή t = 0,005s. Στον ίδιο χρόνο t ο δίσκος περιστρέφεται κατά γωνία 4 π. Επομένως βρίσκουμε ότι: ή ω = 50π rad/s. 1. Α. Για την ταχύτητα του δορυφόρου βρίσκουμε: υ = ω(r + h) = π (R + h) ή Τ 3, 14 υ= ( 6. 400 10 3 + 6. 400 10 3 ) 4 3. 600 ή υ = 5.581 m / s Β. Για τη γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου έχουμε: ή. 47 / 6-7

Δυναμική στο επίπεδο. Α. Από την ισορροπία του σώματος στον κατακόρυφο άξονα έχουμε: F κ + F ψ = Β ή F κ = mg Fημ60 ή ή Fκ = ( 100 0 3 ) N ή F κ = 65,36Ν. F κ F ψ 60 ο F F x Β Β. Η ταχύτητα μετά από 5s θα είναι υ = αt, όπου α η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί το σώμα. Αλλά F x = mα ή ή α = m / s. Έτσι υ = αt = 5 m / s ή υ = 10 m / s. Γ. Κατά τη διάρκεια του πέμπτου δευτερολέπτου το σώμα διανύει διάστημα: S = S 5 S 4 = ή ή S = 9m. 48 / 7

Δυναμική στο επίπεδο 3. Α. Για να κινηθεί το σώμα απαιτείται δύναμη F T. Άρα η ζητούμενη μικρότερη δύναμη είναι F = Τ ή F = μfκ ή F = μβ = 0, 1.000Ν ή F = 00Ν. Β. Η ζητούμενη επιτάχυνση είναι: ( ) F α= T F T g = m B ή ή α = 3m / s. Γ. Η κίνηση του κιβωτίου είναι ομαλά επιταχυνό - μενη χωρίς αρχική ταχύτητα. Έτσι: s = 1 α t ή t s = α και με αντικατάσταση t = 4s. Για τη ζητούμενη ταχύτητα έχουμε: υ = αt = 3 4 m / s ή υ = 1 m / s. 49 / 8

Δυναμική στο επίπεδο 4. Α. Από την ισορροπία του σώματος στον άξονα y έχουμε: F κ Βσυν30 = 0 ή F κ = mgσυν30 = 1 10 3 Ν ή F κ = Ν. F κ Βημ30 Βσυν30 Β Β. Για την επιτάχυνση του σώματος έχουμε: Βημ30 = mα ή ή α = gημ30 ή α = 5 m / s. Γ. Η κίνηση του σώματος είναι ομαλά επιταχυνόμενη με υ 0 = 0, οπότε: ή h ηµ 30 και με αντικατάσταση t = s. 1 = αt ή Επίσης υ = αt = 5 m / s ή υ = 10 m / s. 50 / 8

Δυναμική στο επίπεδο Δ. Στην περίπτωση αυτή το σώμα επιταχύνεται με επιτάχυνση α = gημ45 h και διανύει διάστημα S = ηµ45. Έτσι ο χρόνος κίνησής του είναι t = h gηµ 45 και η ζητούμενη ταχύτητα =. Δηλαδή η ταχύτητα είναι ανεξάρτητη από τη γωνία του κεκλιμένου επιπέδου και αφού το ύψος h παραμένει το ίδιο, το σώμα φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου με την ίδια ταχύτητα υ = 10 m / s. 5. Α. Από το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για κάθε σώμα έχουμε: F T = m 1 α (1) και Τ = m α () Από την πρόσθεση των εξισώσεων (1) και () κατά μέλη βρίσκουμε: F= 00 + 500 Ν ή F = 87,5 N. 8 51 / 8-9

Δυναμική στο επίπεδο Β. Με αντικατάσταση της τιμής της F στην εξίσωση () βρίσκουμε: ή T = 6,5 N. Σ Τ Τ Σ 1 F 5 / 9

Κεφάλαιο.1 1. Η αντίσταση του αέρα λόγω της σταθερής ταχύτητας ανά σταθερή δύναμη και κατά συνέπεια το έργο της είναι: W = Αx = 4υx ή W = 4 30 50J ή W = 6000J. Α. Η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι: U = mgh = 10 10 0J ή U =.000J. Β. Η δυναμική ενέργεια μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: U = mgx Έτσι το ζητούμενο διάγραμμα είναι το παρακάτω: U (J) 000 0 0 x (m) 53 / 31

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 3. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας βρίσκουμε: ή 1 mυ 0 = Τ x ή ή ή x = 15m 4. Το σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του. Έτσι βρίσκουμε: 1 0 + W = B mυ ή mgh= 1 mυ ή υ= gh και με αντικατάσταση υ = 0 m / s Στο ύψος h το σώμα είχε μόνο δυναμική ενέργεια η οποία μετατρέπεται αρχικά σε κινητική ενέργεια και τελικά σε θερμότητα. 5. Επειδή ο γερανός ανεβάζει το κιβώτιο με σταθερή ταχύτητα, πρέπει να ασκεί δύναμη F = B ή F = mg (α) Επίσης για τη σταθερή ταχύτητα ανόδου έχουμε: υ= s ή υ= h (β) t t Έτσι η ζητούμενη ισχύς είναι Ρ = Fυ που με τη βοήθεια των (α) και (β) γίνεται: P = mg h = 000 10 60 W ή P = 10.000W t 10 54 / 31-3

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 6. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας βρίσκουμε: 1 0 1 + WB WT = mυ ή mgh T( ΑΓ) = mυ ή 1 mg( ΑΓ) ηµ 30 µ mg ( ΑΓ) = mυ ή µ υ και με αντικατάσταση: υ = 6 m / s. 7. Α. Επειδή το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα είναι T = F και κατά συνέπεια: W T = W F = F x = 40 5J ή W T = 00J. Β. Ο ζητούμενος ρυθμός αφού η εμφανιζόμενη θερμότητα εκφράζεται από το έργο της τριβής είναι: WT x που επειδή t = γίνεται: t υ ή W Τ = 160 J / s 8. Η διατήρηση της ενέργειας για την αρχική και την τελική θέση της μπάλας μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την εμφανιζόμενη θερμότητα Q ως εξής: mgh 1 + 0 = mgh + Q ή Q = mg (h 1 h ) = 10 (0 18) J ή Q = 40J Έτσι το ζητούμενο ποσοστό είναι: Q 40 100 = 100 = 10% mgh 1 400 55 / 3

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 9. Η οριζόντια δύναμη F που ασκεί ο μαθητής είναι ίση με την τριβή Τ, ώστε το κιβώτιο να κινείται με σταθερή ταχύτητα. Δηλαδή: F = Τ = μmg = 0,5 100 10Ν ή F = 500Ν Η προσφερόμενη ενέργεια είναι ίση με το έργο της δύναμης F. Έτσι βρίσκουμε: Προσφερόμενη ενέργεια = W F = F x = 500 10J = = 5.000J. 10. Α. Το έργο του βάρους το οποίο είναι δύναμη συντηρητική εξαρτάται από την κατακόρυφη απόσταση της αρχικής και της τελικής θέσης και όχι από τη διαδρομή. Έτσι βρίσκουμε: W B = Bh = mgh = 80 10 300 0,J ή W B = 48000J. Β. Ο ζητούμενος ρυθμός είναι: WB t 48000 J s 10 60 / ή WB 80 J / s t 56 / 33

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 11. Α. Επειδή η δύναμη είναι σταθερή έχουμε: W F = F x = 4 10J ή W F = 40J. Β. Στην περίπτωση αυτή το έργο της δύναμης υπολογίζεται γραφικά από το διάγραμμα F-x. Έτσι WF = 1 J 10 10 ή W F = 50J F (N) 10 W F 0 10 x (m) 1. Α. Το έργο της F είναι ίσο με το έργο της παράλληλης προς την κίνηση συνιστώσας της F x. Δηλαδή: W F = W Fx = F συν60 x = 50 1 10J ή W F = 50J Β. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: 1 0 + WF = mυ ή υ= W mf και με αντικατάσταση βρίσκουμε: υ = 5 m / s. 57 / 33

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 13. Α. Από την εξίσωση της κινηματικής hmax = υ 0 βρίσκουμε για την αρχική ταχύτητα υ g 0 της πέτρας: υ 0 = gh max ή Από τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας έχουμε: 1 1 1 mυ 0 + 0 = mυ 0 + mgx ή 1 mυ 4 0 = mgx ή x = 1 4 800 10 m ή x = 0m Β. Στο ζητούμενο ύψος x το σώμα έχει ταχύτητα υ, ώστε mυ = 1 mυ0 ή Έτσι από τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας έχουμε: 1 1 mυ 0 0 + = mυ + mgx ή υ x = 0 υ 800 00 = m ή x = 30m 9 0 14. Α. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας βρίσκουμε: 1 1 mυ F mυ 0 F x = mυ ή υ = 0 x m και με αντικατάσταση υ = 8 m / s. 58 / 34

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Β. Για τη ζητούμενη απόσταση έχουμε: 1 x mυ 0 F x = 0 ή 1 mυ = 0 = F 1 4 10 10 m ή x = 0m 15. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: 1 0 + W = F mυ (α) Το έργο της μεταβλητής δύναμης F υπολογίζεται γραφικά: F (N) 8 W 1 F X 8 0 0 8 10 0 8 W 10 x (m) 59 / 34-35

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Έτσι από τη σχέση (α) βρίσκουμε: ή W F = 30J. m 30 ή m = 15kg 16. Το σώμα επιταχύνεται προς τα επάνω με την επίδραση των δυνάμεων Fσυνθ, Τ και mgημθ. Για την τριβή Τ βρίσκουμε: Τ = μf κ ή Τ = μ(fημθ + mgσυνθ) = 0,4 (100 0,6 + 5 100,8)Ν ή Τ = 40Ν Έτσι από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: ή υ = Fσυνθ x T x mgηµθ x m και με αντικατάσταση βρίσκουμε: 60 / 35

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 17. Α. Η μπάλα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους, οπότε: 1 0 + mgh = mυ ή υ= gh ή υ = 0 m / s Β. Έχουμε ότι: Αλλά η μπάλα κάνει ελεύθερη πτώση, οπότε: υ = gt. Έτσι καταλήγουμε στη σχέση: ΔU Δt = mg gt = mgt ή ΔU Δt =100 t (α) Από τη σχέση βρίσκουμε ότι ο χρόνος κίνησης της μπάλας είναι: t H = ή t = s. g Έτσι το ζητούμενο διάγραμμα (σχέση α) είναι: ΔU W Δt 00 0 61 / 35-36 t (s)

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 18. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: (α) Το έργο της μεταβλητής δύναμης F υπολογίζεται από το αντίστοιχο εμβαδόν. Έτσι: ή W F = 30J. Αντικαθιστώντας στη σχέση (α) βρίσκουμε: υ= W ή υ= 30m/ s mf 19. Α. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας μεταξύ των σημείων Γ και Δ έχουμε: 1 mυ Γ W T = 0 ή 1 mυ Γ µ mgx 0 = ή υ Γ = µ gx και με αντικατάσταση Β. Αρκεί να φέρουμε το σώμα στο σημείο Α με μηδενική ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι η απαιτούμενη ενέργεια είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια του σώματος στο σημείο Α και το έργο της τριβής W T από το Δ έως το Γ. Δηλαδή: W απαιτ = U A + W T. 6 / 36-37

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Αλλά UA = 1 mυ Γ όπως και Έτσι: ή W απαιτ = 10J 0. Α. Για τη ζητούμενη κινητική ενέργεια έχουμε: ή K =,57 10 10 J Β. Η ωφέλιμη ισχύς είναι το 50% της αποδιδόμενης, δηλαδή: P = 10 3 HP = 745,7 10 3 W ή Ρ = 16405 10 3 W. Όμως η ωφέλιμη ενέργεια που αποδίδουν οι μηχανές μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του κρουαζιερόπλοιου. Έτσι: P = K ή ή t t = 1,57 10 3 s ή t = 6min 63 / 37

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας 1. A. Το σώμα θα εγκαταλείψει το οριζόντιο επίπεδο όταν η κατακόρυφη συνιστώσα της F γίνει ίση με το βάρος του, οπότε F κ = 0. Δηλαδή όταν: Fημθ = mg ή (10 + 5x) 0,8 = 0, από την οποία βρίσκουμε x = 3m. Β. Γράφουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για τη διαδρομή των 3m και έχουμε: (α) Για την τριβή Τ έχουμε: Τ = μ F κ = μ (mg Fημθ) ή Τ = 0,5 [ 0 (10 + 5x) 0,8 ] ή Τ = 3 x Fημθ F F κ Τ θ Fσυνθ Mg 64 / 37

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Επίσης Fσυνθ = (10 + 5x) 0,6 ή Fσυνθ = 6 + 3x. Από τα αντίστοιχα διαγράμματα βρίσκουμε το έργο της Τ και της Fσυνθ. T (N) 3 W T = 1 3 3 = 4,5 J 0 Fσυνθ (N) 3 x (m) 18 15 15 + 6 W Fσυνθ = 3 = 31,5 J 6 0 3 x (m) Αντικαθιστούμε στην (α) και βρίσκουμε: ή 65 / 38

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας. A. Το ζητούμενο έργο υπολογίζεται γραφικά: F (N) 30 10 W F 0 0 30 x (m) ή W F = 450J Β. Το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα, όταν: ΣF = 0 ή mg = 30 x ή x = 0m. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για τη διαδρομή x έχουμε: 1 0 + W = F mgx mυ ή 30 + 10 1 0 10 0 = 1 υ ή υ = 0 m / s 66 / 38

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Γ. Μέγιστη ανύψωση x μ έχουμε όταν η ταχύτητα γίνει μηδέν. 0 + W F mgx μ = 0 ή ή x μ = 45m Δ. To σώμα επιστρέφει εκτελώντας ελεύθερη πτώση από ύψος x μ. Έτσι: ή υ = gx µ ή υ = 30 m / s. 67 / 39

Κεφάλαιο. 1. Από τη γνωστή σχέση Q = ΔU + W βρίσκουμε: ΔU = Q W = (80 30) J ή ΔU = 50J.. Έχουμε Q = ΔU + W, οπότε: Q = (30 + 50) J ή Q = 80 J. 3. Στη σχέση Q = ΔU + W έχουμε ΔU = 0. Έτσι: Q = 0 + W ή Q = 50J. 4. Από τη σχέση Q = ΔU + W βρίσκουμε πως το παραγόμενο από το αέριο έργο είναι: W = Q ΔU = (400 50)J ή W = 150J. Αλλά W = F Δx ή Δx = 0,1m. ή 5. Το σώμα αρχικά έχει δυναμική ενέργεια, η οποία μετατρέπεται, κατά την πτώση του, σε κινητική και τελικά σε εσωτερική ενέργεια του σώματος. Δηλαδή: ΔU = mgh = 0,8 10 3J ή ΔU = 4J. 6. Καθημερινά το ποσοστό των θερμίδων είναι ελαττωμένο κατά 350kcal. Για να διατηρείται η ίδια δραστηριότητα, οι θερμίδες αυτές αναπληρώνονται από την καύση του λίπους του οργανισμού. 69 / 41

Διατήρηση της ολικής ενέργειας και υποβάθμιση της ενέργειας Συγκεκριμένα για κάθε ημέρα πρέπει ο οργανισμός να μειώνει το λίπος κατά 350 gr. 95, Έτσι προκειμένου να καούν kg, δηλαδή.000gr, απαιτούνται 000. ημέρες ή 350 95,. 000 95, = 54, 8 ημέρες. 350 7. Α. Για την κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου που η ταχύτητά του είναι, βρίσκουμε: ή K = 4,5 10 5 J. Β. Για να διατηρείται η ταχύτητα σταθερή, απαιτείται ενέργεια ίση με αυτή που γίνεται θερμότητα, μέσω του έργου της δύναμης F η οποία αντιστέκεται στην κίνηση. Δηλαδή Ε = W F = Fx = 450 1.000 J ή E = 4,5 10 5 J. 70 / 70 41 /- 4

Διατήρηση της ολικής ενέργειας και υποβάθμιση της ενέργειας Γ. Από την καύση ενός λίτρου βενζίνης προκύπτει ενέργεια 3 10 7 J από την οποία ωφέλιμη είναι το 30%, δηλαδή 0,9 10 7 J. Τόση ακριβώς ενέργεια γίνεται θερμότητα μέσω του έργου της F, αφού η ταχύτητα εξακολουθεί να παραμένει σταθερή. Δηλαδή Eωϕ = Fx ή Eωϕ 09, 107 x = = m F 450 ή x = 10 4 m. 71 71 / 4 /

Βάσει του ν. 3966/011 τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου, του Λυκείου, των ΕΠΑ.Λ. και των ΕΠΑ.Σ. τυπώνονται από το ΙΤΥΕ ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν στη δεξιά κάτω γωνία του εμπροσθόφυλλου ένδειξη «ΔIΑΤΙΘΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ». Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δεν φέρει την παραπάνω ένδειξη θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του νόμου 119 της 15/1 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946,108, Α'). Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Υπουργείου Παιδείας, Έρευνας και Θρησκευμάτων / IΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ.